Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
9.1.2 |
§1.
Атом водорода. Атомная система единиц
Рассмотрим одну из важнейших задач, связанных сдвижением в центрально- симметричном поле, а именно — движением электрона с зарядом −𝑒 и массой в кулоновском поле ядра с зарядом +𝑍𝑒:
𝑈 (𝑟) = где 𝑍 > 1 для водородоподобного иона (атома, 𝑍 = 1 для атома водорода. Заметим, что для атома водорода квантовомеханическая задача двух взаимодействующих тех сводится к задаче о движении одной частицы с при- ведённой массой 𝜇 = (𝑚𝑀 )/(𝑚 + 𝑀 ) (упр. 11 го задания. Но здесь мы будем считать ядро бесконечно тяжёлым, те. 𝑀 → ∞, так что 𝜇 = Радиальное уравнение (
9.2.1
) приобретает вид 𝑑
2
𝑑𝑟
2
+
2
𝑟
𝑑
𝑑𝑟
]︂
𝑅(𝑟) +
{︂
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝑟
2
+
2𝑚
2
𝑍𝑒
2
𝑟
+
2𝑚𝐸
2
}︂
𝑅(𝑟) = здесь опущены индексы 𝑛 и 𝑙 при радиальной части волновой функции.
Решения уравнения (
10.1.1
) удобно получить в атомной системе единиц =
𝑚 = 𝑒 = 1. При этом атомная единица (а.е) длины или боровский радиус =
2
𝑚𝑒
2
= 1 а.е. = 0.529 · см = 0.529 атомная единица энергии 1 а.е. = 27.21 эВ
В безразмерных переменных 𝜌 = 𝑟/𝑎 и 𝜀 = получаем уравнение) в виде 𝑑
2
𝑑𝜌
2
+
2
𝜌
𝑑
𝑑𝜌
}︂
𝑅(𝜌) +
{︂
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
+
2𝑍
𝜌
− κ
2
}︂
𝑅(𝜌) = где −κ
2
= 2𝜀 = 2
𝐸
𝐸
𝑎
< 0, те. рассматриваются связанные состояния дискретного спектра.
§2.
Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода. Главное и радиальное квантовые числа
В силу условия нормировки (
9.2.2
) не должно быть неограниченных решений, те. на краях области определения 𝜌 → 0 и 𝜌 → ∞ необходимо наложить граничные условия. 𝑅(𝜌)|
𝜌→0
→ const
2. 𝑅(𝜌)|
𝜌→∞
→ В пределе 𝜌 → 0 уравнение (
10.1.2
) принимает форму 𝑑
2
𝑑𝜌
2
+
2
𝜌
𝑑
𝑑𝜌
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
)︂
𝑅
0
(𝜌) = Ищем решение этого уравнения в виде степенной функции 𝑅
0
(𝜌) ∼ тогда для показателя 𝑞 получается − 1) + 2𝑞
⏟
⏞
𝑞(𝑞+1)
−𝑙(𝑙 + 1) = те. возможны два решения 𝑞
1
= 𝑙, 𝑞
2
= −(𝑙 + 1). Очевидно, второе решение не удовлетворяет поставленному граничному условию оно обращается в бесконечность при 𝜌 → 0 (напомним, что 𝑙 > 0). Поэтому 𝜌
𝑙
Найдём теперь асимптотику решения (
10.1.2
) при 𝜌 → ∞:
𝑑
2
𝑑𝜌
2
𝑅
∞
(𝜌) − κ
2
𝑅
∞
(𝜌) = 0 84
2
𝑑𝜌
2
+
2
𝜌
𝑑
𝑑𝜌
}︂
𝑅(𝜌) +
{︂
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
+
2𝑍
𝜌
− κ
2
}︂
𝑅(𝜌) = где −κ
2
= 2𝜀 = 2
𝐸
𝐸
𝑎
< 0, те. рассматриваются связанные состояния дискретного спектра.
§2.
