Ответы на экзамен по Линейной алгебре. ответы на экзамен по Линейной Алгебре. 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц
![]()
|
Ранг матрицы. Линейная независимость строк матрицыДля решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы. В матрице размером вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы ![]() ![]() ![]() ![]() Например, из матриц можно получить подматрицы 1, 2 и 3-го порядка. Определение. Рангом матрицы ![]() ![]() ![]() Из определения следует: 1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. ![]() 2) ![]() ![]() 3) Для квадратной матрицы n-го порядка ![]() ![]() Поскольку непосредственный перебор всех возможных миноров матрицы ![]() Элементарные преобразования матрицы: Отбрасывание нулевой строки (столбца). Умножение всех элементов строки (столбца) на число ![]() Изменение порядка строк (столбцов) матрицы. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число. Транспонирование матрицы. Определение. Матрица ![]() ![]() Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы. С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление ее ранга не представляет труда. Матрица ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Очевидно, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк ![]() ![]() ![]() Пример. Определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк, т.е. ![]() 5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. |