Метод деления попалам. Лекция 3 Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений

• Название: Лекция 3 Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений
• Анкор: Метод деления попалам
• Дата: 07.09.2022
• Размер: 48.14 Kb.
• Имя файла: Metod_delenia_popolam_lektsia.docx
• Тип: Лекция; #665353

Лекция 3

«Метод половинного деления решения алгебраических и трансцендентных уравнений»

1. 
   Постановка задачи решения уравнений
   

Решение уравнений – одна из древнейших математических проблем. Не счесть приложений математики, в которых решение уравнений является необходимым элементом решения задачи.

Примеры уравнений, позволяющих получат аналитические решения, хорошо известны из школьной математики. Тем не менее, подавляющее большинство уравнений, встречающихся в приложениях, не могут быть решены аналитически. Тогда применяются численные методы решения уравнений, которые являются более мощными.

Часто аналитические методы решения уравнений называют «точными», а численные – «приближенными». Действительно, численные методы практически всегда дают приближенный результат, но если необходимо довести решение «до числа», то часто и аналитические методы в реальности позволяют получить лишь приближенный результат.

Пусть имеется уравнение вида

f(x)=0 , (2.1)

где f(x) - алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить такое уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней (с указанной точностью). Ограничимся обсуждением методов поиска лишь действительных корней, не затрагивая проблему корней комплексных.

2. 
   Отделение корней алгебраических и трансцендентных уравнений
   

Решение указанной задачи начинается с отделения корней, т.е. с установления:

• 
  количества корней;
  
• 
  наиболее «тесных» промежутков, каждый из которых содержит только один корень.
  

Следует отметить, что универсальных приемов решения этой задачи, пригодных для любых уравнений, не существует.

Если бы мы располагали графиком функции f(x), то примерное положение корней уравнения (2.1) было бы очевидным – точки пересечения графика с осью абсцисс. Однако построение графиков функций обычно и начинается с поиска ее нулей, т.е. возникает замкнутый круг.

Тем не менее, отделение корней во многих случаях можно произвести графически.

Упростим задачу, заменив уравнение (2.1) равносильным ему уравнением
f₁(x)=f₂(x). (2.2)
В этом случае строятся графики функций f₁(x) и f₂(x), а потом на оси х отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения этих графиков.

При решении задачи об отделении корней бывают полезными следующие очевидные положения:

1. 
   Если непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) принимает на его концах значения разных знаков (т.е. f(a)^.f(b)<0), то уравнение (2.1) имеет на этом отрезке, по меньшей мере, один корень.
   
2. 
   Если функция f(x) к тому же еще и монотонна, то корень на отрезке [a;b] единственный.
   

Пример: Для графического отделения корней уравнения преобразуем его к равносильному уравнению и отдельно построим графики функций .



Из графика вполне очевидно, что уравнение имеет единственный корень ξ и этот корень находится на отрезке [1;1,5].

Вычислим для проверки значения функции на концах отрезка [1;1,5]: f(1)=0.909298; f(1,5)= -0,264344. Как видно, корень на отрезке [1;1,5] действительно имеется.
Рассмотренный прием позволяет при желании сузить отрезок, полученный графическим способом.

Так, в нашем примере, имеем f(1,3)=0,253138>0, так что отрезком, на котором находится корень, можно считать[1,3;1,5].
Для уточнения корней можно пользоваться различными методами. Рассмотрим некоторые из них.

3. 
   Метод половинного деления
   

Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [a;b] единственный корень, причем функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [a;b] пополам точкой с=(a+b)/2. Если f(c)≠0(что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: f(x) меняет знак либо на отрезке [a;с] (рис 2.1), либо на отрезке [с;b] (рис 2.2).



Рис 2.1. – функция f(x) меняет знак на отрезке [a;c] Рис 2.2. – функция f(x) меняет знак на

отрезке [c;b]
Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере.

4. 
   Пример решения уравнений методом половинного деления
   

Пример: Найти корень уравнения на отрезке [1,3;1,5] с точностью до 10^-4.

Решение: Уравнение имеет единственный корень на отрезке [1,3;1,5] (см.лекцию 2).

Уточним корень уравнения:Найдем середину отрезка [1,3;1,5]: .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,4] и [1,4;1,5] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,4]:

2) [1,4;1,5]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,3;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Разделим отрезок [1,3;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,3;1,35] и [1,35;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,3;1,35]:

2) [1,35;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,35;1,4].

Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Снова разделим отрезок [1,35;1,4] пополам точкой .

Определим, на каком из полученных отрезков [1,35;1,375] и [1,375;1,4] функция меняет свой знак.

1) [1,35;1,375]:

2) [1,375;1,4]:

Значит, корень уравнения находится на отрезке [1,375;1,4].
Проверим, достигается ли заданная точность решения 10^-4:

, точность не достигнута.

Продолжая делить отрезок пополам и проверять знаки функции на новых промежутках, до тех пор, пока не будет достигнута нужная точность решения (сделайте самостоятельно), получим:

Решение уравнения с точностью 10^-4: х=1,3994.