Лекция 4 Определитель матрицы
 Скачать 337 Kb.
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА α Лекция 4 «Определитель матрицы» Содержание лекции: Исторически матрицы появились как инструмент для решения систем линейных ал- гебраических уравнений. С их помощью можно определить условия существования решения СЛАУ, но также и найти само решение. Для этого нам будет необходимо ввести еще одну характеристику квадратных матриц - определитель. В лекции бу- дут рассмотрены частные случае определителей матриц 2-го и 3-го порядка, чтобы на них понять основные принципы нахождения определителей. После чего появится возможность обобщить это понятие на определитель матрицы произвольного поряд- ка. Вместе с тем будут рассмотрены свойства определителей, основанные в первую очередь на теории перестановок. Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, матрица коэффициентов, определи- тель 2-го порядка, определитель 3-го порядка, правило треугольника, перестановка множества, число инверсий, четность перестановки, транспозиция, определитель n-го порядка, общее правило знаков, определитель транспонированной матрицы, свойство линейности Авторы курса: Свинцов М.В. Ссылка на ресурсы: mathdep.ifmo.ru/geolin ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 4.1 Начальные сведения В прошлой лекции внимание было приковано в основном к методам работы с матри- цами, однако практически ничего не было сказано про то, откуда и для каких задач они могут использоваться. Необходимо восполнить этот пробел. Для этого сначала рассмотрим несколько частных случаев систем линейных алгебраических уравнений. 4.1.1 Определитель 2-го порядка Рассмотрим в общем виде систему из двух линейных уравнений с двумя неизвест- ными. ( a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Попробуем найти решение этой системы. Для этого умножим обе части первого ра- венства на b 2 , второго на b 1 и вычтем одно из другого. (a 1 b 2 − a 2 b 1 )x = c 1 b 2 − c 2 b 1 Теперь первое равенство умножим на −a 2 , второе на a 1 и сложим. (a 1 b 2 − a 2 b 1 )y = a 1 c 2 − a 2 c 1 Предположим, что a 1 b 2 − a 2 b 1 ̸= 0. Тогда x = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 y = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 Сделав некоторое предположение о коэффициентах системы, мы смогли найти ре- шение. Если это предположение не выполняется, то пока что мы останавливаем на этом процесс нахождения решения системы, однако вернемся к нему в следующих разделах. Можно обратить внимание, что знаменатели решений одинаковые, а числители, хоть и отличаются, имеют ту же самую структуру. Здесь и появляются такие объекты как матрицы. И ведь действительно, мы можем ту же самую систему представить в несколько ином виде: a 1 b 1 a 2 b 2 x y = c 1 c 2 Умножив матрицу коэффициентов системы на матричный столбец неизвестных, мы получим равенство двух матриц, которое выполняется тогда и только тогда, когда равны соответствующие элементы - тем самым возвращаясь к исходной системе. a 1 x + b 1 y a 2 x + b 2 y = c 1 c 2 Таким соответствием между матричным уравнением и СЛАУ мы будем пользоватся не раз. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Выражение a 1 b 2 − a 2 b 1 и матрица коэффициентов очевидно связаны. Это выраже- ние называют определителем матрицы 2-го порядка и обозначается следующим образом: det A = det a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 b 1 a 2 b 2 = a 1 b 2 − a 2 b 1 Определитель позволяет компактным способом представить найденное решение си- стемы. x = c 1 b 1 c 2 b 2 a 1 b 1 a 2 b 2 y = a 1 c 1 a 2 c 2 a 1 b 1 a 2 b 2 Nota bene Можно заметить, что числитель каждого неизвестного получается заме- ной одного из столбцов матрицы коэффициентов на матричный столбец свободных членов. 