0
. Там 𝑝(𝑥
0
) = 0 и знаменатель обращается в нуль) Вероятность обнаружить частицу вблизи от точки 𝑥
0
: 𝑊 (𝑥
0
) ∼
1
𝑝(𝑥
0
)
→
∞ и тоже неприменима вблизи от точки поворота.
Упражнение 1. Показать, что общее решение можно записать в виде) ≃
1
√︀𝑝(𝑥)
{𝑎 sin(𝑧 + 𝛾
1
) + 𝑏 cos(𝑧 + 𝛾
2
)} , 𝑧 =
1
∫︁
𝑥
0
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
Ψ
𝐼𝐼
(𝑥) ≃
1
√︀|𝑝(𝑥)|
{︁
𝐴𝑒
−|𝑧|
+ 𝐵𝑒
|𝑧|
}︁
, |𝑧| =
1
∫︁
𝑥
𝑥
0
|𝑝(𝑥
′
)| Записано формальное решение в виде линейных комбинаций, однако неясно, каким воспользоваться, так как неизвестны правила «сшивки»
вблизи точки поворота. Сшивать решения нужно именно в точке 𝑥
0
, т.е.
там, где приближение не работает. Следует установить связь между двумя квазиклассическими решениями, взятыми по разные стороны от точки поворота Ψ
𝐼
(𝑥) ↔ Связь между двумя решениями, взятыми по разные стороны от точки поворота
Речь пойдет об установлении соответствия Ψ
𝐼
(𝑥) ↔ Ψ
𝐼𝐼
(𝑥) или сшивании решений главном достижении метода ВКБ. Под сшиванием будем понимать приравнивание волновых функций и их первых производных. Области сшивания и их существование будут установлены ниже.
Рассмотрим приближенный вид уравнения Шредингера в окрестности особой точки |𝑥 − 𝑥
0
| → 0 (см.
рис. 11.1
). Заменим в окрестности функцию) ее линейным приближением (𝑥)|
|𝑥−𝑥
0
|→0
≃ 𝑈 (𝑥
0
) + 𝑈
′
(𝑥
0
)(𝑥 − 𝑥
0
) + . . .
(см.
рис. Тогда) = 2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)) ≃ 2𝑚𝑈
′
(𝑥
0
)(𝑥
0
− 𝑥) ≡ 𝛼
2
(𝑥
0
− 𝑥)
95
𝑥 𝑈 (𝑥) 𝐸 𝑥 0 Эйри Область «сшивания» ВКБ I II Рис. 11.2: Классически разрешённая (I) и запрещённая (II) области, точка поворота. и уравнение Шредингера имеет вид) + 2𝑚 2 (𝐸 − 𝑈 (𝑥))Ψ(𝑥) = переходит к уравнению) − 𝛼(𝑥 − 𝑥 0 )Ψ(𝑥) = путем замены переменной = 𝛼 1 3 (𝑥 − 𝑥 0 ), Ψ ′ 𝑥 = Ψ ′ 𝜉 · 𝜉 ′ 𝑥 = 𝛼 1 3 , Ψ ′′ 𝑥𝑥 = 𝛼 1 и окончательно переходит к уравнению Эйри 3 Φ ′′ 𝜉𝜉 − 𝛼𝛼 − 1 3 𝜉Ψ(𝜉) = 0 𝑑 2 𝑑𝜉 2 Ψ(𝜉) − 𝜉Ψ(𝜉) = 0 — уравнение Эйри (см. § 24 т. III Л.Л., математическое дополнение) Как и всякое дифференциальное уравнение го порядка, уравнение Эйри должно иметь два линейно независимых решения, которые выберем следующим образом) = 1 𝜋 ∫︁ ∞ 0 cos [︂ 𝜉𝑡 + 𝑡 3 3 ]︂ 𝑑𝑡 — функция Эйри (Airy) Bi(𝜉) = 1 𝜋 ∫︁ ∞ 0 [︂ sin (︂ 𝜉𝑡 + 𝑡 3 3 )︂ + exp (︂ 𝜉𝑡 − 𝑡 3 3 )︂]︂ 𝑑𝑡 — функция Эйри II рода Рис. 11.3: графики функций Эйри Поведение функций: В классически запрещенной области II одна экспоненциально убывает, а другая — экспоненциально растет. В классически разрешенной области I обе функции осциллируют, убывая по амплитуде со сдвигом по фазе на Перейдем в асимптотическую область, те. туда, где действуют приближения ВКБ и Эйри, удаленную от точки поворота, нос медленным изменением потенциала. Утверждение 1. Такая область существует. Действительно, уравнение Эйри справедливо при |𝑥 − 𝑥 0 | < 𝐿, где 𝐿 — характерное расстояние существенного изменения потенциала 𝑈 (𝑥). Приближение ВКБ (условие квазиклассичности) требует 1 (см. §1 этой главы) Т.к. ⃒ ⃒ 𝑝 3 (𝑥) ⃒ ⃒ ≃ (︁ 2𝑚 |𝑈 ′ (𝑥 0 )| · |𝑥 − 𝑥 0 | )︁ 3 2 , то − 𝑥 0 | 3 2 ≫ 𝑚 |𝑈 ′ | (2𝑚 |𝑈 ′ |) 3/2 ∼ (𝑚 или − 𝑥 0 | ≫ 2/3 (𝑚 Поскольку 𝑚 |𝑈 ′ (𝑥 0 )| ∼ 𝑝 2 (𝑥) |𝑥 − 𝑥 0 | , то вдали от точки поворота, те. при
|𝑥 − 𝑥
0
| . 𝐿
(︁
𝑚 |𝑈
′
(𝑥
0
)|
)︁
1 3
∼
(︂ 𝑝
2
(𝑥)
𝐿
)︂
1 или − 𝑥
0
| ≫
(︂
𝑝(𝑥)
)︂
2 3
𝐿
1 3
=
(︂ 𝜆
𝐿
)︂
2 Оба условия |𝑥 − 𝑥
0
| < 𝐿 и 𝜆
𝐿
)︂
2 3
≪ |𝑥 − 𝑥
0
| совместны:
(︂ 𝜆
𝐿
)︂
2 3
𝐿 ≪ |𝑥 − 𝑥
0
| < 𝐿 , т.к.
𝜆
𝐿
≪ Таким образом, существуют значения |𝑥 − 𝑥
0
| настолько малые, что допустимо линейное разложение 𝑈 (𝑥), ив тоже время настолько большие,
что удовлетворяется условие квазиклассичности для ВКБ (см.
рис. Неравенство (
11.2.1
) фактически означает, что |𝜉| ≫ 1. В этой области для функций Эйри справедливы следующие асимптотики 2
√
𝜋
𝜉
−
1 4
exp
(︂
−
2 3
𝜉
3 2
)︂
Bi(|𝜉|)|
|𝜉|→∞
≃
1
√
𝜋
𝜉
−
1 4
exp
(︂ 2 3
𝜉
3 2
)︂
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
Ai(− |𝜉|)|
|𝜉|→∞
≃
1
√
𝜋
|𝜉|
−
1 4
sin
[︂ 2 3
|𝜉|
3 2
+
𝜋
4
]︂
1 Bi(− |𝜉|)|
|𝜉|→∞
≃
1
√
𝜋
|𝜉|
−
1 4
cos
[︂ 2 3
|𝜉|
3 Их получение см, например, с помощью метода перевала из ТФКП в мат. дополнении b т. III Л.Л.).
