Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
(∇𝑈 (𝑟)
(∇𝑈(𝑟),p 2 8𝑚 2 𝑐 2 )︂ 𝜙| (︂ ̂︀ 1 + ̂︀ p 2 8𝑚 2 𝑐 2 )︂ 𝜙 ⟩ = Таким образом, естественно ввести двухкомпонентную волновую функцию (спинор Паули + ̂︀ p 2 нормированную на единицу = С точностью до слагаемых второго порядка малости по 𝑣/𝑐 спинор выражается через спинор Паули следующим образом = (︂ ̂︀ 1 + ̂︀ p 2 8𝑚 2 𝑐 2 )︂ −1 𝜓 Π ≃ (︂ ̂︀ 1 − ̂︀ p 2 Выведем уравнение, определяющее спинор Паули 𝜓 Π . Для преобразования правой части ( 14.4.2 ) воспользуемся результатом следующего упражне- ния: Упражнение 1. Используя соотношение, 𝑓 (𝑟) ̂︀ 𝜎 ̂︀ p] = −𝑖 |
̂︀
p) +
̂︀
𝜎[(∇𝑈 ) В центрально-симметричном поле ∇𝑈 (𝑟) =
𝑑𝑈
𝑑𝑟
r
𝑟
, поэтому ) ×
̂︀
p] =
1
𝑟
𝑑𝑈
𝑑𝑟
̂︀
𝜎[r × p]
L = l — оператор орбитального момента частицы (см. §4 главы Продолжим равенство выше × p] =
1
𝑟
𝑑𝑈
𝑑𝑟
(
̂︀
𝜎, ̂︀
L) =
2
𝑟
𝑑𝑈
𝑑𝑟
(̂︀
S, Поэтому в правой части (
14.4.4
) оператор ) ×
̂︀
p] =
2𝑚
2
𝑐
2 1
𝑟
𝑑𝑈
𝑑𝑟
(
̂︀
s · ̂︀l) = называют оператором спин-орбитального взаимодействия. Для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом −𝑍𝑒:
𝑈 (𝑟) = получаем выражение, определяющее характерную величину спин-орбитального взаимодействия в атоме) =
𝑍𝑒
2
2 2𝑚
2
𝑐
2
𝑟
3
> Происхождение спин-орбитального взаимодействия можно пояснить следующими полуклассическими рассуждениями. Пусть частица с зарядом и собственным магнитным моментом =
𝑒
𝑚𝑐
̂︀
s (см. (
14.3.9
)) движется в центрально-симметричном электростатическом поле, которое определяется потенциалом Φ(𝑟), те. потенциальная энергия частицы есть 𝑈 (𝑟) = Предположим, что в точке r частица имеет скорость v и, соответственно,
орбитальный момент L = 𝑚[r × v] (см.
рис. 14.3
).
Напряжённость электрического поля в этой же точке равна = −∇Φ(𝑟) = В системе покоя частицы имеется магнитное поле, напряжённость которого с точностью до первого порядка по 𝑣/𝑐 определяется формулой из курса Теория поля (§ 24 т. II Л.Л.).
−
→
H
′
=
1
𝑐
[E × v]
142
Таким образом, возникает энергия взаимодействия магнитного момента с магнитным полем −𝜇
−
→
H
′
=
(︂
−
𝑒
𝑚𝑐
)︂ 1
𝑟
(︂
−
1
𝑐
𝑑Φ
𝑑𝑟
)︂
(
̂︀
s[p × v]) =
2
𝑚
2
𝑐
2 1
𝑟
𝑑𝑈 (𝑟)
𝑑𝑟
(s · которая с точностью до численного коэффициента согласуется с видом оператора ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
Приведём уравнение (
14.4.4
) к окончательному виду, воспользовавшись результатом упражнения.
Упражнение 2. Доказать, что в пределах требуемой точности − 𝑈 (𝑟))
̂︀
p
2
=
̂︀
p
4 2𝑚
−
2
∆𝑈 (𝑟) − 2𝑖(∇𝑈 (Тогда − 𝑈 (𝑟) −
p
2 2𝑚
]︂
𝜓
Π
=
[︃
−
̂︀
p
4 8𝑚
3
𝑐
2
+
1 8
(︂
𝑚𝑐
)︂
2
∆𝑈 (𝑟) + или − 𝑈 (𝑟) −
p
2 2𝑚
]︂
𝜓
Π
= кв. рел.
𝜓
Π
,
где
̂︀
𝑉
кв. рел.
= ̂︀
𝑉
1
+ ̂︀
𝑉
2
+ Приближение, учитывающее поправки к гамильтониану второго порядка поносит название квазирелятивистского. Влияние операторов, и на энергии стационарных состояний может быть исследовано в рамках теории возмущений.
Оператор
𝑉
1
= −
̂︀
p
4 8𝑚
3
𝑐
2 143
2
. В нерелятивистском случае имеем =
√︀
𝑚
2
𝑐
4
+ 𝑐
2
𝑝
2
−𝑚𝑐
2
= 𝑚𝑐
2
(︂
1 +
̂︀
p
2
𝑚
2
𝑐
2
)︂
1/2
−𝑚𝑐
2
≈ 𝑚𝑐
2
(︂
1 +
̂︀
p
2 2𝑚
2
𝑐
2
−
̂︀
p
4 8𝑚
2
𝑐
4
)︂
−𝑚𝑐
2
=
=
̂︀
p
2 2𝑚
−
̂︀
p
4 те. оператор отражает релятивистскую зависимость кинетической энергии электрона от импульса.
Оператор ̂︁
𝑉
2
=
1 8
(︂
𝑚𝑐
)︂
2
∆𝑈 (𝑟) (оператор Дарвина, 1928 г) отражает контактное взаимодействие электрона с ядром. Действительно, в случае движения электрона в атоме в кулоновском поле ядра 𝑈 (𝑟) = имеем (𝑟) = −𝑍𝑒
2
∆
(︂ 1
𝑟
)︂
= Тогда оператор принимает вид
̂︁
𝑉
2
=
𝜋
2
(︂
𝑚𝑐
)︂
2
𝑍𝑒
2
𝛿(r),
из которого следует, что ⟨̂︁
𝑉
2
⟩ ̸= 0 только при непосредственной близости электрона к ядру или в контакте с ядром, когда r = 0. Оператор ̂︁
𝑉
2
приведёт к сдвигу энергии тех состояний, для которых ⟨̂︁
𝑉
2
⟩ ∼ |𝜓(0)|
2
̸= те. для состояний (𝑙 = 0). Напротив, спин-орбитальное взаимодействие ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
⟩ ∼ ⟨(
̂︀
s · ̂︀l)⟩ отлично от нуля для состояний с 𝑙 ̸= 0.
144
§1.
Сложение моментов
Пусть имеются две системы с угловыми моментами и 𝑗
2
. Каждая из систем определена в собственном пространстве, те. ℋ = ℋ
(1)
⊗ℋ
(2)
, поэтому, ̂︀
𝑗
2𝛽
] = 0 при ∀𝛼, 𝛽 = 𝑥, 𝑦, Состояние первой системы определяется собственными векторами операторов ̂︀
j
2 и ̂︀
𝑗
1𝑧
, те 1
|𝑗
1
𝑚
1
⟩ = 𝑗
1
(𝑗
1
+ 1) |𝑗
1
𝑚
1
⟩ ,
̂︀
𝑗
1𝑧
|𝑗
1
𝑚
1
⟩ = 𝑚
1
|𝑗
1
𝑚
1
⟩ где 𝑚
1
= −𝑗
1
, −𝑗
1
+ 1, . . . , 𝑗
1
− 1, см. §2 главы VIII). Аналогично для второй системы имеем 2
|𝑗
2
𝑚
2
⟩ = 𝑗
2
(𝑗
2
+ 1) |𝑗
2
𝑚
2
⟩ ,
̂︀
𝑗
2𝑧
|𝑗
2
𝑚
2
⟩ = 𝑚
2
|𝑗
2
𝑚
2
⟩ где 𝑚
2
= −𝑗
2
, −𝑗
2
+ 1, . . . , 𝑗
2
− 1, Объединенная система «1+2» характеризуется набором коммутирующих операторов ̂︀
j
2 1
, ̂︀
𝑗
1𝑧
, ̂︀
j
2 и ̂︀
𝑗
2𝑧
. Соответственно состояния объединенной системы описываются векторами ≡ |𝑗
1
𝑚
1
⟩ Их количество (2𝑗
1
+ 1)(2𝑗
2
+ 1) совпадает с размерностью прямого произведения пространств ℋ
(1)
⊗ ℋ
(2)
= Введем оператор полного углового момента систем 1 и 2:
̂︀
j = ̂︀
j
1
+ Возникает новый набор коммутирующих операторов ̂︀
j
2 1
, ̂︀
j
2 2
, и ̂︀
𝑗
𝑧
145
j
2 1
, ̂︀
j
2 2
, и взаимно коммутируют.
Пусть {|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩} — набор общих собственных векторов этих операторов,
т.е.
̂︀
j
2 1
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ = 𝜆
1
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩
̂︀
j
2 2
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ = 𝜆
2
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩
̂︀
j
2
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ = 𝑗(𝑗 + 1) |𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩
̂︀
𝑗
𝑧
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ = 𝑚 |𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ где собственные значения 𝜆
1
, 𝜆
2
, 𝑗(𝑗 + 1), 𝑚 подлежат определению. На данном этапе мы можем быть уверены только в том, что 𝑗 — это, как любой угловой момент, целое или полуцелое число, и что при фиксированном проекция 𝑚 пробегает значения −𝑗, −𝑗 + 1, . . . , 𝑗 − 1, Задача сложения угловых моментов состоит в том, чтобы по известными 𝑗
2
, а также известными установить, во-первых, значения (и, конечно, и 𝜆
2
) и, во-вторых, вид векторов состояний |𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ ≡
|𝑗𝑚⟩ (известные значения 𝑗
1
, обычно опускают при записи собственных векторов операторов и Коэффициенты Клебша-Гордана. Полный угловой момент
Неизвестные векторы состояний |𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ всегда могут быть представлены в виде разложения по известному базису |𝑗
1
𝑚
1
⟩ |𝑗
2
𝑚
2
⟩:
|𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ =
∑︁
𝑚
1
,𝑚
2
𝐶
𝑗𝑚
𝑗
1
𝑚
1
𝑗
2
𝑚
2
|𝑗
1
𝑚
1
⟩ Коэффициенты разложения называют коэффициентами Клебша-
Гордана. Действуя на эти разложения (
15.2.1
) операторами ̂︀
j
2 и ̂︀
j
2 2
, легко находим их собственные значения 𝑗
1
(𝑗
1
+ 1)
𝜆
2
= 𝑗
2
(𝑗
2
+ Дальнейшее исследование разобьем на пункты) Воспользуемся тем, что ̂︀
𝑗
𝑧
= ̂︀
𝑗
1𝑧
+ ̂︀
𝑗
2𝑧
. Действуя оператором на левую часть (
15.2.1
), а оператором ̂︀
𝑗
1𝑧
+ на его правую часть, получим |𝑗𝑚⟩ =
∑︁
𝑚
1
,𝑚
2
𝐶
𝑗𝑚
𝑗
1
𝑚
1
𝑗
2
𝑚
2
(𝑚
1
+ 𝑚
2
) |𝑗
1
𝑚
1
⟩ |𝑗
2
𝑚
2
⟩
(15.2.2)
146
15.2.2
) с (
15.2.1
) следует, что 𝐶
𝑗𝑚
𝑗
1
𝑚
1
𝑗
2
𝑚
2
= 0, если 𝑚 ̸=
𝑚
1
+ или 0, только если 𝑚 = 𝑚
1
+ Последнее соотношение означает, что в разложениях (
15.2.1
) индексы суммирования и не являются независимыми, те. суммирование реально проводится только по одному индексу =
∑︁
𝑚
1
𝐶
𝑗𝑚
𝑗
1
𝑚
1
𝑗
2
(𝑚−𝑚
1
)
|𝑗
1
𝑚
1
⟩ |𝑗
2
, 𝑚 − 𝑚
1
⟩
(15.2.3)
2) С одной стороны, 𝑚
𝑚𝑎𝑥
= 𝑗
𝑚𝑎𝑥
. С другой стороны, 𝑚
𝑚𝑎𝑥
= 𝑚
1𝑚𝑎𝑥
+
𝑚
2𝑚𝑎𝑥
= 𝑗
1
+ 𝑗
2
. Следовательно, 𝑗
𝑚𝑎𝑥
= 𝑗
1
+ Легко понять, что при 𝑗 = и 𝑚 = 𝑚
𝑚𝑎𝑥
= 𝑗
𝑚𝑎𝑥
, разложение) (или (
15.2.3
)) сводится к единственному слагаемому, в котором 𝑚
1
=
𝑚
1𝑚𝑎𝑥
= и 𝑚
2
= 𝑚
2𝑚𝑎𝑥
= 𝑗
2
, те = 𝐶
𝑗
1
+𝑗
2
,𝑗
1
+𝑗
2
𝑗
1
𝑗
1
𝑗
2
𝑗
2
|𝑗
1
𝑗
1
⟩ Откуда из условия нормировки ⟨𝑗
𝑚𝑎𝑥
𝑗
𝑚𝑎𝑥
|𝑗
𝑚𝑎𝑥
𝑗
𝑚𝑎𝑥
⟩ = 1 следует, что 1 3) Установим теперь значение 𝑗
𝑚𝑖𝑛
. Следуя векторной модели сложения векторов j = j
1
+ см. § 31 т. III Л.Л.), естественно предположить, что |𝑗
1
− Докажем это следующим образом. Пусть 𝑗
1
≥ и 𝑗
𝑚𝑖𝑛
= 𝑗
1
− 𝑗
2
. Тогда общее количество собственных векторов |𝑗𝑚⟩ определяется суммой + 1) = 2
𝑗
1
+𝑗
2
∑︁
𝑗=𝑗
1
−𝑗
2
𝑗 +
𝑗
1
+𝑗
2
∑︁
𝑗=𝑗
1
−𝑗
2 1 = (2𝑗
1
+ 1)(2𝑗
2
+ как и должно быть из прямого произведения пространств ℋ
(1)
⊗ ℋ
(2)
= Итак, мы установили, что собственные векторы |𝑗𝑚𝑗
1
𝑗
2
⟩ ≡ |𝑗𝑚⟩ операторов и определяется разложениями (
15.2.1
). При этом число полный угловой момент объединенной системы) меняется через единицу от 𝑗
2
| доте. возможными значениями 𝑗 являются = |𝑗
1
− 𝑗
2
| , |𝑗
1
− 𝑗
2
| + 1, . . . , 𝑗
1
+ Для каждого фиксированного 𝑗 проекция 𝑚 полного углового момента на ось 𝑧 принимает значения −𝑗, −𝑗 + 1, . . . , 𝑗 − 1, 𝑗. Таким образом, задача
сложения угловых моментов сводится к определению численных значений коэффициентов Клебша-Гордана. Одно из этих значений нам уже известно 1. Для установления остальных значений может быть применен способ, использующий оператор понижения ̂︀
𝑗
𝑥
− 𝑖
̂︀
𝑗
𝑦
= ̂︀
𝑗
1𝑥
+ ̂︀
𝑗
2𝑥
− 𝑖(
̂︀
𝑗
1𝑦
+ ̂︀
𝑗
2𝑦
) = ̂︀
𝑗
1−
+ ̂︀
𝑗
2−
148
𝑗
𝑥
− 𝑖
̂︀
𝑗
𝑦
= ̂︀
𝑗
1𝑥
+ ̂︀
𝑗
2𝑥
− 𝑖(
̂︀
𝑗
1𝑦
+ ̂︀
𝑗
2𝑦
) = ̂︀
𝑗
1−
+ ̂︀
𝑗
2−
148
Глава Тождественные частицы
§1.
Симметрия волновой функции системы тождественных частиц. Бозоны и фермионы В классической механике описание движения системы одинаковых частиц сводится к определению закона движения каждой частицы в отдельности. При этом одинаковые частицы, несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют своей индивидуальности за движением каждой из них можно, в принципе, проследить по ее траектории (см.
рис. 16.1
a).
r
2
r
1
𝑡 = 0
𝑡 > 0
𝑎)
r
2
r
1
𝑡 = 0
𝑡 > 0
б)
Расплывание волновых пакетов частиц
Рис. 16.1: Траектории частиц в классической (аи квантовой (б) механике.
В квантовой механике качественно иная ситуация. Здесь принципиально нет никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых
§1.
Симметрия волновой функции системы тождественных частиц. Бозоны и фермионы В классической механике описание движения системы одинаковых частиц сводится к определению закона движения каждой частицы в отдельности. При этом одинаковые частицы, несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют своей индивидуальности за движением каждой из них можно, в принципе, проследить по ее траектории (см.
рис. 16.1
a).
r
2
r
1
𝑡 = 0
𝑡 > 0
𝑎)
r
2
r
1
𝑡 = 0
𝑡 > 0
б)
Расплывание волновых пакетов частиц
Рис. 16.1: Траектории частиц в классической (аи квантовой (б) механике.
В квантовой механике качественно иная ситуация. Здесь принципиально нет никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых
частиц (хотя бы потому, что понятие траектории теряет смысли тем самым различать их (см.
рис. 16.1
б).
В квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою индивидуальность. Имеет смысл характеризовать систему из 𝑁 тождественных частиц общей 𝑁 -частичной волновой функцией Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
), где (r
𝑖
, 𝜎
𝑖
) — совокупность пространственных и спиновых переменных й частицы.
Главная особенность квантовомеханического описания вытекает из особого физического свойства микрообъектов, известного как принцип тождественности или неразличимости микрочастиц. Согласно этому принципу, состояние системы тождественных частиц не меняется при обмене частиц местами. Иными словами, если ̂︀
𝑃 — оператор перестановки двух произвольных тождественных частиц (от англ. «permutation» — перестановка) и Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) ≡ Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , то волновые функции Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) и Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) описывают одно и тоже состояние 𝑁 -частичной системы. Найдем собственные значения оператора ̂︀
𝑃 :
̂︀
𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) ≡ Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , С другой стороны, из (
16.1.1
) следует, что, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = ̂︀
𝑃 Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) =
= ̂︀
𝑃 𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝑃
2
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , Отсюда 𝑃
2
= 1 или собственные значения оператора перестановки тождественных частиц = При 𝑃 = +1
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
)
— симметричная волновая функция.
При 𝑃 = −1
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = −Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
)
— антисимметричная волновая функция.
Симметрия волновой функции относительно перестановки тождественных частиц однозначно связана со спином этих частиц (постулат или закон природы, установленный экспериментально):
а) бозоны (статистика Бозе-Эйнштейна) описываются симметричной волновой функцией — частицы с целым спином (включая 𝑠 = б) фермионы (статистика Ферми-Дирака) описываются антисимметричной волновой функцией — частицы с полуцелым спином
рис. 16.1
б).
В квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою индивидуальность. Имеет смысл характеризовать систему из 𝑁 тождественных частиц общей 𝑁 -частичной волновой функцией Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
), где (r
𝑖
, 𝜎
𝑖
) — совокупность пространственных и спиновых переменных й частицы.
Главная особенность квантовомеханического описания вытекает из особого физического свойства микрообъектов, известного как принцип тождественности или неразличимости микрочастиц. Согласно этому принципу, состояние системы тождественных частиц не меняется при обмене частиц местами. Иными словами, если ̂︀
𝑃 — оператор перестановки двух произвольных тождественных частиц (от англ. «permutation» — перестановка) и Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) ≡ Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , то волновые функции Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) и Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) описывают одно и тоже состояние 𝑁 -частичной системы. Найдем собственные значения оператора ̂︀
𝑃 :
̂︀
𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) ≡ Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , С другой стороны, из (
16.1.1
) следует, что, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = ̂︀
𝑃 Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) =
= ̂︀
𝑃 𝑃 Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝑃
2
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , Отсюда 𝑃
2
= 1 или собственные значения оператора перестановки тождественных частиц = При 𝑃 = +1
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
)
— симметричная волновая функция.
При 𝑃 = −1
Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
) = −Ψ(𝜉
2
, 𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
)
— антисимметричная волновая функция.
Симметрия волновой функции относительно перестановки тождественных частиц однозначно связана со спином этих частиц (постулат или закон природы, установленный экспериментально):
а) бозоны (статистика Бозе-Эйнштейна) описываются симметричной волновой функцией — частицы с целым спином (включая 𝑠 = б) фермионы (статистика Ферми-Дирака) описываются антисимметричной волновой функцией — частицы с полуцелым спином
Детерминант Слэтера. Принцип Паули
Рассмотрим систему из 𝑁 тождественных фермионов в приближении их слабого взаимодействия между собой, которое учитывается по теории возмущений. Тогда гамильтониан в нулевом порядке ТВ аддитивен Пусть {𝜓
𝑛
𝑖
(𝜉
𝑖
)} — полная система собственных функций для всех где 𝑛
𝑖
— мультииндекс. Мультииндекс — полный набор квантовых чисел
𝑖-го фермиона. Тогда 𝑁 -частичная волновая функция мультипликативна:
Ψ(𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝜓
𝑛
1
(𝜉
1
) · · · · · Полная нормированная волновая функция системы 𝑁 фермионов записывается как антисимметричная комбинация произведений вида (
16.2.1
) с учетом всевозможных перестановок внутри таких произведений, . . . , 𝜉
𝑁
) =
1
√
𝑁 !
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝜓
𝑛
1
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
1
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
1
(𝜉
𝑁
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
𝑁
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
𝑁
)
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
(16.2.2)
— детерминант Слэтера.
Упражнение 1. Из условия ортонормировки одночастичных волновых функций и = получить нормировочный множитель в (Антисимметричный характер такой волновой функции очевиден, т.к. перестановка двух частиц здесь соответствует перестановке двух строк определителя, в результате чего последний меняет знак.
Если среди номеров 𝑛
1
, 𝑛
2
, . . . , есть хотя бы два одинаковых, то два столбца определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится в нуль. Он будет отличен от нуля только в тех случаях, когда все номера, 𝑛
2
, . . . , различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов водном и том же квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Иными словами, два и более фермиона не могут находиться водном и том же квантовом состоянии (Принцип запрета Паули, 1925 г
Рассмотрим систему из 𝑁 тождественных фермионов в приближении их слабого взаимодействия между собой, которое учитывается по теории возмущений. Тогда гамильтониан в нулевом порядке ТВ аддитивен Пусть {𝜓
𝑛
𝑖
(𝜉
𝑖
)} — полная система собственных функций для всех где 𝑛
𝑖
— мультииндекс. Мультииндекс — полный набор квантовых чисел
𝑖-го фермиона. Тогда 𝑁 -частичная волновая функция мультипликативна:
Ψ(𝜉
1
, . . . , 𝜉
𝑁
) = 𝜓
𝑛
1
(𝜉
1
) · · · · · Полная нормированная волновая функция системы 𝑁 фермионов записывается как антисимметричная комбинация произведений вида (
16.2.1
) с учетом всевозможных перестановок внутри таких произведений, . . . , 𝜉
𝑁
) =
1
√
𝑁 !
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
𝜓
𝑛
1
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
1
)
𝜓
𝑛
1
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
2
)
𝜓
𝑛
1
(𝜉
𝑁
)
𝜓
𝑛
2
(𝜉
𝑁
)
𝜓
𝑛
𝑁
(𝜉
𝑁
)
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
(16.2.2)
— детерминант Слэтера.
Упражнение 1. Из условия ортонормировки одночастичных волновых функций и = получить нормировочный множитель в (Антисимметричный характер такой волновой функции очевиден, т.к. перестановка двух частиц здесь соответствует перестановке двух строк определителя, в результате чего последний меняет знак.
Если среди номеров 𝑛
1
, 𝑛
2
, . . . , есть хотя бы два одинаковых, то два столбца определителя окажутся одинаковыми и весь определитель обратится в нуль. Он будет отличен от нуля только в тех случаях, когда все номера, 𝑛
2
, . . . , различны. Таким образом, в системе одинаковых фермионов водном и том же квантовом состоянии может находиться не более одной частицы. Иными словами, два и более фермиона не могут находиться водном и том же квантовом состоянии (Принцип запрета Паули, 1925 г
Глава Атом гелия
§1.
Атом гелия. Спиновые функции двух электронов. Пара- и ортосостояния
Атом гелия — простейшая многочастичная система, содержащая тождественные частицы. Кроме того, атом He — самый простой из сложных атомов. Эти два аргумента объясняют то внимание, которое мы уделяем решению задачи об атоме гелия (см.
рис. 17.1
).
𝑍 = 2
𝑒
𝑒
r
1
r
2
r
1
− Рис. 17.1: Атом гелия.
Гамильтониан системы (два тождественных электрона в поле точечного ядра) имеет вид =
̂︀
p
2 1
2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
1
+
̂︀
p
2 2
2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
2
+
𝑒
2
|r
1
− Здесь для атома гелия порядковый номер ядра 𝑍 = 2. Необходимо решить стационарное уравнение Шрёдингера
̂︀
𝐻Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
) = 𝐸Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
),
(17.1.2)
152
§1.
Атом гелия. Спиновые функции двух электронов. Пара- и ортосостояния
Атом гелия — простейшая многочастичная система, содержащая тождественные частицы. Кроме того, атом He — самый простой из сложных атомов. Эти два аргумента объясняют то внимание, которое мы уделяем решению задачи об атоме гелия (см.
рис. 17.1
).
𝑍 = 2
𝑒
𝑒
r
1
r
2
r
1
− Рис. 17.1: Атом гелия.
Гамильтониан системы (два тождественных электрона в поле точечного ядра) имеет вид =
̂︀
p
2 1
2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
1
+
̂︀
p
2 2
2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
2
+
𝑒
2
|r
1
− Здесь для атома гелия порядковый номер ядра 𝑍 = 2. Необходимо решить стационарное уравнение Шрёдингера
̂︀
𝐻Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
) = 𝐸Ψ(𝜉
1
, 𝜉
2
),
(17.1.2)
152
те. определить уровни энергии и состояние двух электронов в атоме Заменим, что в нерелятивистском приближении спиновые эффекты (спин- орбитальное взаимодействие) возникают в порядке 1 (см. §4 главы. Если спин-орбитальное взаимодействие не учитывать, то взаимодействие от спина не зависит. Поскольку гамильтониан ̂︀
𝐻 не содержит спиновых операторов, тов полном решении координатные и спиновые функции разделяются, 𝜉
2
) = Φ(r
1
, r
2
)𝜒(𝜎
1
, Согласно введенное в §1 главы XVI постулату о тождественных частицах, полная волновая функция (тес учетом спиновых переменных) должна быть антисимметричной к перестановке частиц, т.к. электроны — это фермионы. Поэтому возможны два решения Φ
𝑆
(r
1
, r
2
)𝜒
𝐴
(𝜎
1
, 𝜎
2
)
Ψ
2
= Φ
𝐴
(r
1
, r
2
)𝜒
𝑆
(𝜎
1
, В соответствии с правилом сложения моментов (
15.2.4
), собственные значения суммарного спинового момента двух электронов 𝑠 = 0, Тогда собственными векторами операторов 1
,
̂︀
s
2 являются где 𝑠 = 0, 𝑠
𝑧
= 0; 𝑠 = 1, 𝑠
𝑧
= −1, 0, Нетрудно найти собственные функции системы из двух частиц со спинами синглетная «S» спиновая волновая функция, 1) = 𝛼(1)𝛼(2)
𝜒(1, 0) =
1
√
2
(𝛼(1)𝛽(2) + 𝛽(1)𝛼(2))
𝜒(1, −1) = 𝛽(1)𝛽(2)
— триплетная «T» спиновая волновая функция.
Легко видеть, что функция 𝜒
𝑆
(𝜎
1
, 𝜎
2
) симметрична относительно перестановки спиновых переменных, если 𝑠 = 1, а функция 𝜒
𝐴
(𝜎
1
, 𝜎
2
) антисимметрична, если 𝑠 = Таким образом, состояния атома He можно классифицировать по значению суммарного спина электронов 𝑠 = 0 — парагелий (синглетные уровни = 1 — ортогелий (триплетные уровни).
Интересно, что оба вида атомов ведут себя независимо сточки зрения процессов излучения. Электрические дипольные переходы с ∆𝑆 ̸= 0 запрещены. Поэтому запрещены и дипольные переходы из одного состояния в другое. Фактически, спектральные линии отвечают смеси двух индивидуальных веществ
𝐻 не содержит спиновых операторов, тов полном решении координатные и спиновые функции разделяются, 𝜉
2
) = Φ(r
1
, r
2
)𝜒(𝜎
1
, Согласно введенное в §1 главы XVI постулату о тождественных частицах, полная волновая функция (тес учетом спиновых переменных) должна быть антисимметричной к перестановке частиц, т.к. электроны — это фермионы. Поэтому возможны два решения Φ
𝑆
(r
1
, r
2
)𝜒
𝐴
(𝜎
1
, 𝜎
2
)
Ψ
2
= Φ
𝐴
(r
1
, r
2
)𝜒
𝑆
(𝜎
1
, В соответствии с правилом сложения моментов (
15.2.4
), собственные значения суммарного спинового момента двух электронов 𝑠 = 0, Тогда собственными векторами операторов 1
,
̂︀
s
2 являются где 𝑠 = 0, 𝑠
𝑧
= 0; 𝑠 = 1, 𝑠
𝑧
= −1, 0, Нетрудно найти собственные функции системы из двух частиц со спинами синглетная «S» спиновая волновая функция, 1) = 𝛼(1)𝛼(2)
𝜒(1, 0) =
1
√
2
(𝛼(1)𝛽(2) + 𝛽(1)𝛼(2))
𝜒(1, −1) = 𝛽(1)𝛽(2)
— триплетная «T» спиновая волновая функция.
Легко видеть, что функция 𝜒
𝑆
(𝜎
1
, 𝜎
2
) симметрична относительно перестановки спиновых переменных, если 𝑠 = 1, а функция 𝜒
𝐴
(𝜎
1
, 𝜎
2
) антисимметрична, если 𝑠 = Таким образом, состояния атома He можно классифицировать по значению суммарного спина электронов 𝑠 = 0 — парагелий (синглетные уровни = 1 — ортогелий (триплетные уровни).
Интересно, что оба вида атомов ведут себя независимо сточки зрения процессов излучения. Электрические дипольные переходы с ∆𝑆 ̸= 0 запрещены. Поэтому запрещены и дипольные переходы из одного состояния в другое. Фактически, спектральные линии отвечают смеси двух индивидуальных веществ
Обменное взаимодействие
В качестве первого шага решения двухэлектронной задачи (
17.1.2
) воспользуемся стационарной теорией возмущений. Для этого представим гамильтониан системы He в виде суммы = ̂︀
𝐻
(0)
+ гамильтониана двух невзаимодействующих друг с другом электронов, где ̂︀
𝐻
𝑖
=
̂︀
p
𝑖
2 и оператора ̂︀
𝑉 межэлектронного отталкивания =
𝑒
2
|r
1
− рассматриваемого как возмущение. В нулевом приближении имеем обычные водородоподобные функции независимых электронов, а волновая функция, 𝜉
2
) всей системы должна строиться каких правильная антисимметри- зованная комбинация.
Пусть эти электроны находятся к пространственных состояниях квантовые числа 𝑛
1
, 𝑙
1
, 𝑚
1
) и квантовые числа 𝑛
2
, 𝑙
2
, 𝑚
2
). С учетом результатов предыдущего параграфа правильную к перестановке координат и пространственную волновую функцию можно записать в виде, r
2
) =
1
√
2
{𝜙
𝜈
1
(r
1
)𝜙
𝜈
2
(r
2
) ∓ 𝜙
𝜈
2
(r
1
)𝜙
𝜈
1
(r
2
)} ,
𝜈
1
̸= 𝜈
2
Φ
𝑆
(r
1
, r
2
) = 𝜙
𝜈
(r
1
)𝜙
𝜈
(r
2
),
𝜈
1
= 𝜈
2
= Последняя запись не противоречит принципу Паули, поскольку в антисимметричном спиновом состоянии 𝜒(0, 0) (𝑠 = 0) электроны находятся в разных квантовых состояниях с противоположными направлениями спина.
Допустимые волновые функции атома He, в соответствии с предыдущим, есть, 0)
⏟
⏞
𝑠=0
;
Φ
𝐴
𝜒(1, 1),
Φ
𝐴
𝜒(1, 0),
Φ
𝐴
𝜒(1, −1)
⏟
Подчеркнем, что в нулевом приближении все четыре состояния, описываемые функциями (
17.2.2
), вырождены. Их энергия равна сумме энергий для состояний и 𝜈
2
:
𝐸
(0)
𝜈
1
,𝜈
2
= 𝐸
𝜈
1
+ 𝐸
𝜈
2
≡ 𝐸
𝑛
1
+ Найдем теперь энергетическое расщепление состояний (
17.2.2
) при учете кулоновского отталкивания между электронами в первом порядке теории возмущений
В качестве первого шага решения двухэлектронной задачи (
17.1.2
) воспользуемся стационарной теорией возмущений. Для этого представим гамильтониан системы He в виде суммы = ̂︀
𝐻
(0)
+ гамильтониана двух невзаимодействующих друг с другом электронов, где ̂︀
𝐻
𝑖
=
̂︀
p
𝑖
2 и оператора ̂︀
𝑉 межэлектронного отталкивания =
𝑒
2
|r
1
− рассматриваемого как возмущение. В нулевом приближении имеем обычные водородоподобные функции независимых электронов, а волновая функция, 𝜉
2
) всей системы должна строиться каких правильная антисимметри- зованная комбинация.
Пусть эти электроны находятся к пространственных состояниях квантовые числа 𝑛
1
, 𝑙
1
, 𝑚
1
) и квантовые числа 𝑛
2
, 𝑙
2
, 𝑚
2
). С учетом результатов предыдущего параграфа правильную к перестановке координат и пространственную волновую функцию можно записать в виде, r
2
) =
1
√
2
{𝜙
𝜈
1
(r
1
)𝜙
𝜈
2
(r
2
) ∓ 𝜙
𝜈
2
(r
1
)𝜙
𝜈
1
(r
2
)} ,
𝜈
1
̸= 𝜈
2
Φ
𝑆
(r
1
, r
2
) = 𝜙
𝜈
(r
1
)𝜙
𝜈
(r
2
),
𝜈
1
= 𝜈
2
= Последняя запись не противоречит принципу Паули, поскольку в антисимметричном спиновом состоянии 𝜒(0, 0) (𝑠 = 0) электроны находятся в разных квантовых состояниях с противоположными направлениями спина.
Допустимые волновые функции атома He, в соответствии с предыдущим, есть, 0)
⏟
⏞
𝑠=0
;
Φ
𝐴
𝜒(1, 1),
Φ
𝐴
𝜒(1, 0),
Φ
𝐴
𝜒(1, −1)
⏟
Подчеркнем, что в нулевом приближении все четыре состояния, описываемые функциями (
17.2.2
), вырождены. Их энергия равна сумме энергий для состояний и 𝜈
2
:
𝐸
(0)
𝜈
1
,𝜈
2
= 𝐸
𝜈
1
+ 𝐸
𝜈
2
≡ 𝐸
𝑛
1
+ Найдем теперь энергетическое расщепление состояний (
17.2.2
) при учете кулоновского отталкивания между электронами в первом порядке теории возмущений
Если электроны эквивалентны (𝜈
1
= 𝜈
2
= 𝜈), то Φ
𝐴
≡ 0 и возможно лишь синглетное состояние Ψ
𝑆
𝜒(0, 0), которое сдвигается возмущением ̂︀
𝑉 =
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
. Для неэквивалентных электронов (𝜈
1
̸= 𝜈
2
) допустимы все четыре функции (
17.2.2
). Поскольку ̂︀
𝑉 не зависит от спинов, триплетные состояния останутся вырожденными.
Однако синглет и триплет теперь расщепляются хотя силы межэлек- тронного кулоновского отталкивания не зависят от 𝑠, но 𝑠 определяет возможную симметрию пространственной волновой функции и тем самым влияет на энергию.
В первом приближении теории возмущений энергетический сдвиг состояний) с 𝜈
1
̸= 𝜈
2
𝐸
(1)
𝜈
1
𝜈
2
= ⟨Φ
𝑆,𝐴
| ̂︀
𝑉 |Φ
𝑆,𝐴
⟩ = 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
± где значению 𝑠 = 0 отвечает знака значению 𝑠 = 1 — знак «-».
𝐽
𝜈
1
𝜈
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
|𝜙
𝜈
1
(r
1
)|
2
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑒
2
r
1
− r
2
⃒
⃒
⃒
⃒
|𝜙
𝜈
2
(r
2
)|
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
|𝜙
𝜈
2
(r
1
)|
2
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
·
· |𝜙
𝜈
1
(r
2
)|
2
(17.2.4)
𝐾
𝜈
1
𝜈
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
𝜙
*
𝜈
1
(r
1
)𝜙
𝜈
2
(r
1
)
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
𝜙
*
𝜈
2
(r
2
)𝜙
𝜈
1
(r
2
) =
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
𝜙
*
𝜈
2
(r
1
)𝜙
𝜈
1
(r
1
)
𝑒
2
|r
1
− Равенства в (
§2.
) и (
§2.
) объясняются тем, что от переобозначения переменных интегрирования r
1
↔ двойной интеграл не меняется. Интеграл) называют кулоновским интегралом, т.к. его величина равна энергии классического электростатического взаимодействия зарядов с плотностью распределения 𝑒𝜌
𝜈
1
(r
1
) и 𝑒𝜌
𝜈
2
(r
2
) (𝑒 < 0). Здесь 𝜌
𝜈
1
(r
1
) = и 𝜌
𝜈
2
(r
2
) = |𝜙
𝜈
2
(r
2
)|
2
— плотности вероятности обнаружить электрон в состояниях и соответственно. Т.к. подынтегральное выражение (положительно, то 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
> 0, облака зарядов отталкиваются, что приводит к увеличению энергии многоэлектронной системы.
Интеграл (
§2.
) называют обменным интегралом. Он появляется только вследствие симметризации волновой функции относительно перестановки (обмена) частиц и связан с обменным взаимодействием. При движении классических частиц такой эффект не возникает, поэтому обменному интегралу нельзя дать классическую интерпретацию. Обменные члены) позволяют каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях и 𝜙
𝜈
2 155
1
= 𝜈
2
= 𝜈), то Φ
𝐴
≡ 0 и возможно лишь синглетное состояние Ψ
𝑆
𝜒(0, 0), которое сдвигается возмущением ̂︀
𝑉 =
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
. Для неэквивалентных электронов (𝜈
1
̸= 𝜈
2
) допустимы все четыре функции (
17.2.2
). Поскольку ̂︀
𝑉 не зависит от спинов, триплетные состояния останутся вырожденными.
Однако синглет и триплет теперь расщепляются хотя силы межэлек- тронного кулоновского отталкивания не зависят от 𝑠, но 𝑠 определяет возможную симметрию пространственной волновой функции и тем самым влияет на энергию.
В первом приближении теории возмущений энергетический сдвиг состояний) с 𝜈
1
̸= 𝜈
2
𝐸
(1)
𝜈
1
𝜈
2
= ⟨Φ
𝑆,𝐴
| ̂︀
𝑉 |Φ
𝑆,𝐴
⟩ = 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
± где значению 𝑠 = 0 отвечает знака значению 𝑠 = 1 — знак «-».
𝐽
𝜈
1
𝜈
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
|𝜙
𝜈
1
(r
1
)|
2
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑒
2
r
1
− r
2
⃒
⃒
⃒
⃒
|𝜙
𝜈
2
(r
2
)|
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
|𝜙
𝜈
2
(r
1
)|
2
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
·
· |𝜙
𝜈
1
(r
2
)|
2
(17.2.4)
𝐾
𝜈
1
𝜈
2
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
𝜙
*
𝜈
1
(r
1
)𝜙
𝜈
2
(r
1
)
𝑒
2
|r
1
− r
2
|
𝜙
*
𝜈
2
(r
2
)𝜙
𝜈
1
(r
2
) =
=
∫︁
∫︁
𝑑r
1
𝑑r
2
𝜙
*
𝜈
2
(r
1
)𝜙
𝜈
1
(r
1
)
𝑒
2
|r
1
− Равенства в (
§2.
) и (
§2.
) объясняются тем, что от переобозначения переменных интегрирования r
1
↔ двойной интеграл не меняется. Интеграл) называют кулоновским интегралом, т.к. его величина равна энергии классического электростатического взаимодействия зарядов с плотностью распределения 𝑒𝜌
𝜈
1
(r
1
) и 𝑒𝜌
𝜈
2
(r
2
) (𝑒 < 0). Здесь 𝜌
𝜈
1
(r
1
) = и 𝜌
𝜈
2
(r
2
) = |𝜙
𝜈
2
(r
2
)|
2
— плотности вероятности обнаружить электрон в состояниях и соответственно. Т.к. подынтегральное выражение (положительно, то 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
> 0, облака зарядов отталкиваются, что приводит к увеличению энергии многоэлектронной системы.
Интеграл (
§2.
) называют обменным интегралом. Он появляется только вследствие симметризации волновой функции относительно перестановки (обмена) частиц и связан с обменным взаимодействием. При движении классических частиц такой эффект не возникает, поэтому обменному интегралу нельзя дать классическую интерпретацию. Обменные члены) позволяют каждому электрону находиться одновременно в различных квантовых состояниях и 𝜙
𝜈
2 155
Величина дает сдвиг для обоих значений спина 𝑠 = 0, 1 водному (положительную) сторону по шкале энергий. Величина также оказывается положительной (см. например, п. 15.3 учебного пособия [4]) и сдвигает синглеты выше соответствующих триплетов (с теми же состояниями в (
17.2.3
)). Окончательно имеем 𝐽
𝜈𝜈
(17.2.6)
𝐸
(1),𝑠=0
𝜈
1
𝜈
2
= 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
+ 𝐾
𝜈
1
𝜈
2
,
𝜈
1
̸= 𝜈
2
(17.2.7)
𝐸
(1),𝑠=1
𝜈
1
𝜈
2
= 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
− 𝐾
𝜈
1
𝜈
2
,
𝜈
1
̸= Полученные результаты объясняют оптический спектр атома He лишь на качественном уровне. Для количественных расчетов теория возмущений оказывается грубым приближением 3
⃒
⃒
⃒
𝐸
(0)
11
⃒
⃒
⃒
. Точное решение многоэлектронной задачи с числом электронов 𝑁 ≥ 2 невозможно. Особую актуальность здесь приобретают эффективные численные методы решения многоэлектронной проблемы
17.2.3
)). Окончательно имеем 𝐽
𝜈𝜈
(17.2.6)
𝐸
(1),𝑠=0
𝜈
1
𝜈
2
= 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
+ 𝐾
𝜈
1
𝜈
2
,
𝜈
1
̸= 𝜈
2
(17.2.7)
𝐸
(1),𝑠=1
𝜈
1
𝜈
2
= 𝐽
𝜈
1
𝜈
2
− 𝐾
𝜈
1
𝜈
2
,
𝜈
1
̸= Полученные результаты объясняют оптический спектр атома He лишь на качественном уровне. Для количественных расчетов теория возмущений оказывается грубым приближением 3
⃒
⃒
⃒
𝐸
(0)
11
⃒
⃒
⃒
. Точное решение многоэлектронной задачи с числом электронов 𝑁 ≥ 2 невозможно. Особую актуальность здесь приобретают эффективные численные методы решения многоэлектронной проблемы
Глава Сложный атом
§1.
Вариационный принцип, вычисление энергии основного состояния
Пусть для системы с гамильтонианом ̂︀
𝐻 задача решена, то есть найдены значения энергии и волновые функции Ψ
𝑛
, такие что 𝐸
𝑛
Ψ
𝑛
, 𝑛 = 0, 1, 2 . . Волновые функции Ψ
𝑛
ортонормированы:
⟨Ψ
𝑛
|Ψ
𝑚
⟩ = и образуют полный базис.
Рассмотрим произвольную пробную волновую функцию Φ, нормированную на единицу = Е разложение по базису {Ψ
𝑛
} имеет вид В силу условий нормировки для коэффициентов имеем Среднее значение энергии системы с волновой функцией Φ имеет следующий вид ≡ ℰ[Φ] ≡ ⟨Φ| ̂︀
𝐻|Φ⟩ =
∑︁
𝑛
∑︁
𝑚
⟨𝑎
𝑛
Ψ
𝑛
| ̂︀
𝐻|𝑎
𝑚
Ψ
𝑚
⟩ = =
∑︁
𝑛
∑︁
𝑚
𝑎
*
𝑛
𝑎
𝑚
𝐸
𝑚
𝛿
𝑛𝑚
=
∑︁
𝑛
|𝑎
𝑛
|
2
𝐸
𝑛
(18.1.1)
157
§1.
Вариационный принцип, вычисление энергии основного состояния
Пусть для системы с гамильтонианом ̂︀
𝐻 задача решена, то есть найдены значения энергии и волновые функции Ψ
𝑛
, такие что 𝐸
𝑛
Ψ
𝑛
, 𝑛 = 0, 1, 2 . . Волновые функции Ψ
𝑛
ортонормированы:
⟨Ψ
𝑛
|Ψ
𝑚
⟩ = и образуют полный базис.
Рассмотрим произвольную пробную волновую функцию Φ, нормированную на единицу = Е разложение по базису {Ψ
𝑛
} имеет вид В силу условий нормировки для коэффициентов имеем Среднее значение энергии системы с волновой функцией Φ имеет следующий вид ≡ ℰ[Φ] ≡ ⟨Φ| ̂︀
𝐻|Φ⟩ =
∑︁
𝑛
∑︁
𝑚
⟨𝑎
𝑛
Ψ
𝑛
| ̂︀
𝐻|𝑎
𝑚
Ψ
𝑚
⟩ = =
∑︁
𝑛
∑︁
𝑚
𝑎
*
𝑛
𝑎
𝑚
𝐸
𝑚
𝛿
𝑛𝑚
=
∑︁
𝑛
|𝑎
𝑛
|
2
𝐸
𝑛
(18.1.1)
157
Здесь значение интеграла зависит от вида функции, поэтому ⟨𝐸⟩ есть
«функция от функции, те. функционал. Обозначим функционал символом. Заменяя в сумме (
18.1.1
) значения энергий 𝐸
1
, 𝐸
2
, . . . на наименьшее значение 𝐸
0
— энергию основного состояния, и поскольку 𝐸
𝑛
> 𝐸
0
(𝑛 =
0, 1, 2, . . . ), получим неравенство > 𝐸
0
∑︁
𝑛
|𝑎
𝑛
|
2
= Это значит, что средние значения энергии, вычисленные с пробными функциями Φ, являются оценками сверху для точной энергии основного состояния. При Φ = следует, что ℰ [Ψ
0
] = 𝐸
0
. Поэтому задача определения собственной функции основного состояния может быть сформулирована так из всех допустимых (те. однозначных, непрерывных и нормированных)
функций найти такую, для которой среднее значение энергии ℰ [Φ] минимально Исследование экстремальных значений функционалов типа ℰ [Φ] проводится методами вариационного исчисления при этом требование (для ℰ [Φ] формулируется следующим образом вариация 𝛿ℰ должна обращаться в нуль = для всех допустимых вариаций 𝛿Φ функции Φ, удовлетворяющей дополнительному условию ⟨Φ|Φ⟩ = Ниже предполагается следующий алгоритм поиска волновой функции основного состояния. выбираем пробную функция, зависящую от координат 𝑞 и ряда параметров вариационных параметров = Φ(𝑞, 𝛼
1
, 𝛼
2
. . . );
2. вычисляем среднюю энергию в состоянии, описываемом данной функцией. минимизируя 𝐸 по параметрам 𝛼
𝑖
:
𝜕ℰ
𝜕𝛼
1
= 0,
𝜕ℰ
𝜕𝛼
2
= 0, . . находим те значения параметров 𝛼
0
𝑖
, для которых ℰ минимально
𝑁 -электронная задача не имеет точных решений, те. из-за последней суммы в выражении (
18.2.1
) нет разделения переменных, описывающих пространственное движение электронов. На примере атомов He мы видели, что каждый электрон фактически движется поле, создаваемом ядром и другим электроном, те. в некотором эффективном среднем (по движению другого электрона) поле. Физическими математическим обобщением идеи эффективного среднего поля для описания движения выделенного го электрона в -электронной системе является метод Хартри-Фока (1928-1930 гг.). Метод исходит из функционала электронной энергии = ⟨Ψ
𝐻𝐹
| построенного для гамильтониана (
18.2.1
) на хартри-фоковской волновой функции системы 𝑁 электронов Ψ
𝐻𝐹
(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
), взятой в виде детерминанта Слэтера (
16.2.2
) (приближение Хартри было модифицировано в 1930 г.
В.А. Фоком так, чтобы полная волновая функция 𝑁 электронов имела правильную симметрию относительно их перестановки. В результате поиска наилучших одноэлектронных конфигураций 𝜓
{𝑛
𝑗
}
(𝜉
𝑖
) (спин-орбиталей), т.е.
