Ответы на экзамен по Линейной алгебре. ответы на экзамен по Линейной Алгебре. 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц
 Скачать 2.37 Mb.
|
|
Определение. Число  называется пределом числовой последовательности  , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа  , найдется такой  (зависящий от  ), что для всех членов последовательности с номерами  верно неравенство: .Обозначают:  . Или  при  .Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся. Предел функции в бесконечности и в точке Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности  тесно связано понятие предела функции  в бесконечности. Если в первом случае переменная  возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная  , изменяясь, принимает любые значения.Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа  , найдется такое положительное число  (зависящее от ), что для всех таких что  , верно неравенство: .Это предел функции обозначается:  или  при  .Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при  и при  . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что  , а во втором – для всех таких, что  .Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки .Определение. Число называется пределом функции  при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа  , найдется такое положительное число  (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство .Это предел функции обозначается:  или при  .Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция  стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева  и справа  . Признаки существования предела Теорема 1. Если числовая последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями  и  , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .Пусть при  ,  .Это означает, что для любого найдется такое число  , что для всех  и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства: (1.1)или  Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.: , то из неравенств (1.1) следует, что  , т.е.: .А это и означает, что  17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). Предел функции в точке Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .Это предел функции обозначается: или при .Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела Пусть  и  - функции, для которых существуют пределы при ( ):  ,  .Сформулируем основные теоремы о пределах: Функция не может иметь более одного предела. Предположим противное, т.е. что функция  имеет 2 предела А и D,  . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции:  ,  , где  и  - бесконечно малые величины при ( ). Вычитая почленно эти равенства, получим:  , откуда  . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых  это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.  .Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.  .По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: ,  , где и - бесконечно малые величины при ( ). Перемножая почленно оба равенства, получим: .На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую  при ( ).Итак, функция  представляет сумму постоянного числа  и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.  . |