Перейдем в асимптотическую область в решениях ВКБ. Что будет си при аппроксимации потенциала рис. прямой 2
(𝑥
0
− 𝑥
′
)
1 2
𝑑𝑥
′
=
2 3
𝛼
1 2
(𝑥
0
− 𝑥
′
)
3 2
≡
2 3
𝛼
1 2
|𝑥 − 𝑥
0
|
3 2
≡
2 3
|𝜉|
3 2
|𝑧||
(𝑥→𝑥
0
+0)
→
1
∫︁
𝑥
𝑥
0
𝛼
1 2
(𝑥
′
− 𝑥
0
)
1 2
𝑑𝑥
′
= · · · =
2 3
𝜉
3 Следовательно, если 𝑝
2
(𝑥) ≃ 𝛼
2 3
2
|𝜉|, то
𝜓
𝐼
(𝑥)|
𝑥<𝑥
0
ВКБ
−−−→
1
√
𝑝
{𝑎 sin[𝑧 + 𝛾
1
] + 𝑏 cos[𝑧 + 𝛾
2
]}
⃒
⃒
⃒
⃒
(𝑥→𝑥
0
−0)
=
=
1
𝛼
1 6
1 2
|𝜉|
1 4
{︂
𝑎 sin
[︂ 2 3
|𝜉|
3 2
+ 𝛾
1
]︂
+ 𝑏 cos
[︂ 2 3
|𝜉|
3 2
+ 𝛾
2
]︂}︂
98
𝜓 𝐼𝐼 (𝑥)| 𝑥>𝑥 0 ВКБ −−−→ 1 √ 𝑝 {︁ 𝐴𝑒 −|𝑧| + 𝐵𝑒 |𝑧| }︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ (𝑥→𝑥 0 +0) = = 1 𝛼 1 6 1 2 𝜉 1 4 {︂ 𝐴 exp (︂ − 2 3 𝜉 3 2 )︂ + 𝐵 exp (︂ 2 3 𝜉 3 2 )︂}︂ ВКБ-решения асимптотически согласуются с функциями Эйри, если 𝛾 2 = 𝜋 4 𝐴 𝑎 = 1 2 , 𝐵 𝑏 = 1 → 𝐴 = 𝑎 2 , 𝐵 = Таким образом, общее решение примет вид) ≃ 1 √︀𝑝(𝑥) {︂ 𝑎 sin [︂ 1 ∫︁ 𝑥 0 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝜋 4 ]︂ + 𝑏 cos [︂ 1 ∫︁ 𝑥 0 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝜋 4 ]︂}︂ 𝜓 𝐼𝐼 (𝑥) ≃ 1 √︀|𝑝(𝑥)| {︂ 𝑎 2 exp (︂ − 1 ∫︁ 𝑥 𝑥 0 |𝑝(𝑥 ′ )| 𝑑𝑥 ′ )︂ + 𝑏 exp (︂ 1 ∫︁ 𝑥 𝑥 0 |𝑝(𝑥 ′ )| Получим теперь правила соответствия между двумя ВКБ-решениями, взятыми по разные стороны от точки поворота Правило Пусть известна волновая функция в области II. Рассмотрим физически интересный случай экспоненциально убывающего в области II решения. поэтому полагаем в Ψ 𝐼𝐼 (𝑥)| ВКБ 𝐵 = 𝑏 = 0. Далее переходим в асимптотическую область ВКБ-решения, сшиваем его с асимптотической функцией Эйри Ai(|𝜉|)| |𝜉|→∞ , которую в пределе |𝑥 − 𝑥 0 | → 0 переходом через 0 переводим в согласованное ВКБ-решение: Ψ (𝑥≫𝑥 0 ) (𝑥) = 𝑎 2 √︀|𝑝| exp (︂ − 1 ∫︁ 𝑥 𝑥 0 |𝑝(𝑥 ′ )| 𝑑𝑥 ′ )︂ → Ψ (𝑥≪𝑥 0 ) (𝑥) = 𝑎 √ 𝑝 sin (︂ Оно непрерывно переходит через функцию Эйри из области II в область I. Обратное направление согласования, вообще говоря, неверно. Это связано стем, что небольшая ошибка 𝜓 в фазе синуса может привести к появлению экспоненциально растущего в области II решения (см. ниже правило. Последнее означает что на его фоне экспоненциально убывающее решение исчезнет. Правило Напротив, предположим, что известно осциллирующее ВКБ-решение в области I. Пусть Ψ (𝑥≪𝑥 0 ) (𝑥) = 𝑐 √ 𝑝 {︁ sin (︁ 𝑧 + 𝜋 4 + 𝜙 )︁}︁ ≡ 𝑐 √ 𝑝 {︁ sin (︁ 𝑧 + 𝜋 4 )︁ cos 𝜙 + cos (︁ 𝑧 + 𝜋 4 )︁ sin 𝜙 }︁ = = 1 √ 𝑝 {︁ 𝑎 sin (︁ 𝑧 + 𝜋 4 )︁ + 𝑏 cos (︁ 𝑧 +где 𝑐 sin 𝜙 = 𝑏, 𝑐 cos 𝜙 = 𝑎. При этом в области II должно остаться только экспоненциально растущее решение) = 𝑐 √ 𝑝 sin (︂ 1 ∫︁ 𝑥 0 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝜋 4 + 𝜙 )︂ → Ψ (𝑥≫𝑥 0 ) (𝑥) = 𝑐 sin 𝜙 √︀|𝑝| exp (︂ 1 ∫︁ 𝑥 𝑥 0 |𝑝(𝑥 ′ )| Условием данного перехода будет 𝜓 неблизко к 𝜋𝑛. Кроме того, переход в обратную сторону также неверен, т.к. если в области II есть экспоненциально убывающий (отброшенный) член, то он может неопределенным образом = tg 𝜓) изменить фазу синуса а области I, которая уже не совпадет с заданной фазой 𝜓 при прямом переходе. Правило Тоже, что и правило II, но для бегущих волн. Проведем в (II) замену → 𝜙 + 𝜋 2 : 𝑐 √ 𝑝 cos [︁ 𝑧 + 𝜋 4 + 𝜙 ]︁ → 𝑐 cos Умножим (II) на ±𝑖 и сложим с (IIIa): 𝑐 √ 𝑝 𝑒 ±𝑖 ( 𝑧+ 𝜋 4 +𝜙 ) или, если взять сумму двух бегущих волн, то) = 𝐶 √ 𝑝 exp (︂ 𝑖 ∫︁ 𝑥 0 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝑖𝜋 4 )︂ + 𝐷 √ 𝑝 exp (︂ − 𝑖 ∫︁ 𝑥 0 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − 𝑖𝜋 4 )︂ → → 𝜓(𝑥) (𝑥≫𝑥 0 ) = 𝐶 + 𝐷 √︀|𝑝| exp (︂ 1 ∫︁ 𝑥 𝑥 0 |𝑝(𝑥 ′ )| Стрелку и здесь повернуть нельзя, т.к. знания суммы 𝐶 + 𝐷 недостаточно, чтобы определить 𝐶 и 𝐷 по отдельности. Вывод: Необходимо обратить внимание на одностороннюю природу сопряжения квазиклассических волновых функций (следствие асимптотического характера сшивания решения по обе стороны от точки поворота). Если области I и II на рис. поменять местами, то правила соответствия) и (II) останутся в силе, но нужно поменять местами также 𝑥 и как в неравенствах, таки в интегралах. Стрелка перехода не меняет при этом направления Условие квантования Бора-Зоммерфильда
Имеется потенациальная яма, удовлетворяющая условиям квазиклассич- ности. Классически разрешенная область движения II, где 𝐸 > 𝑈 (или) > 0), ограничена точками поворота 𝑝(𝑥 = 𝑎) = 𝑝(𝑥 = 𝑏) = 0.
𝑥
𝑈 (Рис. 11.4: К выводу условий квантования Бора-Зоммерфельда
Физическое условие на ±∞ решения должны убывать. Поэтому при переходе во внутреннюю область (область ямы) применим приправило соответствия I:
Ψ
𝑥<𝑏
(𝑥) =
𝑎
1
√
𝑝
sin
[︃
1
∫︁
𝑏
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
+
𝜋
4
]︃
≡
𝑎
1
√
𝑝
sin(𝑧
1
+
𝜋
4
)
Ψ
𝑥>𝑎
(𝑥) =
𝑎
2
√
𝑝
sin
[︂ где 𝑧
1
+ Этим решения должны совпадать во всей области 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
𝑎
1
√
𝑝
sin(𝑧
1
+
𝜋
4
) =
𝑎
2
√
𝑝
sin(𝑧
2
+
𝜋
4
) =
𝑎
2
√
𝑝
sin
[︃
1
∫︁
𝑏
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 − 𝑧
1
+
𝜋
4
]︃
=
= −
𝑎
2
√
𝑝
sin
[︃
𝑧
1
−
1
∫︁
𝑏
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 −
𝜋
4
]︃
𝑧
1
+
𝜋
4
= 𝑧
1
−
1
∫︁
𝑏
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥 −
𝜋
4
+ 𝜋(𝑛 + 1),
𝑛 = 0, 1, 2, . . .
(11.3.1)
𝑎
1
= (−1)(−1)
𝑛+1
𝑎
2
→
𝑎
2
= 𝑎
1
(−1)
𝑛
(11.3.2)
101
В условии ( 11.3.1 ) пишем 𝜋(𝑛 + 1), а не 𝜋𝑛 т.к. прибыло бы = − 𝜋 2 , что недопустимо, так как левая часть этого равенства заведомо положительная величина. Таким образом = 𝜋 (︂ 𝑛 + 1 или взятый по полному периоду классического движения частицы между точками 𝑥 = 𝑎 и 𝑥 = 𝑏 интеграл 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 ≡ 2 𝑏 ∫︀ 𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 равен = 2𝜋 (︂ 𝑛 + 1 Соотношения ( 11.3.3 ), ( 11.3.4 ) есть правило квантования Бора-Зоммерфельда из старой квантовой теории, предложенной в 1915 году еще до создания квантовой механики. Т.к. 𝑝(𝑥) = √︀2𝑚(𝐸 𝑛 − 𝑈 (𝑥)), то это правило определяет энергии стационарных состояний квантовой системы в квазиклассическом приближении) Правило ( 11.3.4 ) есть квантование адиабатических инвариантов. В квантовой механике при медленном (адиабатическом) изменении параметров системы она остается в том же квантовом состоянии (𝑛 = Это согласуется с теоремой в классической механике о постоянстве адиабатических инвариантов при медленном изменении параметров системы (см. § 49 т. I Л.Л.). 2) Номер состояния 𝑛: 𝑛 → 𝐸 𝑛 . Но это целое число не только порядковый номер стационарного состояния, но и число нулей (узлов) волновой функции. Действительно, при продвижении по 𝑥 от 𝑎 к 𝑏 фаза волновой функции растет от 𝜋 4 до 1 𝑏 ∫︀ 𝑎 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 + 𝜋 4 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 11.3.3 ) = 𝜋𝑛 + 3 4 𝜋, так что синус обращается на этом интервале в нуль 𝑛 раз (вне интервала < 𝑥 < 𝑏 волновая функция монотонно затухает (см. рис. 11.4 ), не имея нулей. Это есть частный случай осцилляционной теоремы квантовой механики (см. §3 главы Но пользоваться квазиклассическим приближением можно лишь тогда, когда между точками поворота укладывается достаточно много длин волн хотя бы потому, что от каждой из точек поворота нужно отступить на расстояния порядка нескольких длин волн, когда справедливы асимптотические решения типа sin [︁ 𝑧 + 𝜋 4 ]︁ ). Поскольку расстояние между узлами волновой функции ∼ 𝜆, а выше в методе ВКБ использовался безразмерный малый параметр 1 (здесь характерный размер квантовой системы, тов квазиклассическом приближении 𝑛 ≫ 1 В связи с изложенным выше возникает вопроса законно ли в таком приближении рядом с 𝑛 удерживать в формулах (
11.3.3
), (
11.3.4
)? Поскольку все полученные ранее результаты справедливы в линейном по приближении (см. §2.1 этой главы, когда 1 ∼
1 2
, то поправка к числу узлов на самом деле имеет точность ∼
1
𝑛
, так что удерживать ее на фоне такой точности при 𝑛 ≫ 1 в правой части формул (
11.3.3
), (
11.3.4
) законно.
