Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
0в представлении, нормированную на единицу) Заметим теперь, что вектор го состояния линейного ГО |𝑛⟩ ≡ связан с вектором основного состояния соотношениями = √ 1 |1⟩ → |1⟩ = 1 √ 1 ̂︀ 𝑎 † |0⟩ ̂︀ 𝑎 † |1⟩ = √ 2 |2⟩ → |2⟩ = 1 √ 2 ̂︀ 𝑎 † |1⟩ = 1 √ 2 · 1 ( ̂︀ 𝑎 † ) 2 |0⟩ ̂︀ 𝑎 † |2⟩ = √ 3 |3⟩ → |3⟩ = 1 √ 3 ̂︀ 𝑎 † |3⟩ = 1 √ 3 · 2 · 1 ( ̂︀ 𝑎 † ) 3 |0⟩ |𝜓 𝑛 ⟩ ≡ |𝑛⟩ Следовательно, в представлении для волновой функции го состояния линейного ГО получаем) = √︃ 1 2 𝑛 · 𝑛! · √ 𝜋 (︂ 𝜉 Эта волновая функция следующим образом выражается через й полином Эрмита: 𝜓 𝑛 (𝜉) = √︃ 1 2 𝑛 · 𝑛! где 𝐻 𝑛 (𝜉) = 𝑒 𝜉 2 /2 (︁ 𝜉 − 𝑑 𝑑𝜉 )︁ 𝑛 𝑒 −𝜉 2 /2 𝐻 0 (𝜉) = 1, 𝐻 1 (𝜉) = 2𝜉, 𝐻 2 (𝜉) = 4𝜉 2 − Полином Эрмита й степени 𝐻 𝑛 (𝜉) имеет 𝑛 действительных корней, поэтому число нулей волновой функции ГО 𝜓 𝑛 (𝑥) равно 𝑛 (см. рис. 7.2 ). Это частный случай осцилляторной теоремы квантовой механики Теорема 1 (Осцилляторная теорема. Волновая функция 𝜓 𝑛 (𝑥), соответствующая собственному значению 𝐸 𝑛 , имеет при конечных 𝑥 ровно 𝑛 нулей Рис. 7.2: Модуль волновых функций гармонического осциллятора Глава Угловой момент §1. Повороты и оператор углового момента. Изотропность пространства и сохранение углового момента в квантовой механике. Переход от одной (1) декартовой системы координат (СК) к другой (2) повёрнутой СК всегда может быть осуществлён поворотом вокруг специально подобранного единичного вектора n на специально подобранный угол 𝜒 (см. рис. 8.1 ). 𝑦 𝑧 𝑥 1 Рис. 8.1: Повороты в декартовой системе координат Пусть 𝜒 = 𝜒n есть вектор поворота. Связь между векторами состояний системы в лабораториях 1 и 2 можно задать соотношением 2⟩ = ̂︀ 𝑅(𝜒) |𝜓; 1⟩ 69 где ̂︀ 𝑅(𝜒) – оператор поворота. Из сохранения нормировки векторов ⟨𝜓; 2|𝜓; 2⟩ = ⟨𝜓; 1|𝜓; 1⟩ следует, что ̂︀ 𝑅(𝜒) – унитарный оператор. По аналогии с оператором эволюции (сдвига во времени) ( 6.4.4 ) определим его в виде) ≡ где ̂︀ J – некоторый векторный эрмитовый оператор, независящий от време- ни. Из изотропности пространства следует, что если |𝜓; 1⟩ удовлетворяет уравнению Шрёдингера, то и |𝜓; 2⟩ также является решением уравнения Шрёдингера: 𝑖 𝜕|𝜓; 2⟩ 𝜕𝑡 = 𝑖 ̂︀ 𝑅(𝜒) 𝜕|𝜓; 1⟩ 𝜕𝑡 = ̂︀ 𝑅(𝜒) ̂︀ 𝐻 |𝜓; С другой стороны 2⟩ 𝜕𝑡 = ̂︀ 𝐻 |𝜓; 2⟩ = ̂︀ 𝐻 ̂︀ 𝑅(𝜒) |𝜓; Заметим, что согласно определению ( 8.1.1 ) ̂︀ 𝑅(𝜒) представляет собой ряд по степеням оператора ̂︀ J ̂︀ 𝑅(𝜒) = ∞ ∑︁ 𝑘=0 поэтому из коммутативности, ̂︀ 𝑅(𝜒) ]︁ = 0 следует коммутативность, ̂︀ J ]︁ = Упражнение 1. Доказать (Таким образом, условие изотропность пространства приводит нас к сохраняющейся векторной величине J, отвечающей оператору ̂︀ J, тек интегралу движения J. В классической механике величиной, сохраняющейся во времени вследствие изотропность пространства, является угловой момент (см. § 9 т. I Л.Л., Сохранение углового момента. Поэтому естественно принять, что ̂︀ J есть оператор углового момента. В квантовой механике термин угловой момент представляет обобщающее понятие. Он включает в себя операторы ̂︀ L – орбитального, ̂︀ S – спинового, и ̂︀ J = (̂︀ L + ̂︀ S) – полного момента квантовой частицы Коммутационные соотношения для оператора углового момента. Система собственных векторов операторов и ̂︀ j 𝑧 Введём безразмерный оператор углового момента Определение 1. Векторный оператор ̂︀ j = {︁ ̂︀ 𝑗 𝑥 , ̂︀ 𝑗 𝑦 , называют оператором углового момента, если все его компоненты являются наблюдаемыми (эрмитовыми) и удовлетворяют коммутационным соотношениям, ̂︀ 𝑗 𝑘 ]︁ = Здесь 𝑒 𝑖𝑘𝑙 – антисимметричный единичный тензор третьего ранда, по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Оператор квадрата углового момента связан с операторами проекции на координатные оси следующим образом ̂︀ 𝑗 𝑥 2 + ̂︀ 𝑗 𝑦 2 + Пользуясь коммутационными соотношениями ( 8.2.1 ), нетрудно доказать, что для всех 𝑖 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 [︁ ̂︀ j 2 , ̂︀ 𝑗 𝑖 ]︁ = Упражнение 1. Доказать ( 8.2.2 ) с помощью (Таким образом, в квантовой механике совместно измеримы квадрат углового момента и только одна из его компонент – любая на выбор Традиционно полагают, что это Пусть |𝑗𝑚⟩ образуют систему собственных векторов и с собственными значениями 𝜆(𝑗) и 𝑚: {︃ ̂︀ j 2 |𝑗𝑚⟩ = 𝜆(𝑗) |𝑗𝑚⟩ ̂︀ 𝑗 𝑧 |𝑗𝑚⟩ = 𝑚 Эти собственные векторы ортонормированы ⟨𝑗𝑚|𝑗 ′ 𝑚 ′ ⟩ = По физическому смыслу 𝑚 – это проекция вектора j на ось 0𝑧, 𝜆(𝑗) – квадрат длины вектора углового момента. Попробуем разобраться, какие значения могут принимать 𝜆(𝑗) и 𝑚, пользуясь только коммутационными соотноше- ниями. Прежде