Ответы на экзамен по Линейной алгебре. ответы на экзамен по Линейной Алгебре. 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц
![]()
|
Взаимное расположение двух линийЧтобы определить взаимное расположение 2-х линий, необходимо знать уравнений этих линий. Если система этих уравнений совместна, то линии имеют общие точки. В противном случае общих точек нет. Число общих точек равно числу решений системы уравнений Например, прямая линия и окружность ![]() ![]() Уравнение прямой на плоскостиВ декартовой системе координат рассмотрим прямую ![]() ![]() ![]()
Полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Частные случаи уравнения (3.1): ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Из последнего равенства ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение пучка прямых ![]() Уравнение прямой в отрезках Уравнение называется уравнением прямой в отрезках. Общее уравнение прямой и его исследование Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом ![]() ![]() ![]() общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. ![]() Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6). Если ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() 3) Если ![]() ![]() Точка пересечения прямых Если заданы две прямые ![]() ![]() ![]() Если прямые не параллельны, т.е. ![]() 15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Общее уравнение прямой и его исследование Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом ![]() ![]() ![]() общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. ![]() Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6). Пусть . Тогда уравнение ![]() Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом); Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат); Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу); Если , , то (уравнение оси Ох). Пусть , . Тогда уравнение ![]() Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу); Если , то (уравнение оси Оу). Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение ![]() ![]() Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых: Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми . И наоборот, если , то по этой же формуле и . Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых. ![]() Если прямые перпендикулярны, то , при этом ![]() ![]() ![]() ![]() Справедливо так же и обратное утверждение. Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку. ![]() Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и ,то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: . Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных. Условие перпендикулярности прямых ![]() ![]() ![]() Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у. 16. Предел последовательности при ![]() ![]() Предел числовой последовательности Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу ![]() ![]() ![]() ![]() Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: ![]() Числа ![]() ![]() ![]() Примеры числовых последовательностей: 1) ![]() 2) ![]() 3) ![]() Рассмотрим числовую последовательность ![]() ![]() Видно, что члены последовательности ![]() ![]() ![]() |