4.1.2 Определитель 3-го порядка Очевидно, что введение еще одного объекта, который работал бы только для систем из двух уравнений с двумя неизвестными, было бы излишним, если бы его невозмож- но было обобщить. Посмотрим на систему, состоящую из трех уравнений и теперь уже с тремя неизвестными. a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Здесь мы также можем выделить матрицу системы. Обозначим ее для дальнейших рассуждений как матрицу A. A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Тогда систему можно представить как матричное уравнение по аналогии с предыду- щим примером. a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 x y z = d 1 d 2 d 3 Аналогичным методом попытаемся найти решение в предположении, что оно суще- ствует. Для этого исключим y и z, умножив первое уравнение на b 2 c 3 − b 3 c 2 , второе на b 3 c 1 − b 1 c3 и третье - на b 1 c 2 − b 2 c 1 , после этого сложив уравнения. При этом ко- эффициенты при y и z обнулятся, чего мы и добивались. Уравнение по своей структуре станет похоже на то, что мы получали для x в преды- дущем примере - линейное уравнение, в котором множитель перед x составлен толь- ко из элементов матрицы коэффициентов, а правая часть - аналогичным образом, ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ только заменой всех коэффициентов a i исходной системы на d i (a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b 3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 )x = = d 1 b 2 c 3 − d 1 b 3 c 2 + d 2 b 3 c 1 − d 2 b 1 c 3 + d 3 b 1 c 2 − d 3 b 2 c 1 Как множитель перед x, так и правую часть можно представить как численную ха- рактеристику некой матрицы. Это выражение называют определителем матрицы 3-го порядка. det A = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = a 1 b 2 c 3 − a 1 b 3 c 2 + a 2 b 3 c 1 − a 2 b 1 c 3 + a 3 b 1 c 2 − a 3 b 2 c 1 В этих обозначениях можно выразить решение системы. Например для x x = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Можно также вновь заметить, что решение точно будет существовать, если опреде- литель матрицы коэффициентов отличен от нуля. 4.1.3 Общее определение: первая попытка В данных примерах были показаны определители матриц 2-го и 3-го порядка. Что же они из себя представляют? Оба эти выражения представляют собой алгебра- ические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения со- ставляются по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Иными словами в каждой группе множителей не повторяются индекс строки и "ин- декс" столбца (обозначение буквой a,b или c). Более того можно заметить, что в сумму входят все возможные такие произведения. Также произведения входят со знаком + или −. Причем правило выбора знаков можно отразить графически следующим образом. Рис. 4.1: Правило треугольников ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ В определитель 3-го порядка входят со знаком "+" такие произведения, что они либо лежат на главной диагонали, либо образуют треугольник, основание которого параллельно главной диагонали. Но также и со знаком "−"входят произведения эле- ментов, лежащих на побочной диагонали, или образующих треугольник, у которого основание параллельно побочной диагонали. Аналогичное правило действует и для определителя 2-го порядка - он равен произведению элементов главной диагонали, из которого вычитается произведение элементов побочной диагонали. Естественно предположить, что понятие определителя можно обобщить до квадрат- ной матрицы любого порядка. Определителем квадратной матрицы порядка n называется алгебраическая сум- ма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных знаками + или − по определенному пра- вилу. a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n · · · · · · · · · · · · a n1 a n2 · · · a nn = X ±a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n , где индексы α 1 , α 2 , . . . , α n в каждом слагаемом приобретают различные значения из набора чисел 1, 2, . . . , n. Осталось выяснить, в чем заключается это правило выбора знаков. Как мы виде- ли в примерах, знак каким-то интересным образом определяется порядком индексов строк и столбцов. В том определении, которое мы ввели, индексы строк упорядоче- ны для удобства, а индексы столбцов перемешаны так, чтобы они не повторялись в множителях. Для определения знака нам нужно каким-то образом посмотреть на набор индексов столбцов и по нему делать вывод о знаке. И более того, можно вы- сказать предположение, что это правило выбора должно делить все слагаемые (а значит и наборы индексов столбцов) на те, что имеют знак "плюс" и те, что имеют знак "минус". Ответы на эти вопросы дает теория перестановок. 