Лекция № 2. Лекция 2 Понятие о структурной схеме надежности
 Скачать 482.19 Kb.
|
|
Лекция 2 2.1. Понятие о структурной схеме надежности. Все технические объекты состоят из элементов. Элементы физически могут быть соединены между собой самым различным образом. Для нагляд- ного изображения соединений элементов используются различного рода схе- мы: Структурные, функциональные, принципиальные и т.д. Каждая имеет свое предназначение и позволяет анализировать, как функционирует то или иное изделие. Для анализа уровня надежности и расчета ее показателей применяются особые схемы, которые получили название структурных схем надежности. Под структурной схемой надежности понимается наглядное графиче- ское представление условий, при которых работает или не работает исследу- емый элемент, объект, система, устройство и т.д. Для составления структурной схемы надежности анализируют процесс функционирования объекта, изучают функциональные связи между элемен- тами, виды отказов и причины их возникновения. Такое исследование требу- ет высокой инженерной и математической эрудиции. Степень дробления объекта на элементы зависит от конкретной задачи расчетов. Одно и то же соединение на принципиальной схеме может иметь совер- шенно другое соединение на структурной схеме надежности. Основными отказами электрических объектов являются отказы типа «обрыв» и «короткое замыкание». Пусть объект состоит из двух диодов VD1 и VD2, физически соединенных параллельно. При отказе типа «короткое за- мыкание» схема выйдет из строя, когда откажет любой из двух диодов. По- этому структурная схема надежности для этого случая изображается в виде последовательного соединения элементов. В другом случае, при отказе типа «обрыв» параллельная цепочка диодов откажет только в случае отказа двух диодов. Следовательно, структурная схема надежности будет представлять собой параллельное соединение элементов (рисунок 3). VD1 1 1 2 VD2 2 Обрыв Короткое замыкание Рисунок 3 При определении структурной схемы надежности объекта оценивают влияние работоспособности каждого элемента на работоспособность объекта в целом. С этой точки зрения все элементы объекта делят на четыре группы: 1. Элементы, отказ которых практически не влияет на работоспособ- ность объекта (например, деформация кожуха, изменение окраски поверхно- сти и т.д.). 2. Элементы, работоспособность которых за рассматриваемый промежу- ток времени практически не изменяется и вероятность их безотказной работы близка к единице (станины, корпусные детали, малонагруженные элементы с большим запасом прочности и т.д.). 3. Элементы, ремонт или регулировка которых возможна в процессе ра- боты или во время плановых остановок (наладка, замена режущего инстру- мента и т.д.). 4. Элементы, отказ которых сам по себе или в сочетании с отказами дру- гих элементов приводит к отказу системы. При анализе надежности объекта, в рассмотрение, как правило, включа- ют элементы последней группы. При анализе надежности объекта придерживаются следующего порядка: 1. Проводится анализ устройства и функциональная взаимосвязь состав- ных частей, выполняемые функции объектом и его элементами. 2. Формулируется содержание понятий «безотказная работа» и «отказ». 3. Определяются все возможные отказы объекта и его составных частей, их причины и возможные последствия. 4. Оценивается влияние отказов составных частей на работоспособность объекта. 5. Объект разделяется на элементы, у которых показатели надежности известны. 6. Составляется структурная схема надежности системы. 7. По структурной схеме надежности составляются расчетные зависимо- сти, по которым определяют величину показателей надежности объекта. Расчет надежности проводится в предположении, что объект и каждый его элемент могут находиться в одном из двух возможных состояниях – ра- ботоспособном и неработоспособном. Отказы элементов независимы друг от друга. Для расчета показателей надежности сложных объектов используют ме- тоды, связанные с перечислением элементарных событий (метод прямого пе- ребора, комбинаторный метод), топологические и структурно-логические ме- тоды (методы минимальных путей и минимальных сечений, разложения от- носительно особого элемента, методы с использованием графов состояний и деревьев отказов и др.), а также методы математического и статистического моделирования. Соединение элементов в структурных схемах надежности сводят к че- тырем основным видам: последовательному, параллельному, смешанному, произвольному. 