минимизирующих функционал энергии (
18.2.2
), приходят к системе из связанных между собой интегро-дифференциальных уравнений для спин- орбиталей. Систему уравнений называют уравнениями Хартри-Фока. Сточки зрения физического смысла каждое из уравнений Хартри-Фока описывает движение выделенного го электрона в некотором среднем эффективном поле 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
), созданном ядром и остальными электронами атома.
Это поле 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
) является центральными самосогласованным, т.к. оно зависит от электронного состояния атома, которое, в свою очередь, зависит от 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
) (приближение центрального самосогласованного поля. В приближении центрального поля гамильтониан (
18.2.1
) можно представить в виде =
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︃
̂︀
p
𝑖
2 2𝑚
+ 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
)
)︃
⏟
⏞
̂︀
𝐻
(0)
+ ̂︀
𝑉 где нецентральная часть =
∑︁
𝑖<𝑗
𝑒
2
|r
𝑖
− r
𝑗
|
+
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︂
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
− описывает остаточное кулоновское взаимодействие в атоме.
Асимптотика самосогласованного поля обладает сферической симметрией) и имеет следующий вид) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
,
𝑟
𝑖
→ 0
−
(𝑍 − (𝑁 − 1))𝑒
2
𝑟
𝑖
,
𝑟
𝑖
→ ∞
160
«функция от функции, те. функционал. Обозначим функционал символом. Заменяя в сумме (
18.1.1
) значения энергий 𝐸
1
, 𝐸
2
, . . . на наименьшее значение 𝐸
0
— энергию основного состояния, и поскольку 𝐸
𝑛
> 𝐸
0
(𝑛 =
0, 1, 2, . . . ), получим неравенство > 𝐸
0
∑︁
𝑛
|𝑎
𝑛
|
2
= Это значит, что средние значения энергии, вычисленные с пробными функциями Φ, являются оценками сверху для точной энергии основного состояния. При Φ = следует, что ℰ [Ψ
0
] = 𝐸
0
. Поэтому задача определения собственной функции основного состояния может быть сформулирована так из всех допустимых (те. однозначных, непрерывных и нормированных)
функций найти такую, для которой среднее значение энергии ℰ [Φ] минимально Исследование экстремальных значений функционалов типа ℰ [Φ] проводится методами вариационного исчисления при этом требование (для ℰ [Φ] формулируется следующим образом вариация 𝛿ℰ должна обращаться в нуль = для всех допустимых вариаций 𝛿Φ функции Φ, удовлетворяющей дополнительному условию ⟨Φ|Φ⟩ = Ниже предполагается следующий алгоритм поиска волновой функции основного состояния. выбираем пробную функция, зависящую от координат 𝑞 и ряда параметров вариационных параметров = Φ(𝑞, 𝛼
1
, 𝛼
2
. . . );
2. вычисляем среднюю энергию в состоянии, описываемом данной функцией. минимизируя 𝐸 по параметрам 𝛼
𝑖
:
𝜕ℰ
𝜕𝛼
1
= 0,
𝜕ℰ
𝜕𝛼
2
= 0, . . находим те значения параметров 𝛼
0
𝑖
, для которых ℰ минимально
После выполнения описанной выше процедуры можно утверждать, что функция Φ(𝑞, 𝛼
0 1
, 𝛼
0 2
, 𝛼
0 2
, . . . ) есть наилучшее приближение кв выбранном классе функций. Этот метод поиска наилучшего приближения к называют вариационным.
Следует отметить, что вычисления поправок к уровням энергии электронов в первом порядке теории возмущений, что проводилось в §2 главы, эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода при не лучшем выборе пробной функции. В предыдущей главе в нулевом приближении мы получили для координатной волновой функции основного состояния атома He следующее выражение, r
2
) = 𝜙
1𝑠
(r
1
)𝜙
1𝑠
(r
2
) =
1
𝜋
(︂ Кулоновское отталкивание электронов в атоме He можно учесть более удачным выбором волновой функции нулевого приближения. Каждый электрон частично экранирует заряд ядра для другого электрона. Поэтому они движутся в поле с некоторым эффективным зарядом ˜
𝑍 < 𝑍 = 2. Следовательно, волновую функцию основного состояния атома He можно искать в виде, r
2
) = где ˜
𝑍 — вариационный параметра постоянная 𝐶 определяется условием нормировки. Вычисляя среднюю энергию как функцию ˜
𝑍,
⟨Φ
𝑆
𝑔.𝑠
| ̂︀
𝐻|Φ
𝑆
𝑔.𝑠
⟩ = ℰ( и затем минимизируя ℰ ( ˜
𝑍):
𝜕ℰ
𝜕 ˜
𝑍
= 0, находим = 𝑍 −
5 Можно улучшить оценку для энергии основного состояния атома увеличивая число варьируемых параметров.
§2.
Метод Хартри-Фока. Приближения центрального поля. Электронные конфигурации
Перейдем к общему случаю сложного атома, имеющего 𝑁 электронов и заряд ядра −𝑍𝑒 (𝑒 < 0). Нерелятивистский гамильтониан такого атома имеет вид =
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︃
̂︀
p
𝑖
2 2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
)︃
+
∑︁
𝑖<𝑗
𝑒
2
|r
𝑖
− r
𝑗
|
(18.2.1)
159
0 1
, 𝛼
0 2
, 𝛼
0 2
, . . . ) есть наилучшее приближение кв выбранном классе функций. Этот метод поиска наилучшего приближения к называют вариационным.
Следует отметить, что вычисления поправок к уровням энергии электронов в первом порядке теории возмущений, что проводилось в §2 главы, эквивалентны вычислениям с помощью вариационного метода при не лучшем выборе пробной функции. В предыдущей главе в нулевом приближении мы получили для координатной волновой функции основного состояния атома He следующее выражение, r
2
) = 𝜙
1𝑠
(r
1
)𝜙
1𝑠
(r
2
) =
1
𝜋
(︂ Кулоновское отталкивание электронов в атоме He можно учесть более удачным выбором волновой функции нулевого приближения. Каждый электрон частично экранирует заряд ядра для другого электрона. Поэтому они движутся в поле с некоторым эффективным зарядом ˜
𝑍 < 𝑍 = 2. Следовательно, волновую функцию основного состояния атома He можно искать в виде, r
2
) = где ˜
𝑍 — вариационный параметра постоянная 𝐶 определяется условием нормировки. Вычисляя среднюю энергию как функцию ˜
𝑍,
⟨Φ
𝑆
𝑔.𝑠
| ̂︀
𝐻|Φ
𝑆
𝑔.𝑠
⟩ = ℰ( и затем минимизируя ℰ ( ˜
𝑍):
𝜕ℰ
𝜕 ˜
𝑍
= 0, находим = 𝑍 −
5 Можно улучшить оценку для энергии основного состояния атома увеличивая число варьируемых параметров.
§2.
Метод Хартри-Фока. Приближения центрального поля. Электронные конфигурации
Перейдем к общему случаю сложного атома, имеющего 𝑁 электронов и заряд ядра −𝑍𝑒 (𝑒 < 0). Нерелятивистский гамильтониан такого атома имеет вид =
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︃
̂︀
p
𝑖
2 2𝑚
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
)︃
+
∑︁
𝑖<𝑗
𝑒
2
|r
𝑖
− r
𝑗
|
(18.2.1)
159
𝑁 -электронная задача не имеет точных решений, те. из-за последней суммы в выражении (
18.2.1
) нет разделения переменных, описывающих пространственное движение электронов. На примере атомов He мы видели, что каждый электрон фактически движется поле, создаваемом ядром и другим электроном, те. в некотором эффективном среднем (по движению другого электрона) поле. Физическими математическим обобщением идеи эффективного среднего поля для описания движения выделенного го электрона в -электронной системе является метод Хартри-Фока (1928-1930 гг.). Метод исходит из функционала электронной энергии = ⟨Ψ
𝐻𝐹
| построенного для гамильтониана (
18.2.1
) на хартри-фоковской волновой функции системы 𝑁 электронов Ψ
𝐻𝐹
(𝜉
1
, 𝜉
2
, . . . , 𝜉
𝑁
), взятой в виде детерминанта Слэтера (
16.2.2
) (приближение Хартри было модифицировано в 1930 г.
В.А. Фоком так, чтобы полная волновая функция 𝑁 электронов имела правильную симметрию относительно их перестановки. В результате поиска наилучших одноэлектронных конфигураций 𝜓
{𝑛
𝑗
}
(𝜉
𝑖
) (спин-орбиталей), т.е.
минимизирующих функционал энергии (
18.2.2
), приходят к системе из связанных между собой интегро-дифференциальных уравнений для спин- орбиталей. Систему уравнений называют уравнениями Хартри-Фока. Сточки зрения физического смысла каждое из уравнений Хартри-Фока описывает движение выделенного го электрона в некотором среднем эффективном поле 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
), созданном ядром и остальными электронами атома.
Это поле 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
) является центральными самосогласованным, т.к. оно зависит от электронного состояния атома, которое, в свою очередь, зависит от 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
) (приближение центрального самосогласованного поля. В приближении центрального поля гамильтониан (
18.2.1
) можно представить в виде =
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︃
̂︀
p
𝑖
2 2𝑚
+ 𝑈
𝑐𝑐
(r
𝑖
)
)︃
⏟
⏞
̂︀
𝐻
(0)
+ ̂︀
𝑉 где нецентральная часть =
∑︁
𝑖<𝑗
𝑒
2
|r
𝑖
− r
𝑗
|
+
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︂
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
− описывает остаточное кулоновское взаимодействие в атоме.
Асимптотика самосогласованного поля обладает сферической симметрией) и имеет следующий вид) =
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
−
𝑍𝑒
2
𝑟
𝑖
,
𝑟
𝑖
→ 0
−
(𝑍 − (𝑁 − 1))𝑒
2
𝑟
𝑖
,
𝑟
𝑖
→ ∞
160
Такой потенциал отличен от кулоновского (в различных асимптотиках числитель изменяется, поэтому уровни энергии электрона в сложном атоме, в отличие от водородоподобного атома, зависят от 𝑛 и 𝑙 → 𝐸
𝑛𝑙
, то есть в сложном атоме снимается вырождение по 𝑙. В качестве одночастичного базиса для следует выбрать состояния электрона в центрально- симметричном полете В соответствии с этими результатами электроны в сложном атоме распределяются по одночастичным состояниям |𝑛 𝑙 𝑚
𝑙
𝑚
𝑠
⟩, каждое из которых характеризуется главным квантовым числом 𝑛, орбитальным 𝑙, магнитным квантовым числом и проекцией (𝑚
𝑠
= ±
1 2
) 𝜆 спина на ось 𝑧. Основному состоянию атома отвечает минимальная энергия, поэтому электроны заполняют одночастичные состояния последовательно, начиная с самых глубо- ких.
Определение 1. Совокупность состояний с заданными 𝑛 и 𝑙 называется электронной оболочкой атома.
Такая совокупность содержит 2(2𝑙 + 1) состояний.
Определение 2. Электроны, находящиеся в состояниях с одинаковыми и 𝑙, называются эквивалентными.
Главное квантовое число указывается цифрой перед буквенными обозначениями орбитального момента 𝑙. Число эквивалентных электронов указывается в виде верхнего индекса у обозначения оболочки. Например, основное состояние атома He обозначается 1𝑠
2
, а первое возбужденное состояние есть Определение 3. Распределение электронов по оболочкам называется электронной конфигурацией.
Оболочка, содержащая 2(2𝑙+1) электронов называется заполненной. При суммировании по всем состояниям заполненной оболочки получаем 2
+𝑙
∑︁
𝑚
𝑙
=−𝑙
𝑚
𝑙
= Поскольку суммарная проекция орбитального момента (спинового момента) единственное значение, равное нулю, то суммарный орбитальный
𝑛𝑙
, то есть в сложном атоме снимается вырождение по 𝑙. В качестве одночастичного базиса для следует выбрать состояния электрона в центрально- симметричном полете В соответствии с этими результатами электроны в сложном атоме распределяются по одночастичным состояниям |𝑛 𝑙 𝑚
𝑙
𝑚
𝑠
⟩, каждое из которых характеризуется главным квантовым числом 𝑛, орбитальным 𝑙, магнитным квантовым числом и проекцией (𝑚
𝑠
= ±
1 2
) 𝜆 спина на ось 𝑧. Основному состоянию атома отвечает минимальная энергия, поэтому электроны заполняют одночастичные состояния последовательно, начиная с самых глубо- ких.
Определение 1. Совокупность состояний с заданными 𝑛 и 𝑙 называется электронной оболочкой атома.
Такая совокупность содержит 2(2𝑙 + 1) состояний.
Определение 2. Электроны, находящиеся в состояниях с одинаковыми и 𝑙, называются эквивалентными.
Главное квантовое число указывается цифрой перед буквенными обозначениями орбитального момента 𝑙. Число эквивалентных электронов указывается в виде верхнего индекса у обозначения оболочки. Например, основное состояние атома He обозначается 1𝑠
2
, а первое возбужденное состояние есть Определение 3. Распределение электронов по оболочкам называется электронной конфигурацией.
Оболочка, содержащая 2(2𝑙+1) электронов называется заполненной. При суммировании по всем состояниям заполненной оболочки получаем 2
+𝑙
∑︁
𝑚
𝑙
=−𝑙
𝑚
𝑙
= Поскольку суммарная проекция орбитального момента (спинового момента) единственное значение, равное нулю, то суммарный орбитальный
момент и суммарный спиновые момент заполненной оболочки равны нулю = 0, 𝑆 = Следовательно, операторы полного орбитального момента и полного спина всех электронов атома =
𝑁
∑︁
𝑖=1
̂︀
l
𝑖
,
̂︀
S реально формируются только из операторов электронов незаполненной оболочки.
§3.
Интегралы движения в сложных атомах.
Термы. Правила Хунда
Можно показать, что операторы ̂︀
L и ̂︀
S коммутируют с гамильтонианом ̂︀
𝐻
(
18.2.1
) атома. Поэтому может быть построена общая система собственных векторов операторов ̂︀
𝐻, ̂︀
L
2
, ̂︁
𝐿
𝑧
, и ̂︁
𝑆
𝑧
. Каждый такой собственный вектор определяет состояние атома с энергией Если в последней (𝑛𝑙) оболочке имеются 𝑘 < 2(2𝑙+1) электронов (оболочка не заполнена, то говорят, что состояние атома описывается электронной конфигурацией 𝑛𝑙
𝑘
. При этом, как показало исследование атома He, энергии состояний зависят от суммарного спина 𝑆 электронов (см. (
17.2.6
)). Кроме того, в предыдущем параграфе было показано, что уровни энергии электрона в сложном атоме зависят еще и от 𝑙, а значит, электронная энергия сложного атома зависит не только от 𝑆, но и от 𝐿:
𝐸 = 𝐸(𝑆, 𝐿) = ⟨𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
| Уровни энергии атома принято называть термами и ставить им в соответствие спектроскопические символы где число 2𝑠 + 1 называют мультиплетностью терма.
Каждый терм вырожден (2𝑆 + 1)(2𝐿 + 1) раз (по квантовым числами 𝑀
𝐿
). Поэтому орбитальному моменту 𝐿 также, как и орбитальному моменту 𝑙 отдельного электрона, ставят в соответствие заглавные латинские буквы так, как это делалось для атома водорода (§5 главы VIII):
𝐿 Введем полный угловой момент электронной оболочки атома = ̂︀
L + ̂︀
S,
(18.3.1)
162
𝑁
∑︁
𝑖=1
̂︀
l
𝑖
,
̂︀
S реально формируются только из операторов электронов незаполненной оболочки.
§3.
Интегралы движения в сложных атомах.
Термы. Правила Хунда
Можно показать, что операторы ̂︀
L и ̂︀
S коммутируют с гамильтонианом ̂︀
𝐻
(
18.2.1
) атома. Поэтому может быть построена общая система собственных векторов операторов ̂︀
𝐻, ̂︀
L
2
, ̂︁
𝐿
𝑧
, и ̂︁
𝑆
𝑧
. Каждый такой собственный вектор определяет состояние атома с энергией Если в последней (𝑛𝑙) оболочке имеются 𝑘 < 2(2𝑙+1) электронов (оболочка не заполнена, то говорят, что состояние атома описывается электронной конфигурацией 𝑛𝑙
𝑘
. При этом, как показало исследование атома He, энергии состояний зависят от суммарного спина 𝑆 электронов (см. (
17.2.6
)). Кроме того, в предыдущем параграфе было показано, что уровни энергии электрона в сложном атоме зависят еще и от 𝑙, а значит, электронная энергия сложного атома зависит не только от 𝑆, но и от 𝐿:
𝐸 = 𝐸(𝑆, 𝐿) = ⟨𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
| Уровни энергии атома принято называть термами и ставить им в соответствие спектроскопические символы где число 2𝑠 + 1 называют мультиплетностью терма.