Энергетический спектр и радиальные волновые функции стационарных состояний атома водорода. Главное и радиальное квантовые числа
В силу условия нормировки (
9.2.2
) не должно быть неограниченных решений, те. на краях области определения 𝜌 → 0 и 𝜌 → ∞ необходимо наложить граничные условия. 𝑅(𝜌)|
𝜌→0
→ const
2. 𝑅(𝜌)|
𝜌→∞
→ В пределе 𝜌 → 0 уравнение (
10.1.2
) принимает форму 𝑑
2
𝑑𝜌
2
+
2
𝜌
𝑑
𝑑𝜌
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
)︂
𝑅
0
(𝜌) = Ищем решение этого уравнения в виде степенной функции 𝑅
0
(𝜌) ∼ тогда для показателя 𝑞 получается − 1) + 2𝑞
⏟
⏞
𝑞(𝑞+1)
−𝑙(𝑙 + 1) = те. возможны два решения 𝑞
1
= 𝑙, 𝑞
2
= −(𝑙 + 1). Очевидно, второе решение не удовлетворяет поставленному граничному условию оно обращается в бесконечность при 𝜌 → 0 (напомним, что 𝑙 > 0). Поэтому 𝜌
𝑙
Найдём теперь асимптотику решения (
10.1.2
) при 𝜌 → ∞:
𝑑
2
𝑑𝜌
2
𝑅
∞
(𝜌) − κ
2
𝑅
∞
(𝜌) = 0 84
Отсюда 𝑒
−κ𝜌
, т.к. другое решение (∼ 𝑒
κ𝜌
) при 𝜌 → неограниченно возрастает. Очевидно, что решение уравнения (
10.1.2
) вр всей области определения 𝜌 следует искать в виде) = где для искомой функции 𝑣(𝜌) есть ограничения на её экспоненциальный рост на бесконечности. Имеем) = 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
]︂
𝑅
′′
(𝜌) = 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′′
+
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
−
𝑙
𝜌
2
𝑣 +
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂ [︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙
𝑝
− κ
)︂
𝑣
]︂]︂
=
= 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′′
+ 2
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙(𝑙 − 1)
𝜌
2
−
2κ𝑙
𝜌
+ Из (
10.1.2
) получаем+ 2
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙(𝑙 − 1)
𝜌
2
−
2κ𝑙
𝜌
+ κ
2
)︂
𝑣 +
2
𝜌
𝑣
′
+
2
𝜌
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣+
+
(︂
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
+
2𝑍
𝜌
− κ
2
)︂
𝑣 = В итоге+ 𝑣
′
(2(𝑙 + 1) − 2κ𝜌) + 𝑣 (2𝑍 − 2κ(𝑙 + 1)) = Решение (
10.2.2
) будем искать в виде степенного ряда) Отсюда) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘
𝑘𝜌
𝑘−1
=
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘+1
(𝑘 + 1)𝜌
𝑘
𝑣
′′
(𝜌) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘
𝑘(𝑘 − 1)𝜌
𝑘−2
=
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘+1
(𝑘 + Подставляя в (
10.2.2
), получаем + 1) + 2(𝑙 + 1)(𝑘 + 1)) + 𝑎
𝑘
(2𝑍 − 2κ(𝑙 + 1) − 2κ𝑘)] = 0 85
−κ𝜌
, т.к. другое решение (∼ 𝑒
κ𝜌
) при 𝜌 → неограниченно возрастает. Очевидно, что решение уравнения (
10.1.2
) вр всей области определения 𝜌 следует искать в виде) = где для искомой функции 𝑣(𝜌) есть ограничения на её экспоненциальный рост на бесконечности. Имеем) = 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
]︂
𝑅
′′
(𝜌) = 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′′
+
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
−
𝑙
𝜌
2
𝑣 +
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂ [︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙
𝑝
− κ
)︂
𝑣
]︂]︂
=
= 𝑒
−κ𝜌
𝜌
𝑙
[︂
𝑣
′′
+ 2
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙(𝑙 − 1)
𝜌
2
−
2κ𝑙
𝜌
+ Из (
10.1.2
) получаем+ 2
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣
′
+
(︂ 𝑙(𝑙 − 1)
𝜌
2
−
2κ𝑙
𝜌
+ κ
2
)︂
𝑣 +
2
𝜌
𝑣
′
+
2
𝜌
(︂ 𝑙
𝜌
− κ
)︂
𝑣+
+
(︂
−
𝑙(𝑙 + 1)
𝜌
2
+
2𝑍
𝜌
− κ
2
)︂
𝑣 = В итоге+ 𝑣
′
(2(𝑙 + 1) − 2κ𝜌) + 𝑣 (2𝑍 − 2κ(𝑙 + 1)) = Решение (
10.2.2
) будем искать в виде степенного ряда) Отсюда) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘
𝑘𝜌
𝑘−1
=
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘+1
(𝑘 + 1)𝜌
𝑘
𝑣
′′
(𝜌) =
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘
𝑘(𝑘 − 1)𝜌
𝑘−2
=
∞
∑︁
𝑘=0
𝑎
𝑘+1
(𝑘 + Подставляя в (
10.2.2
), получаем + 1) + 2(𝑙 + 1)(𝑘 + 1)) + 𝑎
𝑘
(2𝑍 − 2κ(𝑙 + 1) − 2κ𝑘)] = 0 85
откуда следует рекуррентное соотношение для коэффициентов ряда 𝑎
𝑘
2 (κ(𝑙 + 1 + 𝑘) − 𝑍)
(𝑘 + 1) (𝑘 + 2(𝑙 + Из соотношения (
10.2.4
) видно, что при 𝑘 ≫ 1 все слагаемые будут одного знака. Значит, при 𝜌 → ∞ основной вклад в 𝑣(𝜌) будут давать слагаемые с большими 𝑘. При 𝑘 ≫ однако 1 +
2κ𝜌
1!
+ ... +
(2κ𝜌)
𝑘
𝑘!