4.1.4 Элементарные сведения теории перестановок Пусть задано множество из n элементов. Для простоты сразу будем предполагать, что элементы множества - натуральные числа. Нам необходимо говорить о выборках без повторения из этого множества с учетом их порядка. Перестановками множества называются упорядоченные наборы, состоящие из всех элементов этого множества, отличающихся порядком следования. Сколько таких упорядоченных наборов можно построить? ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Пример 4.1. Пусть M = {1, 2, 3}. Рассмотрим все возможные упорядоченные наборы элементов этого множества. (1, 2, 3) (1, 3, 2) (2, 1, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) Теорема 4.1. Число всех перестановок n элементов равно n! = 1 · 2 · . . . · n. ▶ В качестве первого элемента перестановки можно взять любой из n элементов. Один из оставшихся n − 1 элементов можно поставить на второе место. Соответственно на третье место может быть выбран один из n − 2 элементов и так далее. Итого количе- ство всех возможных наборов будет определяться произведением n! = n(n−1)·. . .·2·1. ◀ Наша задача состоит в том, чтобы разбить все n! перестановок на два класса, по которым будет определяться знак слагаемого в определителе. Пусть (α 1 , α 2 , . . . , α n ) - некоторая перестановка натуральных чисел. Скажем, что пара (α i , α j ), i < j образует инверсию, если α i > α j . Число всех пар элементов пе- рестановки, образующих инверсию, называется числом инверсий в перестановке и обозначается N (α 1 , α 2 , . . . , α n ). Пример 4.2. Пусть дана перестановка (3, 2, 1, 4). В ней только три инверсии - (3, 2), (3, 1) и (2, 1). Следовательно число инверсий N (3, 2, 1, 4) этой перестановки равно 3. Перестановки, содержащие четное число инверсий, называются четными, содер- жащие нечетное число инверсий - нечетными. Одна перестановка от другой может отличаться местами только двух элементов. В таком случае говорят о транспозиции. Транспозицией называется взаимно однозначное соответствие множества на се- бя, при котором n − 2 элемента остаются на местах, а остальные два элемента переставляет местами. Пример 4.3. Перестановка (3, 4, 1, 2) может быть получена из перестановки (3, 2, 1, 4) из Пример 4.2 с помощью транспозиции (4, 2), т.е. такого соответствия, которое поменяло бы местами эти два элемента. Следующая теорема выглядит очень занимательной, потому что утверждение не со- всем очевидно с первого взгляда. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Теорема 4.2. Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Она выпол- няется с помощью нечетного числа транспозиций соседних элементов. ▶ Пусть дана перестановка (. . . , x, α 1 , α 2 , . . . , α s , y, . . .) Рассмотрим транспозицию, меняющую местами элементы x и y при помощи после- довательных транспозиций соседних элементов. Для этого необходимо переставлять элемент x с каждым своим правым соседом до тех пор, пока он не окажется правее y. Количество таких транспозиций соседних элементов будет равно s + 1. (. . . , α 1 , α 2 , . . . , α s , y, x, . . .) Теперь необходимо поставить элемент y на то место, где раньше был x. Поступаем аналогичным образом - меняем местами y с каждым своим левым соседом ровно s раз, пока он не придет на нужное место. (. . . , y, α 1 , α 2 , . . . , α s , x, . . .) Общая сумма транспозиций соседних элементов равна 2s + 1, что является нечетным числом. ◀ Теорема 4.3. При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на одну единицу. ▶ Рассмотрим перестановки (. . . , a, b, c, d, . . .) (. . . , a, c, b, d, . . .) Общее число инверсий в каждой перестановке складывается из 1. числа инверсий в парах, не содержащих элементы b, c, 2. числа инверсий в парах, которые содержат один из b или c, 3. числа инверсий самой пары b, c. Очевидно, что число инверсий пары b, c равно либо 0, либо 1. Первое слагаемое не зависит от переставляемых элементов, поэтому одинаково и для первой, и для второй перестановки. Аналогично и второе слагаемое тоже одинаково, т.