§4.
Фазовый объём, приходящийся на одно квантовое состояние
Соотношение (
11.3.4
) можно истолковать и другим образом есть площадь в фазовом пространстве (𝑝, 𝑥) частица, охватывающая квантовые состояния, энергия которых 𝐸 ≤ 𝐸
𝑛
. При переходе 𝐸
𝑛
→ область фазового пространства увеличивается на 2𝜋. Значит, на одно квантовое состояние в фазовом пространстве приходится клетка площадью 2𝜋:
∆Γ = Иными словами, число квантовых состояний, отнесенное к элементу фазового объема ∆𝑝∆𝑥.
∆𝑁 Вероятность проникновения частицы через барьер в квазиклассическом приближении
Пусть имеется гладкий потенциальный барьер, те. между классически разрешенными областями I и III находится классически запрещенная область, где 𝐸 < 𝑈 (𝑥). В квантовой механике в силу волновых свойств частиц барьер обладает прозрачностью. Пусть выполнены условия квази- классичности, те. барьер очень широки, как следствие, коэффициенто прохождения мал) В области III есть квазиклассическая волна, бегущая слева направо) ≃
𝐴
√︀𝑝(𝑥)
exp
(︂ 𝑖
∫︁
𝑥
𝑏
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
+ 𝑖
𝜋
4
)︂
103
𝑥 𝑈 (Рис. 11.5: Проникновение частицы через барьер Убедимся в том, то это действительно так. В соответствии с §1 главы плотность потока вероятности прошедшей волны 𝑗 прош 𝑥 = 𝑖 2𝑚 (𝜓∇𝜓 * −𝜓 * ∇𝜓) = 𝑖 2𝑚 {︃ 𝐴 √︀𝑝(𝑥) 𝑒 𝑖 [ 𝑧(𝑥)+ 𝜋 4 ] 𝐴 * √︀𝑝(𝑥) 𝑒 −𝑖 [ 𝑧(𝑥)+ 𝜋 4 ] (︂ −𝑖 𝑑𝑧 𝑑𝑥 )︂ − − (комплексно-сопряженное)} = 𝑖 2𝑚 {︃ −𝑖 |𝐴| 2 2 }︃ = |𝐴| 2 𝑚 = 𝑗 прош 𝑥 > 0 т.к. слагаемые ∼ взаимно компенсируются) В области II по правилу соответствия (III): Ψ 𝑎<𝑥<𝑏 (𝑥) ≃ 𝐴 √︀|𝑝| exp (︃ 1 ∫︁ 𝑏 𝑥 |𝑝(𝑥 ′ )| 𝑑𝑥 ′ )︃ ≡ ≡ 𝐴 √︀|𝑝| exp (︃ 1 ∫︁ 𝑏 𝑎 |𝑝(𝑥 ′ )| 𝑑𝑥 ′ )︃ ⏟ ⏞ 𝑒 𝛾 exp (︂ − 1 ∫︁ 𝑥 𝑎 |𝑝(𝑥 ′ )| 𝑑𝑥 ′ )︂ 3) В области I по правилу соответствия (I): Ψ 𝑥<𝑎 (𝑥) ≃ 2𝐴 √ 𝑝 sin [︂ 1 ∫︁ 𝑎 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝜋 4 ]︂ 𝑒 𝛾 = = 2𝐴𝑒 𝛾 √ 𝑝 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ exp (︂ 𝑖 ∫︁ 𝑎 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ + 𝑖𝜋 4 )︂ ⏟ отраженная волна exp (︂ − 𝑖 ∫︁ 𝑎 𝑥 𝑝(𝑥 ′ )𝑑𝑥 ′ − 𝑖𝜋 4 )︂ ⏟ падающая волна
𝑗
пад
𝑥
=
𝑖
2𝑚
{Ψ∇Ψ
*
− Ψ
*
∇Ψ} =
𝑖
2𝑚
{︂ 𝐴𝑒
𝛾
𝑖
√
𝑝
𝑒
−𝑖(𝑧(𝑥)+
𝜋
4
)
𝐴
*
𝑒
𝛾
(−𝑖)
√
𝑝
𝑒
𝑖(𝑧(𝑥)+
𝜋
4
)
(︂
𝑖
𝑑𝑧
𝑑𝑥
)︂
−
−К.С.} =
𝑖
2𝑚
{︃
−2𝑖 |𝐴|
2
𝑒
2𝛾
}︃
=
|𝐴|
2
𝑒
2𝛾
𝑚
4) По определению коэффициент проницаемости барьеры (или вероятность проникновения частицы через барьер ≡
|𝑗
прош
𝑥
|
|𝑗
пад
𝑥
|
= 𝑒
2𝛾
= 𝑒
−
2
∫︀
𝑏
𝑎
|𝑝(𝑥)|𝑑𝑥
- формула впервые в 1928 году была получена Георгием Антоновичем
Гамовым в связи с теорией радиоактивного распада ядер.
Коэффициент отражения в таком подходе ≡
|𝑗
отр
𝑥
|
|𝑗
пад
𝑥
|
= 1
— амплитуды падающей и отраженной волн в области I оказались одинаковыми. Его фактическое отличие от 1 не может быть найдено в рамках квазиклассического приближения, т.к. здесь всегда теряются экспоненциально убывающие решения на фоне экспоненциально растущих в области II. В этой связи формула Гамова применима, если показатель экспоненты велик, 2𝛾 ≫ 1, так что сам 𝐷 ≪ 1.
105
Глава Стационарная теория возмущений В качестве другого примера решения задач квантовой механики приближенными методами выступает теория возмущений (ТВ). В этом случае гамильтониан может быть представлен в виде = ̂︀ 𝐻 (0) + ̂︀ 𝑉 = ̂︀ 𝐻 (0) + 𝜆 ̂︀ 𝑈 где ̂︀ 𝐻 (0) — гамильтониан невозмущенной задачи, ̂︀ 𝑉 = 𝜆 ̂︀ 𝑈 — оператор возмущения, содержащий малый числовой параметр 𝜆 ≪ Предполагается, что уравнение 𝐸 (0) ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) ⟩ — стационарное УШ или 𝑖 𝜕 𝜕𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) ⟩ = ̂︀ 𝐻 (0) ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) ⟩ — нестационарное УШ допускает точное решение. Методы отыскания приближенных решений уравнения Шредингера с гамильтонианом ( 12.0.1 ) по известным решениям невозмущенной задачи составляют предмет ТВ. В этой главе мы рассмотрим ТВ для нахождения дискретного спектра гамильтониана ̂︀ 𝐻 и соответствующих ему собственных функций (СФ) (собственных векторов (СВ) стационарной задачи |𝜓 𝑛 ⟩ = ( ̂︀ 𝐻 (0) + 𝜆 ̂︀ 𝑈 ) |𝜓 𝑛 ⟩ = 𝐸 𝑛 |𝜓 𝑛 ⟩ те. стационарную ТВ, когда ̂︀ 𝐻 не зависит от времени 𝑡. 106 Стационарная ТВ в случае невырожденных уровней энергии
Пусть известны точные решения стационарного невозмущенного УШ
̂︀
𝐻
(0)
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
= Требуется по этим решения
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑚
⟩
и построить приближенные решения и уравнения (
12.0.2
). Допустим, что СВ и СЗ (собственные значения) уравнения (
12.0.2
) можно представить в виде разложения вряд по степеням малого параметра 𝜆 (ряды ТВ).
|𝜓
𝑛
⟩ =
∞
∑︁
𝑝=0
𝜆
𝑝
⃒
⃒
⃒
𝜙
(𝑝)
𝑛
⟩
=
⃒
⃒
⃒
𝜙
(0)
𝑛
⟩
+ 𝜆
⃒
⃒
⃒
𝜙
(1)
𝑛
⟩
+ 𝜆
2
⃒
⃒
⃒
𝜙
(2)
𝑛
⟩
+ · · · =
(12.1.2)
=
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
+
⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
𝑛
⟩
+
⃒
⃒
⃒
𝜓
(2)
𝑛
⟩
+ . . .
(
12.1.2
′
)
𝐸
𝑛
=
∞
∑︁
𝑝=0
𝜆
𝑝
𝜀
(𝑝)
𝑛
= 𝜀
(0)
𝑛
+ 𝜆𝜀
(1)
𝑛
+ 𝜆
2
𝜀
(2)
𝑛
+ · · · =
(12.1.3)
= 𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
+ 𝐸
(2)
𝑛
+ . . При 𝜆 → 0 → 𝐸
𝑛
→ 𝜀
(0)
𝑛
≡ 𝐸
(0)
𝑛
, а |𝜓
𝑛
⟩ Такой метод, при котором СВ и СЗ представляются в виде разложения по степеням малого параметра, называется теорией возмущений Релея
Шредингера. Вопросы сходимости рядов здесь не поднимаются, т.к. рассматривается лишь формальная схема ТВ:
Подставляя (
12.1.2
′
) ив уравнение Шрёдингера (
12.0.2
):
(︁
̂︀
𝐻
(0)
+ ̂︀
𝑉
)︁ (︁⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
+
⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
𝑛
⟩
+ . . .
)︁
=
(︁
𝐸
(0)
𝑛
+ 𝐸
(1)
𝑛
+ . . .
)︁
·
(︁⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
+
⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
𝑛
⟩
+ . . .
)︁
получаем:
Порядок ТВ
Уравнение
(Приближение ТВ)
0
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
= 0
(12.1.4)
1
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
𝑛
⟩
=
(︁
𝐸
(1)
𝑛
− ̂︀
𝑉
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
(12.1.5)
𝑠
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(𝑠)
𝑛
⟩
=
(︁
𝐸
(1)
𝑛
− ̂︀
𝑉
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(𝑠−1)
𝑛
⟩
+ 𝐸
(2)
𝑛
⃒
⃒
⃒
𝜓
(𝑠−2)
𝑛
⟩
+ · · · + 𝐸
(𝑠)
𝑛
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
(12.1.6)
107
Предположим, что спектр невозмущенной задачи (
12.1.1
) - дискретный и невырожденный, те. 𝐸
(0)
𝑛
→
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
. Кроме того, считаем, что набор
{︁⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩}︁
образует полную ортонормированную систему векторов, те. ⟨𝜓
(0)
𝑚
|𝜓
(0)
𝑛
⟩ =
𝛿
𝑚𝑛
. Таким образом, переходим к представлению, где имеет диагональный вид. Базисом в таком представлении являются СВ невозмущенного гамильтониана ̂︀
𝐻
(0)
. При этом искомый вектор состояния |𝜓
𝑛
⟩ можно разложить по полной системе ортонормированных причем 𝑐
𝑛𝑚
= 𝑐
(0)
𝑛𝑚
+ 𝑐
(1)
𝑛𝑚
+ . . . , где 𝑐
(1)
𝑛𝑚
— того же порядка малости, что и возмущение Первое приближение теории стационарных возмущений Определим поправки кому СЗ и СВ, соответственно чему полагаем 𝛿
𝑚𝑛
, те. 𝑐
(0)
𝑛𝑛
= 1,
𝑐
(0)
𝑛𝑚
= 0, если 𝑚 ̸= 𝑛. Умножим уравнение) на 𝜓
(0)
𝑛
⏟ ⏞ эрмитов ̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
|𝜓
(1)
𝑛
⟩ = ⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝐸
(1)
𝑛
− ̂︀
𝑉 |𝜓
(0)
𝑛
⟩, те 𝐸
(0)
𝑛
⏟
⏞
=0
|𝜓
(0)
𝑛
⟩ = 𝐸
(1)
𝑛
− ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 Отсюда поправка первого порядка к уровням энергии ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(0)
𝑛
⟩ ≡ ⟨𝑛| ̂︀
𝑉 |𝑛⟩ ≡ есть среднее значение возмущения в состоянии
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
Определение высших поправок к энергии требует вычисления поправок к вектору состояния, поэтому далее получим ⟨
𝜓
(0)
𝑚
⃒
⃒
⃒
⏟
Подставим (
12.1.7
) в (
12.1.5
):
∑︁
𝑚
𝑐
(1)
𝑛𝑚
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑚
⟩
=
(︁
𝐸
(1)
𝑛
− ̂︀
𝑉
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
108
Умножим только то полученное уравнение на 𝐸
(0)
𝑛
)︁
⟨𝜓
(0)
𝑘
|𝜓
(0)
𝑚
⟩ = 𝐸
(1)
𝑛
⟨𝜓
(0)
𝑘
|𝜓
(0)
𝑛
⟩ − или 𝐸
(0)
𝑛
)︁
𝛿
𝑘𝑚
= 𝐸
(1)
𝑛
𝛿
𝑘𝑛
− 𝑉
𝑘𝑛
𝑐
(1)
𝑛𝑘
(︁
𝐸
(0)
𝑘
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁
= 𝐸
(1)
𝑛
𝛿
𝑘𝑛
− Если 𝑘 ̸= 𝑛, то из (
12.1.8
) следует Если 𝑘 = 𝑛, то уравнение (
12.1.8
) удовлетворяется тождественно и коэффициент остается произвольным. Его нужно выбрать так, чтобы вектор состояния |𝜓
𝑛
⟩ в своей нормировке отличался от 1 лишь на величину второго порядка малости. Для этого надо положить 𝑐
(1)
𝑛𝑛
= 0 (см.
правую часть (
12.1.7
), где 𝑐
(1)
𝑛𝑚
= Тогда вектор будет ортогонален ка нормировочный интеграл ⟨𝜓
𝑛
|𝜓
𝑛
⟩ = ⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝜓
(0)
𝑛
⟩
⏟
будет отличен от 1 во втором порядке малости.
1.2
Энергетическая поправка второго приближения теории стационарных возмущений
Умножим (
12.1.6
) на ̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠)
𝑛
⟩
⏟
⏞
⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝐸
(0)
𝑛
−𝐸
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠)
𝑛
⟩
= 𝐸
(1)
𝑛
⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠−1)
𝑛
⟩ − ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(𝑠−1)
𝑛
⟩ + 𝐸
(2)
𝑛
⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠−2)
𝑛
⟩ + · · · + 𝐸
(𝑠)
𝑛
⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠)
𝑛
⟩ = Отсюда следует рекуррентная формула для 𝐸
(𝑠)
𝑛
:
𝐸
(𝑠)
𝑛
= ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(𝑠−1)
𝑛
⟩ −
𝑠−1
∑︁
𝑡=1
𝐸
(𝑡)
𝑛
⟨𝜓
(0)
𝑛
|𝜓
(𝑠−𝑡)
𝑛
⟩
109
При 𝑠 = 1 получаем уже известную формулу для энергетической поправки го порядка ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(0)
𝑛
⟩,
𝑐
(1)
𝑛𝑛
= при 𝑠 = 2:
𝐸
(2)
𝑛
= ⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(1)
𝑛
⟩ − Подставляя (
12.1.10
) в (
12.1.11
), имеем 𝐸
(0)
𝑘
⟨𝜓
(0)
𝑛
| ̂︀
𝑉 |𝜓
(0)
𝑘
⟩
⏟
В силу эрмитовости гамильтониана и оператора ̂︀
𝑉 : 𝑉
𝑘𝑛
= 𝑉
*
𝑛𝑘
, поэтому 𝐸
(0)
𝑘
≡
∑︁
𝑘̸=𝑛
⃒
⃒
⃒
⟨𝑛| ̂︀
𝑉 |𝑘⟩
⃒
⃒
⃒
2
𝐸
(0)
𝑛
− Как наличие одних уровней влияет на энергетическое положение других = 0
𝑛 = 1
𝑛 (𝑘)
𝑘 (𝑛)
1. Если 𝑘-ый уровень выше, чем 𝑛-ый, то 𝐸
(0)
𝑘
> 𝐸
(0)
𝑛
→ 𝐸
(0)
𝑛
−
𝐸
(0)
𝑘
< 0, те. 𝐸
(2)
𝑛
< 0. Во втором приближении ТВ верхний уровень углубляет нижний. Если 𝑘-ый уровень ниже, чем 𝑛-ый, то 𝐸
(0)
𝑛
> 𝐸
(0)
𝑘
→ 𝐸
(0)
𝑛
−
𝐸
(0)
𝑘
> 0, те. 𝐸
(2)
𝑛
> 0. Во втором приближении ТВ нижний уровень выталкивает верхний.
Таким образом, как принято говорить, во втором приближении
ТВ соседние уровни энергии взаимно отталкиваются. Если 𝐸
(0)
𝑛
= 𝐸
(0)
0
— основное состояние, то энергетическая поправка го порядка к основному состоянию всегда отрицательна, т.к. все члены в сумме (
12.1.12
) отрицательны).
Иными словами, во втором приближении ТВ основной уровень энергии опускается вниз.
1.3
Критерий применимости стационарной ТВ
Очевидно, что в формуле |𝜓
𝑛
⟩ =
∑︀
𝑘
𝑐
𝑛𝑘
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑘
⟩
, где 𝑐
𝑛𝑘
= 𝑐
(0)
𝑛𝑘
+ 𝑐
(1)
𝑛𝑘
+ . . . должно быть 1 или (см. (
12.1.9
))
|𝑉
𝑘𝑛
| ≪
⃒
⃒
⃒
𝐸
(0)
𝑛
− 𝐸
(0)
𝑘
⃒
⃒
⃒
(12.1.13)
110
те. недиагональные матричные элементы оператора возмущения по модулю должны быть малы по сравнению с абсолютной величиной разности соответствующих энергий невозмущенных уровней.
Будем называть это условие необходимым условием применимости стационарной ТВ. Этот критерий (
12.1.13
) не работает для близких, а также вырожденных уровней энергии.
§2.