Каждый терм вырожден (2𝑆 + 1)(2𝐿 + 1) раз (по квантовым числами 𝑀
𝐿
). Поэтому орбитальному моменту 𝐿 также, как и орбитальному моменту 𝑙 отдельного электрона, ставят в соответствие заглавные латинские буквы так, как это делалось для атома водорода (§5 главы VIII):
𝐿 Введем полный угловой момент электронной оболочки атома = ̂︀
L + ̂︀
S,
(18.3.1)
162
где по правилу сложения моментов (
15.2.4
) число 𝐽 при заданных 𝐿 и пробегает диапазон значений = |𝐿 − 𝑆| , |𝐿 − 𝑆| + 1, . . . , 𝐿 + Получаем новый набор коммутирующих операторов ̂︀
𝐻
𝑆𝑂
, ̂︀
L
2
, ̂︀
S
2
,̂︀
J
2
и
̂︁
𝐽
𝑧
с учетом того, что теперь в оператор входит еще оператор спин- орбитального взаимодействия ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
= 𝐴L · S, те. ̂︀
𝐻
𝑆𝑂
= ̂︀
𝐻
⃒
⃒
⃒
(
18.2.1
)
+ В присутствии операторы и не коммутируют с гамильтонианом
̂︀
𝐻
𝑆𝑂
атома и поэтому уже не являются интегралами движения.
Упражнение 1. Доказать, что [ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
, ̂︁
𝐿
𝑧
] ̸= 0 и [ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
, ̂︁
𝑆
𝑧
] ̸= Прежний набор квантовых чисел, 𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
, теперь непригоден для характеристики состояния атома с учетом спин-орбитального взаимодействия,
и необходимо перейти к другому набору 𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆. В итоге уровни энергии атома в новом представлении характеризуются термом
2𝑠+1
𝐿
𝐽
Для каких значений 𝐽 , 𝐿 и 𝑆 уровень атома будет иметь минимальное значение энергии Ответ на этот вопрос дают эмпирические правила Хунда
(1925 г. Для заданной электронной конфигурации наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным значением 𝑆 и наибольшим
(возможным при этом 𝑆) значением 𝐿.
2. Минимальную энергию имеет терм с 𝐽 = |𝐿 − 𝑆|, если заполнено не более половины электронной оболочки, и св противном случае.
§4.
𝐿𝑆-связь. Тонкая структура уровней. Правило интервалов Ланде
Рассмотренную выше схему сложения моментов (
18.2.4
) ив атоме называют связью или связью Рассела-Саундреса (1925 г. Классификация электронных состояний атомов в случае связи в виде спектроскопического символа
2𝑠+1
𝐿
𝐽
справедлива для атомов верхней части таблицы
Менделеева, когда спин-орбитальное взаимодействие можно рассматривать как возмущение по сравнению с остаточным кулоновским взаимодействием,
описываемым в (
18.2.3
) оператором ̂︀
𝑉 , те. при выполнении условия ≪ ∆𝐸
𝑇
,
(18.4.1)
163
15.2.4
) число 𝐽 при заданных 𝐿 и пробегает диапазон значений = |𝐿 − 𝑆| , |𝐿 − 𝑆| + 1, . . . , 𝐿 + Получаем новый набор коммутирующих операторов ̂︀
𝐻
𝑆𝑂
, ̂︀
L
2
, ̂︀
S
2
,̂︀
J
2
и
̂︁
𝐽
𝑧
с учетом того, что теперь в оператор входит еще оператор спин- орбитального взаимодействия ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
= 𝐴L · S, те. ̂︀
𝐻
𝑆𝑂
= ̂︀
𝐻
⃒
⃒
⃒
(
18.2.1
)
+ В присутствии операторы и не коммутируют с гамильтонианом
̂︀
𝐻
𝑆𝑂
атома и поэтому уже не являются интегралами движения.
Упражнение 1. Доказать, что [ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
, ̂︁
𝐿
𝑧
] ̸= 0 и [ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
, ̂︁
𝑆
𝑧
] ̸= Прежний набор квантовых чисел, 𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
, теперь непригоден для характеристики состояния атома с учетом спин-орбитального взаимодействия,
и необходимо перейти к другому набору 𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆. В итоге уровни энергии атома в новом представлении характеризуются термом
2𝑠+1
𝐿
𝐽
Для каких значений 𝐽 , 𝐿 и 𝑆 уровень атома будет иметь минимальное значение энергии Ответ на этот вопрос дают эмпирические правила Хунда
(1925 г. Для заданной электронной конфигурации наименьшей энергией обладает терм с наибольшим возможным значением 𝑆 и наибольшим
(возможным при этом 𝑆) значением 𝐿.
2. Минимальную энергию имеет терм с 𝐽 = |𝐿 − 𝑆|, если заполнено не более половины электронной оболочки, и св противном случае.
§4.
𝐿𝑆-связь. Тонкая структура уровней. Правило интервалов Ланде
Рассмотренную выше схему сложения моментов (
18.2.4
) ив атоме называют связью или связью Рассела-Саундреса (1925 г. Классификация электронных состояний атомов в случае связи в виде спектроскопического символа
2𝑠+1
𝐿
𝐽
справедлива для атомов верхней части таблицы
Менделеева, когда спин-орбитальное взаимодействие можно рассматривать как возмущение по сравнению с остаточным кулоновским взаимодействием,
описываемым в (
18.2.3
) оператором ̂︀
𝑉 , те. при выполнении условия ≪ ∆𝐸
𝑇
,
(18.4.1)
163
когда расстояние между соседними термами существенно превышает разность между компонентами тонкой структуры каждого из термов.
Для атомов тяжелых элементов становится существенным релятивистский характер движения электронов (ат = 𝛼𝑍), когда спиновые и орбитальные переменные в одноэлектронном приближении не разделяются, и приближение связи становится неприменимым.
С учетом оператора спин-орбитального взаимодействия ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
= 𝐴̂︀
L · каждый терм расщепится на группу уровней или, как говорят, формируется тонкая структура уровней терма. (2𝑆 + 1)(2𝐿 + кратно вырожденный уровень энергии атома расщепится на 2𝑆 +1 уровень, если в сложении моментов (
18.3.1
) 𝐿 > 𝑆 и на 2𝐿 + 1 уровень при 𝑆 > Возведя операторное равенство (
18.3.1
) в квадрат, получим ̂︀
L
2
+ ̂︀
S
2
+ Значит, оператор спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде 𝐴
̂︀
J
2
− ̂︀
L
2
− ̂︀
S
2 Легко видеть, что оператор (
18.4.2
) диагонален в базисе {𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆}. Поэтому каждое из состояний |𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ сдвигается на энергию (поправку первого порядка ТВ к энергии 𝐸):
∆𝐸
𝐽
= ⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝐴
𝐽 (𝐽 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1) − 𝑆(𝑆 + Эта поправка зависит от 𝐽 , ноне зависит от 𝑀
𝐽
, те. кратность вырождения уровня с полным угловым моментом 𝐽 равна 2𝐽 + Разность энергий соседних уровней в тонкой структуре терма равна ∆𝐸
𝐽 −1,𝐿,𝑆
=
𝐴
2
{𝐽 (𝐽 + 1) − 𝐽 (𝐽 − 1)} = Соотношение (
18.4.3
) называется правилом интервалов Ланде (1923 г.).
Уровни, на которые расщепляется атомный терм при учете спин-орбитального взаимодействия, называются компонентами тонкой структуры атомных уров- ней.
§5.
Гамильтониан сложного атома во внешнем магнитном поле
Рассмотрим атом в однородном и постоянном магнитном поле . Это магнитное поле может быть описано векторным потенциалом) =
1 2
[
−
→
H × r],
164
Для атомов тяжелых элементов становится существенным релятивистский характер движения электронов (ат = 𝛼𝑍), когда спиновые и орбитальные переменные в одноэлектронном приближении не разделяются, и приближение связи становится неприменимым.
С учетом оператора спин-орбитального взаимодействия ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
= 𝐴̂︀
L · каждый терм расщепится на группу уровней или, как говорят, формируется тонкая структура уровней терма. (2𝑆 + 1)(2𝐿 + кратно вырожденный уровень энергии атома расщепится на 2𝑆 +1 уровень, если в сложении моментов (
18.3.1
) 𝐿 > 𝑆 и на 2𝐿 + 1 уровень при 𝑆 > Возведя операторное равенство (
18.3.1
) в квадрат, получим ̂︀
L
2
+ ̂︀
S
2
+ Значит, оператор спин-орбитального взаимодействия можно представить в виде 𝐴
̂︀
J
2
− ̂︀
L
2
− ̂︀
S
2 Легко видеть, что оператор (
18.4.2
) диагонален в базисе {𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆}. Поэтому каждое из состояний |𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ сдвигается на энергию (поправку первого порядка ТВ к энергии 𝐸):
∆𝐸
𝐽
= ⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝐴
𝐽 (𝐽 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1) − 𝑆(𝑆 + Эта поправка зависит от 𝐽 , ноне зависит от 𝑀
𝐽
, те. кратность вырождения уровня с полным угловым моментом 𝐽 равна 2𝐽 + Разность энергий соседних уровней в тонкой структуре терма равна ∆𝐸
𝐽 −1,𝐿,𝑆
=
𝐴
2
{𝐽 (𝐽 + 1) − 𝐽 (𝐽 − 1)} = Соотношение (
18.4.3
) называется правилом интервалов Ланде (1923 г.).
Уровни, на которые расщепляется атомный терм при учете спин-орбитального взаимодействия, называются компонентами тонкой структуры атомных уров- ней.
§5.
Гамильтониан сложного атома во внешнем магнитном поле
Рассмотрим атом в однородном и постоянном магнитном поле . Это магнитное поле может быть описано векторным потенциалом) =
1 2
[
−
→
H × r],
164
с кулоновской калибровкой div A(r) = Гамильтониан Паули го электрона имеет вид (
14.3.8
):
̂︀
𝐻(𝑖) =
1 2𝑚
(︁
̂︀
p
𝑖
−
𝑒
𝑐
A
𝑖
)︁
2
−
𝑒
𝑚𝑐
(︁
̂︀
s
𝑖
·
−
→
H
)︁
+ 𝑈 (где A
𝑖
= A(r
𝑖
), 𝜇
𝐵
= −
𝑒
2𝑚𝑐
— магнетон Бора (𝑒 < 0), 𝑈 (r
𝑖
) = 𝑒Φ(r
𝑖
) включает в себя все кулоновские взаимодействия, которые входят в гамильтониан) свободного сложного атома.
Преобразуя первое слагаемое гамильтониана, находим+ A
𝑖
̂︀
p
𝑖
) +Здесь −𝑖∇
𝑖
A(r
𝑖
) + и т.к. div A = 0, то+ A
𝑖
̂︀
p
𝑖
) +
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
̂︀
p
2
𝑖
− 2
𝑒
𝑐
A
𝑖
̂︀
p
𝑖
+
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
=
̂︀
p
2
𝑖
−
𝑒
𝑐
(︁
[
−
→
H × r
𝑖
],
̂︀
p
𝑖
)︁
+
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
̂︀
p
2
𝑖
−
𝑒
𝑐
(̂︀l
𝑖
,
−
→
H ) +Таким образом, гамильтониан атома в магнитном поле с учетом оператора спин-орбитального взаимодействия выглядит следующим образом =
𝑁
∑︁
𝑖=1
̂︀
𝐻(𝑖) + ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
=
=
𝑁
∑︁
𝑖=1
⎛
⎜
⎜
⎝
̂︀
p
2
𝑖
2𝑚
−
𝑒
2𝑚𝑐
⏟
⏞
𝜇
𝐵
(̂︀l
𝑖
·
−
→
H ) +
𝑒
2 2𝑚𝑐
2
A
2
𝑖
−
𝑒
𝑚𝑐
⏟ ⏞
2𝜇
𝐵
(︁
̂︀
s
𝑖
·
−
→
H
)︁
+ 𝑈 (r
𝑖
)
⎞
⎟
⎟
⎠
+ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
=
= ̂︁
𝐻
0
+ ̂︀
𝑉
𝑍
+ где ̂︀
𝐻
0
=
∑︀
𝑁
𝑖=1
(︂
̂︀
p
2
𝑖
2𝑚
+ 𝑈 (r
𝑖
)
)︂
+ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
— гамильтониан свободного атома 𝜇
𝐵
(̂︀
L + 2̂︀
S) ·
−
→
H — оператор зеемановского взаимодействия с внешним магнитным полем электронного момента атома с оператором
̂︀
𝜇
ат
:
̂︀
𝑉
𝑍
= ат , , т.е.
̂︀
𝜇
ат
= −𝜇
𝐵
(̂︀
L + 2̂︀
S);
̂︀
𝑉
𝐷
=
𝑒
2 2𝑚𝑐
2
∑︀
𝑁
𝑖=1
A
2
𝑖
=
𝑒
2 8𝑚𝑐
2
∑︀
𝑁
𝑖=1
[
−
→
H × r
𝑖
]
2
— оператор диамагнитного взаимодействия
14.3.8
):
̂︀
𝐻(𝑖) =
1 2𝑚
(︁
̂︀
p
𝑖
−
𝑒
𝑐
A
𝑖
)︁
2
−
𝑒
𝑚𝑐
(︁
̂︀
s
𝑖
·
−
→
H
)︁
+ 𝑈 (где A
𝑖
= A(r
𝑖
), 𝜇
𝐵
= −
𝑒
2𝑚𝑐
— магнетон Бора (𝑒 < 0), 𝑈 (r
𝑖
) = 𝑒Φ(r
𝑖
) включает в себя все кулоновские взаимодействия, которые входят в гамильтониан) свободного сложного атома.
Преобразуя первое слагаемое гамильтониана, находим+ A
𝑖
̂︀
p
𝑖
) +Здесь −𝑖∇
𝑖
A(r
𝑖
) + и т.к. div A = 0, то+ A
𝑖
̂︀
p
𝑖
) +
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
̂︀
p
2
𝑖
− 2
𝑒
𝑐
A
𝑖
̂︀
p
𝑖
+
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
=
̂︀
p
2
𝑖
−
𝑒
𝑐
(︁
[
−
→
H × r
𝑖
],
̂︀
p
𝑖
)︁
+
𝑒
2
𝑐
2
A
2
𝑖
=
̂︀
p
2
𝑖
−
𝑒
𝑐
(̂︀l
𝑖
,
−
→
H ) +Таким образом, гамильтониан атома в магнитном поле с учетом оператора спин-орбитального взаимодействия выглядит следующим образом =
𝑁
∑︁
𝑖=1
̂︀
𝐻(𝑖) + ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
=
=
𝑁
∑︁
𝑖=1
⎛
⎜
⎜
⎝
̂︀
p
2
𝑖
2𝑚
−
𝑒
2𝑚𝑐
⏟
⏞
𝜇
𝐵
(̂︀l
𝑖
·
−
→
H ) +
𝑒
2 2𝑚𝑐
2
A
2
𝑖
−
𝑒
𝑚𝑐
⏟ ⏞
2𝜇
𝐵
(︁
̂︀
s
𝑖
·
−
→
H
)︁
+ 𝑈 (r
𝑖
)
⎞
⎟
⎟
⎠
+ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
=
= ̂︁
𝐻
0
+ ̂︀
𝑉
𝑍
+ где ̂︀
𝐻
0
=
∑︀
𝑁
𝑖=1
(︂
̂︀
p
2
𝑖
2𝑚
+ 𝑈 (r
𝑖
)
)︂
+ ̂︀
𝑉
𝑆𝑂
— гамильтониан свободного атома 𝜇
𝐵
(̂︀
L + 2̂︀
S) ·
−
→
H — оператор зеемановского взаимодействия с внешним магнитным полем электронного момента атома с оператором
̂︀
𝜇
ат
:
̂︀
𝑉
𝑍
= ат , , т.е.
