Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1

• Название: Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
• Дата: 22.11.2022
• Размер: 1.26 Mb.
• Имя файла: kvant_mech.pdf
• Тип: Лекции; #806028
• страница: 1 из 9

Московский физико-технический институт
Л. П. Суханов
Лекции по квантовой механике
Редакция от 26 марта 2016 г

Оглавление
1
Волновые свойства частиц
1
§1.
Волна де Бройля
1
§2.
Волновой пакет. Фазовая и групповая скорость волн, соответствующих свободной частице
2
§3.
Уравнение Шрёдингера. Оператор Гамильтона. Общее решение уравнения Шрёдингера в случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Стационарное уравнение Шрёдингера
6
§4.
Статистическая интерпретация волновой функции. Стационарные состояния Операторы физических величин
10
§1.
Условие нормировки волн де Бройля
10
§2.
Среднее значение координаты и импульса. Операторы координаты и импульса.
12
§3.
Постановка задачи на собственные функции и собственные значения операторов Математический аппарат квантовой механики
16
§1.
Состояние и волновая функция. Принцип суперпозиции состояний. Дираковская формулировка квантовой механики. Вектор состояния.
16
§2.
Наблюдаемые и операторы физических величин. Линейные и эрмитовые операторы
21
§3.
Условие ортогональности и полноты для собственных функций операторов физических величин
26
§4.
Нормировка собственных функций на единицу и функцию Совместная измеримость физических величин
35
§1.
Условия одновременной измеримости физических величин. Ком- мутаторы.
35
§2.
Соотношение неопределённостей
38
i

Квантовая динамика частицы
40
§1.
Уравнение непрерывности для плотности вероятности. Плотность тока вероятности. Коэффициенты прохождения и отра- жения.
40
§2.
Оператор изменения во времени физической величины. Интегралы движения. Коммутаторы. Скобки Пуассона
42
§3.
Производная повремени операторов координаты и импульсов частицы в потенциальном поле. Теоремы Эренфеста
45 Теория представлений
48
§1.
Матричные представление
48
§2.
Унитарное преобразование векторов состояний и операторов
50
§3.
Координатное и импульсное представления
53
§4.
Оператор эволюции. Представление Шрёдингера и Гайзенбер- га. Уравнение Гайзенберга для операторов физических величин Операторные методы в квантовой механике. Метод вторичного квантования
62
§1.
Операторы уничтожения и рождения в теории линейного гармонического осциллятора
62
§2.
Энергетрический спектр линейного гармонического осцилля- тора.
64
§3.
Построение собственных функций осциллятора в координатном представлении с помощью операторов рождения и уничтожения. Связь го состояния осциллятора с основным Угловой момент
69
§1.
Повороты и оператор углового момента. Изотропность пространства и сохранение углового момента в квантовой механике.
69
§2.
Коммутационные соотношения для оператора углового момента. Система собственных векторов операторов и Спин частицы. Матрицы Паули.
74
§4.
Оператор орбитального момента частицы в координатном представлении (декартовы и сферические координаты)
76
§5.
Сферические гармоники Движение в центрально-симметричном поле
80
§1.
Центрально-симметричное поле. Гамильтониан частицы в сферических координатах. Разделение переменных в центрально- симметричном поле.
80
§2.
Уравнение для радиальной функции 10 Атом водорода
83
§1.
Атом водорода. Атомная система единиц

Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода. Главное и радиальное квантовые числа
84
§3.
Кратность вырождения уровней. Кулоновское (случайное) вырождение Квазиклассическое приближение
90
§1.
Критерий применимости квазиклассического приближения Переход к уравнению Гамильтона-Якоби
90
§2.
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ)
93 Вид волновой функции в квазиклассическом приближении Связь между двумя решениями, взятыми по разные стороны от точки поворота
95
§3.
Условие квантования Бора-Зоммерфильда
. . . . . . . . . . . Фазовый объём, приходящийся на одно квантовое состояние. Вероятность проникновения частицы через барьер в квазиклассическом приближении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 12 Стационарная теория возмущений
106
§1.
Стационарная ТВ в случае невырожденных уровней энергии Первое приближение теории стационарных возмущений Энергетическая поправка второго приближения теории стационарных возмущений. . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Критерий применимости стационарной ТВ
. . . . . . . Стационарное возмущение вырожденных уровней дискретного спектра. Секулярное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . 111 Правильные волновые функции нулевого приближения
112
§3.
Квазивырождение, случай двух близких уровней энергии. . . 113 13 Нестационарная теория возмущений
116
§1.
Нестационарное возмущение дискретного спектра. Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Метод вариации постоянных. . . . . . . . . . . . . . . . 117 Приближение или метод Дирака (1927 г. . . . . . . . Вероятность перехода. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Адиабатические и внезапные возмущения. . . . . . . . . . . . 119 Адиабатическое изменение возмущения. . . . . . . . . 120 Внезапное включение возмущения. . . . . . . . . . . . Переходы под влиянием постоянного во времени возмущения.
«Золотое правило Ферми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Переходы под действием периодического возмущения в дискретном и непрерывном спектрах. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
iii

14 Основы релятивистской теории
127
§1.
Уравнение Дирака (1928 г) свободной релятивистской частицы Линеаризация корня. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Матрицы Дирака и их свойства. . . . . . . . . . . . . . Состояния с положительными и отрицательными энергиями. Уравнение Дирака заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули. . . . . . . . . . . . . . Релятивистские поправки к уравнению Шредингера частицы во внешнем электромагнитном поле. Спин-орбитальное взаимодействие. . . . . . . . 139 15 Сложение моментов
145
§1.
Сложение моментов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Коэффициенты Клебша-Гордана. Полный угловой момент. . 146 16 Тождественные частицы
149
§1.
Симметрия волновой функции системы тождественных частиц. Бозоны и фермионы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Детерминант Слэтера. Принцип Паули. . . . . . . . . . . . . 151 17 Атом гелия
152
§1.
Атом гелия. Спиновые функции двух электронов. Пара- и ор- тосостояния
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Обменное взаимодействие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 18 Сложный атом
157
§1.
Вариационный принцип, вычисление энергии основного состояния. . . . . . . . . . . . Метод Хартри-Фока. Приближения центрального поля. Электронные конфигурации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Интегралы движения в сложных атомах. Термы. Правила Хунда
162
§4.
𝐿𝑆-связь. Тонкая структура уровней. Правило интервалов Лан- де. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Гамильтониан сложного атома во внешнем магнитном поле. Эффекты Зеемана и Пашена-Бака
. . . . . . . . . . . . . . . . 166 Слабое поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Сильное поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 19 Теория рассеяния
170
§1.
Постановка задачи рассеяния. Упругое рассеяние. . . . . . . Амплитуда и сечение рассеяния. . . . . . . . . . . . . . . . . . Функция Грина задачи рассеяния. Интегральное уравнение задачи рассеяния. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
iv

Приближение Борна. Критерии применимости борновского приближения. . . . . . . . . 175
A Задания первого семестра
177
Задание 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задание 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
B Задания второго семестра
180
Задание 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература

Глава Волновые свойства частиц
§1.
Волна де Бройля
Развитие квантовой теории началось с того, что у света наряду с волновыми свойствами, характеризуемыми длиной волны 𝜆 и частотой 𝜔, были обнаружены также и корпускулярные. Значения для энергии 𝐸 и импульса p кванта света были установлены Альбертом Эйнштейном в 1905 г =

𝜔
p = Здесь = 1,05 · 10
−27
эрг·с – постоянная Планка, была впервые введена
Максом Планком в 1900 г. для объяснения спекторв испускания нагретых тел k – волновой вектор. В соотношениях (
1.1.1
) корпускулярные (𝐸 и и волновые (𝜔 и k) свойства света связаны постоянной Планка.
Анализируя эти соотношения, французский физик Луи Виктор де Бройль в 1923 г. выдвинул гипотезу о возможности их обобщения на всех массивные частицы (идея материальных волн или волн вещества. Иными словами, де
Бройль предположил, что дуализм «волна-частица» должен быть свойственен не только свету, но и электронами любым другим частицам («дуализм»
означает двойственность).
Соответствующая частица и волновое число определяются при этом соотношениями, подобными эйнштейновским (
1.1.1
), те. длина де-бройлевской волны движущихся частиц будет равна Известно, что распространение фотонов (квантов света, те. распространение света с частотой 𝜔 и волновым вектором k, описывается плоской волной В выражении (
1.1.3
) заменим 𝜔 на k, используя формулы (
1.1.1
)
Ψ(r, 𝑡) = Волновой функцией (
1.1.4
) фотона является световая волна движущейся частице с энергией 𝐸 и импульсом p, согласно гипотезе де Бройля, соответствует волновая функция такого же вида (
1.1.4
) или волны де Бройля.
§2.
Волновой пакет. Фазовая и групповая скорость волн, соответствующих свободной частице Пусть свободная частица с энергией 𝐸 и импульсом p движется вдоль оси 𝑥, те. p ‖ x. Сопоставим движущейся частице волну де Бройля
Ψ(𝑥, 𝑡) = В ней поверхность востоянной фазы 𝛼 = 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 перемещается с фазовой скоростью
𝑣
ф
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑤
𝑘
=
𝐸
𝑝
(1.2.2)
В нерелятивистском случае 𝐸 = 𝑝
2
/2𝑚, следовательно
𝑣
ф
=
𝑝
2𝑚
=
𝑣
2
т.е. фазовая скорость не совпадает с классической скоростью частицы Более того, в релятивистском случае 𝑝 = 𝐸𝑣/𝑐
2
, или
𝑣
ф
=
𝐸
𝑝
=
𝑐
2
𝑣
> Эти результаты говорят о том, что плоская монохроматическая волна принципиально не может описывать свободную частицу.
Чтобы выйти из этого положения ив тоже время сохранить за частицами их волновые свойства, нашедшие блестящие экспериментальные подтверждения, необходимо, не отказываясь от волны де Бройля, выработать
1
Опыты Клинтона Джозефа Девисона и Лестера Халберта Джермера в 1927 г. по дифракции электронов, а также независимые опыты Джорджа Паджета Томсона в том же году