Стационарное возмущение вырожденных уровней дискретного спектра. Секулярное уравнение Пусть уровень вырожден с кратностью 𝑘, те. ему соответствует ортонормированный набор СВ, где 𝛽 = 1÷𝑘. Обратимся к уравнению) го порядка ТВ:
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛𝛽
⟩
= Отсюда следует, что набор состояний
{︁⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛𝛽
⟩}︁
неоднозначен, т.к. любая линейная комбинация
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
=
𝑘
∑︁
𝛽=1
𝑐
𝛽
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛𝛽
⟩
тоже удовлетворяет уравнению (
12.2.1
), те 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
𝑛
⟩
= Обратимся к уравнению (
12.1.5
) го порядка ТВ:
(︁
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
𝑛
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
𝑛
⟩
=
(︁
𝐸
(1)
𝑛
− ̂︀
𝑉
)︁ В дальнейшем из соображений удобства опустим индекс 𝑛, те 𝐸
(0)
)︁ ⃒
⃒
⃒
𝜓
(1)
⟩
=
(︁
𝐸
(1)
− ̂︀
𝑉
)︁ Умножим (
12.2.2
) на, где 𝛼 ∈ 𝛽 = 1 ÷ 𝑘:
⟨𝜓
(0)
𝛼
|
̂︀
𝐻
(0)
− 𝐸
(0)
⏟
⏞
=0 из эрмитовости
|𝜓
(1)
⟩ = ⟨𝜓
(0)
𝛼
|𝐸
(1)
− ̂︀
𝑉 |𝜓
(0)
⟩,
111
те ̂︀ 𝑉 |𝜓 (0) 𝛽 ⟩ = или 𝐸 (1) 𝛿 𝛼𝛽 }︁ 𝑐 𝛽 = Система линейных уравнений ( 12.2.3 ) имеет нетривиальные решения относительно коэффициентов 𝑐 𝛽 , если 𝐸 (1) 𝛿 𝛼𝛽 ‖ = Заметим, что комплексных корней у секулярного уравнения ( 12.2.4 ) нет в силу эрмитовости оператора возмущения ̂︀ 𝑉 (см. теорему в конце § 2 гл. а также § 1 гл. 6). Секулярное или вековое уравнение ( 12.2.4 ) имеет 𝑘 действительных корней, которые и представляют искомые поправки го приближения к энергии уровня 𝐸 𝑛 , те. кратному СЗ отвечают уровни энергии соответствуют энергии 𝐸 (0) 𝑛 + 𝐸 (1) 𝑛𝜇 , 𝜇 = 1 ÷ 𝑘. Если все различны, то возмущение полностью снимает вырождение. Если некоторые из совпадают, то говорят о частичном снятии вырождения. 2.1 Правильные волновые функции нулевого приближения Нумеруя корни секулярного уравнения и подставляя их в (найдем конкретные значения коэффициенты 𝑐 𝜇𝛽 (𝛽 напоминает нам о том, что этих коэффициентов 𝑘 штук для каждого СЗ 𝐸 (1) 𝑛𝜇 ). Тогда СВ в нулевом приближении примут вид, 𝜇 = 1 ÷ 𝑘 Векторы ⃒ ⃒ ⃒ ˜ 𝜓 (0) 𝑛𝜇 ⟩ за счет дополнительных ограничений на коэффициенты 𝑐 𝜇𝛽 можно сделать ортонормированными (⟨𝜓 (0) 𝑛𝜈 |𝜓 (0) 𝑛𝜇 ⟩ = 𝛿 𝜈𝜇 ) и тогда соответствующие таким состояниям волновые функции называются правильными волновыми функциями нулевого приближения. Они означают переход к новому базису, в котором матрица оператора возмущения ̂︀ 𝑉 в блоке, связанном с вырождением, имеет диагональный вид. В старом базисе {︁⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑛𝛽 ⟩}︁ диаго- нализируется только гамильтониан невозмущенной задачи Упражнение 1. Доказать, что в базисе правильных волновых функций нулевого приближения вырожденная часть матрицы оператора возмущения имеет диагональный вид.
Диагональный вид вырожденной части матрицы оператора возмущения в базисе правильных волновых функций нулевого приближения следует из самой процедуры отыскания корней векового уравнения (
12.2.3
). По своей сути такая процедура означает диагонализацию этой части матрицы оператора возмущения ̂︀
𝑉 или отыскания его собственных значений в виде, которым в дальнейшем ставятся в соответствие СВ в виде
⃒
⃒
⃒
˜
𝜓
(0)
𝑛𝜇
⟩
Происхождение названия. Если бы эти функции знать заранее (например, угадать, то можно было бы сосчитать положение уровней энергии возмущенной задачи по невырожденной ТВ, ибо недиагональные элементы в новом базисе ≡ 0.
§3.
Квазивырождение, случай двух близких уровней энергии
Рассмотрим специально случай, когда два уровня энергии оказались близки, так что ТВ для невырожденного спектра неприменима (см. (
12.1.13
) критерий применимости стационарной ТВ в случае невырожденного спектра. Однако тем не менее спектр гамильтониана ̂︀
𝐻
(0)
невырожден: случай двух близких уровней (квазивырождение).
Без учета малых взаимодействий 𝐸
(0)
1
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
1
⟩
̂︀
𝐻
(0)
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
2
⟩
= где ∆ = 𝐸
(0)
2
− 𝐸
(0)
1
> 0 (расстояние между невозмущенными уровнями).
При учете оператора возмущения ̂︀
𝑉 решение уравнения |𝜓⟩ =
(︁
̂︀
𝐻
(0)
+ ̂︀
𝑉
)︁
|𝜓⟩ = 𝐸 следует искать по аналогии со случаем вырожденного спектра в видели- нейной комбинации = 𝑐
1
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
1
⟩
+ Подставляя (
12.3.3
) в (
12.3.2
), получим+ ̂︀
𝑉
)︁ (︁
𝑐
1
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
1
⟩
+ 𝑐
2
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
2
⟩)︁
= 𝐸
(︁
𝑐
1
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
1
⟩
+ 𝑐
2
⃒
⃒
⃒
𝜓
(0)
2
⟩)︁
113
Умножая получившееся уравнение последовательно на ⟨ 𝜓 (0) 1 ⃒ ⃒ ⃒ и ⟨ 𝜓 (0) 2 ⃒ ⃒ ⃒ , получаем систему двух уравнений для нахождения уровней энергии и коэффициентов, в линейной комбинации ( 12.3.3 ) (︃ 𝐸 (0) 1 + 𝑉 11 − 𝐸 𝑉 12 𝑉 21 𝐸 (0) 2 + 𝑉 22 − 𝐸 )︃ (︂𝑐 1 𝑐 2 )︂ = условием разрешимости которой является секулярное уравнение+ 𝑉 11 − 𝐸 𝑉 12 𝑉 21 ⏟ ⏞ =𝑉 12 * 𝐸 (0) 2 + 𝑉 22 − 𝐸 ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ ⃦ = Раскрывая ( 12.3.4 ) имеем+ 𝐸 (0) 1 + 𝑉 22 + 𝑉 11 )︁ 𝐸 + (︁ 𝐸 (0) 1 + 𝑉 11 )︁ (︁ 𝐸 (0) 2 + 𝑉 22 )︁ − |𝑉 12 | 2 = В силу эрмитовости оператора оператора ̂︀ 𝑉 : 𝑉 21 = 𝑉 * 12 , поэтому 𝑉 21 𝑉 12 = 𝑉 * 12 𝑉 12 = ⃒ ⃒ 𝑉 2 12 ⃒ ⃒ ). Тогда = 𝐸 (0) 2 + 𝐸 (0) 1 + 𝑉 22 + 𝑉 11 2 ± ± {︂ 1 4 [︁ (𝐸 (0) 1 + 𝑉 11 ) + (𝐸 (0) 2 + 𝑉 22 ) ]︁ 2 − (𝐸 (0) 1 + 𝑉 11 )(𝐸 (0) 2 + 𝑉 22 ) + |𝑉 21 | 2 }︂ 1/2 = = 1 2 (𝐸 (0) 2 + 𝐸 (0) 1 + 𝑉 22 + 𝑉 11 ) ± 1 2 √︃ (𝐸 (0) 2 − 𝐸 (0) 1 ⏟ ⏞ =Δ +𝑉 22 − 𝑉 11 ) 2 + Если 𝑉 11 = 𝑉 22 = 0 (что, например, имеет место в случае нечетное функции 𝑉 (водородоподобный атом в однородном электрическом поле = 𝑒𝜀𝑧)), то+ 𝐸 (0) 1 2 ± 1 2 √︀ ∆ 2 + 4|𝑉 12 | 2 → ∆𝐸 = 𝐸 2 − 𝐸 1 = √︀ ∆ 2 + 4|𝑉 12 | 2 > Отсюда следует, что ∆𝐸 = 𝐸 2 − 𝐸 1 = √︀∆ 2 + 4|𝑉 12 | 2 > ∆, те. под действием возмущения близкие уровни энергии «расталкиваются». Из рис. видно, что если 𝑉 12 ̸= 0, то уровни энергии нигде не пересекаются и минимальное расстояние между ними 2 |𝑉 12 | (точка квазипересечения соответствует точному резонансу уровней в отсутствии возмущения 𝐸 (0) 1 = 𝐸 (0) 2 ∆ 𝐸 𝐸 (0) 2 , ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 2 ⟩ 𝐸 (0) 1 , ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 1 ⟩ 𝐸 1 , |𝜓 1 ⟩ 𝐸 2 , |𝜓 2 ⟩ |𝑉 12 | = Рис. 12.1: ТВ в случае двух близких по энергии уровней Глава Нестационарная теория возмущений §1. Нестационарное возмущение дискретного спектра. Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного време- ни. Рассматривается общая задача теории возмущений, когда гамильтониан физической системы можно записать в виде = ̂︀ 𝐻 (0) + ̂︀ 𝑉 (где ̂︀ 𝑉 (𝑡) в известном выше смысле мало. Теперь считаем, что возмущение зависит от времени. Зависимость гамильтониана от времени характерна для незамкнутых систем, те. там, где действуют внешние силы. Например, взаимодействие квантовой системы с электромагнитной волной. Считаем, что возмущение действует в течение некоторого конечного промежутка времени 𝑇 : ̂︀ 𝑉 (𝑡) = {︂ ̂︀ 𝑤(𝑡), 0 < 𝑡 < 𝑇 0, 𝑡 ≤ 0, 𝑡 ≥ Строго говоря, у такой системы нет стационарных состояний, и говорить о поправках к собственным значениям энергии в этом случае нельзя. Но если есть малый параметр (как в главе XII, он полагается включенным в ̂︀ 𝑉 ), то можно применить идеологию метода ТВ для приближенного вычисления волновых функций Пусть при ̂︀ 𝑉 (𝑡) = 0 (𝑡 ≤ 0) у системы существуют стационарные состояния с дискретным спектром, те ̂︀ 𝐻 (0) ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑛 (𝑡) ⟩ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑛 (𝑡) ⟩ = где ̂︀ 𝐻 (0) ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑛 ⟩ = см. § 4 гл. 1). Обозначим 𝜔 𝑛 = 𝐸 (0) 𝑛 . Тогда общее решение невозмущенного уравнения может быть записано в виде ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) (𝑡) ⟩ = ∑︁ 𝑘 𝑐 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 (𝑡) ⟩ = ∑︁ 𝑘 𝑐 𝑘 𝑒 −𝑖𝜔 𝑘 𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 ⟩ , где, как обычно, 𝑐 𝑘 — коэффициенты разложения в линейную суперпозицию, квадраты модулей которых — вероятности обнаружить систему в стационарном состоянии Метод вариации постоянных Учтем теперь наличие ̂︀ 𝑉 (𝑡), считая, что 𝑐 𝑘 ≡ 𝑐 𝑘 (𝑡). Поскольку 𝑤 𝑘 (𝑡) ≡ |𝑐 𝑘 (𝑡)| 2 , то вероятность обнаружить систему в состоянии «k» становится функцией времени, и можно описать переходы из одного состояния в другое. Итак, будем искать решение возмущенного уравнения = ( ̂︀ 𝐻 (0) + ̂︀ 𝑉 (𝑡)) в виде суммы Подставим разложение ( 13.1.2 ) в уравнение ( 13.1.1 ): 𝑖 ∑︁ 𝑘 (︁ ˙ 𝑐 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 (𝑡) ⟩ + 𝑐 𝑘 𝜕 𝜕𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 (𝑡) ⟩)︁ = ∑︁ 𝑘 𝑐 𝑘 (︁ ̂︀ 𝐻 (0) ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 (𝑡) ⟩ + Помня, что ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑘 (𝑡) ⟩ удовлетворяют невозмущенному уравнению, получим (Проектируем ( 13.1.3 ) на ⟨ 𝜓 (0) 𝑚 (𝑡) ⃒ ⃒ ⃒ и с учетом ортонормировки ⟨𝜓 (0) 𝑚 (𝑡)|𝜓 (0) 𝑘 (𝑡)⟩ имеем ˙ 𝑐 𝑚 = ∑︁ 𝑘 𝑐 𝑘 (𝑡)𝑉 𝑚𝑘 (𝑡)𝑒 𝑖𝜔 𝑚𝑘 𝑡 , (13.1.4) 117 где 𝜔 𝑚𝑘 = (𝐸 (0) 𝑚 − 𝐸 (0) 𝑘 ) , 𝑉 𝑚𝑘 = ⟨𝜓 (0) 𝑚 | ̂︀ 𝑉 (𝑡)|𝜓 (0) 𝑘 ⟩ — при зависящем явно от времени ̂︀ 𝑉 величины тоже являются функциями времени. Отметим, что нами получено точное соотношение. Для решения этого дифференциального уравнения в общем случае необходима аппроксимация. 1.2 Приближение или метод Дирака (1927 г.) Считается, что 𝑐 𝑘 (𝑡) можно представить в виде ряда убывающих функций времени) = 𝑐 (0) 𝑘 (𝑡) + 𝑐 (1) 𝑘 (𝑡) + . . Предположим, что возмущение было включено в момент времени 𝑡 = До этого было ̂︀ 𝐻 ≡ ̂︀ 𝐻 (0) , и система достоверно находилась в состоянии с = 𝐸 (0) 𝑛 , те) = 𝑐 (0) 𝑘 (0) = 𝑐 (0) 𝑘 = или 𝑐 (0) 𝑛 = 1, 𝑐 (0) 𝑘 = 0 при 𝑘 ̸= 𝑛 (в нулевом приближении зависимости от времени нет. Тем самым мы поставили начальное условие. Дальнейшее решение приводит к цепочке уравнений в каждом порядке 𝑠 для 𝑐 (𝑠) 𝑚 (𝑡). Подставляя ряд для 𝑐 𝑘 (𝑡) в уравнение ( 13.1.4 ): 𝑖 𝜕 𝜕𝑡 {︁ 𝑐 (0) 𝑛𝑚 + 𝑐 (1) 𝑛𝑚 (𝑡) + . . . }︁ = ∑︁ 𝑘 𝑉 𝑚𝑘 𝑒 𝑖𝜔 𝑚𝑘 𝑡 · ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑐 (0) 𝑛𝑘 ⏟ ⏞ =𝛿 𝑛𝑘 + 𝑐 (1) 𝑛𝑘 ⏟ ⏞ дает второй порядок малости+ . . К каждой из невозмущенных функций вычисляется поправка. В первом порядке теории возмущений получаем или, что тоже самое < 𝑡 < 𝑇 Найденная нами есть поправка го порядка кому стационарному состоянию (в нем система находилась до включения возмущения. Дальнейшие вычисления приведут к поправкам высших порядков ТВ. Мы ограничимся первым порядком Вероятность перехода
Какой смысл имеет функция 𝑐
(1)
𝑚𝑛
(𝑡)? Общее решение имеет вид и про него известно, что а) прите. система достоверно находилась в состоянии си в сумме поесть только одно слагаемое с 𝑚 = б) при 𝑡 > 0: действует возмущение. В результате коэффициенты при 𝑚 ̸= 𝑛, сначала равные нулю, становятся отличными от нуля 𝑐
(1)
𝑛𝑚
(𝑡) ̸= В соответствии с принципом линейной суперпозиции состояний есть вероятность обнаружить систему в момент времени 𝑡 в состоянии есть в начальный момент времени она была в состоянии «n» дискретного спектра невозмущенной задачи. Таким образом, в результате действия возмущения может произойти квантовый переход из одного стационарного состояния в другое.
Введем терминологию 𝑃
𝑛𝑚
(𝑡) — вероятность того квантового перехода из состояния «n» в состояние «m» за время Ранее предполагалось, что возмущение действовало в течение некоторого конечного промежутка времени 𝑇 (от 𝑡 = 0 доили. Строго говоря, все это время система была нестационарной. Только после снятия возмущения система перейдет стой или иной вероятностью к одному из стационарных состояний. При условии малости ̂︀
𝑉 и 𝑇 говорят о дискретных переходах между стационарными состояниями. Следовательно) =
1
2
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁
𝑡
0
𝑑𝑡
′
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
′
)𝑒
𝑖𝜔
𝑚𝑛
𝑡
′
⃒
⃒
⃒
⃒
2
,
0 < 𝑡 < При −∞ < 𝑡 < ∞
𝑃
𝑛𝑚
=
1
2
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁
∞
−∞
𝑑𝑡
′
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
′
)𝑒
𝑖𝜔
𝑚𝑛
𝑡
′
⃒
⃒
⃒
⃒
2
=
(2𝜋)
2
2
|𝑉
𝑚𝑛
(𝜔
𝑚𝑛
)|
2
= где 𝑉
𝑚𝑛
(𝜔
𝑚𝑛
) =
1 2𝜋
∞
∫︀
−∞
𝑑𝑡
′
𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
′
)𝑒
𝑖𝜔
𝑚𝑛
𝑡
′
— компонента Фурье матричного элемента 𝑉
𝑚𝑛
(𝑡) оператора возмущения ̂︀
𝑉 (𝑡), действующего в течение конечного промежутка времени.
§3.
Адиабатические и внезапные возмущения
Здесь речь пойдет о промежутках времени, непосредственно примыкающих к моментам включения и выключения возмущения (см.
рис. 13.1
).
119
𝑡
𝑉 (𝑡)
𝑇
𝑡
*
𝜏
𝑇 − Рис. 13.1: Изменения возмущения во времени. 𝑇 - длительность возмущения - время включения, 𝑡
*
- точка перегиба.
