Ответы на экзамен по Линейной алгебре. ответы на экзамен по Линейной Алгебре. 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц

• Название: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц
• Анкор: Ответы на экзамен по Линейной алгебре
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 2.37 Mb.
• Имя файла: ответы на экзамен по Линейной Алгебре.doc
• Тип: Решение; #898154
• страница: 1 из 10

1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

О пределение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Матрицы широко применяются для описания экономических объектов и процессов. Элементами матрицы могут быть числа, буквы (символы) и другие объекты.

Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами A, B, C, …, элементы матрицы – строчными буквами с двойной индексацией a_ij, где i - номер строки, j - номер столбца:

Виды матриц:

1) Матрица-строка: ;

2) Матрица-столбец: ; 3) Нулевая матрица: ;

4) Квадратная матрица – если (например n = 2): ;

5) Диагональная матрица (напр. 3-го порядка, где любые числа ): ;

6) Единичная матрица (например, 3-го порядка)

Операции над матрицами

1. 
   Умножение матрицы на число.
   

Произведением матрицы A на число называется матрица ,элементы которой для

Пример. Вычислить , если . Р е ш е н и е: .

Если , то (нулевая матрица того же размера).

2. 
   Сложение матриц.
   

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица , элементы которой для

Пример. Вычислить С = А + В, если . Р е ш е н и е: .

3. 
   Вычитание матриц.
   

Разность матриц одинакового размера определяется как .

4. 
   Умножение матриц.
   

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (условие согласованности). Тогда произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы :

, где

Пример. Вычислить произведение матриц , где , .

Р е ш е н и е.

Найдем размер матрицы произведения , следовательно, умножение возможно.

= .

Свойства операций сложения и умножения матриц

1. 
   . 5) .
   
2. 
   . 6) .
   
3. 
   . 7) .
   
4. 
   .
   

8) (в общем случае). Кроме того, если существует, то может вообще не существовать.

9) , где - единичная квадратная матрица.

10) Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т.е. если , то не следует, что или .

Пример. , , но .

5. 
   Возведение в степень.
   

Целой положительной степенью квадратной матрицы называют произведение матриц, равных , т.е. .

6. 
   Транспонирование матриц.
   

Транспонирование матрицы есть переход матрицы к матрице , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

, ,

т.е. если имеет размер , то имеет размер .

Свойства операции транспонирования.

1. 
   . 3) .
   
2. 
   . 4) .
   

2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца.