Волновые свойства. лекция № 8 Волновые свойства частиц. Лекция 8 Волновые свойства частиц Алексей Викторович Гуденко 07042017 План лекции
 Скачать 432.5 Kb.
|
Лекция № 8 Волновые свойства частицАлексей Викторович Гуденко 07/04/2017 План лекции Гипотеза де Бройля. Волна де Бройля. Дифракция частиц. Эксперимент. Дифракция электронов на щели и соотношение неопределённостей Гейзенберга. Корпускулярно-волновой дуализм. демонстрации Фотон – корпускула (частица) или волна? волновые свойства света: Интерференция, дифракция, поляризация свойства частиц (корпускулярные свойства):
Двойственная природа света: фотон обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами - корпускулярно-волновой дуализм корпускулярно-волновой дуализм – свойство, характерное для всех микрообъектов Гипотеза де Бройля (1923 г) Свет (волна) обладает свойствами корпускул, частиц (фотоэффект, эффект Комптона) : E = ћω; p = ћω/c = 2πћ/λ Гипотеза Луи де Бройля: частица с энергией E и импульсом p должна обладать свойствами волны: ω = E/ћ –частота волны де БройляλD = 2πћ/p – длина волны де Бройля Волна де Бройля = ψ - функция Для свободной частицы, движущейся со скоростью v плоская волна де Бройля: ψ = ψ0еi(kz – ωt) ω = E/ћ –частота волны де Бройляk = 2π/λ = p/ћ – волновое число волны де Бройля фазовая скорость волны де Бройля для частицы, движущейся со скоростью v: vф = ω/k = E/p = c2/v Групповая скорость vгр = v – скорость частицы: закон дисперсии E2 = E02 + p2c2 → EdE = c2pdp → vгр = dE/dp = c2p/E = v vфvгр = с2 Численные оценки Макроскопический объект: шарик массой m = 1 г; скорость v = 1 м/с → длина волны де Бройля λD = 2πћ/p ≈ 2*3,14*1,05*10-27/102 ≈ 7*10-29 см Современный предел измерений линейных размеров 10-16см Электрон с энергией E = 100 эВ (нерелятивистский): λD = 2πћ/p = 2πћ/(2meE)1/2 ≈ 2*3,14*1,05*10-27/(2*0,911*10-27*102*1,6*10-12)1/2 ≈ 10-8 см = 1 A – размер атома → наблюдать волновые свойства электронов надо на атомных кристаллических структурах λD = 2πћ/(2meE)1/2Полезные формулы λD = 2πћ/(2meE)1/2 Для электронов: λD = 12,3/U1/2 (A) (U – в Вольтах) Для протонов: λD = 0,29/U1/2 (A) (U – в Вольтах) Для атомов He: λD = 12,6/T1/2 (A) Для H2: λD = 17,8/T1/2 A Для нейтронов: λD = 25,2/T1/2 (A) Экспериментальные исследования дифракции частиц. Опыты Дэвиссона и Джермера (1927 г. США) – рассеяние электронов на монокристалле никеля Опыт Дэвиссона и Джермера (1927 г. США) Результат эксперимента по дифракции электронов Расстояние между плоскостями атомов Ni d = 2,15 A Интерференция: максимум первого порядка при отражении от плоской решётки с периодом d = 2,15 A условие интерференционного максимума: dsinβ = λ → λэксп = dsinβ = 2,15*sin500 ≈ 1,65 A U = 54 В → λD = 12,3/U1/2 = 12,3/(54)1/2 ≈ 1,67 А (!) Опыт Дж.П.Томсона (1928 г.) Опыт Томсона Ускоряющее напряжение U = 17,5 – 56,5 кВ λD = 12,3/U1/2 = 0,092 – 0,052 A Золотая фольга толщиной h = 0,1 мкм Условие Вульфа-Брэгга 2dsinθ = mλ (θ – угол скольжения) Для малых θ радиус кольца: rm = 2Lθ = mλL/d Условие Вульфа-Брэгга Томсон: Электроны или вторичный рентген? Как отличить дифракционную картину рассеянных электронов от дифракционной картины вторичных рентгеновских лучей? Ответ: в магнитном поле картина смещалась и искажалась – значит электроны. При прохождении электронов через аргон при E = 0,6 эВ электроны