3.1
Адиабатическое изменение возмущения
Преобразуем интеграл Учитывая, что 𝑉
𝑚𝑛
(0) = 𝑉
𝑚𝑛
(𝑇 ) = 0, получим ) Определение 1. Матричный элемент оператора возмущения 𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
′
) изменяется адиабатически (медленно, если за характерное время переходов в квантовой системе изменение мало по сравнению с самой величиной |𝑉
𝑚𝑛
(𝑡
′
)|, те 𝑇
𝑚𝑛
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑉
𝑚𝑛
𝑑𝑡
′
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ Если 𝜏 — характерное время включения (или выключения) возмущения,
то
∆𝑉
𝑚𝑛
∼ 𝑇
𝑚𝑛
|𝑉
𝑚𝑛
|
𝜏
≪ |𝑉
𝑚𝑛
|
120
или 1 − — условие адиабатичности (медленности) изменения матричного элемента. При этом множитель 𝑑𝑉 𝑚𝑛 𝑑𝑡 ′ в ( 13.3.1 ) мало меняется по сравнению с экспонентой 𝑒 𝑖𝜔 𝑚𝑛 𝑡 ′ , и его можно (в некоторой точке 𝑡 ′ = 𝑡 * , см. рис. вынести за знак интеграла, который затем легко берется ) = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑 𝑑𝑡 ′ 𝑉 𝑚𝑛 (𝑡 ′ ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 2 𝑡 ′ =𝑡 * (︂ 2 𝜔 2 𝑚𝑛 )︂ 2 sin 2 (︂ С другой стороны, |∆𝑉 𝑚𝑛 | ≪ 𝜔 𝑚𝑛 , поэтому неравенство ( 13.3.2 ) можно переписать в виде С учетом условия ( 13.3.3 ) получаем 𝑃 𝑛𝑚 (𝑇 ) ≪ 1 , те. при медленном (адиабатическом) включении или выключении возмущения квантовая система, находившаяся первоначально в невырожденном состоянии сбудет в первом приближении теории возмущений оставаться в нем же. 3.2 Внезапное включение возмущения В этом случае возмущение практически мгновенно изменяется от 0 доза время 𝜏 ≪ 𝑇 𝑚𝑛 ∼ 1/𝜔 𝑚𝑛 . Тогда на протяжении указанного промежутка времени 𝜔 𝑚𝑛 𝜏 ≪ 1 в подынтегральном выражении ( 13.3.1 ) множитель 𝑒 𝑖𝜔 𝑚𝑛 𝑡 ′ мало меняется по сравнению си может быть вынесен за знак интеграла. Оставшийся сомножитель ∼ 𝛿(𝑡 ′ ). В результате интегрирования имеем: 𝑃 𝑚𝑛 ≃ |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 𝜔 2 𝑚𝑛 (13.3.4) Здесь |𝑉 𝑚𝑛 | — максимальное значение матричного элемента возмущения в момент его включения. Вероятности перехода при внезапных возмущениях можно найти ив тех случаях, когда возмущение не является малым. Если изменение гамильтониана происходит за время 𝜏 ≪ 1 𝜔 𝑚𝑛 , то волновая функция системы «не успевает измениться и остается той же 𝜓 (0) 𝑛 , что и до возмущения. Отвечающий ей волновой вектор, однако, уже не является СВ нового гамильтониана ̂︀ 𝐻, но может быть разложен по полной ортонормированной системе его СВ {|𝜓 𝑓 ⟩}: ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (0) 𝑛 ⟩ = ∑︁ 𝑓 |𝜓 𝑓 ⟩ ⟨𝜓 𝑓 | ⏟ и, согласно общим правилам квантовой механики, вероятность перехода системы в новое стационарное состояние «m» задается формулой Если считать возмущение ̂︀ 𝑉 малым, то можно показать, что общая формула) переходит в формулу ( 13.3.4 ) (см. § 41 т. III Л.Л.). §4. Переходы под влиянием постоянного во времени возмущения. Золотое правило Ферми (Рис. 13.2: Постоянное во времени возмущение Если возмущение постоянно во времени на промежутке от 0 до 𝑇 (𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, см. рис. 13.2 ), то из ( 13.1.5 ) следует 1 𝑖𝜔 𝑚𝑛 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 2 = = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 2(1 − cos 𝜔 𝑚𝑛 𝑇 ) 𝜔 2 𝑚𝑛 = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 𝑓 (𝜔 𝑚𝑛 , 𝑇 Здесь 𝑓 (𝜔, 𝑇 ) = 2(1 − cos 𝜔𝑇 ) 𝜔 2 — спектральная функция (см. рис. которая имеет острый пик при 𝑇 → ∞ шириной вблизи 𝜔 = 0. При 𝑇 → ∞ присутствует одно из определений функции (см. § 42 т. III Л.Л.): lim 𝑇 →∞ (︂ 𝑓 (𝜔, 𝑇 ) 𝑇 )︂ = 2𝜋𝛿(𝜔) 𝜔 𝑓 (𝜔, 𝑇 ) 2𝜋 𝑇 − 2𝜋 𝑇 4𝜋 𝑇 − 4𝜋 𝑇 𝑇 2 Рис. 13.3: График спектральной функции. Тогда вероятность квантовых переходов в единицу времени есть →∞ = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 lim 𝑇 →∞ 𝑓 (𝜔 𝑚𝑛 , 𝑇 ) 𝑇 ⏟ ⏞ 2𝜋𝛿𝜔 𝑚𝑛 = = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 2𝜋𝛿 (𝜔 𝑚𝑛 ) = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2 2𝜋𝛿 (︂ 𝐸 𝑚 − 𝐸 𝑛 )︂ = = |𝑉 𝑚𝑛 | 2 2𝜋𝛿(𝐸 𝑚 − 𝐸 𝑛 ) = Переход к функции — идеализация, облегчающая дальнейшие вычисления (в частности, проведение в дальнейшем интегрирования по энергии конечных состояний. Из рис. видно, что квантовые переходы в основном происходят в состояния, энергия которых отличается не более, чем нас такой точностью сохраняется энергия, что связано с соотношением неопределенностей между энергией и временем ее измерения ∆𝑡 ∆𝐸∆𝑡 За время ∆𝑡 энергия системы не может быть измерена точнее величины, определяемой соотношением ( 13.4.2 ). В частности, если состояние является стационарным (∆𝑡 → ∞), то энергия микрообъекта будет точно определенной (∆𝐸 → 0) (см. § 44 т. III Л.Л.). В полученной формуле ( 13.4.1 ) для вероятности квантовых переходов в единицу времени квантовые числа «n» и «m» начального и конечного состояний фиксированы. Важное прикладное значение эта формула имеент в следующем случае. Спектр (по крайней мере, конечных, либо начальных и конечных состояний непрерывный (либо квазинепрерывный). 2. Постановка физической задачи такова, что необходимо найти полную вероятность квантовых переходов в единицу времени изначального состояния «n» в континуальную группу состояний «m», обладающих почти одинаковой энергией и близкими значениями матричных эле- ментов. Пример 1. Вероятность упругого рассеяния сталкивающихся частиц в элемент телесного угла 𝑑Ω k , k — волновой вектор конечного состояния (рассеянной волны (частицы. Здесь роль возмущения играет потенциальная энергия 𝑈 (r) взаимодействия между частицами — борновское приближение (см. главу XIX Теория рассеяния»). При такой постановке задачи требуется просуммировать вероятности переходов в единицу времени по квантовым числам «m» конечных состояний и учесть непрерывный характер спектра конечных состояний. Последнее означает переход от суммирования к интегрированию в выражении для полной вероятности: 𝑊 𝑛 = ∑︁ 𝑚 𝑤 𝑛𝑚 → ∫︁ 𝑤 𝑚𝑛 𝑑𝜈 𝑚 , где 𝑑𝜈 𝑚 - число квантовых состояний в интервале энергий 𝐸 𝑚 ÷ 𝐸 𝑚 + 𝑑𝐸 𝑚 : 𝑑𝜈 𝑚 = 𝜌(𝐸 𝑚 )𝑑𝐸 𝑚 . Множитель 𝜌(𝐸 𝑚 ) = 𝑑𝜈 𝑚 𝑑𝐸 𝑚 — плотность конечных состояний, те. число конечных состояний, приходящихся на единичный интервал энергий вблизи 𝐸 𝑚 . Тогда полная вероятность переходов изначального состояния в континуальную группу состояний, близких «m» есть 𝐸 𝑛 )𝜌(𝐸 𝑚 )𝑑𝐸 𝑚 = = 2𝜋 |𝑉 𝑚𝑛 | 2 𝜌(𝐸 𝑚 ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝐸 𝑚 =𝐸 𝑛 = Формула ( 13.4.3 ) означает золотое правило Ферми — полная вероятность квантовых переходов в единицу времени не зависит от длительности действия возмущения. Анализируя ( 13.4.3 ), приходим к следующим выводам
1. При квантовых переходах сохраняется энергия, что выражается 𝛿- функцией. Поскольку ̂︀
𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то и сохраняется энергия. Реализуются лишь такие переходы, которые сохраняют энергию. Энергия может только перераспределяться между отдельными частями единой системы. Энергия не изменяется, значит, она — интеграл движения, но могут изменяться другие характеристики, например, вектор импульса в борновском приближении теории рассеяния. Полученная формула описывает полную вероятность квантовых переходов в единицу времени изначального состояния «n» вовсе состояния, обладающие почти одинаковой энергией и близкими значениями матричных элементов. Если спектр существенно дискретный, то нельзя переходить 𝑃
𝑛𝑚
→
𝑊
𝑛
. Для этого нужно, чтобы 𝑓 (𝜔
𝑚𝑛
, 𝑇 ) была функцией по сравнению с 𝜌(𝐸
𝑚
) (см.
рис. 13.4
).