̂︀
𝜇
ат
= −𝜇
𝐵
(̂︀
L + 2̂︀
S);
̂︀
𝑉
𝐷
=
𝑒
2 2𝑚𝑐
2
∑︀
𝑁
𝑖=1
A
2
𝑖
=
𝑒
2 8𝑚𝑐
2
∑︀
𝑁
𝑖=1
[
−
→
H × r
𝑖
]
2
— оператор диамагнитного взаимодействия
Пусть = (0, 0, H ), тогда 𝜇
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H
̂︀
𝐻 = ̂︀
𝐻
0
+ 𝜇
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H +
𝑒
2
H
2 8𝑚𝑐
2
𝑁
∑︁
𝑖=1
[n
𝑧
× Квадратичным по членом в (
18.5.3
) можно пренебречь по сравнению с линейным членом, если ≪
(︁
𝑒
𝑎
2
)︁
(︂
𝑐
𝑒
2
)︂
=
E
ат
𝛼
−1
=
H
ат
∼ 10 9
Гс,
где 𝛼 =
𝑒
2
𝑐
≈
1 137
— постоянная тонкой структуры,
H
ат
— характерное внутриатомное магнитное поле. Таким образом = ̂︀
𝐻
0
+ 𝜇
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H =
̂︀
𝐻
0
−
̂︀
𝜇
ат𝑧
·
−
→
H
(18.5.4)
§6.
Эффекты Зеемана и Пашена-Бака
6.1
Слабое поле
Магнитное поле называется слабым, если энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним магнитным полем мала по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней атома:
|𝑉
𝜇
ат
H
| ≪ |𝐸
𝐽
− 𝐸
𝐽 Напомним, что каждый уровень тонкой структуры обладает энергией 𝐸 + которая складывается из энергии терма 𝐸 = 𝐸(𝐿, 𝑆) и сдвига ∆𝐸
𝐽
, обусловленного спин-орбитальным взаимодействием см. §4 этой главы).
В отсутствии магнитного поля каждый уровень тонкой структуры 2𝐽 + 1- кратно вырожден по квантовому числу 𝑀
𝐽
. В магнитном поле уровни тонкой структуры расщепляются (эффект Зеемана).
В качестве волновых функций нулевого приближения необходимо использовать базис {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩}, в котором в §4 решалась задача об интервалах тонкой структуры атома при = 0. В базисе {|𝐽𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩} сохраняются ̂︀
L
2
,
̂︀
S
2
, ноне сохраняются ̂︀
L ив силу их взаимодействия. Зато сохраняется
«вектор» ̂︀
J — единственный сохраняющийся вектор в этом случае
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H
̂︀
𝐻 = ̂︀
𝐻
0
+ 𝜇
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H +
𝑒
2
H
2 8𝑚𝑐
2
𝑁
∑︁
𝑖=1
[n
𝑧
× Квадратичным по членом в (
18.5.3
) можно пренебречь по сравнению с линейным членом, если ≪
(︁
𝑒
𝑎
2
)︁
(︂
𝑐
𝑒
2
)︂
=
E
ат
𝛼
−1
=
H
ат
∼ 10 9
Гс,
где 𝛼 =
𝑒
2
𝑐
≈
1 137
— постоянная тонкой структуры,
H
ат
— характерное внутриатомное магнитное поле. Таким образом = ̂︀
𝐻
0
+ 𝜇
𝐵
( ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
)
H =
̂︀
𝐻
0
−
̂︀
𝜇
ат𝑧
·
−
→
H
(18.5.4)
§6.
Эффекты Зеемана и Пашена-Бака
6.1
Слабое поле
Магнитное поле называется слабым, если энергия взаимодействия магнитного момента атома с внешним магнитным полем мала по сравнению с интервалами тонкой структуры уровней атома:
|𝑉
𝜇
ат
H
| ≪ |𝐸
𝐽
− 𝐸
𝐽 Напомним, что каждый уровень тонкой структуры обладает энергией 𝐸 + которая складывается из энергии терма 𝐸 = 𝐸(𝐿, 𝑆) и сдвига ∆𝐸
𝐽
, обусловленного спин-орбитальным взаимодействием см. §4 этой главы).
В отсутствии магнитного поля каждый уровень тонкой структуры 2𝐽 + 1- кратно вырожден по квантовому числу 𝑀
𝐽
. В магнитном поле уровни тонкой структуры расщепляются (эффект Зеемана).
В качестве волновых функций нулевого приближения необходимо использовать базис {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩}, в котором в §4 решалась задача об интервалах тонкой структуры атома при = 0. В базисе {|𝐽𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩} сохраняются ̂︀
L
2
,
̂︀
S
2
, ноне сохраняются ̂︀
L ив силу их взаимодействия. Зато сохраняется
«вектор» ̂︀
J — единственный сохраняющийся вектор в этом случае
Векторная схема |𝐽 представления показана на рис. 18.1
. Имеет место прецессия векторов L и S вокруг сохраняющегося вектора J = L + причем быстрая по сравнению с прецессией вектора J в магнитном поле ,
т.к. поле — слабое в меру неравенства (
18.6.1
), которое эквивалентно ≪ где Ω — ларморовская частота прецессии J в магнитном поле .
−
→
H Рис. 18.1: К выводу эффекта Зеемана в слабом поле.
Тогда в первом порядке теории возмущений энергия электронов атома равна 𝐸
(0)
+ где 𝜇
𝐵
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
⏟
⏞
̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩
H = 𝜇
𝐵
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 В базисе {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩}
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
|𝐽 где 𝑔 — фактор Ланде. Это утверждение доказывается строго с помощью теоремы Вигнера-Эккарта, мы же этого делать не будем, т.к. достаточно заметить, что это утверждение эквивалентно тому, что+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 Последнее равенство уже вполне объяснимо, т.к. компоненту любого
«вектора» ̂︀
A можно представить через таковую компоненту единственного сохраняющегося в системе вектора ̂︀
J. Из [ ̂︀
𝐽
𝑧
, ̂︀
𝐴
𝑧
] = 0 и следует, что ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 Найдем фактор ̂︀
Jn
𝑧
,
̂︀
𝑆
𝑧
= ̂︀
Sn
𝑧
,
167
. Имеет место прецессия векторов L и S вокруг сохраняющегося вектора J = L + причем быстрая по сравнению с прецессией вектора J в магнитном поле ,
т.к. поле — слабое в меру неравенства (
18.6.1
), которое эквивалентно ≪ где Ω — ларморовская частота прецессии J в магнитном поле .
−
→
H Рис. 18.1: К выводу эффекта Зеемана в слабом поле.
Тогда в первом порядке теории возмущений энергия электронов атома равна 𝐸
(0)
+ где 𝜇
𝐵
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
⏟
⏞
̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩
H = 𝜇
𝐵
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 В базисе {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩}
⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
|𝐽 где 𝑔 — фактор Ланде. Это утверждение доказывается строго с помощью теоремы Вигнера-Эккарта, мы же этого делать не будем, т.к. достаточно заметить, что это утверждение эквивалентно тому, что+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 Последнее равенство уже вполне объяснимо, т.к. компоненту любого
«вектора» ̂︀
A можно представить через таковую компоненту единственного сохраняющегося в системе вектора ̂︀
J. Из [ ̂︀
𝐽
𝑧
, ̂︀
𝐴
𝑧
] = 0 и следует, что ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 Найдем фактор ̂︀
Jn
𝑧
,
̂︀
𝑆
𝑧
= ̂︀
Sn
𝑧
,
167
тогда + ̂︀
S
)︁
n
𝑧
= ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 ̂︀
𝐽
𝑧
= 𝑔 ̂︀
𝐽
𝑧
= те. ̂︀
J + ̂︀
S = 𝑔̂︀
J, что тоже можно понять из векторной схемы сложения с неравенством (
18.6.2
). Отсюда ̂︀
J
2
+ ̂︀
Ĵ︀
S = или для квантовых средних 𝑀
𝐽
𝐿𝑆|̂︀
J
2
+ ̂︀
Ĵ︀
S|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆|̂︀
J
2
|𝐽 В базисе {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩} имеем = 𝐽 (𝐽 + и из ̂︀
J − ̂︀
S = ̂︀
L
⟨̂︀
Ĵ︀
S⟩ =
1 2
[𝐽 (𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)]
𝑔 = 1 +
𝐽 (𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)
2𝐽 (𝐽 + Следовательно 𝜇
𝐵
𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩
H = 𝜇
𝐵
𝑔𝑀
𝐽
H = При заданном 𝐽 : 𝑀
𝐽
= −𝐽, −𝐽 + 1, . . . , 𝐽 , те. принимает 2𝐽 + значение. Иными словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента ̂︀
J (см.
рис. 18.2
).
−
→
H ̸= 0
−
→
H = 0
𝜇
𝐵
𝑔(𝐽 )
H
2𝐽 + Рис. 18.2: Аномальный эффект Зеемана.
Интервалы между расщепленными подуровнями определяются фактором, те. эти интервалы, вообще говоря, различны для уровней тонкой структуры с разными 𝐽 . Чтобы подчеркнуть удивительность этого результата, говорят об аномальном эффекте Зеемана. Если по каким-либо причинам 𝑔(𝐽 ) = 1, так что интервалы между состояниями равны 𝜇
𝐵
H , то эффект Зеемана называют нормальным
S
)︁
n
𝑧
= ̂︀
𝐽
𝑧
+ ̂︀
𝑆
𝑧
= 𝑔 ̂︀
𝐽
𝑧
= 𝑔 ̂︀
𝐽
𝑧
= те. ̂︀
J + ̂︀
S = 𝑔̂︀
J, что тоже можно понять из векторной схемы сложения с неравенством (
18.6.2
). Отсюда ̂︀
J
2
+ ̂︀
Ĵ︀
S = или для квантовых средних 𝑀
𝐽
𝐿𝑆|̂︀
J
2
+ ̂︀
Ĵ︀
S|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩ = 𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆|̂︀
J
2
|𝐽 В базисе {|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩} имеем = 𝐽 (𝐽 + и из ̂︀
J − ̂︀
S = ̂︀
L
⟨̂︀
Ĵ︀
S⟩ =
1 2
[𝐽 (𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)]
𝑔 = 1 +
𝐽 (𝐽 + 1) + 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)
2𝐽 (𝐽 + Следовательно 𝜇
𝐵
𝑔⟨𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆| ̂︀
𝐽
𝑧
|𝐽 𝑀
𝐽
𝐿𝑆⟩
H = 𝜇
𝐵
𝑔𝑀
𝐽
H = При заданном 𝐽 : 𝑀
𝐽
= −𝐽, −𝐽 + 1, . . . , 𝐽 , те. принимает 2𝐽 + значение. Иными словами, магнитное поле полностью снимает вырождение уровней по направлениям момента ̂︀
J (см.
рис. 18.2
).
−
→
H ̸= 0
−
→
H = 0
𝜇
𝐵
𝑔(𝐽 )
H
2𝐽 + Рис. 18.2: Аномальный эффект Зеемана.
Интервалы между расщепленными подуровнями определяются фактором, те. эти интервалы, вообще говоря, различны для уровней тонкой структуры с разными 𝐽 . Чтобы подчеркнуть удивительность этого результата, говорят об аномальном эффекте Зеемана. Если по каким-либо причинам 𝑔(𝐽 ) = 1, так что интервалы между состояниями равны 𝜇
𝐵
H , то эффект Зеемана называют нормальным
Эффект Зеемана был обнаружен при сравнении спектров излучения атомов в свободном состоянии и при наличии поля . Если энергия электронов в атоме до излучения равна 𝐸
1
= 𝐸
(0)
1
+𝜇
𝐵
𝑔
1
𝑀
𝐽
1
H , а после излучения равна 𝐸
(0)
2
+ 𝜇
𝐵
𝑔
2
𝑀
𝐽
2
H , то спектр излучаемых частот дается соотношением = 𝐸
1
− 𝐸
2
= (𝐸
(0)
1
− 𝐸
(0)
2
) + 𝜇
𝐵
H (𝑔
1
𝑀
𝐽
1
− Спектр становится сложным (в формулу (
18.6.5
) входят также разные факторы Ланде). Среди частот оптических переходов в атоме, даваемых соотношением (
18.6.5
), экспериментально наблюдаются лишь частоты квантовых переходов, разрешенных правилами отбора (см. [4] §20.3):
∆𝐿 = 0, ±1;
∆𝑆 = 0;
∆𝐽 = 0, ±1;
∆𝑀
𝐽
= 0, ±1 Сильное поле
Рассмотрим теперь случай сильного поля, когда 𝐸
𝐽 −1
| ≪ ат ≪ Тогда при увеличении магнитного поля имеет место переход сложного эффекта Зеемана в простой (нормальный) эффект Зеемана или эффект
Пашена-Бака (1912 г.).
В этом случае спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь,
тогда уже сохраняются векторы ̂︀
L и ̂︀
S, а стало быть, сохраняются и их проекции и на направление поля (ось 𝑧). Задачу надо решать в базисе {|𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
⟩}. С учетом (
18.5.4
) имеем 𝜇
𝐵
⟨𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
|̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
⟩
H
∆𝐸
(1)
H
= 𝜇
𝐵
H (𝑀
𝐿
+ где 𝑀
𝐿
= −𝐿, −𝐿 + 1, . . . , 𝐿; 𝑀
𝑆
= −𝑆, −𝑆 + 1, . . . , Таким образом, согласно (
18.6.6
) в общем случае вырождение атомных уровней энергии с кратностью (2𝐿 + 1)(2𝑆 + 1) снимается сильным магнитным полем лишь частично остается комбинаторика перестановок значений проекций орбитального момента и полного спина при заданном значении. Невырожденными являются низшее и высшее состояния. Спектр наблюдаемых частот = 𝐸
1
− 𝐸
2
= (𝐸
(0)
1
− 𝐸
(0)
2
) + 𝜇
𝐵
H (∆𝑀
𝐿
+ ограничен правилами отбора (см. [4] §20.3):
∆𝐿 = 0, ±1;
∆𝑆 = 0;
∆𝑀
𝐿
= 0, ±1;
∆𝑀
𝑆
= 0 169
1
= 𝐸
(0)
1
+𝜇
𝐵
𝑔
1
𝑀
𝐽
1
H , а после излучения равна 𝐸
(0)
2
+ 𝜇
𝐵
𝑔
2
𝑀
𝐽
2
H , то спектр излучаемых частот дается соотношением = 𝐸
1
− 𝐸
2
= (𝐸
(0)
1
− 𝐸
(0)
2
) + 𝜇
𝐵
H (𝑔
1
𝑀
𝐽
1
− Спектр становится сложным (в формулу (
18.6.5
) входят также разные факторы Ланде). Среди частот оптических переходов в атоме, даваемых соотношением (
18.6.5
), экспериментально наблюдаются лишь частоты квантовых переходов, разрешенных правилами отбора (см. [4] §20.3):
∆𝐿 = 0, ±1;
∆𝑆 = 0;
∆𝐽 = 0, ±1;
∆𝑀
𝐽
= 0, ±1 Сильное поле
Рассмотрим теперь случай сильного поля, когда 𝐸
𝐽 −1
| ≪ ат ≪ Тогда при увеличении магнитного поля имеет место переход сложного эффекта Зеемана в простой (нормальный) эффект Зеемана или эффект
Пашена-Бака (1912 г.).
В этом случае спин-орбитальным взаимодействием можно пренебречь,
тогда уже сохраняются векторы ̂︀
L и ̂︀
S, а стало быть, сохраняются и их проекции и на направление поля (ось 𝑧). Задачу надо решать в базисе {|𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
⟩}. С учетом (
18.5.4
) имеем 𝜇
𝐵
⟨𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
|̂︀
𝐿
𝑧
+ 2 ̂︀
𝑆
𝑧
|𝐿𝑀
𝐿
𝑆𝑀
𝑆
⟩
H
∆𝐸
(1)
H
= 𝜇
𝐵
H (𝑀
𝐿
+ где 𝑀
𝐿
= −𝐿, −𝐿 + 1, . . . , 𝐿; 𝑀
𝑆
= −𝑆, −𝑆 + 1, . . . , Таким образом, согласно (
18.6.6
) в общем случае вырождение атомных уровней энергии с кратностью (2𝐿 + 1)(2𝑆 + 1) снимается сильным магнитным полем лишь частично остается комбинаторика перестановок значений проекций орбитального момента и полного спина при заданном значении. Невырожденными являются низшее и высшее состояния. Спектр наблюдаемых частот = 𝐸
1
− 𝐸
2
= (𝐸
(0)
1
− 𝐸
(0)
2
) + 𝜇
𝐵
H (∆𝑀
𝐿
+ ограничен правилами отбора (см. [4] §20.3):
∆𝐿 = 0, ±1;
∆𝑆 = 0;
∆𝑀
𝐿
= 0, ±1;
∆𝑀
𝑆
= 0 169
Глава Теория рассеяния
§1.
Постановка задачи рассеяния. Упругое рассеяние Сформулируем задачу рассеяния. Пусть имеется поток падающих (свободных) нерелятивистских частиц, каждая из которых обладает импульсом p = k (см.