+ и для ряда растущей экспоненты + Таким образом, полученный ряд (
10.2.3
) для 𝑣(𝜌) асимптотически ведёт себя как При такой асимптотике, согласно (
10.2.1
), радиальная волновая функция расходится на бесконечности, те Поэтому суммирование в (
10.2.3
) может происходить только в конечных пределах, иными словами, ряд (
10.2.3
) должен обрываться и переходить в конечный полином некоторой степени 𝑘 = 𝑛
𝑟
, те. 𝑎
𝑛
𝑟
̸= 0, но при любом > 𝑛
𝑟
𝑎
𝑘
≡ Из (
10.2.4
) следует условие обрыва ряда (
10.2.3
):
𝑍
κ
− 𝑙 − 1 = 𝑛
𝑟
= 0, 1, 2, Число 𝑛
𝑟
> 0 определяет степень полинома (
10.2.3
) и соответственно число его нулей (или число узлов радиальной волновой функции 𝑅(𝜌) вне считая точки 𝜌 = 0). Число называют радиальным квантовым числом. Здесь мы имеем частный случай осцилляционной теоремы одномерного движения (см. конец §3 главы Следуя (
10.2.5
), положим по определению = 𝑛
𝑟
+ 𝑙 + 1 = 1, 2, ...
(10.2.6)
86
𝑘
2 (κ(𝑙 + 1 + 𝑘) − 𝑍)
(𝑘 + 1) (𝑘 + 2(𝑙 + Из соотношения (
10.2.4
) видно, что при 𝑘 ≫ 1 все слагаемые будут одного знака. Значит, при 𝜌 → ∞ основной вклад в 𝑣(𝜌) будут давать слагаемые с большими 𝑘. При 𝑘 ≫ однако 1 +
2κ𝜌
1!
+ ... +
(2κ𝜌)
𝑘
𝑘!
+ и для ряда растущей экспоненты + Таким образом, полученный ряд (
10.2.3
) для 𝑣(𝜌) асимптотически ведёт себя как При такой асимптотике, согласно (
10.2.1
), радиальная волновая функция расходится на бесконечности, те Поэтому суммирование в (
10.2.3
) может происходить только в конечных пределах, иными словами, ряд (
10.2.3
) должен обрываться и переходить в конечный полином некоторой степени 𝑘 = 𝑛
𝑟
, те. 𝑎
𝑛
𝑟
̸= 0, но при любом > 𝑛
𝑟
𝑎
𝑘
≡ Из (
10.2.4
) следует условие обрыва ряда (
10.2.3
):
𝑍
κ
− 𝑙 − 1 = 𝑛
𝑟
= 0, 1, 2, Число 𝑛
𝑟
> 0 определяет степень полинома (
10.2.3
) и соответственно число его нулей (или число узлов радиальной волновой функции 𝑅(𝜌) вне считая точки 𝜌 = 0). Число называют радиальным квантовым числом. Здесь мы имеем частный случай осцилляционной теоремы одномерного движения (см. конец §3 главы Следуя (
10.2.5
), положим по определению = 𝑛
𝑟
+ 𝑙 + 1 = 1, 2, ...
(10.2.6)
86
натуральное число 𝑛 ∈ N, которое называют главным квантовым числом. При этом 𝑛
𝑟
= 𝑛 − 𝑙 − 1 > 0 и получается ограничение на возможные значения орбитального момента 0 6 𝑙 6 𝑛 − 1 . Тогда из (
10.1.2
), (
10.2.5
) и) получается энергетический спектр водородоподобного атома −
κ
2 2
= −
𝑍
2 2𝑛
2
= 𝜀
𝑛
𝐸
𝑛
= −
𝑍
2
𝑚𝑒
4 2
2 Соответственно (
10.2.1
) радиальная волновая функция имеет вид) = 𝑅
𝑛
𝑟
𝑙
(𝜌) = где определяемые рекуррентными соотношениями (
10.2.4
) полиномы называют обобщёнными (присоединёнными) полиномами Лагерра
𝑣
𝑛
𝑟
𝑙
(𝜌) = 𝐿
2𝑙+1
𝑛
𝑟
(2κ𝜌) , где) = Коэффициент определяется из условия нормировки (
9.2.2
) для радиальной волновой функции = Состояние атома водорода определяется волновой функцией) = 𝑅
𝑛𝑙
(𝑟)𝑌
𝑙𝑚
(𝜃, которая, например, для основного состояния имеет вид) = 𝑅
10
(𝑟)
⏟
⏞
2
√
𝑎3
𝑒
−𝑟/𝑎
𝑌
00
(𝜃, 𝜙)
⏟
Кратность вырождения уровней. Кулоновское (случайное) вырождение
Из (
10.2.7
) видно, что спектр водородоподобного атома является вырожденным. Энергия определяется только главным квантовым числом, а кроме него есть ещё 2 квантовых числа 𝑙 = 0, 1, ..., 𝑛 − 1 – орбитальное
∙ 𝑚 = 0, ±1, ..., ±𝑙 – магнитное
Уровни энергии не зависят от этих квантовых чисел Кратность вырождения го уровня равна) =
𝑛−1
∑︁
𝑙=0
𝑙
∑︁
𝑚=−𝑙
1 =
𝑛−1
∑︁
𝑙=0
(2𝑙 + 1) = 𝑛
1 + (2𝑛 − 1)
2
= из суммы арифметической прогрессии).
Дальнейший анализ удобно провести, если воспользоваться утверждением следующей теоремы.