к. b и c расположе- ны одинаково относительно остальных элементов. Следовательно, изменение числа инверсий зависит только от взаимного расположе- ния элементов b и c. Если они в первой перестановке образуют инверсию, то после транспозиции этой инверсии уже нет - число инверсий уменьшится на 1. И наоборот, если в первой перестановке элементы были в порядке возрастания, то после транс- позиции они образуют инверсию - число инверсий увеличится н 1. ◀ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Следствия теорем Очевидные следствия теорем: 1. Если в перестановке сделать транспозицию соседних элементов, то чет- ность перестановки изменится на противоположную, т.к. происходит увеличе- ние/уменьшение только на единицу. 2. Любая транспозиция изменяет четность перестановки на противоположную. Это справедливо в силу того, что любая транспозиция производится с помощью нечетного числа транспозиций соседних элементов (доказано выше). Следующие утверждения требуют доказательств, но в нашем курсе ограничимся только их формулировками. 1. Число четных перестановок n элементов равно числу нечетных перестановок. 2. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций. Что мы получили в итоге? Полное количество перестановок множества из n элемен- тов равно n!. Все перестановки можно разбить на два равных класса по признаку четности перестановки. А также несколько других утверждений, которые помогут в доказательстве свойств определителя, но уже сейчас мы можем перейти к полному определению. 4.2 Определитель n-го порядка 4.2.1 Общее определение: полная формулировка Ранее уже было дана незавершенная формулировка определителя. В ней отсутство- вало строгое правило выбора знака, но было сказано, что оно должно быть связано с разбиением всех слагаемых на два класса. И в предыдущей подтеме такое разбие- ние было получение - разбиение на четные и нечетные перестановки. Теперь можно сформулировать полное определение. Определителем квадратной матрицы порядка n называется алгебраическая сум- ма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Если множители в каждом слагаемом записать в поряд- ке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки. Слагаемые, соответствющие четным перестановкам берутся со знаком +, нечетным - знак −. a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n · · · · · · · · · · · · a n1 a n2 · · · a nn = X (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n ) a 1α 1 a 2α 2 . . . a nα n , где (α 1 , α 2 , . . . , α n ) пробегает все возможные перестановки чисел 1, 2, . . . , n. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ 4.2.2 Свойства определителя Общее правило знаков Пусть дан определитель a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n · · · · · · · · · · · · a n1 a n2 · · · a nn Какой знак будет иметь слагаемое a α 1 β 1 a α 2 β 2 . . . a α n β n , где (α 1 , α 2 , . . . , α n ) и (β 1 , β 2 , . . . , β n ) - перестановки чисел 1, 2, . . . , n? Чтобы выяснить это, обратим внимание на тот факт, что при перемене местами двух множителей, происходит транспозиция в обеих перестановках. Также вспомним, что транспозиция всегда изменяет число инверсий на нечетное число, поэтому суммар- ное число инверсий в двух перестановках изменяется на четное число. Предположим, что знак каждого слагаемого определяется следующим выражением (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n )+N (β 1 ,β 2 ,...,β n ) . Тогда поменяем все множители местами так, что индек- сы строк будут возрастать. Число инверсий индексов строк изменится на некоторое нечетное 2s + 1, а индексов строк - на 2t + 1. Как можно заметить, суммарное число перестановок изменяется на четное число, а следовательно знак не изменится. (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n )+N (β 1 ,β 2 ,...,β n ) = (−1) N (1,2,...,n)+(2s+1)+N (γ 1 ,γ 2 ,...,γ n )+(2t+1) = (−1) N (γ 1 ,γ 2 ,...,γ n ) В последнем переходе мы также учли, что число перестановок в строго возрастающей последовательности равно 0, а также, что четное слагаемое в степени −1 не влияет на знак. Полученное в правой части выражение является определением знака в полной формулировке, а значит предположение было верным. Определитель транспонированной