всего заметим, что те. в любом состоянии = ⟨ ̂︀ 𝑗 𝑥 2 ⟩ + ⟨ ̂︀ 𝑗 𝑦 2 ⟩ + ⟨ ̂︀ 𝑗 𝑧 2 ⟩ > ⟨ то 𝜆(𝑗) > 𝑚 2 , а это значим, что само 𝑚 ограничено сверху и снизу 𝑚 6 Очевидно, что 𝑚 𝑚𝑎𝑥 = −𝑚 𝑚𝑖𝑛 . Пусть 𝑚 𝑚𝑎𝑥 ≡ 𝑗 (верхняя граница изменения проекции вектора j на ось 0𝑧 лимитирована его модулем, тогда 𝑚 𝑚𝑖𝑛 = −𝑗. Введём операторы ̂︀ 𝑗 𝑥 + 𝑖̂︀ 𝑗 𝑦 ̂︀ 𝑗 − = ̂︀ 𝑗 𝑥 − Они не эрмитовы, но эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют коммутационным соотношениям, ̂︀ 𝑗 ± ]︁ = Упражнение 2. Доказать ( 8.2.5 ) с использованием ( 8.2.4 ) и (Операторы имеют определённую аналогию си в теории гармонического осциллятора. Действительно (𝑚 ± те. ̂︀ 𝑗 ± |𝑗𝑚⟩ – тоже собственные векторы операторов и ̂︀ 𝑗 𝑧 , отвечающие собственным значениям 𝜆(𝑗) (для ̂︀ j 2 ) и 𝑚 ± 1 (для ̂︀ 𝑗 𝑧 ). Следовательно, и операторы повышения и понижения соответственно, поэтому, 𝑚 − 1⟩ = 𝛼 𝑚 |𝑗, 𝑚⟩ ̂︀ 𝑗 − |𝑗, 𝑚⟩ = 𝛽 𝑚 |𝑗, 𝑚 − Поскольку спектр значений 𝑚 ограничен сверху, то ̂︀ 𝑗 + |𝑗𝑗⟩ = 0 (или 𝛼 𝑗+1 = 0), а также ограничен снизу, то ̂︀ 𝑗 − |𝑗, −𝑗⟩ = 0 (или 𝛽 −𝑗 = Воспользовавшись оператором понижения, запишем ∼ |𝑗, 𝑗 − 1⟩ (̂︀ 𝑗 − ) 2 |𝑗𝑗⟩ ∼ |𝑗, 𝑗 − 2⟩ · · · (̂︀ 𝑗 − ) 𝑁 |𝑗𝑗⟩ ∼ |𝑗, 𝑗 − 𝑁 ⟩ , 𝑁 ∈ N ∪ {0} 72 Предположим, что каким-то образом мы осуществляем переход от состояния с максимальной проекцией |𝑗𝑗⟩ к состоянию с минимальной проекцией, −𝑗⟩. Тогда 𝑗 − 𝑁 = −𝑗, те. 𝑗 = 𝑁/2. Таким образом, 𝑗 может принимать либо целые, либо полуцелые значения = 0, 1 2 , 1, 3 2 · · При фиксированном 𝑗 существуют следующие проекции углового момента = −𝑗, −𝑗 + 1, · · · , 𝑗 ⏟ ⏞ (2𝑗+1) значения те. всего существует (2𝑗 + 1) состояний |𝑗𝑚⟩ при определённом угловом моменте 𝑗. Величина 𝑗 обычно называется квантовым числом момента количества движения частицы, а 𝑚 – магнитным квантовым числом. Найдём теперь все 𝜆(𝑗). Поскольку 𝜆(𝑗) не зависит от 𝑚, то положим −𝑚 𝑚𝑖𝑛 ≡ 𝑗. Тогда = Упражнение 3. Доказать используя ( 8.2.4 ) и (Используя равенство из упражнения, получаем = 0 𝜆(𝑗) = 𝑗(𝑗 + 1) ̂︀ j 2 |𝑗𝑚⟩ = 𝑗(𝑗 + 1) Вычислим ив. Заметим, что ⟨𝑗𝑚|̂︀ 𝑗 + |𝑗, 𝑚 − 1⟩ = ⟨ ̂︀ 𝑗 − 𝑗𝑚|𝑗, 𝑚 − 1⟩ = = ⟨𝑗, 𝑚 − 1|̂︀ 𝑗 − |𝑗𝑚⟩ * ⃒ ⃒ ⃒ ( 8.2.6 ) = те. требуется определить следующие ненулевые коэффициенты, 𝛽 −𝑗+2 , · · · , Имеем, с одной стороны 𝛽 𝑚 ̂︀ 𝑗 + |𝑗, 𝑚 − 1⟩ с другой