Теорема 1. Если, ̂︀
𝐻
]︁
= 0,
[︁
̂︀
𝐵, ̂︀
𝐻
]︁
= 0, но, ̂︀
𝐵
]︁
̸= 0, то спектр оператора вырожден.
Доказательство.
1. Предположим, что оператор ̂︀
𝐻 имеет хотя бы один собственный вектор |𝜓
𝑖
⟩ = Тогда ̂︀
𝐻 |𝜓
𝑖
⟩ = ̂︀
𝐻 ̂︀
𝐴 |𝜓
𝑖
⟩ = 𝐸
𝑖
̂︀
𝐴 те. ̂︀
𝐴 |𝜓
𝑖
⟩ – тоже собственный вектор оператора ̂︀
𝐻, отвечающий тому же самому собственному значению 𝐸
𝑖
. Если спектр ̂︀
𝐻 невырожден,
то каждому должен отвечать в точности один собственный вектор |𝜓
𝑖
⟩ = 𝐴
𝑖
|𝜓
𝑖
⟩ (те. |𝜓
𝑖
⟩ является также собственным вектором и ̂︀
𝐴).
2. Аналогичное рассмотрение для ̂︀
𝐵 дат |𝜓
𝑖
⟩ = Отсюда будет следовать ̂︀
𝐴 ̂︀
𝐵 − ̂︀
𝐵 ̂︀
𝐴) |𝜓
𝑖
⟩ = (𝐴
𝑖
𝐵
𝑖
− 𝐵
𝑖
𝐴
𝑖
) |𝜓
𝑖
⟩ = если собственные значения оператора ̂︀
𝐻 невырожденные. Это верно при любых из множества собственных значений. Но такое равенство, справедливое для всех собственных векторов, образующих полную систему, означало бы, ̂︀
𝐵
]︁
= 0, что противоречит утверждению теоремы. Значит, спектр оператора ̂︀
𝐻 вырожден.
В рамках этой теоремы вырождение по магнитному квантовому числу 𝑚 характерно для любого центрально-симметричного поля, т.к.
[︁
̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
𝛼
]︁
= 0
→
{︃
[ ̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
𝑧
] = 0
[ ̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
±
] = но, ̂︀
𝑙
±
]︁
̸= 0 88
𝑟
= 𝑛 − 𝑙 − 1 > 0 и получается ограничение на возможные значения орбитального момента 0 6 𝑙 6 𝑛 − 1 . Тогда из (
10.1.2
), (
10.2.5
) и) получается энергетический спектр водородоподобного атома −
κ
2 2
= −
𝑍
2 2𝑛
2
= 𝜀
𝑛
𝐸
𝑛
= −
𝑍
2
𝑚𝑒
4 2
2 Соответственно (
10.2.1
) радиальная волновая функция имеет вид) = 𝑅
𝑛
𝑟
𝑙
(𝜌) = где определяемые рекуррентными соотношениями (
10.2.4
) полиномы называют обобщёнными (присоединёнными) полиномами Лагерра
𝑣
𝑛
𝑟
𝑙
(𝜌) = 𝐿
2𝑙+1
𝑛
𝑟
(2κ𝜌) , где) = Коэффициент определяется из условия нормировки (
9.2.2
) для радиальной волновой функции = Состояние атома водорода определяется волновой функцией) = 𝑅
𝑛𝑙
(𝑟)𝑌
𝑙𝑚
(𝜃, которая, например, для основного состояния имеет вид) = 𝑅
10
(𝑟)
⏟
⏞
2
√
𝑎3
𝑒
−𝑟/𝑎
𝑌
00
(𝜃, 𝜙)
⏟
Кратность вырождения уровней. Кулоновское (случайное) вырождение
Из (
10.2.7
) видно, что спектр водородоподобного атома является вырожденным. Энергия определяется только главным квантовым числом, а кроме него есть ещё 2 квантовых числа 𝑙 = 0, 1, ..., 𝑛 − 1 – орбитальное
∙ 𝑚 = 0, ±1, ..., ±𝑙 – магнитное
Уровни энергии не зависят от этих квантовых чисел Кратность вырождения го уровня равна) =
𝑛−1
∑︁
𝑙=0
𝑙
∑︁
𝑚=−𝑙
1 =
𝑛−1
∑︁
𝑙=0
(2𝑙 + 1) = 𝑛
1 + (2𝑛 − 1)
2
= из суммы арифметической прогрессии).
Дальнейший анализ удобно провести, если воспользоваться утверждением следующей теоремы.
Теорема 1. Если, ̂︀
𝐻
]︁
= 0,
[︁
̂︀
𝐵, ̂︀
𝐻
]︁
= 0, но, ̂︀
𝐵
]︁
̸= 0, то спектр оператора вырожден.
Доказательство.
1. Предположим, что оператор ̂︀
𝐻 имеет хотя бы один собственный вектор |𝜓
𝑖
⟩ = Тогда ̂︀
𝐻 |𝜓
𝑖
⟩ = ̂︀
𝐻 ̂︀
𝐴 |𝜓
𝑖
⟩ = 𝐸
𝑖
̂︀
𝐴 те. ̂︀
𝐴 |𝜓
𝑖
⟩ – тоже собственный вектор оператора ̂︀
𝐻, отвечающий тому же самому собственному значению 𝐸
𝑖
. Если спектр ̂︀
𝐻 невырожден,
то каждому должен отвечать в точности один собственный вектор |𝜓
𝑖
⟩ = 𝐴
𝑖
|𝜓
𝑖
⟩ (те. |𝜓
𝑖
⟩ является также собственным вектором и ̂︀
𝐴).