матрицы Можно утверждать, что определитель не меняется при транспонировании матрицы. det A = det A T Утверждение следует напрямую из предыдущего свойства. Брать произведения эле- ментов по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца - то же самое, что делать это по отношению к транспонированной матрице. И в том, и в другом случае знак перед слагаемым будет определяться как (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n )+N (β 1 ,β 2 ,...,β n ) Только в одном случае (α 1 , α 2 , . . . , α n ) - перестановки индексов строк, а (β 1 , β 2 , . . . , β n ) - перестановки индексов столбцов, а в случае транспонированной матрицы наоборот. Сами же множители, естественно, остаются теми, какими и были. Nota bene В определителе строки и столбцы равноправны. Все дальнейшие свой- ства, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Линейность по строкам К свойствам линейности обычно относят свойства связанные с суммой некоторых объектов и умножением их на число. Рассмотрим эти свойства. Если элементы какой-либо строки представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы строки равны первым слагаемым, а во втором - вторым. det A = a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · b i1 + c i1 · · · b in + c in · · · · · · · · · a n1 · · · a nn = a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · b i1 · · · b in · · · · · · · · · a n1 · · · a nn + a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · c i1 · · · c in · · · · · · · · · a n1 · · · a nn = det A b + det A c Легко показать, что это действительно так. В каждом слагаемом будет присутство- вать элемент, представленный суммой, а это значит, что всю сумму можно разбить на две. Эти суммы, в свою очередь, равны определителям матриц, у которых строка представлена одними или другими слагаемыми. det A = X (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n ) a 1α 1 . . . (b iα i + c iα i ) . . . a nα n = = X (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n ) a 1α 1 . . . b iα i . . . a nα n + X (−1) N (α 1 ,α 2 ,...,α n ) a 1α 1 . . . c iα i . . . a nα n = = det A b + det A c Следующее свойство связано с умножением строки на некоторое число. Если все элементы какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот общий множитель можно вынести за знак определителя. a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · λa i1 · · · λa in · · · · · · · · · a n1 · · · a nn = λ a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · a i1 · · · a in · · · · · · · · · a n1 · · · a nn Доказательство производится аналогично сложению. Определитель с одинаковыми строками Пусть дан определитель с двумя одинаковыми строками: a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · a i1 · · · a in · · · · · · · · · a k1 · · · a kn · · · · · · · · · a n1 · · · a nn = X (−1) N (α 1 ,...,α n ) a 1α 1 . . . a iα i . . . a kα l . . . a nα n ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Разобьем эту сумму на две, соответствующим четным и нечетным перестановкам. = X even a 1α 1 . . . a iα i . . . a kα l . . . a nα n − X odd a 1α 1 . . . a iα i . . . a kα l . . . a nα n Если во всех нечетных перестановках сделать одну транспозицию (α i , α l ), то переста- новки станут четными. Тогда получится, что в каждой сумме будут присутствовать одни и те же слагаемые, но только с разными знаками (в силу того, что элементы с этими индексами равны). Следовательно общая сумма будет равна нулю. Кратко это можно записать так: · · · · · · · · · I · · · · · · · · · I · · · · · · · · · = 0, где через I обозначена некоторая строка. Перестановка строк Рассмотрим очевидно равный нулю определитель, в котором равны две строки. Пусть каждая из них представлена в виде некоторых сумм, как было в свойстве линейности. Согласно этому свойству, можно разложить определить сначала на два определите- ля, воспользовавшись им для одной строки, а затем каждый из них разложить по второй строке. 