более глубокий подход к описанию свободной частицы. На первых же порах развития квантовой механики стали сопоставлять частицам не отдельные монохроматические волны, а набор волн, обладающий близкими частотами.
Такой подход подсказывался ещё и тем обстоятельством, что наблюдаемые на опыте дифракционные линии электронных волн всегда характеризовались определённой шириной, те. дифрагировали как бы не одна, а ряд волн,
очень близких друг к другу по частоте.
Кроме того, если использовать не отдельную монохроматическую волну, а набор волн с близкими частотами, то сих помощью всегда можно построить такой волновой пакет, результирующая амплитуда которого окажется заметно отличной от нуля лишь в некоторой небольшой области пространства, котору. можно связать с местоположением частицы. Заметим,
что плоская монохроматическая волна не локализована в пространстве, и потому она не может быть сопоставлена локализованному объекту, к каковому относится массивная частица.
Исходя из приведённых выше соображений, построим для описания движения частицы волновой пакет из непрерывной совокупности монохроматических плоских волн (
1.1.3
)
Ψ(𝑥, 𝑡) =
∫︁
𝑘
0
+Δ𝑘
𝑘
0
−Δ𝑘
𝐴(𝑘)𝑒
𝑖(kr−𝜔(𝑘)𝑡)
𝑑𝑘, ∆𝑘 ≪ Здесь 𝑘
0
– волновое число центра пакета, около которого сосредоточены волновые числа волн, образующих волновой пакет. Считаем, что ∆𝑘 ≪ В отличие от (
1.1.3
), волновой пакет – это группа волн с различными
(хотя и близкими) величинами волнового числа 𝑘, а значит, и частоты) = 𝜔(𝑘
0
) +
(︂ 𝑑𝜔
𝑑𝑘
)︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑘
0
(𝑘 − 𝑘
0
) + . . . ≈ 𝜔
𝑜
+
(︂ 𝑑𝜔
𝑑𝑘
)︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑘
0
(𝑘 − С помощью (
1.2.4
) и (
1.2.3
) найдём
𝜓(𝑥, 𝑡) ≈ Те. волновая функция пакета есть плоская волна, отвечающая центру пакета, амплитуда которой зависит от координаты и времени лишь через комбинацию −
(︂ Поэтому для всех точек 𝑥 и моментов времени 𝑡, связанных условием −
(︂ 𝑑𝜔
𝑑𝑘
)︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑘
0
𝑡 = const
(1.2.6)
3

амплитуда имеет одинаковое значение волновой пакет движется как одно целое с групповой скоростью
𝑣
гр
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
(︂ 𝑑𝜔
𝑑𝑘
)︂⃒
⃒
⃒
⃒
𝑘
0
=
(︂ как в нерелятивистском случае, когда 𝐸 = гр таки в релятивистском случае, когда 𝐸 =
√︀
𝑝
2
𝑐
2
+ гр 2𝑝
2𝐸
=
𝑐
2 𝐸
𝑐
2
𝑣
𝐸
= Таким образом, групповая скорость перемещения волнового пакета как целого точно совпадает со скоростью 𝑣 движения соответствующей ему частицы.
Взяв 𝑘 − 𝑘
0
= 𝜉 в качестве новой переменной интегрирования и считая) слабо меняющейся на ширине пакета функцией 𝑘, найдём, что Ψ(𝑥, может юыть представлена с учётом (
1.2.5
) ив виде, 𝑡) ≈ 𝐴(𝑘
0
)𝑒
𝑖(𝑘
0
𝑥−𝜔
0
𝑡)
∫︁
+Δ𝑘
−Δ𝑘
𝑒
𝑖(𝑥−𝑣
гр
𝑡)𝜉
𝑑𝜉
Выполняя интегрирование по 𝜉, найдём
Ψ(𝑥, 𝑡) = 2𝐴(𝑘
0
)
sin[(𝑥 − гр − гр 𝐵(𝑥 − 𝑣
гр
𝑡)𝑒
𝑖(𝑘
0
𝑥−𝜔
0
𝑡)
(1.2.8)
Т.к. под знаком синуса стоит малая величина ∆𝑘 (∆𝑘 ≪ 𝑘
0
), то амплитуда волнового пакета 𝐵(𝑥 − гр) будет медленно меняющейся функцией координаты и времени, поэтому её можно рассматривать как огибающую почти монохроматической волны, а (𝑘
0
𝑥 − 𝜔
0
𝑡) – как её фазу. Причём эта огибающая, как было показано выше, перемещается в пространстве с групповой скоростью 𝑣
гр
Определим координату 𝑥, где амплитуда 𝐵(𝑥 − гр) имеет максимум.
Очевидно, искомый максимум будет находиться в точке = 𝑣
гр
𝑡
т.е. максимум амплитуды отвечает выбору const = 0 в (
1.2.6
). График функции) представлен на рис. При 𝑡 = 0 своего наибольшего значения 𝐵(0) = 2𝐴𝛿𝑘 амплитуда достигает в точке 𝑥 = 0. Во всех остальных точках, соответствующих локальным

𝑥
Re (Ψ(𝑥, 0))
0
𝜋
Δ𝑘
−
𝜋
Δ𝑘
2𝜋
Δ𝑘
−
2𝜋
Δ𝑘
2𝐴(𝑘
0
)∆𝑘
𝑣
гр
∆𝑥
𝜆
Рис. 1.1: Форма волнового пакета при 𝑡 = максимумам, амплитуда будет существенно меньше. Таким образом, волновой пакет можно считать локализованным в области абсолютного максимума, те. в области шириной ∆𝑥 = 2𝜋/∆𝑘 (см. график. Т.к. 𝑘
0
≫ ∆𝑘, то для длины волны имеем =
2𝜋
𝑘
0
≪
2𝜋
∆𝑘
= те. длина де-бройлевской волны многократно укладывается на ширине па- кета.
В силу модельного характера описания волнового пакета (
1.2.3
), те. принятия модельных соображений относительно зависимостей 𝜔(𝑘) и 𝐴(𝑘), запишем соотношение между разбросом ∆𝑘 волновых чисел и шириной области пространственной локализации пакета ∆𝑥 по порядку величины · ∆𝑘 ≈ 1 Это соотношение справедливо для описания волнового процесса произвольной природы. Например, тот, кто знаком с радиофизикой, знает, что для посылки короткого радиосигнала (малое Δ𝑥) требуется широкий набор волн различной длины. Поэтому такой сигнал будет принят приёмниками, настроенными на различные волны. Напротив, если мы желаем, чтобы его принимали приёмники, настроенные лишь определённым образом,
то необходимо посылать достаточно длинные, почти монохроматические сигналы

По уравнению (
1.1.1
) для группы волн де Бройля получим из (соотношение · ∆𝑥 ≈ Это соотношение было впервые установлено Вернером Карлом Гайзен- бергом в 1927 г. Его принято называть соотношением неопределённостей
Гайзенберга: чем точнее определено положение, тем менее точно известен импульс, и наоборот. Таким образом, не существует состояния, в котором частица одновременно имела бы определённые значения координаты и импульса. Следовательно, теряет смысл понятие траектории микрочастицы,
подразумевающее определение в каждый момент времени значений координаты и скорости (или импульса. Соотношение неопределённостей есть следствие и математическое выражение корпускулярно-волнового дуализма природы материи. Мы не можем в любой момент времени 𝑡 приписать частицы определённое положение r. Вместо этого мы вводим волновую функцию частицы Ψ(r, Уравнение Шрёдингера. Оператор Гамильтона. Общее решение уравнения Шрёдин- гера в случае, когда гамильтониан не зависит от времени. Стационарное уравнение
Шрёдингера
Гипотеза де Бройля, согласно которой каждой частице сопоставляется волна, вскоре была развита, и на её основе была создана новая механика.
Действительно, если есть волны, то должно быть и волновое уравнение.
Поэтому надо было найти такое динамическое уравнение, которое описывало бы распространение волн де Бройля в пространстве и времени, т.е.
эволюцию волновой функции Ψ(r, 𝑡). Ясно, что это уравнение не может быть выведено из предыдущих теорий, наоборот, их результаты должны получаться из решений искомого уравнения как предельные случаи. Эрвин
Шрёдингер в 1926 г. фактически постулировал волновое уравнение, следуя оптико-механической аналогии Гамильтона и идее волн де Бройля
𝑖
𝜕Ψ(r, 𝑡)
𝜕𝑡
=
{︂
−

2 2𝑚
∇
2
+ 𝑈 (r, 𝑡)
}︂
Ψ(r, позже названное временным (нестационарным) уравнением Шрёдингера (УШ).
Выражение в фигурных скобках интерпретируется как оператор полной нерелятивистской энергии, или оператор Гамильтона (гамильтониан =
̂︀
p
2 2𝑚
+ 𝑈 (r, 𝑡)
6

𝑖
𝜕Ψ(r, 𝑡)
𝜕𝑡
= ̂︀
𝐻Ψ(r, Пусть оператор Гамильтона на зависит явно от времени, те ̂︀
𝐻
𝜕𝑡
=
𝜕𝑈
𝜕𝑡
= В классической механике это означало бы, что функция Гамильтона постоянна во времени и равна полной энергии системы (интеграл движения. В
квантовой механике в этом случае явная зависимлсть от времени может быть только у волновой функции (ВФ) Ψ(r, 𝑡), причём можно искать решение) методом разделения пространственных и временных переменных, 𝑡) = 𝜓(r) · Тогда, поставляя такую функцию (
1.3.3
) в УШ (
1.3.2
), получим) = 𝜙(𝑡) Поделив обе части на ВФ (
1.3.3
), придём к соотношению
𝑖
𝜕𝜙/𝜕𝑡
𝜙(𝑡)
=
̂︀
𝐻𝜓(r)
𝜓(r)
(1.3.4)
Левая часто полученного соотношения зависит только от времени 𝑡, а правая только от пространственных переменных r. Поскольку время и пространственные переменные независимы, то для произвольных 𝑡 и r равенство возникает лишь в случае, когда обе части по отдельности равны одной и той же постоянной величине 𝐸. Как следует изв этом случае мы приходим к двух уравнениям, определяющим отдельно функции 𝜙(𝑡) и 𝜙(r):
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
𝜙(𝑡) = 𝐸𝜙(𝑡)
(1.3.5)
̂︀
𝐻𝜓(r) ≡
{︂
−

2 2𝑚
∇
2
+ 𝑈 (r)
}︂
𝜓(r) = Первое из этих уравнений имеет решение) = где 𝐶 – постоянная интегрирования, определяемая изначальных условий = 𝜙(0). Координатная часть 𝜓(r) ВФ (
1.3.3
) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера. Входящая в него постоянная разделения переменных имеет размерность энергии. Сточки зрения уравнений математической физики, стационарное УШ есть частный случай задачи Штурма-
Лиувилля на собственные значения гамильтониана и отвечающие им собственные функции, те. собственные пары {𝐸
𝑘
, 𝜓
𝑘
(r)}. Таким образом, константа разделения 𝐸 является собственным значением гамильтониана, а по

физическому смыслу соответствует дискретным значениям полной энергии системы. Термин стационарные состояния означает состояния с опреде- лённой энергией.
§4.
Статистическая интерпретация волновой функции. Стационарные состояния
В отличие от уравнения Ньютона, из которого находится наблюдаемая траектория r(𝑡) материальной точки, из уравнения Шрёдингера находят в общем случае комплексную, те. ненаблюдаемую, волновую функцию Ψ(r, квантовой системы. Тем не менее, как будет показано ниже, се помощью можно вычислить значения всех измеримых величин. Сразу же после открытия УШ, Макс Борн (1926 г) дал статистическую интерпретацию ВФ
Ψ(r, Величина = Ψ
*
(r, 𝑡)Ψ(r, 𝑡)𝑑𝑣 ≡ |Ψ(r, представляет вероятность нахождения частицы в момент времени 𝑡 в элементе объёма 𝑑𝑣 в окрестности точки r. Интенсивность волны, 𝑡)|
2
=
𝑑𝑃
𝑑𝑣
= 𝜌(r, интерпретируется как плотность вероятности нахождения частицы в точке r в момент времени 𝑡. Тогда ВФ Ψ(r, 𝑡) – амплитуда плотности вероятности, или просто амплитуда вероятности. Если произвести интегрирование) по всему бесконечному объёму, то мы получим вероятность достоверного события обнаружить частицы где-либо в пространстве, равную,
очевидно, единице, 𝑡)|
2
𝑑𝑣 = Это условие называется условием нормировки, а функция Ψ, удовлетворяющая этому условию, называется нормированной ВФ. Для выполнимости такой нормировки, интеграл от |Ψ(r, должен существовать (говорят, что функция Ψ должна быть квадратично интегрируема. Соотношение (выполняется для волнового пакета (
1.2.3
), ноне выполняется для волны де
Бройля (
1.1.4
): интеграл, 𝑡)|
2
𝑑𝑣 = не сходится. В дальнейшем мы дадим рациональную нормировку и для этого случая.
Нормировка имеет смысл лишь постольку, поскольку она сохраняется во времени, те. равенство (
1.4.3
) должно иметь силу для всех моментов

времени, те. вероятность найти частицу где-либо в пространстве не должна зависеть от времени, те, 𝑡)𝑑𝑣 = Упражнение 1. Строго доказать, что Ψ(r, 𝑡) удовлетворяет волновому уравнению (Вероятностное толкование приводит к определённым требованиям для, 𝑡): она должны быть (i) однозначной, (ii) конечной и (как правило,
исключение: задача 4c из го задания) (iii) непрерывно дифференцируемой. Такими же свойствами должна обладать функция |Ψ(r, Если вернуться к анализу стационарного УШ (
1.3.6
), тона ВФ 𝜓r, как на решение задачи Штурма-Лиувилля, должны быть наложены условия i-iii с учётом её нормировки ≡
∫︁
|𝜓(r)|
2
𝑑𝑣 = а также она должна удовлетворять заданным граничным условиям. Для временной части ВФ (
1.3.3
) имеем |𝜙(𝑡)|
2
= |𝐶|
2
. Всегда можно положить = 1, те. условия нормировки (
1.4.3
) и (
1.4.4
) определяются интегрированием по пространственным переменным. Таким образом, в случае, когда не зависит от времени, состояние с определённой и сохраняющейся во времени энергией 𝐸 (стационарное состояние) описывается волновой функцией, 𝑡) = где ̂︀
𝐻𝜓
𝐸
(r) = 𝐸𝜓
𝐸
(r). Волновая функция стационарного состояния зависит от времени, но эта зависимость входит только через фазу волны.
В заключении важно отметить, что статистическое описание характерно не для пучка частица для каждой отдельной частицы. Например, в г. советские физики Л. Биберман, Н. Сушкин и В. Фабрикант прямыми опытами для электронов доказали, что при малых интенсивностях пучка волновые свойства электронов не исчезают. Следовательно, Ψ(r, 𝑡) следует рассматривать как синтез волновых, корпускулярных и статистических представлений о микрообъекте.
3
т.е. Ψ(r, 𝑡) ∈ 𝐶
1
(Ω) во всей области изменения её аргументов Ω
9

Глава Операторы физических величин
§1.
Условие нормировки волн де Бройля
Согласно гипотезе де Бройля, состояние свободной частицы с импульсом p описывается плоской волной (волной де Бройля)
Ψ
p
(r, 𝑡) = Коэффициент 𝐴 должен быть определён из условия нормировки волновой функции (
1.4.3
). Однако, рассматривая свободную частицу во всём пространстве, выше мы убедились, что нормировочный интеграл расходится. Это одна из трудностей квантовой механики.
Проблему расходимости нормировочного интеграла можно решить следующим образом. Рассмотрим интеграл по бесконечному объему от двух волн де Бройля с импульсами и p:
∫︁
Ψ
*
p
′
(r, 𝑡)Ψ
p
(r, 𝑡) 𝑑𝑣 = Интеграл в правой части этого равенства определён в классе обобщённых функций через трёхмерную функцию Дирака. Основные свойства функции 𝛿r = 𝛿(𝑥) · 𝛿(𝑦) · 𝛿(𝑧)
∙ 𝛿(𝛼𝑥) =
1
|𝛼|
𝛿(𝑥), где 𝛼 ̸= 0 – произвольная постоянная, см. § 5 т. III Л.Л..
∙ 𝑓 (𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑎) = 𝑓 (𝑎)𝛿(𝑥 − 𝑎)
10

Применяя первые два свойства, получим ≡ (2𝜋)
3
𝛿
(︂ p − p
′

)︂
= (2𝜋)
3
𝛿(p − Откуда, с помощью третьего свойства, следует, 𝑡)Ψ
p
(r, 𝑡) 𝑑𝑣 = |𝐴|
2
𝑒
𝑖

(𝐸
′
−𝐸)𝑡
(2𝜋)
3
𝛿(p − p
′
) = |𝐴|
2
(2𝜋)
3
𝛿(p − Выбирая нормировочный множитель 𝐴 = 1/(2𝜋)
3/2
, получим для волны де Бройля (
2.1.1
)
Ψ
p
(r, 𝑡) а для нормировочного соотношения, 𝑡) Ψ
p
(r, 𝑡) 𝑑𝑣 = 𝛿(p − Соотношение (
2.1.3
) называется условием нормировки волн де Бройля на
𝛿-функцию.
Если p = p
′
, то правая часть (
2.1.3
) обращается в бесконечность.В этом смысле, как уже ранее было указано, интеграл от квадрата модуля волны де Бройля расходится. Волна де Бройля Ψ
p
(r, 𝑡) – это волновая функция состояния, которое не может быть осуществлено (состояние свободного движения частицы со строго определённым импульсом p). Поэтому нет причин беспокоиться, что волна де Бройля не может быть нормирована на единицу.
Однако, из волн де Бройля можно построить волновой пакет, 𝑡) =
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶(p) Ψ
p
(r, с весовой функцией 𝐶(p). Зная Ψ(r, 𝑡), можно найти соответствующую ей функцию 𝐶(p), т.к. 𝐶(p) – это, по существу, Фурье-образ волновой функции, 𝑡). Действительно, 𝑡) Ψ(r, 𝑡) 𝑑𝑣
⃒
⃒
⃒
⃒
(
2.1.4
)
=
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶(𝑝)
∫︁
Ψ
*
p
′
(r, 𝑡) Ψ
p
(r, 𝑡) 𝑑𝑣
⃒
⃒
⃒
⃒
(
2.1.3
)
=
=
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶(p) · 𝛿(p − p
′
) = Таким образом) =
∫︁
Ψ
*
p
(r, 𝑡) Ψ(r, 𝑡) 𝑑𝑣
(2.1.5)
11

Для преобразования Фурье справедливо равенство, 𝑡)|
2
𝑑𝑣 Упражнение 1. Доказать (Поэтому, если волновой пакет (
2.1.4
) нормирован на единицу в координатном пространстве соотношением (
1.4.3
), то и для весовой функции выполняется условия нормировки = в импульсном пространстве. При нормировке (
2.1.7
) подынтегральное выражение можно интерпретировать как вероятность найти импульс частицы в интервале (p, p + 𝑑p). Тогда 𝐶(p) – это ВФ в импульсном пространстве,
т.е. амплитуда вероятности того, что частица, волновая функция которой задана волновым пакетом, обладает импульсом Среднее значение координаты и импульса.
Операторы координаты и импульса.
Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией Ψ(r, которая носит вероятностный характер, причём даже в том случае, когда описываемая ею система состоит всего лишь из одной единственной частицы. В связи с этим квантовая механика позволяет определить лишь средние значения физических величин независимо то того, имеется много или одна микрочастица. В квантовой механике каждой физической (наблюдаемой) величине ставится в соответствие оператор ̂︀
𝐹 , действующий в пространстве волновых функций Ψ(r, 𝑡), описывающих состояний физической системы.
При этом оператор ̂︀
𝐹 определяется через среднее значение соответствующей ему величины ⟨𝐹 ⟩ в состоянии с волновой функцией Ψ(r, 𝑡) следующим образом = ⟨ ̂︀
𝐹 ⟩
Ψ
≡
∫︁
Ψ
*
(r, 𝑡) ̂︀
𝐹 Ψ(r, 𝑡) где ⟨ ̂︀
𝐹 понимается в смысле квантовомеханического среднего, при условии, что Ψ
*
(r, 𝑡) Ψ(r, 𝑡) 𝑑𝑣 = 1. При таком определении оператора его квантовое среднее значение совпадает с наблюдаемым значением ⟨𝐹 ⟩ физической величины 𝐹 в состоянии Ψ(r, Сточки зрения теории вероятности, среднее значения для некоторой функции 𝐹 (r) координаты частицы есть её математическое ожидание
1
Здесь, согласно общему правилу, оператор действует на функцию, стоящую справа от него

⟨𝐹 (r)⟩ =
∫︁
𝐹 (r) 𝑑𝑝 =
∫︁
𝐹 (r) 𝜌(r, 𝑡) 𝑑𝑣
⏟
⏞
𝑑𝑃
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
(
1.4.1
) и (
1.4.2
)
=
=
∫︁
𝐹 (r) |Ψ(r, 𝑡)|
2
𝑑𝑣 =
∫︁
Ψ
*
(r, 𝑡) 𝐹 (r) Ψ(r, 𝑡) Аналогично, для среднего значения некоторой функции 𝐹 (p) (с учётом вероятностной интерпретации для функции 𝐶(p) предыдущего параграфа)
получим
⟨𝐹 (p)⟩ =
∫︁
𝐹 (p) |𝑐(p)|
2
𝑑
3
𝑝 =
∫︁
𝑐
*
(p) 𝐹 (p) Примем 𝐹 (r) = r – координатный радиус-вектор. Тогда среднее значение координаты частицы есть, 𝑡) r Ψ(r, 𝑡) 𝑑𝑣
⃒
⃒
⃒
⃒
(
2.2.1
)
= ⟨
̂︀
r⟩
Ψ
≡
∫︁
Ψ
*
(r, 𝑡)
̂︀
r Ψ(r, 𝑡) Следовательно = В координатном пространстве (координатном представлении) оператор координаты совпадает с самим значением координаты частицы. Аналогичное равенство имеет местно для произвольных функций координат частицы и её оператора, например для оператора, например для оператора потенциальной энергии в гамильтониане (r) = 𝑈 (Из общего определения оператора (
2.2.1
) для оператора импульса частицы и его среднего значения ⟨p⟩ с помощью (
2.2.3
) можно написать равенства |𝐶(p)|
2
p
⃒
⃒
⃒
⃒
(
2.2.1
)
=
∫︁
𝑑𝑣 Ψ
*
(r, 𝑡)
̂︀
pΨ(r, Преобразуем левую часть (
2.2.6
):
⟨p⟩ =
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶
*
(p) p 𝐶(p)
⃒
⃒
⃒
⃒
(
2.1.5
)
=
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶
*
(p)
(︂∫︁
𝑑𝑣 pΨ
*
p
(r, 𝑡) Ψ(r, Для волны де Бройля (
2.1.2
) справедливо соотношение pΨ
*
p
(r, 𝑡) = 𝑖∇Ψ
*
p
(r, 𝑡)
13

с учётом которого =
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶
*
(p)
(︂
𝑖
∫︁
𝑑𝑣 Ψ(r, 𝑡)∇Ψ
*
p
(r, 𝑡)
)︂
Возьмём интеграл в круглых скобках по частям Ψ(r, 𝑡)∇Ψ
*
p
(r, 𝑡) =
∫︁
𝑑𝑣 ∇
(︀Ψ(r, 𝑡)Ψ
*
p
(r, 𝑡)
)︀ −
∫︁
𝑑𝑣 Ψ
*
p
(r, 𝑡)∇Ψ(r, Используем Ψ(r, 𝑡)|
𝑟→∞
→ 0 в силу квадратичной интегрируемости Ψ(r, см. (
1.4.3
))
⟨p⟩ =
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶
*
(p)
(︂∫︁
𝑑𝑣 Ψ
*
p
(r, 𝑡)(−𝑖∇)Ψ(r, 𝑡)
)︂
=
=
∫︁
𝑑𝑣
∫︁
𝑑
3
𝑝 𝐶
*
(p)Ψ
*
p
(r, 𝑡)
⏟
⏞
Ψ
*
(r,𝑡) из (
2.1.4
)
(−𝑖∇)Ψ(r, 𝑡) =
∫︁
𝑑𝑣 Ψ
*
(r, 𝑡)(−𝑖∇)Ψ(r, Сравнивая полученное выражение с правой частью (
2.2.6
), получим вид оператора импульса частицы p в координатном представлении = При переходе от классической к квантовой механике мы теряем однозначность определения r и p, но приобретаем взаимосвязи между этими физическими величинами. В классической физике траектория и импульс точно определены и не связаны друг с другом (являются независимыми переменными. В квантовой механике как траектория, таки импульс точно не определены, но их распределения – амплитуды вероятностей Ψ(r, 𝑡) и 𝐶(p)
– связаны друг с другом.
§3.
Постановка задачи на собственные функции и собственные значения операторов
Для волны де Бройля справедливо соотношения, 𝑡) = pΨ
p
(r, которое является частным случаем задачи на собственные значения и собственные функции (пары) в квантовой механике.
Пусть q ≡ (𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑛
) – конфигурационное пространство (пространство обобщённых координат физической системы, q – действительный вектор.
Задача о поиске функций 𝜓
𝑓
(q) удовлетворяющих уравнению обобщённого вида

̂︀
𝐹 𝜓
𝑓
(q) = 𝑓 называется задачей о нахождении собственных значений 𝑓 оператора ̂︀
𝐹 и отвечающих им собственных функций 𝜓
𝑓
(q). Набор всех значений {𝑓 } называется спектром оператора ̂︀
𝐹 Если спектр дискретен, те. {𝑓 } = 𝑓
1
, 𝑓
2
, ..., 𝑓
𝑛
, ..., то пользуются обозначением. Тогда 𝜓
𝑛
(q) = Однако спектр может быть и непрерывным. В частности, в одномерном случае) спектром оператора импульса p является вся действительная ось ∈ (−∞, +∞).
15

Глава Математический аппарат квантовой механики
§1.
Состояние и волновая функция. Принцип суперпозиции состояний. Дираковская формулировка квантовой механики. Вектор состояния.
В квантовой механике понятие состояния шире понятия волновой функции, хотя бы потому, что иногда состояния может и не описываться полностью волновой функцией. Например, состояния движущейся частицы описывается ВФ Ψ(r, 𝑡). Однако, у частицы могут быть и внутренние степени свободы (или внутренние динамические переменные. В описании состояния фотона – элементарной составляющей луча света – присутствует ещё
и поляризация. функция, которая описывает такое состояние не сводится к координатной. Поэтому каждому динамическому состоянию квантовой системы, к том числе не имеющей классических аналогов, будем в дальнейшем сопоставлять некоторый комплексный вектор в абстрактном пространстве.
Согласно Полю А. М. Дираку (1938 г, будем обозначать вектор состояния символом |· · ·⟩. Внутри скобок ставятся буквы или цифры, характеризующие это состояние, например |r⟩, |p⟩, |𝐸⟩, |𝑛𝑙𝑚
𝑙
⟩ и т.д. Начинка скобок,
как правило, состоит из квантовых чисел (значений динамических переменных, характеризующих состояния системы. В общей квантовой теории эти символы играют туже роль, что и волновые функции в волновой механике.
Более того, теперь в понятие состояния входят не только состояния движения, описываемые переменными пространства, но и они могут зависеть от всех внутренних переменных, не относящихся к движению

Каким должно быть векторное пространство состояний Прежде всего оно должно соответствовать основополагающему принципу квантовой механики (или одному из её постулатов) – принципу суперпозиции состояний.
На языке волновых функций этот принцип можно сформулировать следующим образом.
Утверждение 1 (II постулат квантовой механики. Если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями и Ψ
2
, то она может находиться ив состоянии Ψ, описываемом их линейной комбинацией = 𝑐
1
Ψ
1
+ 𝑐
2
Ψ
2
, 𝑐
1
, 𝑐
2
∈ где 𝑐
1
, 𝑐
2
– произвольные (с точностью до условия нормировки) комплексные числа.
𝑑
r
1
r
2
r
S
𝐼
Рис. 3.1: К вопросу о суперпозиции состояний.
Этот постулат имеет много наблюдаемых следствий. Одно из них, а именно прохождение электрона через две близко расположенных щели (𝜆
д.б.
=

𝑝
. 𝑑), обсуждается чаще других (см.
рис. 3.1
). Монохроматический пучок электронов падает на экран слева, проходит сквозь щели в перегородке и затем регистрируется на экране (или фотопластинке) справа. Если пооче- рёдно закрыть каждую из щелей, тона экране справа мы увидим изображение открытой щели. Но если открыть обе щели одновременно, то вместо изображения двух щелей на фотографии видна система интерференционных полос. Результаты этого опыта можно объяснить, если предположить,
что электрон, проходящий через две открытые щели, находится в некотором состоянии суперпозиции, 𝑡) = [𝜓
1
(r
1
) + 𝜓
2
(r
2
)] 𝑒
−𝑖𝐸𝑡/
(3.1.1)
17

Здесь две волны имеют одинаковую частоту 𝜔 = 𝐸/, т.к. в противном случае интерференционная картина перестанет быть стационарной. Тогда плотность вероятности нахождения электрона вблизи точки (r, 𝑡) равна, 𝑡)|
2
= |𝜓
1
(r
1
) + 𝜓
2
(r
2
)|
2
= |𝜓
1
|
2
+ |𝜓
2
|
2
+ (𝜓
*
1
𝜓
2
+ 𝜓
1
𝜓
*
2
)
⏟
⏞
2 Re(𝜓
1
𝜓
*
2
)
=
= |𝜓
1
|
2
+ |𝜓
2
|
2
+ 2 |𝜓
1
| |𝜓
2
| cos (𝜙
1
− те. наблюдается стационарная (независящая от времени) интерференционная картина. Последний член в сумме (
3.1.2
) представляет интерференцию двух волн вероятности, прошедших в данную точку экрана из разных щелей в перегородке, и зависит от разности фаз волновых функций ∆𝜙 = 𝜙
1
− В случае равных по модулю амплитуд вероятности (|𝜓
1
| = |𝜓
2
|):
|Ψ|
2
= 4 те. интенсивность изображения в разных точках экрана меняется от нуля до 4 в зависимости от разности фаз ∆𝜙. Например, абсолютный максимум интенсивности расположен на центральной линии при ∆𝜙 = 0. Может оказаться итак, что при двух открытых щелях на месте изображения одиночной щели мы не обнаружим никакого сигнала, что с корпускулярной точки зрения абсурдно.
С чем же интерферирует электрон, если вся волновая функция Ψ отнесена к одному электрону Каждый электрон интерферирует сам с собой,
т.к. он вошёл частично в каждую волну и невозможно точно сказать, через какую из щелей он проходит. Если же попытаться установить, через какую фиксированную щель он проходит, поставив дополнительный эксперимент,
то интерференционная картина исчезнет. Дело в том, что при этом произой- дёт трансформация волновой функции 𝜓(r
1
) → 𝜓
1
(r
1
), и больше не будет интерференционного состояния.
Таким образом, для сохранения принципа суперпозиции состояний, векторное пространство состояний должно быть линейным, те. произвольная линейная композиция двух векторов |𝜓
1
⟩ и |𝜓
2
⟩ из этого пространства должна также принадлежать пространству состояний = 𝑐
1
|𝜓
1
⟩ + 𝑐
2
|𝜓
2
⟩ , при 𝑐
1
, 𝑐
2
∈ В качестве следствия принципа суперпозиции сделаем следующее замечание
Утверждение 2 (I постулат квантовой механики в формализме Дирака).
Квантовое состояние системы полностью определяется вектором состояния. Векторы |𝜓⟩ и 𝐶 |𝜓⟩ (𝐶 ̸= 0) определяют одно и тоже состояние.
Умножение на число отличное от нуля не меняет состояние, те. суперпозиция состояния с самим собой не даёт ничего нового сточки зрения

квантовых измерений. В начинке скобки остаются те же самые квантовые числа – значения динамических переменных. Это следствие принципа суперпозиции трактуется как первый постулат квантовой механики на основе обобщения экспериментальных фактов. В частности, в опытах по интерференции электронов умножение на константу не меняет распределение волн вероятности, а лишь нормирует интерференционную картинку на общее число частиц в пучке.
Кроме того, векторное пространство состояний обладает обычными свойствами линейного (векторного) пространства. |𝜓⟩ + |𝜙⟩ = |𝜙⟩ + |𝜓⟩ (аксиома коммутативности. [|𝜓⟩ + |𝜙⟩] + |𝜒⟩ = |𝜓⟩ + [|𝜙⟩ + |𝜒⟩] (аксиома ассоциативности. 𝑐 (|𝜙⟩ + |𝜓⟩) = 𝑐 |𝜙⟩ + 𝑐 |𝜓⟩ (аксиома дистрибутивности. (𝑐
1
+ 𝑐
2
) |𝜓⟩ = 𝑐
1
|𝜓⟩ + 𝑐
2
|𝜓⟩ (аксиома дистрибутивности. 0 · |𝜓⟩ ≡ |0⟩ = 0 (нулевой вектор не описывает никакого состояния квантовой системы. Действительно, если |𝜓⟩ = 0, то и связанная с этим вектором вероятность найти частицу равна нулю, что означает отсутствие квантового объекта).
Векторное пространство состояний наделено скалярным произведением вектора |𝜙⟩ на вектор |𝜓⟩, которое в общем случае есть комплексное число. По определению, скалярное произведение выражается через интеграл в конфигурационном пространстве q = (𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑛
)
⟨𝜙|𝜓⟩ =
∫︁
𝜙
*
(𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑛
)
⏟
⏞
q
𝜓 (𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑛
)
⏟
⏞
q
𝑑𝑞
1
...𝑑𝑞
𝑛
⏟
который ещё называется проекцией 𝜓 на 𝜙. Если ⟨𝜙|𝜓⟩ = 0, то говорят,
что функции 𝜙 и 𝜓 ортогональны. Норма ‖𝜓‖ функции 𝜓 есть скалярное произведение функции на саму себя ‖𝜓‖ = Основные свойства скалярного произведения. Из (
3.1.5
): ⟨𝜙|𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝜙⟩
*
, те. порядок сомножителей существенен. Если | ˜
𝜙⟩ = 𝜆
1
|𝜙⟩ и 𝜆
2
|𝜓⟩, то ⟨ ˜
𝜙| ˜
𝜓⟩ = 𝜆
*
1
𝜆
2
⟨𝜙|𝜓⟩, те. скалярное произведение линейно по второму и антилинейно по первому сомножителю. норма функции 𝜓 есть неотрицательное вещественное число ⟨𝜓|𝜓⟩ >
0, причём ⟨𝜓|𝜓⟩ = 0 только если |𝜓⟩ = 0. Поэтому в математической литературе норма вектора |𝜓⟩ определяется как ‖𝜓‖ =
√︀⟨𝜓|𝜓⟩
19

Помимо свойства линейности и возможности определения скалярного произведения, пространство состояний обладает ещё и свойством полноты.
Это обстоятельность позволяет отождествить его с пространством Гильберта. В нём всегда можно ввести базис как полную ортонормированную систему функций. Следовательно, есть возможность произвольную функцию состояния 𝜓(𝑥) представить в виде рядов или интегралов, те. в виде линейной комбинации базисных функций.
Отметим в конечномерной модели аналогию с линейной алгеброй. Пусть вектору состояний |𝜓⟩ соответствует двухкомпонентный вектор-столбец 𝜓 =
(︂𝜓
1
𝜓
2
)︂
. Тогда скалярному произведению ⟨𝜙|𝜓⟩ можно поставить в соответствие значение, 𝜙
*
2
)
(︂𝜓
1
𝜓
2
)︂
= 𝜙
*
1
𝜓
1
+ Поэтому наряду с 𝜓 удобно ввести также ⟨𝜓| – аналог комплексно-сопряжённой вектор-строки: ⟨𝜓| → (𝜓
*
1
, 𝜓
*
2
). Данный объект есть элемент дуального (или сопряженного) векторного пространства, хорошо известного в линейной алгебре. Операцию перехода к элементам дуального векторного пространства обозначим символом, так что = В терминах матриц это означает эрмитово сопряжение, те. операцию транспонирования и комплексного сопряжения. Таким образом, для любого вектора состояний |𝜓⟩, принадлежащего гильбертову пространству (|𝜓⟩ ∈ вектор дуального пространства ⟨𝜙| ∈ H
*
задаёт линейный функционал, аргумент которого сам вектора его значение ⟨𝜙|𝜓⟩ ∈ Вектор |𝜓⟩ называют кет-вектором, а вектор ⟨𝜓| дуального пространства бра-вектором. Дело в том, что эти обозначения, введённые Полем
А. М. Дираком, соответствуют английскому слову «bracket» – скобка. Скобка (скалярное произведение) ⟨𝜙|𝜓⟩ состоит из двух векторов бра и «кет».
В заключение этого параграфа ещё раз обратимся к принципу суперпозиции состояний, записанному в векторных обозначениях в виде (
3.1.4
):
|𝜓⟩ = 𝑐
1
|𝜓
1
⟩ + тогда = 𝑐
*
1
⟨𝜓
1
| + Поскольку ранее мы договорились описывать состояния функциями нормированными на единицу, то для всех векторов состояний принимаем норму = ⟨𝜓
1
|𝜓
1
⟩ = ⟨𝜓
2
|𝜓
2
⟩ = отсюда = |𝑐
1
|
2
+ |𝑐
2
|
2
+ 2 Re 𝑐
*
1
𝑐
2
⟨𝜓
1
|𝜓
2
⟩ = 1 20

Выбирая состояния |𝜓
1
⟩ и |𝜓
2
⟩ взаимно ортогональными, те. ⟨𝜓
1
|𝜓
2
⟩ = получим |𝑐
1
|
2
+ |𝑐
2
|
2
= 1. В таком случае коэффициенты линейной комбинации) имеют вполне определённый физический смысл |𝑐
1
|
2
(|𝑐
2
|
2
)
– вероятность обнаружить систему в состоянии |𝜓
1
⟩ (|𝜓
2
⟩). Мы получили важное дополнение к принципу суперпозиции состояний
Утверждение 3. Если измерение в состоянии 1 даёт результата измерение в состоянии 2 даёт результат 2 , то измерение в суперпозиции этих состояний даёт либо результат 1 , либо результат 2 Термин квантовая суперпозиция означает, что при измерении нельзя получить «что-то третье, а лишь только первое или второе стой или иной вероятностью. В этом заключена ещё одна сторона статистической интерпретации волновой функции в квантовой механике.
§2.
Наблюдаемые и операторы физических величин. Линейные и эрмитовые операторы
В квантовой механике каждой физической величине 𝐹 (или наблюдаемой , по терминологии Дирака, ставится в соответствие линейный оператор , действующий в пространстве векторов состояний |𝜓⟩, описывающих состояния физической системы. Линейный оператор ̂︀
𝐹 задаёт в гильбертовом пространстве H некоторое линейное отображение некоторого множества области определения ̂︀
𝐹 ) в множество значений 𝑅
̂︀
𝐹
:
|𝜙⟩ = ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ ∈ 𝑅
̂︀
𝐹
, где |𝜓⟩ ∈ Определение 1. Оператор ̂︀
𝐹 называется линейным, если для него выполняется где |𝜓
1
⟩ , |𝜓
2
⟩ ∈ 𝐷
̂︀
𝐹
, а 𝑐
1
, 𝑐
2
∈ В линейности оператора ̂︀
𝐹 физической величины 𝐹 находит отражение принцип суперпозиции состояний, т.к. он с самого начала заложен в квантовую теорию. По своему определению это оператор, который переводит линейную комбинацию (суперпозицию) одних векторов состояний в линейную комбинацию других векторов состояний + 𝑐
2
|𝜓
2
⟩
̂︀
𝐹
−−−→ 𝑐
1
|𝜙
1
⟩ + Таким образом, применение линейных операторов не нарушает принципа суперпозиции состояний.
Линейные операторы образуют алгебру, те. множество, для которых справедливы следующие свойства

1. Умножение на комплексное число ̂︀
𝐹 ) |𝜓⟩ ≡ 𝑐( ̂︀
𝐹 |𝜓⟩)
⃒
⃒
⃒
(
3.2.1
)
= ̂︀
𝐹 (𝑐 |𝜓⟩)
⏟
свойство однородности ̂︀
𝐹
2. Коммутативность операции сложения ̂︀
𝐹 + ̂︀
𝐺) |𝜓⟩ ≡ ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ + ̂︀
𝐺 |𝜓⟩ = ̂︀
𝐺 |𝜓⟩ + ̂︀
𝐹 |𝜓⟩
⏟
из аксиомы коммутативности ( ̂︀
𝐺 + ̂︀
𝐹 ) |𝜓⟩
⇒
̂︀
𝐹 + ̂︀
𝐺 = ̂︀
𝐺 + ̂︀
𝐹
3. Произведение операторов = ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺
⇒
̂︀
𝑃 |𝜓⟩ = ̂︀
𝐹 ( ̂︀
𝐺 В общем случае операция произведения некоммутативна: ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺 |𝜓⟩ ̸=
̂︀
𝐺 ̂︀
𝐹 Определение 2. Разность ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺 − ̂︀
𝐺 ̂︀
𝐹 называется коммутатором операторов и ̂︀
𝐺 и обозначается квадратными скобками , ̂︀
𝐺
]︁
≡ ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺 − ̂︀
𝐺 Говорят, что операторы коммутируют, если , ̂︀
𝐺
]︁
= Из свойства
1
следует, что любой оператор коммутирует с константой [ ̂︀
𝐹 , 𝐶] =
0.
4. Пусть |𝜙⟩ = ̂︀
𝐹 |𝜓⟩. Если имеется взаимно однозначное соответствие между векторами |𝜓⟩ и |𝜙⟩, то оно определяет два линейных оператора и ̂︀
𝐺:
|𝜙⟩ = ̂︀
𝐹 |𝜓⟩
|𝜓⟩ = ̂︀
𝐺 При этом операторы ̂︀
𝐹 и ̂︀
𝐺 по определению обратны друг к другу, т.е.
удовлетворяют операторным уравнениям ̂︀
𝐺 = ̂︀
𝐺 ̂︀
𝐹 = Эти два определение обратных операторов эквивалентны. Оператор, обратный данному, существует не всегда. Когда он существует, его обозначают символом ̂︀
𝐹
−1
, и альтернативным определению (
3.2.3
) будет
1
Это прояснится в дальнейшем при рассмотрении матричного представления операторов обратную имеет только невырожденная матрица, тес отличным от неля определителем Если операторы ̂︀
𝐹 и ̂︀
𝐺 имеют обратные, тогда существует и обратный оператор из произведения ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺)
−1
= Отметим перестановку сомножителей в правой части (Упражнение 1. Доказать (
3.2.4
), используя (Рассмотрим наряду с оператором ̂︀
𝐹 , действующем в пространстве состояний, оператор ̂︀
𝐹
†
, действующий в сопряжённом пространстве H
*
. Пусть = ̂︀
𝐹 |𝜓⟩, тогда по определению вектор в получается эрмитовым сопряжением Оператор эрмитово сопряжён по отношению к оператору ̂︀
𝐹 и действует справа налево. В результате действия на бра-вектор ⟨𝜓| получается бра-вектор ⟨𝜒|. К ному можно справа приставить некоторый вектор ∈ H. А это значит, формально можно считать, что оператор действует не только налево, но и направо, те. на |𝜙⟩. Тогда, получим ̂︀
𝐹
†
|𝜙⟩ = ⟨𝜒|𝜙⟩ = Следовательно, из (
3.2.5
):
⟨𝜓| ̂︀
𝐹
†
|𝜙⟩ = ⟨𝜙| ̂︀
𝐹 Определение 3. Эрмитово сопряжённым к ̂︀
𝐹 называется оператор удовлетворяющий (Для эрмитово сопряжённых операторов легко убедиться в справедливости соотношений ̂︀
𝐹 )
†
= 𝑐
*
̂︀
𝐹
†
( ̂︀
𝐹
†
)
†
= ̂︀
𝐹
( ̂︀
𝐹 + ̂︀
𝐺)
†
= ̂︀
𝐹
†
+ ̂︀
𝐺
†
( ̂︀
𝐹 ̂︀
𝐺)
†
= Упражнение 2. Доказать приведённые выше свойства