2. Аналогичное рассмотрение для ̂︀
𝐵 дат |𝜓
𝑖
⟩ = Отсюда будет следовать ̂︀
𝐴 ̂︀
𝐵 − ̂︀
𝐵 ̂︀
𝐴) |𝜓
𝑖
⟩ = (𝐴
𝑖
𝐵
𝑖
− 𝐵
𝑖
𝐴
𝑖
) |𝜓
𝑖
⟩ = если собственные значения оператора ̂︀
𝐻 невырожденные. Это верно при любых из множества собственных значений. Но такое равенство, справедливое для всех собственных векторов, образующих полную систему, означало бы, ̂︀
𝐵
]︁
= 0, что противоречит утверждению теоремы. Значит, спектр оператора ̂︀
𝐻 вырожден.
В рамках этой теоремы вырождение по магнитному квантовому числу 𝑚 характерно для любого центрально-симметричного поля, т.к.
[︁
̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
𝛼
]︁
= 0
→
{︃
[ ̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
𝑧
] = 0
[ ̂︀
𝐻, ̂︀
𝑙
±
] = но, ̂︀
𝑙
±
]︁
̸= 0 88
Поэтому все 2𝑙 + 1 состояний, где 𝑚 = −𝑙, (−𝑙 + 1), (−𝑙 + 2)..., 𝑙, отвечают одному уровню энергии.
Однако, помимо вырождения по магнитному квантовому числу 𝑚, обязательному для любого сферически симметричного поля, в кулоновом поле для всех уровней имеет место дополнительное вырождение по орбитальному квантовому числу 𝑙, которое называют ещё случайным.
Природа кулоновского вырождения связана с высокой симметрией кулоновского поля и наличием ещё одного интеграла движения – вектора Рунге–
Ленца:
̂︀
A =
̂︀
r
𝑟
+
1 2𝑍
(︁
̂︀
l ×
̂︀
p −
̂︀
p × в а.е.)
коммутирующего свае, ноне коммутирующего с Тогда, в соответствии с теоремой, если, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
= 0 (доказательство приведено в Приложении, ̂︀
l
2
]︁
= 0, но, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
̸= 0, то это автоматически ведёт к вырождению собственных значений ̂︀
𝐻 по Упражнение 1. Доказать, что, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
̸= 0 89
Однако, помимо вырождения по магнитному квантовому числу 𝑚, обязательному для любого сферически симметричного поля, в кулоновом поле для всех уровней имеет место дополнительное вырождение по орбитальному квантовому числу 𝑙, которое называют ещё случайным.
Природа кулоновского вырождения связана с высокой симметрией кулоновского поля и наличием ещё одного интеграла движения – вектора Рунге–
Ленца:
̂︀
A =
̂︀
r
𝑟
+
1 2𝑍
(︁
̂︀
l ×
̂︀
p −
̂︀
p × в а.е.)
коммутирующего свае, ноне коммутирующего с Тогда, в соответствии с теоремой, если, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
= 0 (доказательство приведено в Приложении, ̂︀
l
2
]︁
= 0, но, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
̸= 0, то это автоматически ведёт к вырождению собственных значений ̂︀
𝐻 по Упражнение 1. Доказать, что, ̂︀
𝐴
𝛼
]︁
̸= 0 89
Глава Квазиклассическое приближение
Точное решение уравнение Шрёдингера (УШ) в квантовой механике возможно лишь для ограниченного числа задач, в то время как подавляющее большинство задач решается приближенными методами. В качестве примера таких методов выступает квазиклассическое приближение.
Это приближение позволяет сформулировать метод приближенного решения УШ, основанный на использовании малости постоянной Планка Критерий применимости квазиклассического приближения
Предварительное изучение квантовой механики показывает, что при →
0 законы квантовой механики должны перейти в классические, что обеспечивается принципом соответствия, на котором мы основывались при выводе ряда положений квантовой механики (см. §§2,3 главы V). Необходимо выяснить, как следует понимать, что классическое приближение хорошо описывает физические явления, когда величиной кванта действия можно пренебречь.
1.1
Переход к уравнению Гамильтона-Якоби
При решении уравнение Шрёдингера
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
Ψ(r, 𝑡) =
{︂
−
2 2𝑚
∇
2
+ 𝑈 (r)
}︂
Ψ(r, используем подстановку = 𝒜𝑒
𝑖
𝑆(r,𝑡)
90
Точное решение уравнение Шрёдингера (УШ) в квантовой механике возможно лишь для ограниченного числа задач, в то время как подавляющее большинство задач решается приближенными методами. В качестве примера таких методов выступает квазиклассическое приближение.