стороны ̂︀ j 2 − ̂︀ 𝑗 𝑧 2 + ̂︀ 𝑗 𝑧 73 Упражнение 4. Доказать предыдущее равенство используя ( 8.2.4 ) и (Также имеем = (̂︀j 2 − ̂︀ 𝑗 𝑧 2 + ̂︀ 𝑗 𝑧 ) |𝑗𝑚⟩ ⃒ ⃒ ⃒ ( 8.2.7 ), ( 8.2.3 ) = (︀𝑗(𝑗 + 1) − 𝑚 2 + 𝑚 )︀ Выберем в ( 8.2.6 ) фазы векторов состояний |𝑗𝑚⟩ так, чтобы 𝛼 𝑚 = были действительными неотрицательным числами. Тогда+ 𝑗 − 𝑚 2 + 𝑚 = √︀ (𝑗 + 𝑚)(𝑗 − 𝑚 + 1) = то есть = √︀ (𝑗 + 𝑚)(𝑗 − 𝑚 + 1) |𝑗, 𝑚 − 1⟩ ̂︀ 𝑗 + |𝑗𝑚⟩ = 𝛽 𝑚+1 |𝑗, 𝑚 + 1⟩ = √︀ (𝑗 − 𝑚)(𝑗 + 𝑚 + 1) |𝑗, 𝑚 + 1⟩ ( ̂︀ 𝑗 𝑥 ± 𝑖 ̂︀ 𝑗 𝑦 ) |𝑗𝑚⟩ = √︀ (𝑗 ∓ 𝑚)(𝑗 ± 𝑚 + 1) |𝑗, 𝑚 ± Спин частицы. Матрицы Паули. Собственный угловой момент частицы называют спиновым моментом, или просто спином. Спин обычно обозначают буквой 𝑠, ̂︀ s = { ̂︀ 𝑠 𝑥 , ̂︀ 𝑠 𝑦 , ̂︀ 𝑠 𝑧 } оператор спина. Рассмотрим частицу со спином 𝑠 = 1/2. Согласно общей теории углового момента, базисные векторы |𝑠, 𝑚 𝑠 ⟩, где 𝑠 = 1/2, являются собственными векторами операторов ̂︀ s 2 и ̂︀ 𝑠 𝑧 : {︂ ̂︀ s 2 |𝑠𝑚 𝑠 ⟩ = 𝑠(𝑠 + 1) |𝑠𝑚 𝑠 ⟩ ̂︀ 𝑠 𝑧 |𝑠𝑚 𝑠 ⟩ = При 𝑠 = 1/2 проекция спина на выделенное направление, например, на ось, может принимать 2𝑠 + 1 = 2 значения 𝑚 𝑠 = ±1/2. Базисные векторы этого представления 𝜒 1/2,𝑚 𝑠 ≡ |1/2, 𝑚 𝑠 ⟩ имеют вид 2 , 1 2 ≡ ⃒ ⃒ 1 2 , 1 2 ⟩︀ ≡ (︂1 0 )︂ ≡ |𝛼⟩ ≡ |+⟩ 𝜒 1 2 ,− 1 2 ≡ ⃒ ⃒ 1 2 , − 1 2 ⟩︀ ≡ (︂0 1 )︂ ≡ |𝛽⟩ ≡ Векторы 2 , 1 2 ⟩︀ и 2 , − 1 2 ⟩︀ образуют полный ортонормированный базис в пространстве спиновых состояний частицы, поэтому произвольное спиновое состояние частицы со спином 𝑠 = 1/2 можно представить в виде разложения по собственным векторам ( 8.3.2 ) оператора = 𝑎 + (︂1 0 )︂ + 𝑎 − (︂0 1 )︂ = (︂𝑎 + 𝑎 − )︂ (8.3.3) 74 Из условия нормировки ⟨𝜒, 𝜒⟩ = 1 следует, что+ |𝑎 − | 2 = Поэтому удобно изобразить векторы состояния частицы со спинами 𝑠 = в виде двухкомпонентного столбца ( 8.3.3 ) или спинора, где в соответствии с вероятностной интерпретацией квантовой механики, верхняя компонента есть амплитуда вероятность найти частицу в состоянии с 𝑠 𝑧 = +1/2, а наж- няя – в состоянии с 𝑠 𝑧 = −1/2. Точно также волновую функцию частицы с любым спином 𝑠 можно записать (компонентным столбцом. В собственном представлении ( 8.3.1 ) матрицы операторов ̂︀ s 2 и ̂︀ 𝑠 𝑧 диаго- нальны, и диагональные элементы равны их собственным значениям (см. § 1 гл. 6): ̂︀ s 2 = 3 4 |+⟩ |−⟩ ⟨+| 1 0 ⟨−| 0 1 ̂︀ 𝑠 𝑧 = 1 2 |+⟩ |−⟩ ⟨+| 1 Легко проверить, что векторы ( 8.3.2 ), как и должно быть, являются собственными векторами матрицы ̂︀ 𝑠 𝑧 с собственными значениями ±1/2. Введём теперь повышающий и понижающий операторы для спина 𝑠 = 1/2, которые действуют на состояния ( 8.3.2 ), согласно общим соотношениями ( 8.2.8 ), следующим образом = 0 ̂︀ 𝑠 + |−⟩ = |+⟩ ̂︀ 𝑠 − |−⟩ = 0 ̂︀ 𝑠 − |+⟩ = Матрицы операторов ̂︀ 𝑠 + и ̂︀ 𝑠 − имеют вид 1 ⟨−| 0 0 ̂︀ 𝑠 − = ( ̂︀ 𝑠 + ) † = |+⟩ |−⟩ ⟨+| 0 0 ⟨−| 1 Наконец, переходя от ̂︀ 𝑠 ± к ̂︀ 𝑠 𝑥 и ̂︀ 𝑠 𝑦 , находим 2 (︂0 1 1 0 )︂ ̂︀ 𝑠 𝑦 = ̂︀ 𝑠 + − ̂︀ 𝑠 − 2𝑖 = 1 2 (︂0 Матрицы ( 8.3.4 ) и ( 8.3.6 ) операторов спина = { ̂︀ 𝑠 𝑥 , ̂︀ 𝑠 𝑦 , ̂︀ 𝑠 𝑧 } обычно выражают через матрицы Паули = { ̂︀ 𝜎 𝑥 , ̂︀ 𝜎 𝑦 , ̂︀ 𝜎 𝑧 }, вводя соответствующие 𝜎- операторы ̂︀ s = 1 2 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 𝜎 𝑥 = (︂0 1 1 0 )︂ ̂︀ 𝜎 𝑦 = (︂0 −𝑖 𝑖 0 )︂ ̂︀ 𝜎 𝑧 = (︂1 С алгеброй матриц Паули можно познакомиться, решив У1.2.6 , У1.2.7 и задачу 4 из го задания. §4. Оператор орбитального момента частицы в координатном представлении (декартовы и сферические координаты) В классическом механике момент количества движения частицы (или орбитальный момент) определяется как векторное произведение радиус- вектора r частицы и её импульса 𝑣𝑝 (см. § 9 т. I Л.Л.) L = r × В квантовой механике, согласно принципу соответствия (см. § 2 гл. 5), физической величине L сопоставляется оператор = ̂︀l = ̂︀ r Его реализацией в координатном представлении будет = ̂︀l ≡ −𝑖(r × ибо = −𝑖∇. По определению = ̂︀ L = −𝑖(r × ∇) = −𝑖 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ i есть безразмерный оператор орбитального момента ̂︀l = {l 𝑥 , l 𝑦 , l 𝑧 }, где, например или в общем виде l 𝛼 = −𝑖𝑒 𝛼𝛽𝛾 𝑥 𝛽 𝜕 𝜕𝑥 𝛾 , 𝛼, 𝛽, 𝛾 = 1, 2, 3 (8.4.3) 76 Если воспользоваться определением операторов проекций момента в тензорных обозначениях ( 8.4.3 ), то можно убедиться в справедливости коммутационных соотношений ( 8.2.1 ) для углового момента, ̂︀ 𝑙 𝛽 ] = Для оператора квадрата орбитального момента ̂︀ 𝑙 2 𝑥 + ̂︀ 𝑙 2 𝑦 + пользуясь ( 8.4.4 ), нетрудно показать, что он коммутирует с операторами проекций, те, ̂︀ 𝑙 𝛼 ] = 0 см. соотношения ( 8.2.2 ) в теории углового момента). 