Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
У проектора нет обратного оператора. Действительно, если бы он был, то из ̂︀ 𝑃 𝑛 → ̂︀ 𝑃 𝑛 ̂︀ 𝑃 𝑛 ̂︀ 𝑃 −1 𝑛 ⏟ ⏞ 1 = ̂︀ 𝑃 𝑛 ̂︀ 𝑃 −1 𝑛 ⏟ или ̂︀ 𝑃 𝑛 = 1, что в общем случае противоречит определению оператора Однако оператор ̂︀ 𝑃 𝑛 – эрмитова значит физичен, следвательно, эрмитов оператор не имеющий обратного имеет физический смысл Заметим, что вопрос о том, какова вероятность обнаружить 𝐹 = в состоянии, можно также сформулировать в терминах средних значений = 𝑓 𝑛 ] = ⟨𝜓| 𝜓 𝑛 ⟩⟨𝜓 𝑛 ⏟ ⏞ ̂︀ 𝑃 𝑛 |𝜓⟩ ≡ ⟨ те. как среднее значение проектора в состоянии Нормировка собственных функций на единицу и 𝛿-функцию До сих пор мы предполагали дискретность спектра собственных значений наблюдаемых. Однако, спектр может быть и непрерывным. Например, для важнейшего в квантовой механике оператора импульса задача на собственные значения формально выглядит так, как она записывалась ранее соотношением ( 2.3.1 ): ̂︀ pΨ p (r, 𝑡) = pΨ p (r, Собственные функции этой задачи – волны де Бройля ( 2.1.2 ) Ψ p (r, 𝑡) нормированы на функцию соотношением ( 2.1.3 ), или, 𝑡)Ψ p (r, 𝑡)𝑑𝑣 ≡ ⟨p ′ |p⟩ = 𝛿(p − Эти функции не принадлежат к классу квадратично интегрируемых функций, те, вообще говоря, получается базис состояний, не принадлежащий исходному гильбертовому пространству состояний В таком случае вводится понятие оснащённого гильбертова пространства. В нём наряду с обычными векторами присутствуют и ненормируемые векторы типа плоских волн. В этом плане говорят об обобщённых собственных векторах или векторах непрерывного спектра |𝑓 ⟩ = 𝑓 |𝑓 ⟩ , где ⟨𝑓 |𝑓 ′ ⟩ = 𝛿(𝑓 − В функциональном анализе доказывается теорема: Теорема 1. Самосопряжённый оператор обладает в оснащённом гильбертовом пространство полной системой обобщённых собственных векторов, отвечающих вещественным собственным значениям В соответствии се утверждением, любой вектор состояния |𝜓⟩ можно задать в базисе оператора ̂︀ 𝐹 : |𝜓⟩| ( 3.3.7 ) = ∑︁ 𝑛 𝑐 𝑛 |𝜓 𝑛 ⟩ если спектр оператора ̂︀ 𝐹 дискретен, или = ∫︁ 𝑐(𝑓 ) |𝑓 ⟩ если спектр оператора ̂︀ 𝐹 непрерывен. Причём, как показано выше, 𝑐 𝑛 = ⟨𝜓 𝑛 |𝜓⟩ ≡ ⟨𝑛|𝜓⟩, и выполняется = ∫︁ 𝑐(𝑓 ) ⟨𝑓 ′ |𝑓 ⟩ ⏟ ⏞ 𝛿(𝑓 −𝑓 ′ ) из ( 3.4.3 ) 𝑑𝑓 = или ) = ⟨𝑓 В общем случае, когда спектр оператора ̂︀ 𝐹 содержит как дискретную, таки непрерывную части, имеем = ∑︁ 𝑛 |𝑛⟩ ⟨𝑛|𝜓⟩ + ∫︁ 𝑑𝑓 |𝑓 ⟩ ⟨𝑓 |𝜓⟩ (3.4.6) – разложение произвольного вектора-состояний |𝜓⟩ по полному базису оператора В случае