Определение 4. Если ̂︀
𝐹
†
= ̂︀
𝐹 или |𝜓⟩ , |𝜙⟩ ∈ 𝐷
̂︀
𝐹
→
⟨𝜓| ̂︀
𝐹 𝜙⟩ = ⟨𝜙| ̂︀
𝐹 то оператор ̂︀
𝐹 называется эрмитовым или сопряжённым самому себе
(самосопряжённым).
В литературе иногда используется другое эквивалентное определение эрмитово сопряжённого оператора. Пусть |𝜓⟩ и |𝜙⟩ – два произвольных вектора состояний, ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ ≡
⃒
⃒
⃒
̂︀
𝐹 𝜓
⟩
. Тогда оператор называется эрмитово со- пряжённым по отношению к оператору ̂︀
𝐹 , если оба оператора имеют одну и туже область определения и выполняется равенство ̂︀
𝐹 𝜓⟩ = ⟨ ̂︀
𝐹
†
𝜙|𝜓⟩ = ⟨𝜓| или ̂︀
𝐹
†
𝜙⟩ = ⟨ ̂︀
𝐹 что эквивалентно) ̂︀
𝐹
†
𝜙(q) 𝑑q =
∫︁
(︁
̂︀
𝐹 𝜓(q)
)︁
*
𝜙(q) Определение 5. ̂︀
𝐹 называется эрмитовым (самосопряжённым), если ̂︀
𝐹
†
=
̂︀
𝐹 , те |𝜓⟩ , |𝜙⟩ ∈ 𝐷
̂︀
𝐹
→
⟨𝜓| ̂︀
𝐹 𝜙⟩ = ⟨ ̂︀
𝐹 или) ̂︀
𝐹 𝜙(q) 𝑑q =
∫︁
(︁
̂︀
𝐹 𝜓(q)
)︁
*
𝜙(q) Здесь область определения включает все векторы состояний |𝜓⟩ и, для которых. ‖𝜓‖ < ∞, ‖𝜙‖ < ∞
2. ‖ ̂︀
𝐹 𝜓‖ < ∞, ‖ ̂︀
𝐹 𝜙‖ < Определение 6. Выражение ̂︀
𝐹 𝜓⟩ ≡ ⟨𝜙| ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ =
∫︁
𝜙
*
(q) ̂︀
𝐹 𝜓(q) 𝑑q называется матричным элементом оператора ̂︀
𝐹 на функциях 𝜙 и 𝜓, или матричным элементом ̂︀
𝐹 в обкладках векторов ⟨𝜙| и Величина ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 𝜓⟩ ≡ ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ называется диагональным матричным элементом

Из (
2.2.1
) оператора ̂︀
𝐹 физической величины следует, что наблюдаемое значение ⟨𝐹 ⟩ физической величины 𝐹 (е среднее или ожидаемое значение)
совпадает с диагональным матричным элементом ⟩ = ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 𝜓⟩ = ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 В квантовой механике средние значения физических величин в любом состоянии представляют собой измеряемые, а следовательно, действительные числа ⟨𝐹 ⟩ = ⟨𝐹 ⟩
*
, или, в соответствии с (
3.2.8
):
⟨𝜓| ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ = ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 |𝜓⟩
*
⃒
⃒
⃒
(
3.2.6
), (
3.2.9
)
= ⟨𝜓| или ̂︀
𝐹
†
= ̂︀
𝐹 . То есть физическим (наблюдаемым) величинам соответствуют эрмитовы операторы.
Таким образом, в квантовой механике каждой физический величине сопоставляется линейный и эрмитовый оператор ̂︀
𝐹 , выбираемый так, чтобы среднее из многих измерений этой величины ⟨𝐹 ⟩ в состоянии, описываемом функцией Ψ(r, 𝑡), было равно ⟩ = ⟨Ψ| ̂︀
𝐹 Здесь функция Ψ(r, 𝑡) является вектором пространства Гильберта и удовлетворяет условию нормировки ⟨Ψ|Ψ⟩ = Об измеряемой величине 𝐹 , помимо её среднего значения ⟨𝐹 ⟩, судят ещё
по её среднему квадратичному отклонению от ⟨𝐹 ⟩ (дисперсии )
2
⟩ ≡ ⟨(𝐹 − ⟨𝐹 Пользуясь общим определением (
2.2.1
) среднего значения, получим )
2
⟩ = ⟨𝜓|( ̂︀
𝐹 − ⟨𝐹 ⟩)
2
|𝜓⟩
(3.2.11)
Т.к. оператор ̂︀
𝐹 – эрмитова действительное число, то оператор ̂︀
𝐹 −⟨𝐹 ⟩
– также эрмитов, поэтому )
2
⟩
⃒
⃒
(
3.2.7
′
)
= ⟨(𝐹 − ⟨𝐹 ⟩)𝜓|(𝐹 − ⟨𝐹 ⟩)𝜓⟩ =
=
∫︁
|(𝐹 − ⟨𝐹 ⟩) 𝜓|
2
𝑑q > Следовательно, чтобы величина 𝐹 не имела разбросав состоянии те. чтобы ⟨(∆𝐹 )
2
⟩ = 0, необходимо выполнение условия |𝜓⟩ = ⟨𝐹 ⟩ |𝜓⟩
(3.2.13)
25

Таким образом, условие ⟨(∆𝐹 )
2
⟩ = 0 выполняется, если состояние является собственным для оператора ̂︀
𝐹 (см. § 3 гл. 2). При ⟨𝐹 ⟩ = 𝑓 этому условию удовлетворяют собственные вектора оператора ̂︀
𝐹 , для которых вместо (
2.3.2
) можно записать |𝜓
𝑓
⟩ = 𝑓 где 𝑓 – собственные значения оператора ̂︀
𝐹 Поэтому далее будем считать, что никаких значений величины 𝐹 нельзя наблюдать на опыте, кроме тех, которые являются собственными значениями оператора ̂︀
𝐹 . Иными словами, в квантовой механике постулируется:
Утверждение 1 (III постулат квантовой механики. Физическая величина в любом квантовом состоянии может принимать только те значения,
которые принадлежат спектру её оператора ̂︀
𝐹 Наблюдаемые на опыте величины вещественны, значит, должны быть вещественными собственные значения 𝑓 оператора ̂︀
𝐹 в (
3.2.14
). Докажем теорему
Теорема 1. Если оператор ̂︀
𝐹 эрмитов, то он имеет вещественные собственные значения.
Доказательство. Применим клевой части (
3.2.14
) условие эрмитовости
(
3.2.7
) оператора ̂︀
𝐹 :
⟨𝜓
𝑓
| ̂︀
𝐹 |𝜓
𝑓
⟩
*
⃒
⃒
⃒
(
3.2.7
)
= ⟨𝜓
𝑓
| ̂︀
𝐹 Отсюда 𝑓
*
⟨𝜓
𝑓
|𝜓
𝑓
⟩ = 𝑓 Или 𝑓
*
= 𝑓 , что и требовалось доказать.

