Лекция 2 Элементы аналитической геометрии

• Название: Лекция 2 Элементы аналитической геометрии
• Дата: 12.11.2021
• Размер: 1.19 Mb.
• Имя файла: Lekciya_2_Analiticheskaya_geometriya.pptx
• Тип: Лекция; #270354

Управление

социальными системами

Математика

Лекция 2



Элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия ─ это ветвь математики, изучающая геометрические образы средствами алгебры на основе метода координат.

Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости:

Уравнение

Определяет на плоскости линию L как совокупность всех точек, удовлетворяющих данному уравнению, называемому уравнением линии L.

Каждая точка линии L удовлетворяет уравнению.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

2) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку M(x1;y1) с заданным угловым коэффициентом k:

Пример. Пусть M(-2;3) и k=2. Построить уравнение прямой.

Решение:

3) Уравнение вертикальной прямой, проходящей через заданную точку M(x1;y1):

Пример. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку M(2;3):

4) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2)

• а) если точки не лежат на одной вертикальной или горизонтальной прямой ( )

Пример. Пусть M1(2;-3) и M2(-1;2). Построить уравнение прямой.

Решение:

2) Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2)

• б) если точки лежат на одной вертикальной прямой ( )
• в) если точки лежат на одной горизонтальной прямой (

Горизонтальная прямая –

частный случай наклонной

прямой при α=0.

Следствие:

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2):

Пример. Пусть M1(2;-3) и M2(-1;2). Угловой коэффициент прямой, проходящей через эти точки:

5) Общее уравнение прямой на плоскости:

причем коэффициенты А и В не обращаются одновременно в ноль ( ).

Частные случаи:

Уравнением первой степени двух переменных называется алгебраическое уравнение, в каждое слагаемое которых входят как множители координаты, причем суммарная степень координат не больше 1.

─ уравнение 1 степени

двух переменных

на плоскости

• 6) Уравнение прямой «в отрезках»:

Пример.Уравнение

можно представить в виде

Приложения

• 1) Необходимое и достаточное условие параллельности прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2:
• 2) Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых с угловыми коэффициентами k1 и k2:

Приложения

• 3) Острый угол φ между прямыми, заданными уравнениями :

Элементы аналитической геометрии в пространстве

Уравнения плоскости

а)

Уравнения плоскости

б) Общее уравнение плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Найти расстояние d от точки M(x0; y0; z0) до плоскости

Решение:

Пример. Расстояние от точки М(-3;1;2) до

прямой 3x+4y-12z+2=0

Расположение плоскостей

Расположение плоскостей

Кривые второго порядка

• При изучении линий на плоскости их классифицируют по сложности уравнений:
• уравнения 1 степени прямые
• уравнения 2 степени кривые второго порядка:

окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность Окружность – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром

.

• Каноническое уравнение окружности

r – радиус окружности

Эллипс Эллипс – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

.

• Каноническое уравнение эллипса

Эллипс

.

Планеты и кометы Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов – Солнце.

Гипербола Гипербола – геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

• Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола

Парабола Парабола – геометрическое место точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой

Каноническое уравнение параболы

Пусть директриса параллельна оси Oy и ее уравнение , , а фокус - точка , то уравнение параболы:

Если , то

Парабола

Если директриса параллельна оси Ox :

Если вершину параболы перенести в точку , то уравнение параболы примет вид:

Общий вид уравнения кривой второго порядка

• Основной прием – выделение полных квадратов.