непрерывного спектра ( 3.4.5 ) |𝜓⟩ = ∫︁ ⟨𝑓 |𝜓⟩ · |𝑓 ⟩ 𝑑𝑓 = ∫︁ 𝑑𝑓 · |𝑓 ⟩ ⟨𝑓 те. условие полноты принимает вид |𝑓 ⟩ ⟨𝑓 | = 1 Обобщённое условие полноты теперь записывается как ⟨𝑛| + ∫︁ 𝑑𝑓 |𝑓 ⟩ ⟨𝑓 | = Обсудим теперь физических смысл коэффициентов 𝑐 𝑛 = ⟨𝑛|𝜓⟩ ив разложении ( 3.4.6 ). С учётом обобщённого условия ортонормировки ( 3.3.5 ) и ( 3.4.3 ) 32 ⟨𝑛|𝑚⟩ = 𝛿 𝑛𝑚 , ⟨𝑓 |𝑓 ′ ⟩ = 𝛿(𝑓 − а также взаимной ортогональности векторов состояний дискретного и непрерывного участков спектра ⟩ = условие нормировки вектора состояния |𝜓⟩ в разложении ( 3.4.6 ) принимает теперь вид = ∑︁ 𝑛 |𝑐 𝑛 | 2 + ∫︁ |𝑐(𝑓 )| 2 𝑑𝑓 = Упражнение 1. Доказать (Подставляя разложение ( 3.4.6 ) в формулу ( 3.2.8 ) для среднего значения физической величины 𝐹 в состоянии |𝜓⟩, с учётом обобщённой задачи на собственные значений ( 3.3.1 ) и ( 3.4.3 ) ̂︀ 𝐹 |𝑛⟩ = 𝑓 𝑛 |𝑛⟩ , ̂︀ 𝐹 |𝑓 ⟩ = 𝑓 |𝑓 получаем ⟩ = ⟨𝜓| ̂︀ 𝐹 |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑛 𝑓 𝑛 |𝑐 𝑛 | 2 + ∫︁ 𝑓 |𝑐(𝑓 )| 2 𝑑𝑓 ⏟ Упражнение 2. Доказать (Из ( 3.4.8 ) и ( 3.4.9 ) следует, что |𝑐 𝑛 | 2 = имеет прежний (см. § 3 гл. физический смысл – это вероятность того, что при измерении физической величины 𝐹 в состоянии |𝜓⟩ будет получено значение 𝐹 = Если 𝑓 𝑛 – вырожденное собственное значение с кратностью вырождения вырождения 𝑔, тов сумме ( 3.4.9 ) имеется 𝑔 слагаемых одними тем же значением. Тогда вероятность того, что в результате измерения будет получено значение есть = 𝑓 𝑛 ] где суммирование производится по всем тем значениям 𝑖, для которых одинаково. Из ( 3.4.8 ) и ( 3.4.9 ) также следует, что плотность вероятности получить в результате измерения значение, лежащее в окрестности (𝑓, 𝑓 +𝑑𝑓 точке непрерывного спектра 𝑓 равна 3 См. § 3 т. III Л.Л. 33 𝜌 |𝜓⟩ (𝑓 ) = 𝑑𝑃 𝑑𝑓 = |𝑐(𝑓 )| 2 = |⟨𝑓 |𝜓⟩| 2 (3.4.11) 34 Глава Совместная измеримость физических величин §1. Условия одновременной измеримости физических величин. Коммутаторы. До сих пор изучалось вероятностное распределение результатов измерения одной наблюдаемой ̂︀ 𝐹 . Пусть теперь мы имеет пару наблюдаемых ̂︀ 𝐹 и с дискретными спектрами , ̂︀ 𝐺 : 𝐹 → ̂︀ 𝐹 → {𝑓 𝑛 }, 𝑛 = 0, 1, 2, . . . 𝐺 → ̂︀ 𝐺 → {𝑔 𝑚 }, 𝑚 = 0, 1, 2, . . Для простоты будем рассматривать только дискретные спектры. Пусть имеется состояние |𝜙⟩ со свойствами |𝜙⟩ = 𝑓 𝑛 |𝜙⟩ ̂︀ 𝐺|𝜙⟩ = те. |𝜙⟩ – общий собственный вектор наблюдаемых ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺. Тогда, согласно общим положениям, в состоянии |𝜙⟩ достоверно известно, что 𝐹 = и = 𝑔 𝑚 , значит, можно упростить обозначения |𝜙⟩ ≡ |𝑓 𝑛 𝑔 𝑚 ⟩ ≡ Предположим, что у системы уравнение имеется такое множество решений, что система векторов {|𝑛𝑚⟩} полна, и по ней можно разложить любой вектор состояния |𝜓⟩ ∈ ℋ → |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑛,𝑚 |𝑛𝑚⟩ ⟨𝑛𝑚| ⏟ ⏞ =1 𝜓⟩ (4.1.2) 35 При этом коэффициенты разложения трактуются как амплитуды совместных вероятностей = 𝑓 𝑛 , 𝐺 = 𝑔 𝑚 ) = Физически предположение о полноте означает, что у экспериментатора имеется универсальная возможность одновременное (совместно) измерить физические величины 𝐹 и 𝐺, те. можно создать универсальный прибор для измерения пары наблюдаемых. При этом измерения одной из величин никак не скажется на измерении другой. Определение 1. Физические величины 𝐹 и 𝐺 одновременно (совместно) измеримы, если их операторы ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺 обладают общей полной системой собственных векторов (собственных функций). Одновременная измеримость двух физических величин налагает весьма жёсткие условия на их операторы. Теорема 1. Для того, чтобы физические велчины 𝐹 и 𝐺 были совместно измеримы, необходимо и достаточно, чтобы операторы ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺 коммутировали, то есть ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] ≡ ̂︀ 𝐹 ̂︀ 𝐺 − ̂︀ 𝐺 ̂︀ 𝐹 = Доказательство. Необходимость. Пусть 𝐹 и 𝐺 совместно измеримы. Тогда, по определению для их операторов существует полная общая система собственных векторов {|𝑛𝑚⟩} ∈ ℋ и выполняется следующее |𝜓⟩ ∈ ℋ → ( ̂︀ 𝐹 ̂︀ 𝐺 − ̂︀ 𝐺 ̂︀ 𝐹 ) |𝜓⟩ = ∑︁ 𝑛,𝑚 ( ̂︀ 𝐹 ̂︀ 𝐺 − ̂︀ 𝐺 ̂︀ 𝐹 ) |𝑛𝑚⟩ ⟨𝑛𝑚|𝜓⟩ = = ∑︁ 𝑛,𝑚 (𝑓 𝑛 𝑔 𝑚 − 𝑔 𝑚 𝑓 𝑛 ) |𝑛𝑚⟩ ⟨𝑛𝑚|𝜓⟩ = Что и требовалось доказать. Доказано утверждение, что если у ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺 есть общая полная система собственных векторов, то результат действия коммутатора на ∀ |𝜓⟩ ∈ ℋ равен нулю, те. [ ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = Достаточность. Если операторы коммутируют, то при определённых оговорках на их область определения у них есть общая полная система собственных векторов) Предположим, что [ ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = 0, и, коме того, что спектр оператора ̂︀ 𝐹 – невырожденный, те. каждому собственному значению отвечает только один собственный вектор |𝑛⟩: ̂︀ 𝐹 |𝑛⟩ = 𝑓 𝑛 |𝑛⟩ (4.1.3) 36 Поэтому ̂︀ 𝐹 |𝑛⟩) = ̂︀ 𝐹 ( ̂︀ 𝐺 |𝑛⟩) ⃒ ⃒ ⃒ (4.1.3) = 𝑓 𝑛 ( ̂︀ 𝐺 Таким