Это приближение позволяет сформулировать метод приближенного решения УШ, основанный на использовании малости постоянной Планка Критерий применимости квазиклассического приближения
Предварительное изучение квантовой механики показывает, что при →
0 законы квантовой механики должны перейти в классические, что обеспечивается принципом соответствия, на котором мы основывались при выводе ряда положений квантовой механики (см. §§2,3 главы V). Необходимо выяснить, как следует понимать, что классическое приближение хорошо описывает физические явления, когда величиной кванта действия можно пренебречь.
1.1
Переход к уравнению Гамильтона-Якоби
При решении уравнение Шрёдингера
𝑖
𝜕
𝜕𝑡
Ψ(r, 𝑡) =
{︂
−
2 2𝑚
∇
2
+ 𝑈 (r)
}︂
Ψ(r, используем подстановку = 𝒜𝑒
𝑖
𝑆(r,𝑡)
90
Здесь 𝑆(r, 𝑡) — пока неизвестная функция, имеющая как и размерность действия. Известно, что в классической мехинике действие вещественно, тогда как в используемой подстановке функция 𝑆(r, 𝑡), вообще говоря, может быть и комплексной. Получим уравнение, которому удовлетворяет 𝑆(r, 𝑡):
∇Ψ(r, 𝑡) =
(︂ Подставим Ψ ив уравнение Шрёдингера:
𝑖
(︂ 𝑖
𝜕𝑆
𝜕𝑡
)︂
Ψ =
{︃
−
2 2𝑚
[︃
(︂ 𝑖
∇𝑆
)︂
2
+
𝑖
∇
2
𝑆
]︃
+ 𝑈 (откуда следует 2𝑚
+ 𝑈 (r) Полученное уравнение с точностью до последнего слагаемого совпадает с уравнением Гамильтона-Якоби для действия+ 𝐻(r, p, 𝑡) = 0 где p = ∇𝑆, 𝐻(r, p, 𝑡) =
p
2 2𝑚
+ 𝑈 (r) (см. § 47 т. I Л.Л.)
Последнее слагаемое в (
11.1.1
) — это квантовая поправка ˜
(строгого- воря действием функцию 𝑆(r, 𝑡) можно назвать лишь при отсутствии последнего слагаемого. Поправка действительно исчезает при формальном переходе → 0 и тогда имеет место классика. Широкая область применимости классической механики как раз связана стем, что по сравнению с обычными масштабами постоянная Планка очень мала.
Но, с другой стороны, все-таки константа. Что же имеется ввиду под
«жаргонным» выражением → Из уравнения (
11.1.1
) следует условие квазиклассичности, те. возможность перехода к классическому пределу. Квантовая поправка в (должна быть мала 1
— условие применимости квазиклассического приближения.
Заметим, что ∇𝑆 = p (в нулевом приближении по ), значит p| ≪
1, и тогда в одномерном случае 1 91
∇Ψ(r, 𝑡) =
(︂ Подставим Ψ ив уравнение Шрёдингера:
𝑖
(︂ 𝑖
𝜕𝑆
𝜕𝑡
)︂
Ψ =
{︃
−
2 2𝑚
[︃
(︂ 𝑖
∇𝑆
)︂
2
+
𝑖
∇
2
𝑆
]︃
+ 𝑈 (откуда следует 2𝑚
+ 𝑈 (r) Полученное уравнение с точностью до последнего слагаемого совпадает с уравнением Гамильтона-Якоби для действия+ 𝐻(r, p, 𝑡) = 0 где p = ∇𝑆, 𝐻(r, p, 𝑡) =
p
2 2𝑚
+ 𝑈 (r) (см. § 47 т. I Л.Л.)
Последнее слагаемое в (
11.1.1
) — это квантовая поправка ˜
(строгого- воря действием функцию 𝑆(r, 𝑡) можно назвать лишь при отсутствии последнего слагаемого. Поправка действительно исчезает при формальном переходе → 0 и тогда имеет место классика. Широкая область применимости классической механики как раз связана стем, что по сравнению с обычными масштабами постоянная Планка очень мала.
Но, с другой стороны, все-таки константа. Что же имеется ввиду под
«жаргонным» выражением → Из уравнения (
11.1.1
) следует условие квазиклассичности, те. возможность перехода к классическому пределу. Квантовая поправка в (должна быть мала 1
— условие применимости квазиклассического приближения.
Заметим, что ∇𝑆 = p (в нулевом приближении по ), значит p| ≪
1, и тогда в одномерном случае 1 91
Перепишем это условие в другой форме 1
— здесь 𝜆 см. (
1.1.2
)) — де-бройлевская длина волны части- цы.
Тогда условие применимости квазиклассического приближения запишется в виде ≈ 𝜆
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝜆
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 𝜆
— те. де-бройлевская длина волны частицы мало изменяется на протяжении расстояний порядка ее самой. Отметим, что 1 (𝐿 — характерный размер квантовой системы) — лишь формальный признак того, что когда свойства системы близки классическим, построенный на аналогии с переходом от волновой оптики к геометрической при 𝜆 → 0 (см. § 46 т. III Л.Л.).
