𝐻,
̂︀
p] =
[︂
̂︀
p
2 2𝑚
,
̂︀
p
]︂
+ [𝑈 (r), У 𝑖∇𝑈 (r) ̸= и её импульс p, в отличие от свободного движения, не является интегралом движения.
В классической механике мы имеем дело с обобщёнными координатами q = (𝑞
1
, ..., 𝑞
𝑠
), обобщёнными импульсами p = (𝑝
1
, ..., 𝑝
𝑠
), а также с функциями обобщённых координат и импульсов 𝐹 = 𝐹 (q, p, 𝑡). Здесь 𝑠 – количество независимых степеней свободы в механической системе. Полная производная повремени от величины 𝐹 определяется соотношением Подставляя, согласно уравнениям Гамильтона (см. § 40 т. I Л.Л., уравнения
Гамильтона)
˙
𝑞
𝑖
=
𝜕𝐻
𝜕𝑝
𝑖
˙
𝑝
𝑖
= получим 𝜕𝐻
𝜕𝑝
𝑖
𝜕𝐹
𝜕𝑞
𝑖
−
𝜕𝐻
𝜕𝑞
𝑖
𝜕𝐹
𝜕𝑝
𝑖
)︂
⏟
⏞
{𝐻,𝐹 }
=
𝜕𝐹
𝜕𝑡
+ {𝐻, 𝐹 где {𝐻, 𝐹 } – скобка Пуассона для величин 𝐻 и 𝐹 (см. § 42 т. I Л.Л.).
Если неопределённость ∆𝐹 физической величины 𝐹 мала по сравнению сто среднее значение ⟨𝐹 ⟩ должно меняться потому же закону, что и классическое значение 𝐹 (принцип соответствия классических уравнений движения и усреднённых квантовомеханических уравнений, те. уравнения для описания эволюции во времени квантовомеханических средних или наблюдаемых на опыте величин. Сравнивая ( 5.2.8 ) си, получаем следующие соответствия ⟩ 𝜕𝐹 𝜕𝑡 ↔ ⟨ 𝜓 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕 ̂︀ 𝐹 𝜕𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 ⟩ {𝐻, 𝐹 } ↔ 𝑖 ⟨𝜓|[ ̂︀ 𝐻, ̂︀ 𝐹 По этой причине коммутатор [ ̂︀ 𝐻, ̂︀ 𝐹 ] иногда называют квантовой скобкой Пуассона. При переходе к классическому пределу ( → 0) оператор 𝑖[ ̂︀ 𝐻, ̂︀ 𝐹 стремится к {𝐻, 𝐹 }. Для эрмитовости квантовой скобки Пуассона при ней вводится 𝑖. Указанное соответствие между коммутатором и скобкой Пуассона может быть использовано для определения явного вида операторов физических величин 𝐹 Производная повремени операторов координаты и импульсов частицы в потенциальном поле. Теоремы Эренфеста Координаты и импульсы являются независимыми переменными, независящими явно от времени. Поэтому, согласно ( 5.2.6 ), операторы производных этих величин повремени выражаются просто через квантовые скобки Пуассона. Итак, имеем ≡ 𝑑 ̂︀ r 𝑑𝑡 = 𝑖 [︁ ̂︀ 𝐻, ̂︀ r ]︁ = 𝑖 [︁ ̂︀ 𝑇 , ̂︀ r ]︁ + 𝑖 [𝑈 ( ̂︀ r), ̂︀ r] ⏟ где ̂︀ 𝑇 – оператор кинетической энергии. Второй коммутатор равен нулю, поскольку оператор координаты коммутирует сам с собой, с любой степенью, а значит, с произвольной функцией оператора координаты ( ̂︀ r) ≡ ∞ ∑︁ 𝑛=0 𝑈 𝑛 (0) 𝑛! ̂︀ r 𝑛 → [𝑈 ( ̂︀ r), ̂︀ r] = Осталось вычислить коммутатор с оператором кинетической энергии , ̂︀ r ]︁ = [︂ ̂︀ p 2 2𝑚 , ̂︀ r ]︂ = Окончательно для оператора скорости частица получаем = ̂︀ p 𝑚 (5.3.1) 45 Аналогично, определим оператор силы ≡ 𝑑 ̂︀ p 𝑑𝑡 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 5.2.6 ) = 𝑖 [︁ ̂︀ 𝐻, ̂︀ p ]︁ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 5.2.7 ) = −∇𝑈 (Согласно уравнению ( 5.2.5 ), операторы 𝑑r 𝑑𝑡 и 𝑑p 𝑑𝑡 определяют скорости изменения средних значений координаты ⟨ ̂︀ r⟩ и импульса ⟨ ̂︀ p⟩ частицы, соответственно (Из ( 5.3.3 ), ( 5.3.4 ) получается квантовомеханический аналог уравнения Ньютона: 𝑚 𝑑 2 𝑑𝑡 2 ⟨ ̂︀ r⟩ = Результаты с ( 5.3.3 ) по ( 5.3.5 ) – теоремы Эренфеста (1927 г) – показывают, что средние значения квантовых величин (операторов координаты и импульса) подчиняются уравнениям классической механики. Эренфест доказал предельное соответствие (принцип соответствия) квантовой и классической механика именно уравнения движения классической механики есть предельный случай более общих уравнений квантовой механики. Однако найденные Эренфестом уравнения не тождественны ньютоновским. Действительно, стоящая в правой части ( 5.3.5 ) средняя сила, вообще говоря, не совпадает с классической силой, действующей в точке ⟨ ̂︀ r⟩: ⟨̂︀ F(r)⟩ ̸= Для левой и правой частей ( 5.3.6 ) имеем = ⟨ ̂︀ 𝐹 (⟨r⟩) + ( ̂︀ r − ⟨ ̂︀ r⟩) ∇F(⟨ ̂︀ r⟩) + + 1 2 ( ̂︀ 𝑟 𝛼 − ⟨ ̂︀ 𝑟 𝛼 ⟩)( ̂︀ 𝑟 𝛽 − ⟨ ̂︀ 𝑟 𝛽 ⟩) · 𝜕 2 F(⟨ ̂︀ r⟩) 𝜕𝑟 𝛼 𝜕𝑟 𝛽 + При усреднении член св) исчезает, так что ≈ F(⟨ ̂︀ r⟩) + 1 2 ⟨( ̂︀ 𝑟 𝛼 − ⟨ ̂︀ 𝑟 𝛼 ⟩)( ̂︀ 𝑟 𝛽 − ⟨ ̂︀ 𝑟 𝛽 ⟩)⟩ Из ( 5.3.8 ) следует, что свободное движение (F = 0), движение в однородном поле (F = const) или в поле упругой силы (гармонический осциллятор с = −𝑚𝜔 2 r) всегда классичны в смысле выполнения точного равенства ⟨ ̂︀ F(r) ⟩⃒ ⃒ ⃒ ( 5.3.5 ) = 𝑚 𝑑 2 𝑑𝑡 2 ⟨ ̂︀ r⟩ = В остальных случаях равенство ( 5.3.9 ) выполняется приближённо только если волновая функция частицы кализована в достаточно малой области пространства (размер области, где плотность вероятности существенно отлична от нуля) по сравнению с размером 𝐿 области существенного изменения силы ≪ При условии классичности движения ( 5.3.10 ) вторым слагаемым в (можно пренебречь, и тогда движение области локализации частицы определится вторым законом Ньютона. Теоремы Эренфеста позволяют понять, почему движение электрона в электронно-лучевой трубке описывается классическими уравнениями, тогда как движение электрона в атоме – квантовыми Глава Теория представлений §1. Матричные представление В случае когда спектр оператора является дискретным, возникают матричные представления. Пусть спектр оператора ̂︀ 𝐺 (например, оператора Гамильтона, хотя с равным успехом это может быть оператор другой физической величины) является чисто дискретным, так что |𝑛⟩ = 𝑔 𝑛 |𝑛⟩ , |𝑛⟩ ≡ где 𝑛 = 1, 2, ... – индекс состояний дискретного спектра. Из условия полноты ⟨𝑛| = следует, что произвольный вектор состояния |𝜓⟩ может быть разложен по собственным векторам |𝑛⟩ следующим образом = ∑︁ 𝑛 |𝑛⟩ Как видимо, набор всех амплитуд ⟨𝑛|𝜓⟩ и волновая функция 𝜓 в данном 𝑔-представлении (если ̂︀ 𝐺 = ̂︀ 𝐻 – оператор Гамильтона, то говорят об энергетическом представлении) обладают одинаковой информативностью, поэтому в представлении волновую функцию можно изобразить в виде бесконечной «столбцовой матрицы = ⎛ ⎝ ⟨1|𝜓⟩ ⟨2|𝜓⟩ ⎞ ⎠ 48 Результат действия произвольного оператора ̂︀
𝐹 в представлении на вектора состояния |𝜓⟩ имеет вид ̂︀
𝐹 𝜓⟩ =
⟨
𝑛| ̂︀
𝐹
(︃
∑︁
𝑛
′
|𝑛
′
⟩ ⟨𝑛
′
|
)︃
𝜓
⟩
=
∑︁
𝑛
′
⟨𝑛| ̂︀
𝐹 |𝑛
′
⟩⟨𝑛
′
|𝜓⟩ =
=
⎛
⎝
𝐹
11
𝐹
12
· · ·
𝐹
21
𝐹
22
· · ·
· · ·
· · ·
· · Следовательно, матрица (
6.1.1
) с элементами 𝐹
𝑛𝑛
′
= ⟨𝑛| ̂︀
𝐹 |𝑛
′
⟩ есть оператор в представлении. В таком случае говорят о матричном представлении оператора ̂︀
𝐹 в базисе {|𝑛⟩} собственных векторов оператора ̂︀
𝐺. Величина ̂︀
𝐹 𝜓⟩ есть результат умножения матрицы на столбец В матричном представлении оператор является эрмитово сопряжён- ным по отношению к оператору ̂︀
𝐹 , если ̂︀
𝐹
†
|𝑛⟩
⃒
⃒
⃒
(
3.2.6
)
= ⟨𝑛| ̂︀
𝐹 Иными словами, элементы эрмитово сопряжённой матрицы получаются из элементов матрицы 𝐹 с помощью операций транспонирования (𝑛
′
и комплексного сопряжения.
Для эрмитовой матрицы 𝐹 , когда ̂︀
𝐹
†
= ̂︀
𝐹 ,
𝐹
𝑛
′
𝑛
= те. эрмитовому оператору соответствует эрмитовая матрица. Для диагональных матричных элементов 𝑛
′
= 𝑛: 𝐹
𝑛𝑛
= 𝐹
*
𝑛𝑛
, те. они для эрмитовой матрицы действительны.
В матричном представлении произведение двух произвольных операторов и ̂︀
𝐵 сводится к произведению матриц, соответствующих этим операторам В матричном представлении задача на собственные векторы и собственные значения оператора ̂︀
𝐹 принимает вид |𝑓 ⟩ = 𝑓 |𝑓 ⟩
(6.1.1)
−−−−→
∑︁
𝑛
′
𝐹
𝑛𝑛
′
⟨𝑛
′
|𝑓 ⟩ = 𝑓 ⟨𝑛|𝑓 ⟩ = 𝑓 𝛿
𝑛𝑛
′
⟨𝑛
′
|𝑓 те. сводится к решению системы алгебраических уравнений с нулевой правой частью 𝑓 𝛿
𝑛𝑛
′
) ⟨𝑛
′
|𝑓 ⟩ = 0 49
Эта система разрешима, если детерминант матрицы, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль det ‖𝐹 𝑛𝑛 ′ − 𝑓 𝛿 𝑛𝑛 ′ ‖ = Корнями этого уравнения являются собственные значения 𝑓 В собственном 𝑓 -представлении оператор ̂︀ 𝐹 есть диагональная матрица ̂︀ 𝐹 |𝑓 ⟩ = 𝑓 ⟨𝑓 ′ |𝑓 ⟩ = 𝑓 При этом диагональными элементами являются собственные значения оператора Унитарное преобразование векторов состояний и операторовРассмотрим теперь вопрос, как преобразуются матрицы векторов состояний и операторов при переходе от одного дискретного базиса к другому (или при переходе от одного представления к другому). Пусть спектры операторов ̂︀ 𝐿 и ̂︁ 𝑀 дискретны |𝜆⟩ = 𝜆 |𝜆⟩ , |𝜆⟩ = |𝜒 𝜆 ⟩ ̂︁ 𝑀 |𝜇⟩ = 𝜇 |𝜇⟩ , |𝜇⟩ = Вектор состояния |𝜓⟩ может быть разложен как по базисным векторам таки по базисным векторам |𝜇⟩, те = ∑︁ 𝜆 |𝜆⟩ ⟨𝜆|𝜓⟩ = ∑︁ 𝜇 |𝜇⟩ Обозначим = 𝑏𝑘𝜒 𝜆 𝜓 = 𝜓 𝜆 ⟨𝜇|𝜓⟩ = ⟨𝜙 𝜇 |𝜓⟩ = где, в соответствии с предыдущим параграфом, 𝜓 𝜆 – волновая функция в 𝜆- представлении (вектор-столбец), 𝜓 ′ 𝜇 – волновая функция в 𝜇-представлении. Тогда каждый элемент базиса можно разложить по элементам базиса ⟨𝜇|𝜓⟩ = ∑︁ 𝜆 ⟨𝜇|𝜆⟩ ⏟ ⏞ 𝑈 𝜇𝜆 ⟨𝜆|𝜓⟩ где 𝑈 𝜇𝜆 00 матрица перехода от волновой функции к волновой функции. Этаже матрица связывает друг с другом базисные векторы = ∑︁ 𝜆 ⟨𝜇|𝜆⟩ ⏟ ⏞ 𝑈 𝜇𝜆 ⟨𝜆| = ∑︁ 𝜆 𝑈 𝜇𝜆 ⟨𝜆| |𝜇⟩ = ∑︁ 𝜆 |𝜆⟩ ⟨𝜆|𝜇⟩ = ∑︁ 𝜆 𝑈 * 𝜇𝜆 |𝜆⟩ 50 Из условий ортонормировки имеем = 𝛿
𝜇𝜇
′
⟨𝜆|𝜆
′
⟩ = поэтому ⟨𝜇|𝜇
′
⟩ =
∑︁
𝜆
∑︁
𝜆
′
⟨𝜇|𝜆⟩
⏟ ⏞
𝑈
𝜇𝜆
⟨𝜆|𝜆
′
⟩
⏟ ⏞
𝛿
𝜆𝜆′
⟨𝜆
′
|𝜇
′
⟩
⏟
⏞
(𝑈
†
)
𝜆′ где матричные элементы эрмитово сопряжённой матрицы 𝑈
†
(см.
предыдущий параграф).
Определение 1. Оператор ̂︀
𝑈 называется унитарным, если ̂︀
𝑈
†
= те. ̂︀
𝑈
†
̂︀
𝑈 = ̂︀
𝑈 ̂︀
𝑈
†
= Очевидно, что унитарному оператору соответствует унитарная матрица.
Действительно, если ̂︀
𝑈
†
̂︀
𝑈 = 1, то отсюда 𝑈
†
= Итак, мы доказали, что преобразование вектора состояния из одного представления в другое является унитарным = ̂︀
𝑈 Здесь, согласно соотношению (
6.2.1
), унитарный оператор ̂︀
𝑈 переводит вектор некоторого состояния |𝜓⟩ в исходном представлении в вектор этого же состояния в другом 𝜇-представлении.