образом, вектор ̂︀ 𝐺 |𝑛⟩ является собственным для оператора ̂︀ 𝐹 и отвечает тому же собственному значению 𝑓 𝑛 . Поскольку спектр оператора предполагается невырожденным, то векторы |𝑛⟩ и ̂︀ 𝐺 |𝑛⟩ должны быть коллинеарны, те. могут отличаться лишь числовым множителем, отличным от нуля |𝑛⟩ = Следовательно, состояния |𝑛⟩ оказываются собственными и для оператора. В этих состояниях наблюдаемая ̂︀ 𝐺 принимает определённые значения 𝑔 𝑚 , те. система собственных векторов |𝑛⟩ = |𝑓 𝑛 𝑔 𝑚 ⟩ ≡ полная по предположению, является общей для операторов ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺. (b) Случай вырожденного спектра оператора ̂︀ 𝐹 будет доказан в § 2 гл. Условия теоремы не запрещают двух некоммутирующим наблюдаемым ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] ̸= 0) иметь общий собственный вектор. Но даже если таких векторов несколько, но мало, то из них нельзя построить универсальный прибор, чтобы измерить совместно физические величины 𝐹 и 𝐺. Можно построить лишь специальный прибор 1 В заключение ещё раз обсудим содержание доказанной теоремы. Пусть спектр оператора ̂︀ 𝐹 вырожден, те. одному собственному значению отвечает сразу несколько собственных функций (собственных векторов.) Определение 2. Число 𝑓 , входящее в собственные значения оператора физической величины ̂︀ 𝐹 , называют квантовым числом, характеризующим состояние системы |𝜓 𝑓 ⟩ ≡ |𝑓 Иными словами, в случае вырожденного спектра квантовое число 𝑓 не определяет однозначно квантовое состояние системы. В этом случае всегда существуют взаимно коммутирующие операторы ̂︀ 𝐺 1 , ̂︀ 𝐺 2 ... (в частном случае, один оператор ̂︀ 𝐺), коммутирующие с ̂︀ 𝐹 . Любая собственная функция 𝑔 1 𝑔 2 (q) этих операторов или собственный вектор |𝑓 𝑔 1 𝑔 2 ...⟩ характеризуется определённым набором квантовых чисел 𝑓, 𝑔 1 , 𝑔 2 , ..., которые однозначно фиксируют квантовое состояния. Определение 3. Набор взаимно коммутирующих операторов, собственные значения которых однозначно определяют квантовое состояние системы, называют полным набором совместных наблюдаемых. 1 Что бы это ни значило Соотношение неопределённостей Пусть ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺 – операторы физических величин 𝐹 и 𝐺, те. ̂︀ 𝐹 † = ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺, и их коммутатор имеет вид [ ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = 𝑖 Теорема 1. В произвольном квантовом состоянии выполняется соотношение