2.2. Объекты с последовательным соединением элементов Последовательное соединение элементов в структурной схеме надеж- ности – это такое соединение, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всего объекта в целом. Такой тип соединения в теории надежности называют основным со- единением. Последовательная модель надежности представляет собой схему, со- стоящую из двух и более элементов, соединенных последовательно (рису- нок 4). Элементы имеют вероятность безотказной работы соответственно P 1 (t), P 2 (t),…,P n (t). P 1 (t) P 2 (t) P n (t) … … y Рисунок 4 Условием работоспособности последовательной схемы является рабо- тоспособность всех элементов ее составляющих. Вероятность безотказной работы объекта с последовательным соеди- нением элементов равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных ее элементов: 𝑃 с (𝑡) = ∏ 𝑃 𝑖 (𝑡), 𝑛 𝑖=1 𝑄 с (𝑡) = 1 − ∏ 𝑃 𝑖 (𝑡) = 𝑛 𝑖=1 1 − ∏{1 − 𝑄 𝑖 (𝑡)} 𝑛 𝑖=1 , где 𝑃 𝑖 (𝑡), 𝑄 𝑖 (𝑡) – соответственно вероятность безотказной работы и ве- роятность отказа i-го элемента. Если объект состоит из одинаковых элементов, имеющих равные веро- ятности безотказной работы: 𝑃 с (𝑡) = 𝑃 𝑖 𝑛 (𝑡), 𝑄 с (𝑡) = 1 − 𝑃 𝑖 𝑛 (𝑡). Если элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и их вероят- ности безотказной работы подчиняются экспоненциальному закону можно за- писать выражения вероятности безотказной работы через интенсивность отка- зов: 𝑃 с (𝑡) = ∏ 𝑒 − ∫ 𝜆 𝑖 (𝑡) 𝑡 0 𝑑𝑡 = 𝑛 𝑖=1 𝑒 − ∑ ∫ 𝜆 𝑖 (𝑡) 𝑡 0 𝑑𝑡 𝑛 𝑖=1 = 𝑒 − ∫ ∑ 𝜆 𝑖 (𝑡) 𝑛 𝑖=1 𝑡 0 𝑑𝑡 Отсюда, интенсивность отказов последовательной схемы соединения элементов равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов: с (𝑡) = ∑ 𝜆 𝑖 (𝑡). 𝑛 𝑖=1 1 2 n Если элементы имеют одинаковую надежность, то с (𝑡) = 𝑛𝜆 𝑖 (𝑡). Следова- тельно, надежность системы с последовательной структурой снижается с увели- чением числа элементов. Для увеличения надежности необходимо уменьшать количество элементов, снижать интенсивность отказов элементов или увели- чивать среднюю наработку до отказа. Для периода нормальной эксплуатации наработка до отказа последова- тельной структуры: 𝑇 𝑜 = 1 с = (∑ 𝜆 𝑖 (𝑡) 𝑛 𝑖=1 ) −1 Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы: - вероятность безотказной работы будет тем ниже, чем большее число элементов составляют последовательное соединение; - вероятность безотказной работы последовательного соединения всегда ниже, чем вероятность безотказной работы самого ненадежного элемента со- единения (хуже худшего). 2.3. Объекты с параллельным соединением элементов Параллельным соединением элементов в структурной схеме надежности называется такое соединение, при котором объект отказывает только при отказе всех элементов его составляющих (рисунок 5). Условием работоспособности объекта с параллельным соединением эле- ментов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один эле- мент был в работоспособном состоянии. P 1 (t) P 2 (t) ………. P n (t) Рисунок 5 Параллельная модель надежности отображает систему, состоящую из двух и более элементов, соединенных параллельно. На рисунке 5 обозначения P 1 (t), P 2 (t),…,P n (t) имеют тот же смысл, что и в последовательной модели надежно- сти. Если отказы элементов независимы друг от друга, то вероятность отказа объекта равна произведению вероятностей отказа его элементов: 1 2 n 𝑄 с (𝑡) = ∏ 𝑄 𝑖 (𝑡) 𝑛 𝑖=1 = ∏[1 − 𝑃 𝑖 (𝑡)], 𝑛 𝑖=1 а вероятность безотказной работы: 𝑃 с (𝑡) = 1 − 𝑄 с (𝑡) = 1 − ∏ 𝑄 𝑖 (𝑡) = 𝑛 𝑖=1 1 − ∏[1 − 𝑃 𝑖 (𝑡)]. 𝑛 𝑖=1 Если все элементы объекта имеют одинаковую надежность, то 𝑄 с (𝑡) = 𝑄 𝑖 𝑛 (𝑡) = [1 − 𝑃 𝑖 (𝑡)] 𝑛 , 𝑃 с (𝑡) = 1 − 𝑄 𝑖 𝑛 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃 𝑖 (𝑡)] 𝑛 При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной ра- боты через интенсивность отказов можно записать: 𝑃 с (𝑡) = 1 − ∏ (1 − 𝑒 − ∫ 𝜆(𝑡) 𝑡 0 𝑑𝑡 ) 𝑛 𝑖=1 Если все элементы имеют одинаковую надежность, то: 𝑃(𝑡) = 1 − (1 − 𝑒 − ∫ 𝜆(𝑡) 𝑡 0 𝑑𝑡 ) 𝑛 При λ = const последнее выражение принимает вид: 𝑃(𝑡) = 1 − (1 − 𝑒 −𝜆𝑡 ) 𝑛 Среднее время наработки параллельной структуры до отказа равно: 𝑇 𝑜 = ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 ∞ 0 = ∫ {1 − (1 − 𝑒 −𝜆𝑡 ) 𝑛 }𝑑𝑡. ∞ 0 После интегрирования последнего выражения получим: 𝑇 𝑜 = 1 𝜆 с (1 + 1 2 + ⋯ + 1 𝑛 ) = 1 𝜆 с ∑ 1 𝑖 𝑛 𝑖=1 Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы: - вероятность безотказной работы объекта с параллельным соединением элементов повышается с увеличением числа элементов; - вероятность безотказной работы параллельного соединения всегда вы- ше, чем вероятность безотказной работы самого надежного элемента соеди- нения (лучше лучшего). - наработка объекта до отказа с параллельным соединением элементов больше наработки на отказ его элементов. 