Лекция 8 Релятив импульс и энергия. Лекция 8 Специальная теория относительности
 Скачать 153.55 Kb.
|
|
Лекция 8 Специальная теория относительности Релятивистское выражение для импульса. Релятивистское выражение для энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Ядерные реакции. Релятивистское выражение для импульса. Второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея. Однако при больших скоростях движения переход из одной ИСО в другую осуществляется с помощью преобразований Лоренца. Для того, чтобы второй закон Ньютона, представленный в виде  , оставался инвариантным относительно преобразований Лоренца, необходимо чтобы импульс определялся выражением: (1)Величина, определяемая выражением (1), называется релятивистским импульсом, т.е. это выражение импульса при больших скоростях. Масса не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Она является лоренцевым инвариантом. Тогда второй закон Ньютона, записанный в виде:  (2)инвариантен относительно преобразований Лоренца. Таким образом, второй закон Ньютона, представленный соотношением  (3)может использоваться и в классической механике, и в теории относительности. Из уравнения (2) вытекает, что ускорение тела не совпадает по направлению с действующей силой. Для доказательства этого утверждения преобразуем (2) так, чтобы ускорение тела было представлено отдельным членом слева, как в соотношении  : (4) Соотношение (4) показывает, что в релятивистской динамике в общем случае направления векторов ускорения  и силы  не совпадают, а их модули не пропорциональны между собой как во втором законе Ньютона в классической механике.Анализ уравнения (4) приводит к заключению о том, что только в двух частных случаях направление ускорения совпадает с направлением силы. Первый случай - когда сила перпендикулярна скорости  (и  ). Второй - когда сила всегда действует по направлению скорости.В первом случае  и уравнение (4) преобразуется к виду: (5)Величина  , равная  (6)называется поперечной массой тела. Примером для данного случая является движение заряженной частицы с постоянной скоростью в однородном магнитном поле. Действующая на частицу сила Лоренца всегда перпендикулярна вектору скорости частицы. Во втором случае  и формула (4) преобразуется к виду:  здесь  - тангенциальное ускорение. Величина  , равная (7)называется продольной массой тела. Таким образом, если силу  разложить на тангенциальную и нормальную составляющие, то можно записать: (8)Так как в общем случае  , то направление силы не совпадает с направлением ускорения  . Если  , то  (9)и тогда ускорение и сила совпадают по направлению. Необходимо отметить, что иногда называют релятивистской массой тела. Введение понятия релятивистской массы имеет методические оправдания при изложении СТО на элементарном уровне. При этом утверждается, что релятивистская масса зависит от скорости по закону (6). Однако из анализа соотношения (4) видно, что даже при формальном подходе нельзя получить универсальной зависимости массы от скорости. В современной физике понятие релятивистской массы (6) обычно не используется. Релятивистское выражение для энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Рассмотрим полную и кинетическую энергии частицы, а также так называемую энергию покоя. Для этого умножим скалярно правую часть уравнения (2) на  , а левую часть умножим на  , равную : (10)  (11)Величина  (12)называется полной энергией тела. Правая часть уравнения (10)  равна элементарной работе. Тогда уравнение (10) запишется в виде: (13)т.е. работа совершенная силой равна изменению полной энергии тела. Полная энергия положительная величина, и в состоянии покоя она не равна нулю. При  полная энергия называется энергией покоя тела  : (14)Формула (14) устанавливает взаимосвязь энергии покоя тела и его массы и показывает, что масса и энергия представлены в любом теле в пропорциональных количествах. Каждое изменение энергии покоя тела неизбежно сопровождается пропорциональным изменением его массы. В обычных масштабах энергия покоя чрезвычайно велика. В одном грамме вещества содержится около 1014 Дж энергии покоя. Пока научились извлекать лишь малую часть этой энергии (например, в ядерной энергетике). Энергия покоя р  авна внутренней энергии тела, не связанной с движением тела как целого и его взаимодействием с внешними силовыми полями. В случае сложного тела, состоящего из многих частиц, его энергия покоя складывается из энергий покоя частиц, их кинетической энергии (обусловленной движением частиц относительно центра инерции тела) и потенциальной энергии взаимодействия частиц между собой. Потенциальная энергия частиц во внешнем поле в энергию покоя Е0 не включается, так же как и в полную энергию Е.Полная энергия состоит из энергии покоя и кинетической энергии. Поэтому кинетическая энергия тела определяется как разность между полной энергией и энергией покоя:  (15)При малых скоростях движения (  ) выражение  в уравнении (15) разлагается в ряд:  (16) Подставив (16) в (15) получаем классическое выражение кинетической энергии:  Определим полную энергию через импульс. Для этого выразим скорость  через импульс  используя формулу (1) и подставив ее (12), получим связь полной энергии и импульса:   (17)Самое примечательное в выражении (17) – это то, что в его правой части находится постоянная величина  , одинаковая во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, и левая часть этого выражения не зависит от выбора системы отсчета. Таким образом, взятые раздельно энергия и импульс, различные в разных системах отсчета (т.