Если учесть, что+ 𝑈 (𝑥) = 𝐸 или 𝑝(𝑥) =
√︀2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)), то где 𝐹 — классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле. Таким образом, критерий применимости квазиклассического приближения выглядит так ≪ 𝜆;
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝜆
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 1;
𝑝
2
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑝
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 1;
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑚
𝑝
3
𝑑𝑈
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ Основные выводы. Квазиклассическое приближение НЕПРИМЕНИМО при малых значениях импульса и СОВСЕМ НЕПРИМЕНИМО в классических точках поворота, когда 𝑝(𝑥) = Это и понятно, так как в этих точках 𝜆 → ∞, и волновой аспект в движении частиц проявляется особенно сильно. Необходим также и плавный ход потенциальной кривой (по аналогии с оптикой там мы говорим о плавных изменениях показателя преломления Итак, квазиклассичность означает большие импульсы частицы + плавный ход потенциала, в котором она двигается
𝑥
𝑈 (Рис. 11.1: Классически разрешённая (I) и запрещённая (II) области
§2.
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ)
Метод ВКБ (1926 г) позволяет находить квантовые поправки к решению уравнения Гамильтона-Якоби с учетом квазиклассического приближения Вид волновой функции в квазиклассическом приближении В основе метода ВКБ лежит разложение 𝑆(r, 𝑡) по степенями пренебрежение членами более высокого порядка малости. Реально данное разложение идет, конечно, не по , а по безразмерному малому параметру, например по 1 в степенной ряд. Область применимости ВКБ-приближения шире, чем область применимости классического приближения, так как указанное разложение можно проводить ив тех областях пространства, где классическое приближение вообще не имеет смысла < 𝑈 (𝑥)) (см.
рис. 11.1
, область Рассматривается одномерная задача. Считается, что условия применимости метода выполнены. Решаем уравнение (
11.1.1
) с квантовой поправкой.
Пусть
𝑆(𝑥, 𝑡) = −𝐸𝑡 + система консервативна, см. § 47 т. I Л.Л., те. функция 𝐻 не зависит явно от времени, тогда из (
11.1.1
) следует 𝑖𝑆
′′
= 2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)) ≡ 𝑝
2
(𝑥)
93
— здесь 𝜆 см. (
1.1.2
)) — де-бройлевская длина волны части- цы.
Тогда условие применимости квазиклассического приближения запишется в виде ≈ 𝜆
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝜆
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 𝜆
— те. де-бройлевская длина волны частицы мало изменяется на протяжении расстояний порядка ее самой. Отметим, что 1 (𝐿 — характерный размер квантовой системы) — лишь формальный признак того, что когда свойства системы близки классическим, построенный на аналогии с переходом от волновой оптики к геометрической при 𝜆 → 0 (см. § 46 т. III Л.Л.).
Если учесть, что+ 𝑈 (𝑥) = 𝐸 или 𝑝(𝑥) =
√︀2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)), то где 𝐹 — классическая сила, действующая на частицу во внешнем поле. Таким образом, критерий применимости квазиклассического приближения выглядит так ≪ 𝜆;
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝜆
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 1;
𝑝
2
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑑𝑝
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ 1;
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑚
𝑝
3
𝑑𝑈
𝑑𝑥
⃒
⃒
⃒
⃒
≪ Основные выводы. Квазиклассическое приближение НЕПРИМЕНИМО при малых значениях импульса и СОВСЕМ НЕПРИМЕНИМО в классических точках поворота, когда 𝑝(𝑥) = Это и понятно, так как в этих точках 𝜆 → ∞, и волновой аспект в движении частиц проявляется особенно сильно. Необходим также и плавный ход потенциальной кривой (по аналогии с оптикой там мы говорим о плавных изменениях показателя преломления Итак, квазиклассичность означает большие импульсы частицы + плавный ход потенциала, в котором она двигается
𝑥
𝑈 (Рис. 11.1: Классически разрешённая (I) и запрещённая (II) области
§2.
Метод Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ)
Метод ВКБ (1926 г) позволяет находить квантовые поправки к решению уравнения Гамильтона-Якоби с учетом квазиклассического приближения Вид волновой функции в квазиклассическом приближении В основе метода ВКБ лежит разложение 𝑆(r, 𝑡) по степенями пренебрежение членами более высокого порядка малости. Реально данное разложение идет, конечно, не по , а по безразмерному малому параметру, например по 1 в степенной ряд. Область применимости ВКБ-приближения шире, чем область применимости классического приближения, так как указанное разложение можно проводить ив тех областях пространства, где классическое приближение вообще не имеет смысла < 𝑈 (𝑥)) (см.
рис. 11.1
, область Рассматривается одномерная задача. Считается, что условия применимости метода выполнены. Решаем уравнение (
11.1.1
) с квантовой поправкой.