Этим полностью разъясняется роль эрмитовых операторов для квантовой механики эрмитовы операторы изображают вещественные (наблюдаемые) величины. Поэтому в современной англоязычной литературе часто эрмитовы операторы называют наблюдаемыми (Условие ортогональности и полноты для собственных функций операторов физических величин
Уравнение (
2.3.3
) на собственные значения ̂︀
𝐹 для дискретного спектра в терминах собственных векторов принимает вид

̂︀
𝐹 |𝜓
𝑛
⟩ = 𝑓
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩ или ̂︀
𝐹 |𝑛⟩ = где 𝜓
𝑛
≡ |𝑛⟩, 𝑛 = 0, 1, 2, Может оказаться так, что каждому собственном значению (СЗ) отвечает один собственный вектор. В таком случае говорят о невырожденном
(или простом) спектре оператора ̂︀
𝐹 . Может быть итак, что соответствует несколько собственных векторов, например, Такое собственное значение называется вырожденными говорят о вырожденном спектре оператора ̂︀
𝐹 Определение 1. Максимальное количество линейно-независимых собственных векторов (собственных функций, отвечающих данному собственному значению, называется кратностью вырождения этого собственного зна- чения.
Утверждение 1. Собственные функции (собственные векторы) эрмито- вого оператора, отвечающие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда вырождение отсутствует. Имеем Умножим первое уравнение из (
3.3.2
) скалярно на ⟨𝜓
𝑚
|, второе уравнение на ⟨𝜓
𝑛
|, и вычтем из первого уравнения комплексно сопряжённое второе ̂︀
𝐹 |𝜓
𝑛
⟩ − ⟨𝜓
𝑛
| ̂︀
𝐹 |𝜓
𝑚
⟩
†
⃒
⃒
⃒
(
3.2.7
)
= 0 = 𝑓
𝑛
⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩ − 𝑓
*
𝑚
⏟ ⏞ Из вещественности собственных значений ̂︀
𝐹 получаем 𝑓
𝑚
)⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩ = 0
(3.3.3)
Т.к. по условию 𝑓
𝑚
̸= 𝑓
𝑛
, то ⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩ = 0 , что и требовалось доказать.

Т.к. функции дискретного спектра мы может нормировать к единице = это равенство можно объединить с равенством (
3.3.3
):
⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩ = ⟨𝑚|𝑛⟩ = 𝛿
𝑚𝑛
(3.3.5)
27

В дальнейшем мы будем считать, что собственные векторы линейного эр- митового оператора образуют ортонормированную системы векторов.
Собственные векторы = 1, 𝑔, соответствующие вырожденному СЗ 𝑓
𝑛
, вообще говоря, не являются взаимно ортогональным (см, например) при 𝑓
𝑛
= 𝑓
𝑚
). Любая линейная комбинация этих векторов также будет собственным вектором оператора ̂︀
𝐹 стем же СЗ 𝑓
𝑛
. Из линейной алгебры известно, что линейные комбинации (
3.3.6
) можно выбрать так,
чтобы все векторы нового набора, 𝑠 = 1, 𝑔 составляли ортонормированную систему (например, с помощью процедуры ортогонализации по
Шмидту). Таким образом, даже в случае вырожденного спектра эрмитова оператора ̂︀
𝐹 все его собственные векторы можно считать ортонормирован- ными.
В математике доказывается, что системы всех ортонормированных собственных векторов линейного эрмитова оператора с дискретным спектром является полным набором в гильбертовом пространстве состояний, а значит,
ортонормированным базисом этого пространства.
Следовательно, ∀ |𝜓⟩ ∈ H мы может разложить его по системе собственных векторов оператора ̂︀
𝐹 :
|𝜓⟩ где =
∑︁
𝑛
𝑐
𝑛
⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩
⏟
⏞
=𝛿𝑚𝑛 (из (
3.3.5
))
=
∑︁
𝑛
𝑐
𝑛
𝛿
𝑚𝑛
= те. 𝑐
𝑛
= ⟨𝜓
𝑛
|𝜓⟩ – коэффициенты разложения (
3.3.7
) есть проекции вектора на соответствующие собственные вектора оператора ̂︀
𝐹 С помощью |𝜓⟩ прямого пространства и ⟨𝜙| сопряжённого было определено число – скалярное произведение этих векторов ⟨𝜙|𝜓⟩. Однако, скалярное произведение – не единственный способ перемножения векторов бра и кет.
Можно составить произведение |𝜓⟩ которое обладает свойствами оператора. Действительно, оператор ставит в соответствие произвольному вектору |𝜒⟩ некоторый другой вектор по опре- делённому правилу

̂︀
𝑃
𝜓
|𝜒⟩ = |𝜓⟩ ⟨𝜙|𝜒⟩
⏟ ⏞
=𝑐
= 𝑐 Как видим, конструкция (
3.3.8
) обладает свойствами оператора проектирования при действии на произвольный вектор |𝜒⟩ она переводит его в вектор с числовым множителем 𝑐, или проектирует произвольное состояние нас весовым множителем Теперь вернёмся к разложению (
3.3.7
) и подставим в него явный вид коэффициентов 𝑐
𝑛
:
|𝜓⟩ =
∑︁
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩ ⟨𝜓
𝑛
|𝜓⟩ =
(︃
∑︁
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩ Отсюда видно, что выражение в скобках должно быть единичным оператором Полученное соотношение (
3.3.11
) называется условием полноты системы собственных вектором оператора ̂︀
𝐹 . (Иногда левую часть равенства (называют операторным разложением единицы по отношению к собственным векторам оператора ̂︀
𝐹 .) Объясним смысл термина условие полноты».
Возьмём одно слагаемое из суммы |𝜓
𝑛
⟩ ⟨𝜓
𝑛
| и подействуем этим оператором на вектор |𝜓⟩, получим ⟨𝜓
𝑛
|𝜓⟩
⏟
⏞
=𝑐
𝑛
≡ ̂︀
𝑃
𝑛
|𝜓⟩ = где, как и ранее, 𝑐
𝑛
= |𝜓
𝑛
⟩ ⟨𝜓
𝑛
|. Таким образом, ̂︀
𝑃
𝑛
– это проектор (оператор проектирования) произвольного вектора состояния |𝜓⟩ на одномерное подпространство, натянутое на орт |𝜓
𝑛
⟩. В силу полноты системы собственных векторов {|𝜓
𝑛
⟩} сумма подобных проекторов должна представлять собой проектор на всё гильбертово пространство H, те, очевидно, единичный оператор.
Сформулируем основные свойства проекторов. оператор ̂︀
𝑃
𝑛
– эрмитов. ̂︀
𝑃
2
𝑛
= ̂︀
𝑃
𝑛
;
2 3. собственные значения ̂︀
𝑃
𝑛
: 𝜆 = {0, Упражнение 1. Доказать вышеперечисленные свойства

Всё сказанное выше относилось к случаю, когда собственные значения дискретны и невырождены. Если они вырождены, то разложение (уместно трактовать не как разложение по собственным векторам, а по собственным подпространствам.
В заключение этого раздела обсудим физический смысл коэффициентов
𝑐
𝑛
в разложении (
3.3.7
). Проведём нормировку на единицу вектора состояния в разложении (
3.3.7
). Если
|𝜓⟩|
(
3.3.7
)
=
∑︁
𝑛
𝑐
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩
то
⟨𝜓| =
∑︁
𝑚
𝑐
*
𝑚
⟨𝜓
𝑚
|
⟨𝜓|𝜓⟩ =
∑︁
𝑚
∑︁
𝑛
𝑐
*
𝑚
𝑐
𝑛
⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩
⏟
⏞
𝛿
𝑚𝑛
=
∑︁
𝑛
|𝑐
𝑛
|
2
= Подставляя разложение (
3.3.7
) в (
3.2.8
) для среднего значения физической величины 𝐹 в состоянии |𝜓⟩, получим ⟩ = ⟨𝜓| ̂︀
𝐹 |𝜓⟩ =
∑︁
𝑚
∑︁
𝑛
𝑐
*
𝑚
𝑐
𝑛
⟨𝜓
𝑚
|𝐹 |𝜓
𝑛
⟩
⏟
⏞
⟨𝜓
𝑚
|𝑓
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩ из (
3.3.1
)
=
=
∑︁
𝑚
∑︁
𝑛
𝑐
*
𝑚
𝑐
𝑛
𝑓
𝑛
⟨𝜓
𝑚
|𝜓
𝑛
⟩
⏟
⏞
𝛿𝑚𝑛
=
∑︁
𝑛
𝑓
𝑛
|𝑐
𝑛
|
2
= ⟨𝐹 Анализ соотношений (
3.3.13
) и (
3.3.14
) позволяет заключить, что квадрат модуля коэффициента |𝑐
𝑛
|
2
= разложения |𝜓⟩ по собственным векторам оператора ̂︀
𝐹 физической величины есть вероятность обнаружить при измерении физической величины 𝐹 её значение равным одному из собственных значений оператора ̂︀
𝐹 , те. 𝐹 = Иными словами, если проделать 𝑁 независимых измерений физической величины 𝐹 , тов пределе больших 𝑁 вероятность получения 𝐹 = будет равна = 𝑓
𝑛
) = |⟨𝜓
𝑛
|𝜓⟩|