рис. 19.1
).
𝑧
p падающая плоская волна радиус действия потенциала рассеивающий центр рассеянная волна
𝑎
𝜙
𝜃
Рис. 19.1: Постановка задачи рассеяния.
Выберем начало координат в той области, где отличен от нуля рассеивающий потенциал. Предположим, что эта область ограничена радиусом так что (r) ≡ 0, если 𝑟 > Подчеркнем, что внутри сферы радиуса 𝑎 потенциал 𝑈 (r) имеет произвольную форму. Требуется найти зависимость потока рассеянных частиц от направления рассеяния
§1.
Постановка задачи рассеяния. Упругое рассеяние Сформулируем задачу рассеяния. Пусть имеется поток падающих (свободных) нерелятивистских частиц, каждая из которых обладает импульсом p = k (см.
рис. 19.1
).
𝑧
p падающая плоская волна радиус действия потенциала рассеивающий центр рассеянная волна
𝑎
𝜙
𝜃
Рис. 19.1: Постановка задачи рассеяния.
Выберем начало координат в той области, где отличен от нуля рассеивающий потенциал. Предположим, что эта область ограничена радиусом так что (r) ≡ 0, если 𝑟 > Подчеркнем, что внутри сферы радиуса 𝑎 потенциал 𝑈 (r) имеет произвольную форму. Требуется найти зависимость потока рассеянных частиц от направления рассеяния
Формально задача описывается уравнением Шрёдингера
̂︀
𝐻𝜓(r) = с гамильтонианом ̂︀
𝐻 =
̂︀
p
2 2𝑚
+ 𝑈 (r). В случае, когда 𝐸 < 0, речь идет о поиске связанных состояний. Напомним, что волновая функция частицы,
находящейся в связанном состоянии, удовлетворяет граничному условию) → 0 при 𝑟 → В случае задачи рассеяния энергия фиксирована (задана) и положительна те. волновая функция 𝜓(r), описывающая процесс рассеяния частицы на потенциале, принадлежит непрерывному спектру гамильтониана (Для состояний непрерывного спектра 𝜓(r) необходимо конкретизировать граничные условия на бесконечности (асимптотику).
Будем считать рассеяние упругим, т.к. энергия дои после рассеяния одна и та же 2𝑚
=
𝑝
′2 2𝑚
, но вектор импульса p поворачивается на угол 𝜃
(см.
рис. 19.1
), те ̸= p
′
,
|p| = |p
′
| = На больших расстояниях, где потенциалом 𝑈 (r) можно пренебречь, волновая функция частицы представляет собой суперпозицию падающей плоской волны и рассеянной волны. Рассеянная волна на бесконечности является расходящейся сферической волной, т.к. любая ограниченная область по отношению к бесконечности может быть принята заточку. Следовательно, в асимптотике 𝑟 → ∞ волновая функция частицы в задаче рассеяния должна иметь вид 𝑒
𝑖kr
+ 𝑓 (𝜃, Углы 𝜃 и 𝜙 — это полярный и азимутальный углы, которыми определяется направление радиус-вектора r (см.
рис. 19.1
). Функцию 𝑓 (𝜃, 𝜙) называют амплитудой рассеяния. Для произвольного потенциала 𝑈 (r) амплитуда зависит от 𝜃 и 𝜙, но если 𝑈 (r) — центрально-симметричное поле, то амплитуда от 𝜙 не зависит. Задача рассеяния с аксиальной симметрией имеет асимптотику (Волновые функции, имеющие асимптотический вид (
19.1.2
), мы будем называть волновыми функциями рассеяния, а задачу их отыскания — прямой задачей рассеяния
̂︀
𝐻𝜓(r) = с гамильтонианом ̂︀
𝐻 =
̂︀
p
2 2𝑚
+ 𝑈 (r). В случае, когда 𝐸 < 0, речь идет о поиске связанных состояний. Напомним, что волновая функция частицы,
находящейся в связанном состоянии, удовлетворяет граничному условию) → 0 при 𝑟 → В случае задачи рассеяния энергия фиксирована (задана) и положительна те. волновая функция 𝜓(r), описывающая процесс рассеяния частицы на потенциале, принадлежит непрерывному спектру гамильтониана (Для состояний непрерывного спектра 𝜓(r) необходимо конкретизировать граничные условия на бесконечности (асимптотику).
Будем считать рассеяние упругим, т.к. энергия дои после рассеяния одна и та же 2𝑚
=
𝑝
′2 2𝑚
, но вектор импульса p поворачивается на угол 𝜃
(см.
рис. 19.1
), те ̸= p
′
,
|p| = |p
′
| = На больших расстояниях, где потенциалом 𝑈 (r) можно пренебречь, волновая функция частицы представляет собой суперпозицию падающей плоской волны и рассеянной волны. Рассеянная волна на бесконечности является расходящейся сферической волной, т.к. любая ограниченная область по отношению к бесконечности может быть принята заточку. Следовательно, в асимптотике 𝑟 → ∞ волновая функция частицы в задаче рассеяния должна иметь вид 𝑒
𝑖kr
+ 𝑓 (𝜃, Углы 𝜃 и 𝜙 — это полярный и азимутальный углы, которыми определяется направление радиус-вектора r (см.
рис. 19.1
). Функцию 𝑓 (𝜃, 𝜙) называют амплитудой рассеяния. Для произвольного потенциала 𝑈 (r) амплитуда зависит от 𝜃 и 𝜙, но если 𝑈 (r) — центрально-симметричное поле, то амплитуда от 𝜙 не зависит. Задача рассеяния с аксиальной симметрией имеет асимптотику (Волновые функции, имеющие асимптотический вид (
19.1.2
), мы будем называть волновыми функциями рассеяния, а задачу их отыскания — прямой задачей рассеяния
Амплитуда и сечение рассеяния
Амплитуда 𝑓 (𝜃, 𝜙) не является непосредственно измеряемой величиной.
В экспериментах принято изменять сечение рассеяния. Регистрация рассеянных частиц под углами 𝜃 и 𝜙 осуществляется детектором, охватывающим телесный угол 𝑑Ω (см.
рис. 19.1
). Скорость счета детектора это число частиц, попадающих в детектор в единицу времени.
Определение 1. Плотность потока падающих частиц j пад
— число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к пучку.
Определение 2. Отношение скорости счета детектора к плотности потока падающих частиц называется эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния =
1
𝑗
пад
𝑑𝑁
𝑑𝑡
,
(19.2.1)
где [𝑑𝜎] =
[︂
1
сек
:
1
сек · см [см
2
].
С другой стороны, скорость счета детектора дается выражением 𝑗
рас
𝑟
2
𝑑Ω,
где рас плотность потока рассеянных частиц. Тогда сечение рассеяния) можно записать в виде =
𝑗
рас
𝑗
пад
𝑟
2
𝑑Ω
(19.2.2)
Определение (
19.2.2
) применимо не только в классической, но ив квантовой механике. Действительно, классическая плотность потока частиц в пучке пропорциональна плотности потока вероятности одной частицы в квантовой механике =
−𝑖
2𝑚
(𝜓
*
∇𝜓 − см. §1 главы Для падающей волны с единичной амплитудой плотность потока вероятности 𝑗
пад
= 𝑣 (см. §1 главы V) направлена по оси 𝑧, а в расходящейся сферической волне с плотностью вероятности рас (плотность потока вероятности рас рас = 𝑣
|𝑓 (направлена по радиусу. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния равно |𝑓 (𝜃)|
2
(19.2.3)
172
Амплитуда 𝑓 (𝜃, 𝜙) не является непосредственно измеряемой величиной.
В экспериментах принято изменять сечение рассеяния. Регистрация рассеянных частиц под углами 𝜃 и 𝜙 осуществляется детектором, охватывающим телесный угол 𝑑Ω (см.
рис. 19.1
). Скорость счета детектора это число частиц, попадающих в детектор в единицу времени.
Определение 1. Плотность потока падающих частиц j пад
— число частиц, проходящих в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к пучку.
Определение 2. Отношение скорости счета детектора к плотности потока падающих частиц называется эффективным сечением (или просто сечением) рассеяния =
1
𝑗
пад
𝑑𝑁
𝑑𝑡
,
(19.2.1)
где [𝑑𝜎] =
[︂
1
сек
:
1
сек · см [см
2
].
С другой стороны, скорость счета детектора дается выражением 𝑗
рас
𝑟
2
𝑑Ω,
где рас плотность потока рассеянных частиц. Тогда сечение рассеяния) можно записать в виде =
𝑗
рас
𝑗
пад
𝑟
2
𝑑Ω
(19.2.2)
Определение (
19.2.2
) применимо не только в классической, но ив квантовой механике. Действительно, классическая плотность потока частиц в пучке пропорциональна плотности потока вероятности одной частицы в квантовой механике =
−𝑖
2𝑚
(𝜓
*
∇𝜓 − см. §1 главы Для падающей волны с единичной амплитудой плотность потока вероятности 𝑗
пад
= 𝑣 (см. §1 главы V) направлена по оси 𝑧, а в расходящейся сферической волне с плотностью вероятности рас (плотность потока вероятности рас рас = 𝑣
|𝑓 (направлена по радиусу. Поэтому дифференциальное сечение рассеяния равно |𝑓 (𝜃)|
2
(19.2.3)
172
Таким образом, решение задачи упругого рассеяния сводится в нахождению амплитуды рассеяния 𝑓 (Функция Грина задачи рассеяния. Интегральное уравнение задачи рассеяния
Дифференциальное уравнение Шрёдингера для задачи рассеяния выглядит следующим образом 2𝑚
∆ + 𝑈 (r)
)︂
𝜓(r) =
2
𝑘
2 2𝑚
𝜓(r)
Домножение обеих частей уравнения на
2𝑚
2
и перегруппировка слагаемых дает + 𝑘
2
)𝜓(r) =
2𝑚
2
𝑈 (Ищем решение этого уравнение в виде суммы общего решения однородного уравнения + 𝑘
2
)𝜓
0
(r) = и частного решения неоднородного уравнения + 𝑘
2
)𝜓
1
(r) =
2𝑚
2
𝑈 (те. 𝜓(r) = 𝜓
0
(r) + Для нахождения частного решения воспользуемся функцией Грина 𝐺(r−
r
′
), которая по определению представляет собой решение следующего уравнения где характеризует точку источника, а r — точку наблюдения. Легко видеть, что) =
∫︁
𝐺(r − r
′
)
2𝑚𝑈 (В самом деле, действуя оператором (∆
r
+ 𝑘
2
) на обе части последнего соотношения, получаем+ 𝑘
2
)𝜓
1
(r) =
∫︁
𝛿(r − r
′
)
2𝑚𝑈 (r
′
)
2
𝜓(r
′
)𝑑r
′
=
2𝑚𝑈 (Найдем явное выражение для функции Грина. В теории поля уже находили функцию Грина волнового уравнения (
19.3.1
) с правой частью −4𝜋𝛿(r−
r
′
). Поэтому функцией Грина, удовлетворяющей асимптотике (
19.1.2
), будет − r
′
) = −
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
4𝜋 |r − r
′
|
173
Дифференциальное уравнение Шрёдингера для задачи рассеяния выглядит следующим образом 2𝑚
∆ + 𝑈 (r)
)︂
𝜓(r) =
2
𝑘
2 2𝑚
𝜓(r)
Домножение обеих частей уравнения на
2𝑚
2
и перегруппировка слагаемых дает + 𝑘
2
)𝜓(r) =
2𝑚
2
𝑈 (Ищем решение этого уравнение в виде суммы общего решения однородного уравнения + 𝑘
2
)𝜓
0
(r) = и частного решения неоднородного уравнения + 𝑘
2
)𝜓
1
(r) =
2𝑚
2
𝑈 (те. 𝜓(r) = 𝜓
0
(r) + Для нахождения частного решения воспользуемся функцией Грина 𝐺(r−
r
′
), которая по определению представляет собой решение следующего уравнения где характеризует точку источника, а r — точку наблюдения. Легко видеть, что) =
∫︁
𝐺(r − r
′
)
2𝑚𝑈 (В самом деле, действуя оператором (∆
r
+ 𝑘
2
) на обе части последнего соотношения, получаем+ 𝑘
2
)𝜓
1
(r) =
∫︁
𝛿(r − r
′
)
2𝑚𝑈 (r
′
)
2
𝜓(r
′
)𝑑r
′
=
2𝑚𝑈 (Найдем явное выражение для функции Грина. В теории поля уже находили функцию Грина волнового уравнения (
19.3.1
) с правой частью −4𝜋𝛿(r−
r
′
). Поэтому функцией Грина, удовлетворяющей асимптотике (
19.1.2
), будет − r
′
) = −
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
4𝜋 |r − r
′
|
173
Общее решение уравнение Шрёдингера принимает вид) = 𝜓
0
(r) −
1 4𝜋
2𝑚
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (Это решение является формальным. В самом деле, под знаком интеграла в правой части стоит та же неизвестная функция 𝜓(r), что ив левой части.
Поэтому правильнее было бы сказать, что мы выполнили переход от дифференциального уравнения Шрёдингера к эквивалентному интегральному уравнению.
Заметим, что подынтегральное выражение в правой части отлично от нуля только в области, где 𝑟
′
< 𝑎. Следовательно 𝑎 ≪ 𝑟 прите. при переходе к асимптотике 𝑟 → ∞ возникает малый параметр Разложение поэтому малому параметру дает − r
′
| ≈ 𝑟 − r
′
· n, где n =
r
𝑟
(см.
рис. и − Итак, волновая функция 𝜓(r) в асимптотике принимает вид 𝜓
0
(r) −
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖𝑘nr
′
𝑈 (Ранее мы предположили, что волновая функция должна иметь следующую асимптотику 𝑒
𝑖kr
+ 𝑓 (𝜃, Легко видеть, что, взяв в качестве решения 𝜓
0
(r) однородного уравнения плоскую волну) = мы получаем точно то, что и ожидали. При этом амплитуда рассеяния определяется следующей формулой (𝜃, 𝜙) = −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖𝑘nr
′
𝑈 (Таким образом, мы осуществили переход от исходного дифференциального уравнение Шрёдингера к интегральному уравнению) = 𝑒
𝑖kr
−
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (r
′
)𝜓(r
′
)𝑑r
′
(19.3.2)
174
0
(r) −
1 4𝜋
2𝑚
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (Это решение является формальным. В самом деле, под знаком интеграла в правой части стоит та же неизвестная функция 𝜓(r), что ив левой части.
Поэтому правильнее было бы сказать, что мы выполнили переход от дифференциального уравнения Шрёдингера к эквивалентному интегральному уравнению.
Заметим, что подынтегральное выражение в правой части отлично от нуля только в области, где 𝑟
′
< 𝑎. Следовательно 𝑎 ≪ 𝑟 прите. при переходе к асимптотике 𝑟 → ∞ возникает малый параметр Разложение поэтому малому параметру дает − r
′
| ≈ 𝑟 − r
′
· n, где n =
r
𝑟
(см.
рис. и − Итак, волновая функция 𝜓(r) в асимптотике принимает вид 𝜓
0
(r) −
𝑒
𝑖𝑘𝑟
𝑟
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖𝑘nr
′
𝑈 (Ранее мы предположили, что волновая функция должна иметь следующую асимптотику 𝑒
𝑖kr
+ 𝑓 (𝜃, Легко видеть, что, взяв в качестве решения 𝜓
0
(r) однородного уравнения плоскую волну) = мы получаем точно то, что и ожидали. При этом амплитуда рассеяния определяется следующей формулой (𝜃, 𝜙) = −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖𝑘nr
′
𝑈 (Таким образом, мы осуществили переход от исходного дифференциального уравнение Шрёдингера к интегральному уравнению) = 𝑒
𝑖kr
−
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (r
′
)𝜓(r
′
)𝑑r
′
(19.3.2)
174
В асимптотике 𝑟 → ∞ решение этого уравнения имеет требуемый вид.
Уравнение (
19.3.2
) называют интегральным уравнением задачи рассеяния.
§4.
Приближение Борна. Критерии применимости борновского приближения
Если потенциал 𝑈 (r) является малым возмущением, то можно искать волновую функцию как разложение вряд по степеням малого параметра 𝑈 :
𝜓 = 𝜓
(0)
+ 𝜓
(1)
+ · · · + 𝜓
(𝑛)
+ . . При использовании 𝑛 членов разложения помимо говорят об ом борновском приближении, а приговорят о первом борновском приближении (или просто борновском приближении. Из (
19.3.2
) следует, что 𝑒
𝑖kr и) = −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (Тогда для амплитуды рассеяния в борновском приближении получаем (𝜃, 𝜙) ≈ −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖(k
′
−k)r
′
𝑈 (Рис. Здесь k
′
= 𝑘n — волновой вектор рассеянной частицы. Вводя вектор q = k
′
− k (см.