проходят газ беспрепятственно! Волны де Бройля не отражаются – аналог просветления оптики. Для электрона атом аргона – потенциальная яма глубиной U0 2,5 В Фазовая скорость волн де Бройля: vф = E/p Групповая скорость vгр = dE/dp = pc2/E = c2/vф λ = 12.26/(U)1/2 = 15.8 A Скорость над ямой vгр’ = vгр(1 + U0/E)1/2 = vгрn n = (1 + U0/E)1/2 = (1 + 2,5/0,6)1/2 = 2,27 - показатель преломления Условие просветления оптики: 2d = λ’ = λ/n → радиус атома аргона: r = λ/4n ≈ 1,74 A (rтабл = 1,98 А) Эффект Рамзауэра (1920 г.) Волновые свойства частицы и соотношение неопределённостей. Дифракция электрона на щели: Δx – неопределённость координаты → Δp – неопределённость импульса дифракционная расходимость θ = λ/Δx = Δp/p → Δpx Δx λp = h Дифракция на щели и соотношение неопределённостей: Δp Δx h Положение и импульс квантовой частицы точно не определяются. Произведение неопределённости координаты Δx и импульса (Δpx) не меньше порядка постоянной Планка: ΔpxΔx ≥ h. Попытка локализовать частицу в пределах Δx порождает разброс по импульсу Δpx У квантовой частицы нет траектории (!) Соотношение неопределённостей Произведение неопределённостей значений двух сопряжённых величин не меньше постоянной Планка (ћ/2) Δpx Δx ≥ ћ/2; Δpy Δy ≥ ћ/2; Δpz Δz ≥ ћ/2; ΔE Δt ≥ ћ/2
Почему электрон не падает на ядро? Электрон не падает на ядро из-за соотношения неопределённостей. P2/2m – Ze2/r < 0 – условие связанного состояния → p2r2 < 2mZe2r → p2r2 ≥ ¼ ћ2 → r ≥ 1/Z ћ2/8me2 = 1/Z 0,66 10-9 см (0,1)/Z Ангстрем Соотношение неопределённостей, размер атома водорода и энергия основного состояния Для минимальной энергии импульс частицы равен его неопределённости: p = + Δp + ћ/ℓ → pmin ћ/ℓ Δp. E = p2/2m – e2/r ћ2/2mr2 – e2/r E → min: dE/dr = 0 → -ћ2/mr3 + e2/r2 = 0 → rБ = ћ2/me2 = 0,529*10-8 см = 0,529 A – боровский радиус Emin = -e2/2r = - me4/2ћ2 = -13,6 эВ – энергия основного состояния атома водорода Соотношение неопределённостей и минимальная энергия квантового гармонического осциллятора U = æx2/2 E → min: p = Δp; x = Δx → E = K + U = p2/2m + æx2/2 ћ2/2mx2 + æx2/2 Emin: dE/dx = 0 → xmin4 = ћ2/mæ → Emin = ћ(æ/m)1/2 = ћω Точный расчёт даёт E0 = ½ ћω Итоги Микрообъекты обладают одновременно свойствами частиц и свойствами волн и поэтому не являются ни частицами ни волнами. Состояние микрочастицы описывается ψ-функцией; для свободной частицы ψ-функция – плоская волна: ψ = ψ0еi(kz – ωt) (ω = E/ћ –частота волны де Бройля; k = 2π/λ = p/ћ – волновое число волны де Бройля) Скорость микрочастицы совпадает с групповой скоростью волн де Бройля Невозможно одновременно измерить координату и соответствующий импульс частицы. Неопределённость координаты и импульса частицы связаны соотношением неопределённости Гейзенберга: ΔpxΔx ≥ ћ Итоги Из-за соотношения неопределённостей микрочастицы не обладают определёнными траекториями. Микрочастицы следует представлять размазанными по пространству. Квадрат амплитуды ψ- функции вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Волны де Бройля – это волны вероятности Макс Борн: Интенсивность волны де Бройля в каком-то месте пространства пропорциональна вероятности обнаружить частицу в данном месте Чем занимается вантовая механика Квантовая механика рассчитывает волновые функции, т.е. вероятности реализации различных состояний квантовой системы. |