𝐸
𝑚
𝐹 (𝐸
𝑚
)
𝐸
𝑛
𝛿(𝐸
𝑚
− Рис. 13.4: К применимости (Переходы под действием периодического возмущения в дискретном и непрерывном спектрах В силу эрмитовости ̂︀
𝑉 оператор периодического во времени возмущения может быть представлен в виде (𝑡) = ̂︀
𝑉 𝑒
−𝑖𝜔𝑡
+ ̂︀
𝑉
†
𝑒
𝑖𝜔𝑡
,
(13.5.1)
125
где ̂︀ 𝑉 не зависит от времени, а ̂︀ 𝑉 (𝑡), как ив, действует на промежутке, 𝑇 ]. Тогда подставляя ( 13.5.1 ) в выражение ( 13.1.5 ) для коэффициентов) общей теории, будем иметь+ 𝑉 † 𝑚𝑛 ⏟ ⏞ 𝑉 * 𝑛𝑚 𝑒 𝑖(𝜔 𝑚𝑛 +𝜔)𝑡 ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ = = 𝑉 𝑚𝑛 [𝑒 𝑖(𝜔 𝑚𝑛 −𝜔)𝑇 − 1] 𝑖𝑖(𝜔 𝑚𝑛 − 𝜔) + 𝑉 † 𝑚𝑛 [𝑒 𝑖(𝜔 𝑚𝑛 +𝜔)𝑇 − 1] 𝑖𝑖(𝜔 𝑚𝑛 + При 𝜔 → ±𝜔 𝑚𝑛 = ±(𝐸 𝑚 − 𝐸 𝑛 )/ (резонансный случай, основной вклад в вероятность переходов вносит либо первое, либо второе слагаемое. При этом продолжая вычисления, аналогичные случаю ̂︀ 𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 предыдущего, перейдем к вероятности переходов в единицу времени и получим 𝐸 𝑛 ± 𝜔) где 𝐸 𝑚 - конечная энергия, 𝐸 𝑛 - начальная энергия, 𝑉 − 𝑚𝑛 ≡ 𝑉 𝑚𝑛 . Или 𝑊 𝑛 = 2𝜋 {︁ ⃒ ⃒ 𝑉 ± 𝑚𝑛 ⃒ ⃒ 2 𝜌(𝐸 𝑚 ) }︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝐸 𝑚 =𝐸 𝑛 ∓𝜔 (13.5.3) Формула ( 13.5.2 ) описывает переходы в дискретном спектре, а формула) — переходы в непрерывном спектре, включая случаи переходов из дискретного в непрерывный спектр. При периодическом возмущении переходы происходят, в основном, в состояния с энергиями 𝐸 𝑚 = 𝐸 𝑛 ∓𝜔. Таким образом, приходим к следующему заключению. Квантовые переходы происходят скачком, имея резонансный характер. Здесь выполняется правило Бора 𝐸 𝑚 − 𝐸 𝑛 = ∓𝜔 (фактически это доказательство справедливости правила частот Бора. Возмущение вида ̂︀ 𝑉 увеличивает энергию системы 𝐸 𝑛 → 𝐸 𝑚 = 𝐸 𝑛 + 𝜔 (поглощение энергии. Возмущение вида уменьшает энергию системы 𝐸 𝑛 → 𝐸 𝑚 = 𝐸 𝑛 − 𝜔 (излучение ≡ испускание энергии). Все это можно представить как результат действия внешних сил на систему. Например, система фотонов + квантовая система (атом, молекула) обладает постоянной общей энергией Глава Основы релятивистской теорииТрадиционная квантовая механика, базирующаяся на уравнении Шрё- дингера и теории спина Паули, вызывает известное чувство неудовлетворенности теми обстоятельствами, что. Теория оказывается не инвариантной относительно преобразований Лоренца (или не является лоренц-ковариантной), как того требует принцип относительности. Причина в том, что основное уравнение уравнение Шрёдингера — нерелятивистское. Спин в теории Паули вводится руками, а не следует из основ теории. Поэтому необходимо обобщение уравнения Шрёдингера на релятивистский случай и формулировка всей теории в лоренц-ковариантной форме. Именно на этом пути удается достичь существенного прогресса в вопросе происхождения спина элементарных частиц (в частности, электрона, обосновывая гипотезу Уленбека-Гаудсмита (1925 г.) Предметом нашего дальнейшего рассмотрения будет релятивистская квантовая механика, в которой будет допущен ряд идеализаций. Частицы считаются точечными (без внутренней структуры. Согласно экспериментальным данным по рассеянию, установлена точечность электрона до см. Однако общеизвестно, что, например, нуклоны имеют кварковую структуру. Изолированность частиц. Это понятие становится все более относительным, т.к. фмундаментален факт взаимопревращений частиц при реакциях 3. Сохранение числа частиц. В физике высоких энергий (𝐸 > 𝑚𝑐 2 ) это положение теряет смысл. Здеь все большее значительной становится роль процессов с изменением числа частиц и превращения частиц (рождение и аннигиляция частиц. Полное релятивистское квантовое описание таких процессов приводит к понятию квантованных полей, а соответствующая теория называется квантовой теорией поля. Наше рассмотрение будет касаться предварительного этапа мы будем считать, что число частиц постоянно (те. пренебрежем процессами с изменением числа частица уравнение — релятивистское, те. пригодное для описания частиц высоких энергий (𝐸 ≥ 𝑚 𝑒 𝑐 2 = 0.5 МэВ. На этом пути мы используем одночастичный подход, те. рассматривается релятивистская квантовая механика одной изолированной частицы. §1. Уравнение Дирака (1928 г) свободной релятивистской частицы В 25 лет английский физик-теоретик построил фундамент современной квантовой физики, предложив волновое релятивистское уравнение, описывающее движение не только электронов, но и их античастиц — позитронов. Перейдем теперь к построению релятивистского волнового уравнения, которое могло бы описывать частицы со спином 𝑠 = 1/2, например, электроны. В нерелятивистской теории электрон описывается паулиевским (или двухкомпонентным) спинором, те. волновой функцией 𝜓(r, 𝑡) = (︂𝜓 1 𝜓 2 )︂ , компоненты которой при трехмерных вращениях преобразуются как компоненты углового момента, равного 1/2. Поэтому, если мы хотим построить релятивистское обобщение спинора Паули, то необходимо заложить в теорию возможность описания частицы многокомпонентной волновой функцией, компоненты которой преобразуются друг через друга вполне определенным образом при преобразованиях Лоренца. Как ив нерелятивистской теории, волновую функцию Ψ в данный момент времени 𝑡 можно рассматривать как функцию пространственных координат и внутренних, или спиновых, переменных 𝑠. Такая функция задает некоторый вектор состояния частицы |Ψ(𝑡)⟩ в гильбертовом пространстве состояний ℋ = ℋ орб ⊗ ℋ спин (прямое произведение пространства орбитального движения на пространство спиновой переменной, 𝑡, 𝑠) = Ψ 𝑠 (r, 𝑡) = ⟨r, проекция вектора состояний |Ψ(𝑡)⟩ в некоторой точке |r, 𝑠⟩ спин-орбитального пространства 𝐻 — см. §3 главы Определение 1. Прямым (тензорным) произведением пространств 𝜀 𝑎 и 𝜀 𝑏 называется мерное пространство 𝜀 𝑎 ⊗ 𝜀 𝑏 , базисными векторами которого являются векторы |𝑎𝜇𝑏𝜈⟩ ≡ |𝑎𝜇⟩ |𝑏𝜈⟩, где 𝜇 = 1, 2, . . . , 𝑛
𝑎
; 𝜈 =
1, 2, . . . , По аналогии с теорией Паули функцию Ψ(r, 𝑡, 𝑠) представим в виде столбца из 𝑁 компонент Ψ
𝑠
(r, 𝑡) (𝑠 — номер компоненты Ψ(r, 𝑡) Далее предположим, что искомое уравнение можно записать в гамиль- тоновой форме, 𝑡) = ̂︀
𝐻
𝐷
Ψ(r, где ̂︀
𝐻
𝐷
— гамильтониан Дирака, соответствующий линеаризованной форме выражения для релятивистской энергии частицы =
√︀
𝑐
2
p
2
+ Линеаризация радикала необходима потому, что левая часть (
14.1.1
) линейна по
𝜕
𝜕𝑡
(уравнение первого порядка повремени, а т.к. искомое уравнение должно быть релятивистски инвариантным к преобразованиям Лорен- ца, то оно должно отражать равноправие пространственных и временных переменных, те. должно быть уравнением первого порядка и по пространственным переменным. Иными словами, гамильтониан свободной релятивистской частицы должен быть линейной функцией компонент оператора импульса Линеаризация корня»
Следуя Дираку попытаемся введя 4 матричных коэффициента =
1, 2, 3) и ̂︀
𝛽, представить (
14.1.2
) в виде =
√︀
𝑐
2
p
2
+ 𝑚
2
𝑐
4
̂︀
1 = 𝑐
3
∑︁
𝑖=1
(
̂︀
𝛼
𝑖
𝑝
𝑖
) + ̂︀
𝛽𝑚𝑐
2
≡ 𝑐(
̂︀
𝛼 · p) + где ̂︀
1 — единичная матрица размера 𝑁 × 𝑁 . Определим, каким условиям должны удовлетворять введенные объекты
̂︀
𝛼
𝑖
и ̂︀
𝛽. Для этого возведем последнее выражение в квадрат = (𝑐
2
p
2
+ 𝑚
2
𝑐
4
)̂︀
1 =
{︃
𝑐
3
∑︁
𝑖=1
(
̂︀
𝛼
𝑖
𝑝
𝑖
) + ̂︀
𝛽𝑚𝑐
2
}︃
×
⎧
⎨
⎩
𝑐
3
∑︁
𝑗=1
(
̂︀
𝛼
𝑗
𝑝
𝑗
) + ̂︀
𝛽𝑚𝑐
2
⎫
⎬
⎭
=
= 𝑐
2 3
∑︁
𝑖=1 3
∑︁
𝑗=1
(
̂︀
𝛼
𝑖
, 𝑝
𝑖
)(
̂︀
𝛼
𝑗
, 𝑝
𝑗
) + 𝑚𝑐
3 3
∑︁
𝑖=1
(
̂︀
𝛼
𝑖
̂︀
𝛽 + ̂︀
𝛽
̂︀
𝛼
𝑖
)𝑝
𝑖
+ ̂︀
𝛽
2
𝑚
2
𝑐
4
(14.1.4)
129
Первое слагаемое в правой части (
14.1.4
) удобно переписать в симметри- зованном виде 3
∑︁
𝑖=1 Упражнение 1. Доказать это утверждение.
Равенство (
14.1.4
) будет выполняться, если объекты
̂︀
𝛼
𝑖
и ̂︀
𝛽 подчиняются следующей алгебре ≡
̂︀
𝛼
𝑖
̂︀
𝛼
𝑗
+
̂︀
𝛼
𝑗
̂︀
𝛼
𝑖
= 2𝛿
𝑖𝑗
̂︀
1;
{︁
̂︀
𝛼
𝑖
, ̂︀
𝛽
}︁
≡
̂︀
𝛼
𝑖
̂︀
𝛽 + ̂︀
𝛽
̂︀
𝛼
𝑖
= 0;
̂︀
𝛽
2
= ̂︀
1 Те. все эти объекты должны антикоммутировать, а квадрат каждого из них должен быть равен ̂︀
1. Заметим, что
̂︀
𝛼
𝑖
и ̂︀
𝛽 не могут быть действительными или комплексными числами, т.к числа коммутируют между собой, ноне антикоммутируют. Если
̂︀
𝛼
𝑖
и ̂︀
𝛽 считать матрицами, то выше быть получены матричные уравнения (
14.1.5
), и искомое релятивистское волновое уравнение должно быть матричным уравнением. Причем число компонент волновой функции Ψ(r, 𝑡) должно совпадать с размерностью матриц
̂︀
𝛼
𝑖
и Произведя в (
14.1.3
) замену классических величин на операторы 𝐸 →
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
;
p →
̂︀
p = −𝑖∇, получим уравнение Дирака в виде (
14.1.1
), где 𝑐(
̂︀
𝛼,
̂︀
p) + ̂︀
𝛽𝑚𝑐
2
(14.1.6)
— гамильтониан Дирака. Из вида гамильтониана и его эрмитовости следует Упражнение 2. Доказать это утверждение.
Из (
14.1.6
) ясно, что операторы
̂︀
𝛼
𝑖
и ̂︀
|
Скачать 1.26 Mb.