Пусть
𝑆(𝑥, 𝑡) = −𝐸𝑡 + система консервативна, см. § 47 т. I Л.Л., те. функция 𝐻 не зависит явно от времени, тогда из (
11.1.1
) следует 𝑖𝑆
′′
= 2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)) ≡ 𝑝
2
(𝑥)
93
Здесь 𝑝
2
(𝑥) — просто обозначение, которое не подразумевает, что 𝑝
2
(𝑥) В линейном приближении по :
𝑝
2
(𝑥) = (𝑆
′
0
+ 𝑆
′
1
+ . . . )
2
− 𝑖(𝑆
′′
0
+ 𝑆
′′
1
+ . . . ) ≈ (𝑆
′
0
)
2
+ 2𝑆
′
0
𝑆
′
1
− Рассмотрим две области на графике) Область I (классически разрешенная 𝐸 > 𝑈 (𝑥) или 𝑝
2
(𝑥) > Порядок «0» по :
(𝑆
′
0
)
2
= 𝑝
2
(𝑥)
→
𝑆
′
0
= ∓𝑝(𝑥)
𝑆
0
(𝑥) = ±
∫︁
𝑥
0
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
, 𝑥 < Постоянная интегрирования 𝑆
0
(𝑥
0
) здесь опущена, так как ее можно включить в коэффициент 𝒜 при волновой функции Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝒜 exp
(︂ 𝑖
𝑆(𝑥, Порядок «1» по :
2𝑆
′
0
𝑆
′
1
− 𝑖𝑆
′′
0
= Отсюда ∓𝑝
′
(𝑥)
∓𝑝(𝑥)
)︂
=
𝑖
2
𝑑
𝑑𝑥
[ln и 𝑝(𝑥) = 𝑖 Стационарное решение в классически разрешённой области с точностью до :
Ψ(𝑥)|
𝑥<𝑥
0
= 𝒜𝑒
𝑖
ℎ
𝑆(𝑥)
≈
𝒜
√︀𝑝(𝑥)
exp
(︂
±
𝑖
∫︁
𝑥
0
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
)︂
(b) Область II (классически запрещенная 𝐸 < 𝑈 (𝑥) или 𝑝
2
(𝑥) < 0).
𝑝
2
(𝑥) = 2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)) = −2𝑚(𝑈 (𝑥) − и) = ±𝑖
√︀
2𝑚(𝑈 (𝑥) − 𝐸) = ±𝑖 В классически запрещенной области, считая импульс чисто мнимым,
имеем следующее решение 𝒜𝑒
𝑖
𝑆(𝑥)
≈
𝒜
√︀|𝑝(𝑥)|
exp
(︂
±
1
∫︁
𝑥
𝑥
0
|𝑝(𝑥
′
)| 𝑑𝑥
′
)︂
94
2
(𝑥) — просто обозначение, которое не подразумевает, что 𝑝
2
(𝑥) В линейном приближении по :
𝑝
2
(𝑥) = (𝑆
′
0
+ 𝑆
′
1
+ . . . )
2
− 𝑖(𝑆
′′
0
+ 𝑆
′′
1
+ . . . ) ≈ (𝑆
′
0
)
2
+ 2𝑆
′
0
𝑆
′
1
− Рассмотрим две области на графике) Область I (классически разрешенная 𝐸 > 𝑈 (𝑥) или 𝑝
2
(𝑥) > Порядок «0» по :
(𝑆
′
0
)
2
= 𝑝
2
(𝑥)
→
𝑆
′
0
= ∓𝑝(𝑥)
𝑆
0
(𝑥) = ±
∫︁
𝑥
0
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
, 𝑥 < Постоянная интегрирования 𝑆
0
(𝑥
0
) здесь опущена, так как ее можно включить в коэффициент 𝒜 при волновой функции Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝒜 exp
(︂ 𝑖
𝑆(𝑥, Порядок «1» по :
2𝑆
′
0
𝑆
′
1
− 𝑖𝑆
′′
0
= Отсюда ∓𝑝
′
(𝑥)
∓𝑝(𝑥)
)︂
=
𝑖
2
𝑑
𝑑𝑥
[ln и 𝑝(𝑥) = 𝑖 Стационарное решение в классически разрешённой области с точностью до :
Ψ(𝑥)|
𝑥<𝑥
0
= 𝒜𝑒
𝑖
ℎ
𝑆(𝑥)
≈
𝒜
√︀𝑝(𝑥)
exp
(︂
±
𝑖
∫︁
𝑥
0
𝑥
𝑝(𝑥
′
)𝑑𝑥
′
)︂
(b) Область II (классически запрещенная 𝐸 < 𝑈 (𝑥) или 𝑝
2
(𝑥) < 0).
𝑝
2
(𝑥) = 2𝑚(𝐸 − 𝑈 (𝑥)) = −2𝑚(𝑈 (𝑥) − и) = ±𝑖
√︀
2𝑚(𝑈 (𝑥) − 𝐸) = ±𝑖 В классически запрещенной области, считая импульс чисто мнимым,
имеем следующее решение 𝒜𝑒
𝑖
𝑆(𝑥)
≈
𝒜
√︀|𝑝(𝑥)|
exp
(︂
±
1
∫︁
𝑥
𝑥
0
|𝑝(𝑥
′
)| 𝑑𝑥
′
)︂
94
Итак, можно сделать выводы) При 𝑥 < волновая функция изменяется по закону косинуса или синуса, те. как в случае движения частицы в прямоугольной потенциальной яме. При 𝑥 > как ив случае прохождения частицы через потенциальный барьер, волновая функция должна убывать внутрь барьера) Решение неприемлемо вблизи точки поворота 𝑥