2.4. Объекты со смешанным соединением элементов В структурных схемах надежности объекта со смешанным соединением элементов присутствуют одновременно последовательные и параллельные схе- мы надежности (рисунок 6). P k (t) P l (t) P m (t) Рисунок 6 Для расчета надежности объекта применяют метод «свертки». Метод свертки состоит из нескольких этапов: - на первом этапе рассматриваются все параллельные соединения, которые заменяются эквивалентными элементами с соответствующими показателями надежности; - на втором этапе рассматриваются все последовательные соединения, ко- торые заменяются эквивалентными элементами; - на третьем этапе вновь рассматриваются все параллельные соединения, которые заменяются эквивалентными элементами; - преобразования продолжаются до тех пор, пока исходная структурная схема надежности не будет преобразована к схеме последовательного соедине- ния элементов. Так, оценку безотказности системы, представленной на рисунке мож- но выполнить следующим образом: 𝑃 𝑘 (𝑡) = 𝑃 1 (𝑡)𝑃 2 (𝑡), 𝑃 𝑙 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃 3 (𝑡)][1 − 𝑃 4 (𝑡)], 𝑃 𝑚 (𝑡) = 1 − [1 − 𝑃 5 (𝑡)𝑃 6 (𝑡)][1 − 𝑃 7 (𝑡)𝑃 8 (𝑡)]. В итоге структурная схема надежности будет преобразована к последо- вательному соединению (рисунок 7): P k (t) P l (t) P m (t) … Рисунок 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Тогда 𝑃 с (𝑡) = 𝑃 𝑘 (𝑡)𝑃 𝑙 (𝑡)𝑃 𝑚 (𝑡). 2.5. Объекты с произвольным соединением элементов Одной наиболее часто встречаемой схемой объекта с произвольным со- единением элементов является мостиковая схема (рисунок 8). Рисунок 8 Показатели надежности такой схемы определяют: - логико-вероятностным методом; - методом минимальных путей и сечений; - эквивалентными структурными преобразованиями соединений «тре- угольник» в соединение «звезда»; - методом разложения структуры по «ключевым элементам». 2.5.1 Логико-вероятностный метод При использовании логико-вероятностного метода математическая мо- дель объекта составляется в терминах алгебры логики. В результате состав- ляется формализованная модель, которая определяет условие работоспособ- ности или отказа объекта – функцию работоспособности или неработоспо- собности. При ее составлении для каждого элемента рассматривают два несовместных состояния – работоспособного и неработоспособного. Для составления функции работоспособности (неработоспособности) составляют таблицу перебора всех состояний рассматриваемого объекта (таблица 2). Число рассматриваемых состояний объекта равно 2 n , где n – чис- ло элементов в составе объекта. В таблице применяют формализованное обо- значение работоспособного состояния элемента числом «1», неработоспо- собного состояния – «0». Таблица 2 № состояния Номер элемента Функция надежности 1 2 3 … n 1 0 0 0 … 0 Q 1 Q 2 Q 3 … Q n 2 0 0 0 … 1 Q 1 Q 2 Q 3 … Р n 3 0 0 0 … 0 Q 1 Q 2 Q 3 … Q n 4 0 0 0 … 1 Q 1 Q 2 Q 3 … Р n 5 0 0 0 … 0 Q 1 Q 2 Q 3 … Q n 6 0 0 0 … 1 Q 1 Q 2 Q 3 … Р n … … … … … … … 1 4 2 5 3 2 n 1 1 1 … 1 Р 1 Р 2 Р 3 … Р n В зависимости от решаемой задачи определения вероятности безотказ- ной работы или вероятности отказа из всей совокупности функций надежно- сти выбирают только те, которые удовлетворяют условиям поставленной за- дачи. Результирующая вероятность безотказной работы (вероятность отказа) равна сумме произведений выбранных функций безотказной работы (функ- ций отказа). Логико-вероятностный метод является универсальным, может приме- няться для любого типа соединения элементов в структурной схеме надежно- сти. Ограничение для метода – при увеличении числа элементов резко растет число рассматриваемых состояний объекта. Это создает известные трудности для анализа надежности объекта. 