𝑦 𝑧 𝑥 r 𝜓 𝜃 Рис. 8.2: Сферическая система координат Перейдём от декартовых координат (𝑥, 𝑦, 𝑧) к сферическим координатам, 𝜃, 𝜙): ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜙 ≤ Затем следует провести преобразование координат по схеме ⏞ −𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 · 𝜕 𝜕𝑥 + 𝜕𝑦 𝜕𝜙 ⏟ ⏞ 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 · 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜕𝑧 𝜕𝜙 · 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑥 𝜕 𝜕𝑦 − 𝑦 𝜕 𝜕𝑥 77 отсюда Таким же образом переходят в сферических координатах для −𝑖(− sin 𝜙 𝜕 𝜕𝜃 − cos 𝜙 ctg 𝜃 𝜕 𝜕𝜙 ) ̂︀ 𝑙 𝑦 = −𝑖(cos 𝜙 𝜕 𝜕𝜃 − sin 𝜙 ctg Для оператора квадрата орбитального момента − [︂ 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (︂ sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 )︂ + 1 sin 𝜃 𝜕 2 𝜕𝜙 2 ]︂ = Здесь определяет угловую часть лапласиана в сферических координатах, радиальная часть угловая часть поэтому оператор Гамильтона можно записать как = − 2 2𝑚 (︂ 1 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 (︂ 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 )︂ − l 2 𝑟 2 )︂ + 𝑈 (Сферические гармоники В координатном представлении уравнение на собственные значения и собственные функции оператора ̂︀ 𝑙 𝑧 = имеет вид 𝑖 𝜕 𝜕𝜙 ⟨𝜙|𝑚⟩ ⏟ ⏞ ≡ Φ 𝑚 (𝜙) = где Φ 𝑚 (𝜙) – я собственная функция оператора ̂︀ 𝑙 𝑧 . решением уравнения) является) = где 𝐶 – нормировочная постоянная. При изменении угла 𝜙 на 2𝜋 мы возвращаемся в исходную точку пространства. Поскольку волновая функция должна быть однозначной, то) = Φ 𝑚 (𝜙 + 2𝜋) 𝑒 𝑖𝑚2𝜋 = 1 78 В результате реализуется целочисленный вариант квантования проекции орбитального момента 𝑚 = 0, ±1, ±2, .... При 𝐶 = 1/ √ 2𝜋 собственные функции нормированы условием) = Общие собственные векторы операторов и ̂︀ 𝑙 𝑧 , согласно теории углового момента, удовлетворяют системе уравнений = 𝑙(𝑙 + 1) |𝑙𝑚⟩ ̂︀ 𝑙 𝑧 |𝑙𝑚⟩ = 𝑚 Решениями этой системы в сферических координатах, 𝜙) = 𝑙(𝑙 + 1)𝑌 𝑙𝑚 (𝜃, 𝜙) −𝑖 𝜕 𝜕𝜙 𝑌 𝑙𝑚 (𝜃, 𝜙) = 𝑚𝑌 𝑙𝑚 (𝜃, являются сферические функции или сферические гармоники 𝑌 𝑙𝑚 (𝜃, 𝜙) ≡ ⟨𝜃, 𝜙|𝑙𝑚⟩. Их можно представить в виде, 𝜙) = как результат решения системы дифференциальных уравнений ( 8.5.3 ′ ) методом разделения переменных. После отделения уравнения для с условием однозначности Φ 𝑚 (𝜙) = Φ 𝑚 (𝜙 + 2𝜋)) остаётся уравнения для) с дополнительным условием |Θ 𝑙𝑚 (𝜃)| [0,𝜋] < ∞. Чтобы у функции) не было особенностей в точках 0 и 𝜋, решение должно представлять собой полинома конкретно, 𝜙) = 𝐶 𝑙𝑚 𝑒 𝑖𝑚𝜙 𝑃 𝑚 𝑙 (cos где 𝑃 𝑚 𝑙 (cos 𝜃) – присоединенные полиномы Лежандра. Здесь квантовые числа, те. при целочисленных 𝑙 = 0, 1, 2, ... имеем = 0, ±1, ±2, ..., Отметим, что в спектроскопии используются специальные обозначения для орбитального квантового числа 𝑙: 𝑙 = 0 1 2 3 𝑠 𝑝 𝑑 𝑓 – состояния Сферические гармоники образуют полный ортонормированный базис на сфере единичного радиуса (𝑟 = 1, 0 6 𝜃 6 𝜋, 0 6 𝜙 6 2𝜋) ⟨𝑌 𝑙𝑚 |𝑌 𝑙 ′ 𝑚 ′ ⟩ = ∫︁ 2𝜋 0 𝑑𝜙 ∫︁ 𝜋 0 sin 𝜃𝑑𝜃𝑌 * 𝑙𝑚 (𝜃, 𝜙)𝑌 𝑙 ′ 𝑚 ′ (𝜃, 𝜙) = 𝛿 𝑙𝑙 ′ 𝛿 𝑚𝑚 ′ (8.5.4) 79 Глава Движение в центрально-симметричном поле §1. Центрально-симметричное поле. Гамильтониан частицы в сферических координатах. Разделение переменных в центрально- симметричном поле. Если поле центрально симметричное, те. потенциал сферически симметричен, то 𝑈 (r) ≡ 𝑈 (𝑟). Ввиду сферической симметрии поля, задачу о движении частицы в нём удобно решать в сферической системе координат (𝑟, 𝜃, начало которой совпадает с центром симметрии поля. Тогда гамильтониан движения частицы в сферических координатах, согласно ( 8.4.6 ), принимает вид = ̂︀ p 2 2𝑚 + 𝑈 (𝑟) = − 2 2𝑚 [︃ 1 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 (︂ 𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 )︂ − ̂︀ l 2 𝑟 2 ]︃ + 𝑈 (Знание интегралов движения системы позволяет упростить решение уравнения Шрёдингера, поэтмоу в случае центрально-симметричного поля необходимо выявить сначала сохраняющиеся физические величины. Можно показать, что, ̂︀ 𝑙 𝛼 ]︁ = 0 (см. У1.2.5 ) и [︁ ̂︀ 𝐻,̂︀l 2 ]︁ (см. У1.1.6 ). Кроме того, ̂︀ 𝑙 𝛼 ]︁ = 0 (см. ( 8.4.5 )). Таким образом, операторы ̂︀ 𝐻, и ̂︀l порождают полный набор наблюдаемых, пригодный для описания движения бесспиновой частицы в центрально-симметричном поле. Они имеют общую систему собственных функций описывающих стационарные состояния движения частицы в сферически симметричном поле ≡ 𝜓 𝑛𝑙𝑚 (r) = 𝑅 𝑛𝑙 (𝑟) · 𝑌 𝑙𝑚 (𝜃, где 𝑛 – главное, 𝑙 – орбитальное, 𝑚 – магнитное квантовые числа. Структура гамильтониана ( 9.1.1 ) такова, что радиальные и угловые переменные в решении ( |