0 = · · · I + II · · · I + II · · · = · · · I · · · I · · · + · · · I · · · II · · · + · · · II · · · I · · · + · · · II · · · II · · · Первый и последний определители равны нулю. Соответственно второй и третий обязательно должны иметь разный знак. · · · I · · · II · · · = − · · · II · · · I · · · Пропорциональные строки Если две строки пропорциональны с некоторым коэффициентом λ, этот общий ко- эффициент пропорциональности элементов строки можно вынести за знак определи- теля. Но в таком случае остается определитель с равными строками, который равен нулю. · · · · · · · · · · · · a i1 a i2 · · · a in · · · · · · · · · · · · λa i1 λa i2 · · · λa in · · · · · · · · · · · · = λ · · · · · · · · · · · · a i1 a i2 · · · a in · · · · · · · · · · · · a i1 a i2 · · · a in · · · · · · · · · · · · = 0 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Nota bene Добавление к какой-либо строке чисел, пропорциональных другой стро- ке, не меняет определитель. Показать это легко с помощью разложения определителя в сумму - один из опреде- лителей будет содержать пропорциональные строки. · · · · · · · · · I + λII · · · · · · · · · II · · · · · · · · · = · · · · · · · · · I · · · · · · · · · II · · · · · · · · · + λ · · · · · · · · · II · · · · · · · · · II · · · · · · · · · = · · · · · · · · · I · · · · · · · · · II · · · · · · · · · О пользе свойств Может показаться, что эти свойства - очередные теоретические выкладки, которые полезно бы знать, но что с ними делать еще? Однако нет. Свойства определителя, а в особенности последнее позволяет несколько упростить вычисление определителей. Рассмотрим, например, вычисление определителя 3-го порядка. Да, для него извест- на формула, которая сама по себе не является сложной, но тяжело запоминаемой - по крайней мере с первой лекции про определители. Свойства, в свою очередь, более интуитивно понятны. Пример 4.4. Найти значение определителя det A = 1 −2 4 3 1 5 −5 −4 −6 Базовое правило при вычислении определителей любым способом - чем больше ну- лей, тем лучше. Как можно получить нули? Сложением и вычитанием строк, умно- женных на какие-то коэффициенты. И это крайне приятно делать, если где-то в матрице есть 1, потому что с помощью нее занулять становится очень простой зада- чей. Шаг первый. Заметим, что на пересечении первой строки и первого столбца как раз стоит 1. За- цепимся за нее. Шаг второй. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3. Как было сказано, данное пре- образование не изменяет определитель. det A = 1 −2 4 0 7 −7 −5 −4 −6 Шаг третий. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Прибавим к третьей строке также первую, но умноженную уже на 5: det A = 1 −2 4 0 7 −7 0 −14 14 Здесь можно заметить массу всего интересного. Например, что наличие только од- ного ненулевого элемента значительно сокращает вычисления - ведь тогда во всей сумме, с помощью которой вычисляет определитель, значительное число слагаемых станет равным 0. Ненулевыми останутся только слагаемые, в которых присутствует a 11 = 1. Можно пойти этим путем, но можно заметить, что 2 и 3 строки пропорци- ональны друг другу с коэффициентом −2. По свойству пропорциональных строк в определителе делаем вывод, что он равен нулю. Заключение В данной лекции, с одной стороны, основываясь на практической мотивации исполь- зования матриц, с другой стороны, опираясь на теорию перестановок, было получено общее представление об определителях матриц n-го порядка. Из частного в общее было выведено правило составления самой алгебраической суммы, а также был обос- нован выбор знака каждого слагаемого. Такой подход не является единственно вер- ным, и в дальнейшей части курса мы еще раз вернемся к определителям на новом витке, докажем еще несколько свойств и узнаем какие еще смыслы в себе таит эта необычная структура. На текущий момент нам будет достаточно этих определений, чтобы перейти к еще более простому способу вычисления определителей и сполна насладиться их удобством в решении систем линейных алгебраических уравнений. Список литературы 1. Д.К.Фаддеев. Лекции по алгебре. Глава 4, п.2. Основной источник для теории 2. И.В.Белоусов. Матрицы и определители. Глава 4. Есть примеры и даже геометрические аналогии 3. З.И.Боревич. Определители и матрицы В некоторых местах более подробно расписываются доказательства свойств определителей, но во многом изложение схоже с данной лекцией |