рис. 19.2
) — вектор переданного частице рассеивающим центром импульса (в единицах ), запишем последнее равенство в виде (𝜃, 𝜙) ≈ −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖qr
′
𝑈 (где 𝑞 = 2𝑘 sin
𝜃
2
. Если 𝑈 — сферически симметричная функция, 𝑈 (r
′
) =
𝑈 (𝑟
′
), то из (
19.4.3
), проводя интегрирование по углам, окончательно получим Выясним теперь условия, при которых формула (
19.4.4
) применима. Критерий применимости борновского приближения выглядит как Вычисляя в (
19.4.2
) функцию 𝜓
(1)
(r) в наиболее опасной точке 𝑟 = 0 в смысле нарушения неравенства (
19.4.5
), получаем (r
′
)𝑒
𝑖kr
′
𝑑r
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ или для сферически симметричного потенциала 𝑈 (𝑟
′
)
𝑚
2
𝑘
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁
𝑎
0
(1 − 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
′
)𝑈 (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ Далее возможны два случая. Медленные частицы, для которых 𝑘𝑎 ≪ 1. В (
19.4.6
) 1 − 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
′
≈ и критерий применимости имеет вид (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⏟
⏞
∼𝑎
2
𝑈
0
∼
𝑚𝑈
0
𝑎
2
2
≪ 1 или где 𝑈
0
— характерный масштаб потенциальной энергии. Быстрые частицы, для которых 𝑘𝑎 ≫ 1. В этом случае под знаком интеграла (
19.4.6
) присутствует быстро осциллирующая экспонента,
которая зануляет часть интеграла, и критерий применимости обретает форму записи (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⏟
⏞
∼𝑎𝑈
0
∼
𝑚𝑈
0
𝑎
2
𝑘
=
𝑚𝑈
0
𝑎
2
2
(𝑘𝑎)
≪ 1 или 𝑈
0
≪
2
𝑚𝑎
2
𝑘𝑎
Т.к. 𝑘𝑎 ≫ 1, то это условие оказывается более слабым ограничением на величину взаимодействия 𝑈
0
, чем условие для медленных частиц
Уравнение (
19.3.2
) называют интегральным уравнением задачи рассеяния.
§4.
Приближение Борна. Критерии применимости борновского приближения
Если потенциал 𝑈 (r) является малым возмущением, то можно искать волновую функцию как разложение вряд по степеням малого параметра 𝑈 :
𝜓 = 𝜓
(0)
+ 𝜓
(1)
+ · · · + 𝜓
(𝑛)
+ . . При использовании 𝑛 членов разложения помимо говорят об ом борновском приближении, а приговорят о первом борновском приближении (или просто борновском приближении. Из (
19.3.2
) следует, что 𝑒
𝑖kr и) = −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
𝑖𝑘
|
r−r
′
|
|r − r
′
|
𝑈 (Тогда для амплитуды рассеяния в борновском приближении получаем (𝜃, 𝜙) ≈ −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖(k
′
−k)r
′
𝑈 (Рис. Здесь k
′
= 𝑘n — волновой вектор рассеянной частицы. Вводя вектор q = k
′
− k (см.
рис. 19.2
) — вектор переданного частице рассеивающим центром импульса (в единицах ), запишем последнее равенство в виде (𝜃, 𝜙) ≈ −
𝑚
2𝜋
2
∫︁
𝑒
−𝑖qr
′
𝑈 (где 𝑞 = 2𝑘 sin
𝜃
2
. Если 𝑈 — сферически симметричная функция, 𝑈 (r
′
) =
𝑈 (𝑟
′
), то из (
19.4.3
), проводя интегрирование по углам, окончательно получим Выясним теперь условия, при которых формула (
19.4.4
) применима. Критерий применимости борновского приближения выглядит как Вычисляя в (
19.4.2
) функцию 𝜓
(1)
(r) в наиболее опасной точке 𝑟 = 0 в смысле нарушения неравенства (
19.4.5
), получаем (r
′
)𝑒
𝑖kr
′
𝑑r
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ или для сферически симметричного потенциала 𝑈 (𝑟
′
)
𝑚
2
𝑘
⃒
⃒
⃒
⃒
∫︁
𝑎
0
(1 − 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
′
)𝑈 (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ Далее возможны два случая. Медленные частицы, для которых 𝑘𝑎 ≪ 1. В (
19.4.6
) 1 − 𝑒
2𝑖𝑘𝑟
′
≈ и критерий применимости имеет вид (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⏟
⏞
∼𝑎
2
𝑈
0
∼
𝑚𝑈
0
𝑎
2
2
≪ 1 или где 𝑈
0
— характерный масштаб потенциальной энергии. Быстрые частицы, для которых 𝑘𝑎 ≫ 1. В этом случае под знаком интеграла (
19.4.6
) присутствует быстро осциллирующая экспонента,
которая зануляет часть интеграла, и критерий применимости обретает форму записи (𝑟
′
)𝑑𝑟
′
⃒
⃒
⃒
⃒
⏟
⏞
∼𝑎𝑈
0
∼
𝑚𝑈
0
𝑎
2
𝑘
=
𝑚𝑈
0
𝑎
2
2
(𝑘𝑎)
≪ 1 или 𝑈
0
≪
2
𝑚𝑎
2
𝑘𝑎
Т.к. 𝑘𝑎 ≫ 1, то это условие оказывается более слабым ограничением на величину взаимодействия 𝑈
0
, чем условие для медленных частиц
Приложение Задания первого семестра
Задание 1
Упражнения
У1.1.1 Найти операторы эрмитово сопряжённые и обратные по отношению к операторам (а) инверсии ̂︀
𝐼 и (б) трансляции У Доказать, что операторы координаты, импульса и энергии эрмитовы.
У1.1.3 Доказать, что оператор ̂︀
𝐴
†
̂︀
𝐴 является эрмитовым (при любом ̂︀
𝐴) и ̂︀
𝐴
†
̂︀
𝐴|𝜓⟩ ≥ 0 (при любом У Найти собственные значения и собственные функции оператора инверсии У Найти собственные значения и собственные функции оператора трансляции У Убедитесь в справедливости следующих соотношений ̂︀
𝐴 ̂︀
𝐵, ̂︀
𝐶] = ̂︀
𝐴[ ̂︀
𝐵, ̂︀
𝐶] + [ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐶] ̂︀
𝐵
[ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵 ̂︀
𝐶] = ̂︀
𝐵[ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐶] + [ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵] У Раскройте следующие коммутаторы ,
[𝑈 (У Найти явный вид оператора 𝑒
𝑖𝜙 ̂︀
𝐼
177
Задание 1
Упражнения
У1.1.1 Найти операторы эрмитово сопряжённые и обратные по отношению к операторам (а) инверсии ̂︀
𝐼 и (б) трансляции У Доказать, что операторы координаты, импульса и энергии эрмитовы.
У1.1.3 Доказать, что оператор ̂︀
𝐴
†
̂︀
𝐴 является эрмитовым (при любом ̂︀
𝐴) и ̂︀
𝐴
†
̂︀
𝐴|𝜓⟩ ≥ 0 (при любом У Найти собственные значения и собственные функции оператора инверсии У Найти собственные значения и собственные функции оператора трансляции У Убедитесь в справедливости следующих соотношений ̂︀
𝐴 ̂︀
𝐵, ̂︀
𝐶] = ̂︀
𝐴[ ̂︀
𝐵, ̂︀
𝐶] + [ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐶] ̂︀
𝐵
[ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵 ̂︀
𝐶] = ̂︀
𝐵[ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐶] + [ ̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵] У Раскройте следующие коммутаторы ,
[𝑈 (У Найти явный вид оператора 𝑒
𝑖𝜙 ̂︀
𝐼
177
У Получить разложение ̂︀
𝐴
̂︀
𝐵𝑒
−𝜉 ̂︀
𝐴
= ̂︀
𝐵 + 𝜉
[︁
̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵
]︁
+
1 2!
𝜉
2
(︁
̂︀
𝐴,
(︁
̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵
)︁)︁
+ . . У Упростить выражение (где a – постоянный вектор.
Задачи
З1.1.1 Частица массы 𝑚 движется в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками (𝑥) =
{︃
0,
0 < 𝑥 < 𝑎
+∞,
𝑥 < 0, 𝑥 > Найти уровни энергии и волновые функции 𝜓
𝑛
(𝑥) стационарных состояний. Вычислить средние значения ⟨𝑥⟩, ⟨𝑝⟩, ⟨(∆𝑥)
2
⟩ и для го стационарного состояния. Обсудить величину в связи с соотношением неопределённостей.
Нарисуйте траектории движения классической частицы в фазовом пространстве, отвечающие энергиям 𝐸
𝑛
. Исследуйте, как меняется площадь в фазовом пространстве, охватываемая каждой такой траекторией при переходе из одного стационарного состояния к другому
(соответствующее приращение площади называют фазовым объектом, приходящимся на одно квантовое состояние»).
З1.1.2 Задание 2
Упражнения
У1.2.1 Как выглядят в импульсном представлении операторы координаты и импульса?
У1.2.2 Воспользовавшись операторами понижения и повышения и, найти средние значения операторов
̂︀
𝑥
2
,
̂︀
𝑥
4
и
̂︀
𝑥
2𝑘+1
, а также
̂︀
𝑝
2
,
̂︀
𝑝
4
и
̂︀
𝑝
2𝑘+1
в
𝑛-м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.
Обсудить величину ⟨𝑥
2
⟩⟨𝑝
2
⟩ в связи с соотношением неопределённо- стей.
У1.2.3 Найти явный вид операторов понижения и повышения) и) для линейного гармонического осциллятора в представлении Гайзерберга.
178
𝐴
̂︀
𝐵𝑒
−𝜉 ̂︀
𝐴
= ̂︀
𝐵 + 𝜉
[︁
̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵
]︁
+
1 2!
𝜉
2
(︁
̂︀
𝐴,
(︁
̂︀
𝐴, ̂︀
𝐵
)︁)︁
+ . . У Упростить выражение (где a – постоянный вектор.
Задачи
З1.1.1 Частица массы 𝑚 движется в одномерном потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками (𝑥) =
{︃
0,
0 < 𝑥 < 𝑎
+∞,
𝑥 < 0, 𝑥 > Найти уровни энергии и волновые функции 𝜓
𝑛
(𝑥) стационарных состояний. Вычислить средние значения ⟨𝑥⟩, ⟨𝑝⟩, ⟨(∆𝑥)
2
⟩ и для го стационарного состояния. Обсудить величину в связи с соотношением неопределённостей.
Нарисуйте траектории движения классической частицы в фазовом пространстве, отвечающие энергиям 𝐸
𝑛
. Исследуйте, как меняется площадь в фазовом пространстве, охватываемая каждой такой траекторией при переходе из одного стационарного состояния к другому
(соответствующее приращение площади называют фазовым объектом, приходящимся на одно квантовое состояние»).
З1.1.2 Задание 2
Упражнения
У1.2.1 Как выглядят в импульсном представлении операторы координаты и импульса?
У1.2.2 Воспользовавшись операторами понижения и повышения и, найти средние значения операторов
̂︀
𝑥
2
,
̂︀
𝑥
4
и
̂︀
𝑥
2𝑘+1
, а также
̂︀
𝑝
2
,
̂︀
𝑝
4
и
̂︀
𝑝
2𝑘+1
в
𝑛-м стационарном состоянии линейного гармонического осциллятора.
Обсудить величину ⟨𝑥
2
⟩⟨𝑝
2
⟩ в связи с соотношением неопределённо- стей.
У1.2.3 Найти явный вид операторов понижения и повышения) и) для линейного гармонического осциллятора в представлении Гайзерберга.
178
У Доказать эрмитовость оператора орбитального момента.
У1.2.5 Раскройте следующие коммутаторы, 𝑥
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
,
̂︀
𝑝
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, ̂︀
𝑙
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
,
̂︀
p
2
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, (r
̂︀
p)
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, 𝑈 (𝑟)
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑧
, 𝑈 (𝜌)
]︁
(𝜌 =
√︀
𝑥
2
+ 𝑦
2
),
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, У Воспользовавшись явным видом матриц Паули, доказать справедливость следующих соотношений 𝛿
𝑘𝑙
+ 𝑖𝑒
𝑘𝑙𝑚
𝜎
𝑚
(𝜎A)(𝜎B) = (AB) + 𝑖(𝜎 [A × где A и B – произвольные векторы.
У1.2.7 Найти явный вид оператора 𝑒
𝑖𝛼(𝜎n)
Задачи
З1.2.1 ...
179
У1.2.5 Раскройте следующие коммутаторы, 𝑥
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
,
̂︀
𝑝
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, ̂︀
𝑙
𝑗
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
,
̂︀
p
2
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, (r
̂︀
p)
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, 𝑈 (𝑟)
]︁
,
[︁
̂︀
𝑙
𝑧
, 𝑈 (𝜌)
]︁
(𝜌 =
√︀
𝑥
2
+ 𝑦
2
),
[︁
̂︀
𝑙
𝑖
, У Воспользовавшись явным видом матриц Паули, доказать справедливость следующих соотношений 𝛿
𝑘𝑙
+ 𝑖𝑒
𝑘𝑙𝑚
𝜎
𝑚
(𝜎A)(𝜎B) = (AB) + 𝑖(𝜎 [A × где A и B – произвольные векторы.
У1.2.7 Найти явный вид оператора 𝑒
𝑖𝛼(𝜎n)
Задачи
З1.2.1 ...
179
Приложение Задания второго семестра
Задание 1
Упражнения
У2.1.1 ...
Задачи
З2.1.1 ...
180
Задание 1
Упражнения
У2.1.1 ...
Задачи
З2.1.1 ...
180
Литература. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М Физматлит, 2001.
2. Мессиа А. Квантовая механика. — М Наука, 1978.
3. Давыдов АС. Квантовая механика. — М Наука, 1973.
4. Белоусов Ю.М. Курс квантовой механики. — М МФТИ, 2006.
5. Шифф Л. Квантовая механика. — МИЛ. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. — М Наука, 1976.
7. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М Наука, 1976.
8. Киселёв В.В. Квантовая механика. Курс лекций. — М МЦНМО, 2009.
9. Аллилуев С.П. Квантовая теория сложного атома и квантовая теория излучения учеб. пособие. — М МФТИ, 1984.
10. Тернов АИ. Основы релятивистской квантовой механики учеб. пособие М МФТИ, 2002.
11. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике М Наука, 1981.
12. Аллилуев С.П., Зяблюк КН. Избранные вопросы квантовой теории рассеяния учеб. пособие. — М МФТИ, 2005.
13. Белоусов Ю.М., Кузнецов В.П., Смилга В.П. Практическая математика. Руководство для начинающих изучать теоретическую физику. Долгопрудный Издательский Дом Интеллект, 2009.
14. Белоусов Ю.М., Бурмистров С.Н., Тернов АИ. Задачи по теоретической физике. — Долгопрудный Издательский Дом Интеллект, 2013.
181
2. Мессиа А. Квантовая механика. — М Наука, 1978.
3. Давыдов АС. Квантовая механика. — М Наука, 1973.
4. Белоусов Ю.М. Курс квантовой механики. — М МФТИ, 2006.
5. Шифф Л. Квантовая механика. — МИЛ. Елютин П.В., Кривченков В.Д. Квантовая механика. — М Наука, 1976.
7. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. — М Наука, 1976.
8. Киселёв В.В. Квантовая механика. Курс лекций. — М МЦНМО, 2009.
9. Аллилуев С.П. Квантовая теория сложного атома и квантовая теория излучения учеб. пособие. — М МФТИ, 1984.
10. Тернов АИ. Основы релятивистской квантовой механики учеб. пособие М МФТИ, 2002.
11. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике М Наука, 1981.
12. Аллилуев С.П., Зяблюк КН. Избранные вопросы квантовой теории рассеяния учеб. пособие. — М МФТИ, 2005.
13. Белоусов Ю.М., Кузнецов В.П., Смилга В.П. Практическая математика. Руководство для начинающих изучать теоретическую физику. Долгопрудный Издательский Дом Интеллект, 2009.
14. Белоусов Ю.М., Бурмистров С.Н., Тернов АИ. Задачи по теоретической физике. — Долгопрудный Издательский Дом Интеллект, 2013.
181