2.5.2 Методы минимальных путей и минимальных сечений Для сокращения объема преобразований при составлении логических функций на основании структурной схемы предварительно составляется ло- гическая схема объекта. Логические схемы составляются путем применения методов минимальных путей и минимальных сечений. Минимальным путем (кратчайшим путем успешного функционирования или минимальным проходным сочетанием) называется последовательный набор работоспособных элементов, который обеспечивает работоспособ- ность объекта, а отказ любого из них приводит к его отказу. Минимальных путей в объекте может быть один или несколько. Объект с последовательным соединением элементов имеет только один минимальный путь, включающий все его элементы. В объекте с параллельным соединением элементов число минимальных путей равно числу элементов и каждый минимальный путь включает в себя один из элементов. Метод минимальных путей дает оценку нижней границы надежности объекта. Для расчета верхней оценки вероятности безотказной работы объекта используют метод минимальных сечений (разрезов). Минимальным сечением называется последовательный набор элементов, отказ которых приводит к отказу объекта, а восстановление работоспособности любого из них – к вос- становлению работоспособности объекта. Минимальных сечений в объекте может быть один или несколько. Объ- ект с параллельным соединением элементом имеет только одно минимальное сечение, включающее все его элементы. В объекте с последовательным со- единением элементов число минимальных сечений совпадает с числом эле- ментов, и каждое минимальное сечение включает один из них. Так, для рассматриваемой мостиковой схемы соединения элементов структурные схемы надежности метода минимальных путей и минимальных сечений имеют следующий вид, который представлен на рисунке 9. а) метод минимальных б) метод минимальных путей сечений Рисунок 9 2.5.3 Метод преобразования соединения «треугольник» в соединение «звезда» Мостиковую схему соединения элементов можно рассматривать как со- единение двух треугольников, имеющих один общий элемент под номером 3. Рисунок 10 Метод состоит в преобразовании исходной схемы в схему смешанного соединения элементов, для которой можно применить метод «свертки» (ри- сунок 10). Предполагаются известными вероятности безотказной работы каждого элемента. Для преобразованной схемы необходимо вычислить веро- ятности безотказной работы Р х , Р y , Р z Так как вероятности безотказной работы элементов близки к единице, для вывода уравнений преобразований используют вероятности появления отказов Q(t) элементов. Тогда система уравнений, устанавливающая взаимо- связь между показателями надежности исходной схемы и преобразованной имеет вид: Q x + Q y Q z – Q x Q y Q z = Q 1 Q 2 Q y + Q x Q z – Q x Q y Q z = Q 1 Q 3 Q z + Q x Q y – Q x Q y Q z = Q 2 Q 3 4 1 2 1 2 3 3 4 5 5 4 1 2 4 5 1 3 5 2 3 1 4 2 5 3 P y 4 P z 5 P x Считая, что вероятности отказов элементов малы, пренебрежем произ- ведениями вероятностей отказов. В результате получим приближенные урав- нения перехода от схемы «треугольник» к схеме «звезда»: Q x Q 1 Q 2 P x = 1 – Q x Q y Q 1 Q 3 P y = 1 – Q y Q z Q 2 Q 3 P z = 1 – Q z Зная величины вероятностей отказов, можем определить величину ис- комых вероятностей безотказной работы элементов преобразованной схемы: P x , P y , P z 2.5.4 Метод разложения структуры по «ключевым элементам» Сущность метода заключается в замене исходной структуры двумя бо- лее простыми, такими, что сумма вероятностей работоспособных состояний этих структур равна вероятности работоспособного состояния исходной структуры. а) б) в) Рисунок 11 Задача определения надежности объекта решается в три этапа. 1. В качестве ключевого элемента выбирается элемент, который имеет наибольшее число соединений с другими элементами объекта. В нашем слу- чае это элемент под номером 3. 2. Считаем, что элемент 3 является абсолютно надежным. Тогда вместо элемента 3 можно поставить жесткую связь и схема преобразуется к виду б), но к ней необходимо присоединить последовательно элемент 3, так как необ- ходимо учесть вероятность его работоспособного состояния. Применяя метод «свертки», определяем вероятность безотказной работы схемы – Р б 3. Считаем, что элемент 3 находиться в состоянии отказа. Тогда на схеме его положение следует обозначить обрывом цепи. К полученной схеме до- бавляем элемент с вероятностью отказа ключевого элемента. В результате получим схему в). Применяя метод «свертки», определяем вероятность без- отказной работы схемы – Р в 4. Определяем вероятность безотказной работы объекта P(t) = P б (t) + P в (t) 3 1 4 2 5 1 4 3 2 5 3 2 5 4 1 |