е. величины относительные), в комбинации представляют абсолютную величину, инвариантную относительно преобразований Лоренца. Это означает, что при переходе из одной инерциальной системы в другую, энергия и импульс изменяются так, что величина  остается неизменной.Еще одно важное следствие из формулы (17) состоит в том, что при m=0 полная энергия тела не равна нулю:  . Это указывает на возможность существования частиц с нулевой массой. Для них скорость движения  равна скорости света в вакууме с. Таким образом, частицы с нулевой массой могут существовать только в движении со скоростью света (например, фотоны).Ядерные реакции. В теории относительности масса и энергия неразрывно связаны друг с другом, а численные характеристики этих свойств пропорциональны друг другу. Поэтому можно говорить об эквивалентности массы и энергии. Всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится как к изменениям кинетической энергии тела, при которых масса покоя остается неизменной, так и к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя изменяется. Опыт показывает, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что, как правило, подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует, и поэтому определяемая взвешиванием масса покоя практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Поэтому экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии и массы следует искать в ядерной физике и физике элементарных частиц. Для описания процессов с атомными ядрами и элементарными частицами, характерная особенность которых заключается в изменениях энергии системы, сравнимых с ее энергией покоя, релятивистские законы абсолютно необходимы. Рассмотрим в качестве примера ядерную реакцию, вызванную полученными на ускорителе протонами, а именно превращение ядра лития в две альфа-частицы:  Закон пропорциональности массы и энергии позволяет сделать предсказания относительно энергетического выхода ядерной реакции. Значения масс покоя атомных ядер могут быть определены с высокой точностью при помощи масс-спектрометра. Так, масса покоя протона  равна 1.00728 атомной единицы массы (а.е.м.), масса ядра лития  - 7.01601 а.е.м., а масса альфа-частицы  - 4.00260 а.е.м. Суммарная масса покоя ядер, вступающих в реакцию, равна 8.02329 а.е.м., а масса покоя конечных продуктов реакции меньше: она составляет 8.00520 а.е.м. Таким образом, в результате ядерной реакции масса покоя уменьшается на величину ∆m = 0.01809 а.е.м. Соответствующая этому изменению массы энергия  с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся альфа-частиц. (Первоначальная кинетическая энергия протона мала по сравнению с этой величиной и поэтому в расчете энергетического выхода реакции не принимается во внимание).Закон пропорциональности энергии и массы можно применить и к анализу устойчивости атомных ядер. Рассмотрим атомное ядро массы M, состоящее из Z протонов и  нейтронов (Z - атомный номер, т. е. заряд ядра в единицах элементарного заряда, A - массовое число, т. е. полное число нуклонов в ядре). Энергия покоя ядра  слагается из энергии покоя всех входящих в него частиц (нуклонов) и энергии внутреннего движения и взаимодействия нуклонов. Для того чтобы ядро было устойчивым и не могло самопроизвольно распасться на составные части, необходимо, чтобы энергия покоя ядра была меньше суммарной энергии покоя этих частей: Разность  служит мерой устойчивости ядра и называется энергией связи. Для ядер, содержащих  нуклонов, энергия связи составляет около 9 МэВ на один нуклон, т. е. достигает почти 1% энергии покоя. Наряду с энергией связи мерой устойчивости ядра может служить эквивалентная величина  , называемая дефектом массы: где  и  - массы покоя протона и нейтрона соответственно. Если дефект массы положителен, ядро устойчиво по отношению к распаду на отдельные протоны и нейтроны. Однако это еще не означает, что ядро абсолютно устойчиво. Различие в величине энергии связи на один нуклон у разных ядер может привести к тому, что устойчивое по отношению к распаду на отдельные нуклоны ядро не будет устойчивым по отношению к распаду на две части. Такой распад возможен, если дефект массы исходного ядра меньше, чем сумма дефектов масс  двух ядер, образующихся в результате распада. Это обстоятельство можно использовать для высвобождения ядерной энергии. Например, ядро изотопа бериллия  имеет массу M = 8.00531 а.е.м., которая меньше, чем сумма масс покоя составляющих его четырех протонов и четырех нейтронов а.е.м., но больше, чем суммарная масса покоя двух ядер гелия ( а.е.м.). Поэтому ядро бериллия , устойчивое по отношению к распаду на отдельные нуклоны, должно самопроизвольно распадаться на две альфа-частицы, что и происходит в действительности. Дефект массы ядра другого изотопа бериллия  не только положителен, но и превышает сумму дефектов масс всех ядер, на которые ядро могло бы распасться. Такое ядро абсолютно устойчиво.Вопросы для самоконтроля и обсуждения Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики? Чем он отличается от основного закона ньютоновской механики? Как определяется релятивистский импульс частицы? Что такое полная энергия и энергия покоя ? Напишите выражение для кинетической энергии в теории относительности. При каком условии релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу? Какова взаимосвязь между полной энергией и импульсом? В каких физических процессах особенно отчетливо проявляется релятивистский закон пропорциональности энергии и массы? |