неопределённостей: ⟨ (︁ ̂︀ 𝐹 − ⟨ ̂︀ 𝐹 ⟩ )︁ 2 ⟩ ⟨ (︁ ̂︀ 𝐺 − ⟨ ̂︀ 𝐺⟩ )︁ 2 ⟩ > ⟨ ̂︀ 𝐾⟩ 2 Доказательство. Покажем что если коммутатор представим в виде ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = 𝑖 ̂︀ 𝐾, то оператор ̂︀ 𝐾 – эрмитов ( ̂︀ 𝐾 † = ̂︀ 𝐾). Действительно ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] † = −𝑖 С другой стороны ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] † = ( ̂︀ 𝐹 ̂︀ 𝐺 − ̂︀ 𝐺 ̂︀ 𝐹 ) † = ̂︀ 𝐺 † ̂︀ 𝐹 † − ̂︀ 𝐹 † ̂︀ 𝐺 † = = −[ ̂︀ 𝐹 † , ̂︀ 𝐺 † ] = −[ ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = −𝑖 Из сравнения правых частей ( 4.2.1 ) и ( 4.2.2 ) следует что ̂︀ 𝐾 † = ̂︀ 𝐾 2. Введём в состоянии |𝜓⟩ оператор отклонения от среднего ⟨𝐹 ⟩ = ⟨𝜓| ̂︀ 𝐹 те ̂︀ 𝐹 = ̂︀ 𝐹 − ⟨ ̂︀ 𝐹 ⟩ · Аналогично ∆ ̂︀ 𝐺 = ̂︀ 𝐺 − ⟨ ̂︀ 𝐺⟩ · 1. Очевидно, что [∆ ̂︀ 𝐹 , ∆ ̂︀ 𝐺] = 𝑖 ̂︀ 𝐾. 3. Введём в рассмотрение вектор состояния = (∆ ̂︀ 𝐹 − 𝑖𝛾∆ ̂︀ 𝐺) где 𝛾 – вещественный параметр. Сопрягаем = ⟨𝜓| (∆ ̂︀ 𝐹 − 𝑖𝛾∆ ̂︀ 𝐺) † = ⟨𝜓| (∆ ̂︀ 𝐹 + 𝑖𝛾∆ При этом мы учли, что ̂︀ 𝐹 † = ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺 † = ̂︀ 𝐺, а также вещественность средних значений эрмитовых операторов ⟨ ̂︀ 𝐹 ⟩ * = ⟨ ̂︀ 𝐹 ⟩, ⟨ ̂︀ 𝐺⟩ * = ⟨ ̂︀ 𝐺⟩. 4. Рассмотрим = ‖|𝜙⟩‖ = ⟨𝜓| (∆ ̂︀ 𝐹 + 𝑖𝛾∆ ̂︀ 𝐺)(∆ ̂︀ 𝐹 − 𝑖𝛾∆ ̂︀ 𝐺) |𝜓⟩ = = ⟨𝜓|∆ ̂︀ 𝐹 2 |𝜓⟩ + 𝛾 2 ⟨𝜓|∆ ̂︀ 𝐺 2 |𝜓⟩ + 𝛾⟨𝜓| ̂︀ 𝐾|𝜓⟩ > Неравенство выполняется т.к. норма любого вектора состояний положительно определена. Мы получим неотрицательный квадратный трёхчлен по 𝛾. Для выполнения последнего неравенства необходимо, чтобы дискриминант квадратного трёхчлена был отрицательным или равным нулю, те ̂︀ 𝐾⟩ 2 − 4⟨∆ ̂︀ 𝐹 2 ⟩⟨∆ ̂︀ 𝐺 2 ⟩ 6 Отсюда следует общее соотношение неопределённостей для дисперсий двух неизмеримых совместно величин ̂︀ 𝐹 2 ⟩⟨∆ ̂︀ 𝐺 2 ⟩ > ⟨ ̂︀ 𝐾⟩ 2 Напомним, что дисперсия характеризует меры отклонения результатов измерения от среднего значения (или неопределённость в измерении величин ̂︀ 𝐹 2 ⟩ = ⟨ ( ̂︀ 𝐹 − ⟨ ̂︀ 𝐹 Пример. Пусть ̂︀ 𝐹 = ̂︀ 𝑥 = 𝑥, а ̂︀ 𝐺 = ̂︀ 𝑝 𝑥 = −𝑖 𝜕 𝜕𝑥 . Вычислим коммутатор) = 𝑥(−𝑖 𝜕 𝜕𝑥 )𝜓(𝑥) − (−𝑖 𝜕 𝜕𝑥 )𝑥𝜓(𝑥) = Значит ̂︀ 𝐾 = , и соотношение неопределённостей для координаты и импульса имеет вид ⟨︀(∆ ̂︀ 𝑝 𝑥 ) 2 ⟩︀ > 2 4 39 Глава Квантовая динамика частицы §1. Уравнение непрерывности для плотности вероятности. Плотность тока вероятности. Коэффициенты прохождения и отражения. Гамильтониан частицы, движущейся в стационарном потенциальном поле, имеет вид = ̂︁ p 2 2𝑚 + 𝑈 (r) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ p=−𝑖∇ = − 2 2𝑚 ∆ + 𝑈 (Исходим из того, что уравнение Шрёдингера, определяющее волновую функцию частицы, установлено, 𝑡) = ̂︀ 𝐻Ψ(r, Временное (нестационарное) уравнение Шрёдингера ( 1.3.1 ) и ( 1.3.2 ) фактически вводилось как (четвёртый) постулат квантовой механики. Домножая уравнение Шрёдингера на Ψ * , а комплексно сопряжённое уравнение Шрёдингера на Ψ, получаем = Ψ * ̂︀ 𝐻Ψ − 𝑖Ψ 𝜕 𝜕𝑡 Ψ * = Ψ( Вычитая из первого уравнение второе, находим+ Ψ 𝜕Ψ * 𝜕𝑡 )︂ = Ψ * ( ̂︀ 𝐻Ψ) − Ψ( ̂︀ 𝐻Ψ) * (5.1.1) 40 В левой части этого уравнения имеем, 𝑡)Ψ(r, где 𝜌(r, 𝑡) – плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени в точке r (см. соотношения ( 1.4.1 ) и ( 1.4.2 )). Правая часть преобразуется к виду 2𝑚 (Ψ * ∆Ψ − Ψ∆Ψ * ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ Δ=∇·∇ = − 2 2𝑚 ∇(Ψ * ∇Ψ − Ψ∇Ψ * ) = = −𝑖 (︂ − 𝑖 2𝑚 )︂ ∇(Ψ * ∇Ψ − Поэтому из ( 5.1.1 ) следует+ div j = где j = − 𝑖 2𝑚 (𝜓 * ∇𝜓 − 𝜓∇𝜓 * ) Это соотношение называется уравнением непрерывности для плотности вероятности. В интегральной форме оно принимает вид, 𝑡) 𝑑𝑣 = ∫︁ 𝑣 div j т. Остр.-Гаусса = ∮︁ 𝑆 j 𝑑S 𝑆 – поверхность, ограничивающая объём 𝑣. Интегральное уравнение показывает, что убыль вероятности 𝑃 = ∫︀ 𝑣 𝜌(r, 𝑡) 𝑑𝑣 нахождения частицы в объё- ме 𝑣 равна потоку вероятности через границу объёма. Поэтому естественно истолковать вектор j(r, 𝑡) как плотность потока (тока) вероятности. Плотность потока вероятности, вычисленная для волны де Бройля с единичной амплитудой, 𝑡) = определяется формулой j = 𝑝/𝑚 = v, те. совпадает с вектором классической скорости частицы. Упражнение 1. Доказать вышеупомянутый факт. Этот результат полезно использовать при расчёте коэффициентов прохождения прош | |j пад | (5.1.2) и отражения 𝑅(𝐸) = |j отр | |j пад | (5.1.3) частицы в потенциальном поле 𝑈 (r). В формулах ( 5.1.2 ) и ( 5.1.3 ) j прош , j отр и j пад – плотности потока вероятности прошедшей, отражённой и падающей волн соответственно. В случае одномерного движения частицы вдоль оси 𝑥: Ψ(r, 𝑡) → Ψ(𝑥, 𝑡) ; 𝑈 (r) → 𝑈 (так что − 𝑖 2𝑚 (︂ 𝜓 * 𝜕𝜓 𝜕𝑡 − 𝜓 𝜕𝜓 * 𝜕𝑡 )︂ = 1 𝑚 Re Оператор изменения во времени физической величины. Интегралы движения. Коммутаторы. Скобки Пуассона В общем случае оператор физической величины может явно зависеть от времени ̂︀ 𝐹 = ̂︀ 𝐹 (𝑡). Пусть ̂︀ 𝐹 (𝑡) 𝜕𝑡 – производная по явной зависимости оператора от 𝑡. Среднее значение 𝐹 в общем случае также зависит от времени ⟩ ≡ ⟨ 𝜓(𝑡) ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ 𝐹 (Пусть изменение во времени вектора состояния |𝜓(𝑡)⟩ описывается временным уравнением Шрёдингера 1 : 𝑖 𝜕 𝜕𝑡 |𝜓(𝑡)⟩ = ̂︀ 𝐻 Пользуясь формулой ( 5.2.1 ), а также тем, что ̂︀ 𝐻 + = ̂︀ 𝐻, найдём производную среднего значения ⟨𝐹 ⟩ повремени В соответствии с четвёртым постулатом квантовой механики в общем случае динамика квантовой системы, те. зависимость её волновой функции от времени, полностью определяется уравнением Шрёдингера 42 В выражении ⟩ усреднение и оператор дифференцирования относятся к разным переменным, так что их можно переставить ⟩ ≡ ⟨ Действительно ⟩ = ∑︁ 𝑛 𝐹 𝑛 𝑃 𝑛 → 𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝐹 ⟩ = ∑︁ 𝑛 𝑑𝐹 𝑛 𝑑𝑡 𝑃 𝑛 ≡ ⟨ 𝑑𝐹 𝑑𝑡 ⟩ ⟨𝐹 ⟩ = ∫︁ 𝐹 𝑑𝑃 → 𝑑 𝑑𝑡 ⟨𝐹 ⟩ = ∫︁ 𝑑𝐹 𝑑𝑡 𝑑𝑃 ≡ ⟨ Таким образом, производная 𝑑𝐹 𝑑𝑡 определена так, что её среднее значение равно производной повремени от среднего значения ⟨𝐹 ⟩. Согласно общему определению ( 2.2.1 ) оператора физической величины 𝑑𝐹 𝑑𝑡 ⟩ = ⟨ 𝑑 ̂︀ 𝐹 𝑑𝑡 ⟩ 𝜓 = ⟨ 𝜓 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑 Сравнивая ( 5.2.3 ) и ( 5.2.4 ) с ( 5.2.2 ), получим зависимость среднего значения физической величины от времени ⟩ = ⟨ 𝜓 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑑 где ̂︀ 𝐹 𝑑𝑡 = 𝜕 ̂︀ 𝐹 𝜕𝑡 + 𝑖 [ ̂︀ 𝐻, ̂︀ 𝐹 ] (5.2.6) – оператор изменения физической величины во времени, или уравнение движения оператора ̂︀ 𝐹 Из соотношений ( 5.2.5 ) и ( 5.2.6 ) следует, что если ̂︀ 𝐹 не зависит явно от времени 𝑡, те. 𝜕 ̂︀ 𝐹 /𝜕𝑡 = 0; ∙ ̂︀ 𝐹 коммутирует с гамильтонианом системы ̂︀ 𝐻, те. [ ̂︀ 𝐻, ̂︀ 𝐹 ] = то среднее значение величины 𝐹 сохраняется во времени в произвольном состоянии |𝜓⟩, те. ⟨𝐹 ⟩ = const. В таком случае говорят, что 𝐹 – сохраняющаяся величина или интеграл движения для данной системы. Определение 1. Величина, сохраняющая свое значение во времени, называется интегралом движения Как видим, одним из условий для интеграла движения 𝐹 является условия совместной измеримости наблюдаемой 𝐹 с гамильтонианом 𝐻. Приведём примеры интегралов движения ̂︀ 𝐹 = ̂︀ 𝐻 и ̂︀ 𝐻 не зависит от времени 𝑡 (гамильтониан замкнутой системы полная энергия замкнутой системы сохраняется = −𝑖∇. Если ̂︀ 𝐻 = ̂︀ p 2 свободное движение частицы массы 𝑚), то её импульс p сохраняется. Подчеркнём, что одни итак же физическая величина 𝐹 в одних условиях может быть интегралом движения, а в других – нет. Например, если частица с импульсом p движется несвободно, а в потенциальном поле 𝑈 (r), то ̂︀ |