Пусть ̂︀
𝐹 – оператор физической величины в исходном представлении соответствующий оператор в новом представлении. Выразим их друг через друга. Для этого запишем преобразование матричных элементов при переходе от одного представления к другому ⟨𝜇| ̂︀
𝐹 |𝜇
′
⟩ =
∑︁
𝜆
∑︁
𝜆
′
⟨𝜇|𝜆⟩
⏟ ⏞
𝑈
𝜇𝜆
⟨𝜆| ̂︀
𝐹 |𝜆
′
⟩
⏟
Следовательно матрицы и 𝐹 одного итого же оператора ̂︀
𝐹 в 𝜇- и 𝜆- представлениях связаны друг с другом следующим образом 𝑈 𝐹 𝑈
†
(6.2.4)
51
Умножая обе части равенства ( 6.2.4 ) слева на 𝑈 † , а справа на 𝑈 , получаем = Из матричных равенства ( 6.2.4 ) и ( 6.2.5 ) следуют унитарные преобразования оператора ̂︀ 𝐹 физической величины между исходными новым представлениями В классе унитарных преобразований векторов состояний и операторов справедливы следующие утверждения. Скалярное произведение любых двух векторов |𝜓 1 ⟩ и |𝜓 2 ⟩ инвариантно к их унитарному преобразованию = ⟨𝜓 1 |𝜓 2 ⟩ 2. Унитарные преобразования не меняют собственных значений наблюдаемой (эрмитова оператора если ̂︀ 𝐹 |𝑓 ⟩ = 𝑓 |𝑓 ⟩, то ̂︁ 𝐹 ′ |𝑓 ′ ⟩ = 𝑓 |𝑓 ′ ⟩ 3. Унитарные преобразования не нарушают эрмитовости оператора если ̂︀ 𝐹 , то (̂︁ 𝐹 ′ ) † = ̂︁ 𝐹 ′ 4. Унитарные преобразования сохраняют коммутационные соотношения: если [ ̂︀ 𝐹 , ̂︀ 𝐺] = ̂︀ 𝐾, то [̂︁ 𝐹 ′ , ̂︁ 𝐺 ′ ] = ̂︁ 𝐾 ′ 5. Значения матричных элементов и средние значения наблюдаемых не меняются при унитарных преобразованиях ⟨𝜓 1 | ̂︀ 𝐹 |𝜓 2 ⟩ = Упражнение 1. Доказать утверждения Из сформулированных выше утверждений можно сделать вывод, что все физические (наблюдаемые) величины, которые можно сравнить сданными эксперимента, не меняются при унитарном преобразовании (в частности, при смене представления. Поэтому при унитарности преобразования физическое содержание теории остаётся неизменным. В классической механике преобразования с такими свойствами называются каноническими(см. § 45 т. I Л.Л.). Таким образом, унитарные преобразования в квантовой механике – аналог канонических преобразований в классической. В заключение этого раздела вернёмся к Теореме 1 гл. 4) об одновременной измеримости двух физических величин ̂︀ 𝐹 и ̂︀ 𝐺. Докажем достаточность утверждения теоремы при вырожденном спектре оператора ̂︀ 𝐹 и имеет собственные значения 𝑓 𝑛 → {︁⃒ ⃒ ⃒ 𝜓 (𝑖) 𝑛 ⟩}︁ ≡ ⃒ ⃒ 𝑛 (𝑖) ⟩︀ , 𝑖 = 1..𝑘 где 𝑘 – кратность вырождения собственного значения 𝑓 𝑛 . Но тогда любая линейная комбинация векторов , ⃒ ⃒ 𝑛 (2) ⟩︀ , ..., ⃒ ⃒ 𝑛 (𝑘) ⟩︀ также является собственным вектором оператора, отвечающим собственному значению Пусть унитарная матрица 𝑈 есть матрица перехода от одного ортонормированного набора векторов к другому {︀ ⃒ ⃒ 𝑛 ′(𝑖) ⟩︀}︀, т.е. ⃒ ⃒ ⃒ 𝑛 ′(𝑖) ⟩ = ∑︁ 𝑗 𝑈 𝑖𝑗 ⃒ ⃒ ⃒ 𝑛 (𝑗) ⟩ Тогда в представлении векторов матрица оператора имеет вид 𝑈 Из линейной алгебры известно, что подходящим унитарным преобразованием любая эрмитовая матрица может быть переведена к диагональному виду. После такого приведения имеем или Таким образом векторы , ⃒ ⃒ 𝑛 ′(2) ⟩︀ ... ⃒ ⃒ 𝑛 ′(𝑘) ⟩︀ являются искомыми собственными векторами как для оператора ̂︀ 𝐹 , таки для оператора ̂︀ 𝐺. Теорема до- казана. §3. Координатное и импульсное представления Состояние частицы (квантовой системы) в точке r по определению зада- ётся вектором состояния |r⟩, состояние частицы с импульсом p – вектором. Поскольку координата – физическая величина, то её соответствует оператор, для которого векторы |r⟩ – собственные векторы с соответствующими собственными значениями |r ′ ⟩ = Здесь r ′ – собственное значение оператора координаты (действительный радиус-вектор), и оно соответствует тому, что частица находится в точке с координатами r ′ , а r ′ – собственный вектор, отвечающий собственному значению Те же самые слова можно произнести и для импульса частицы |p ′ ⟩ = Здесь p ′ – собственное значение оператора импульса, и оно соответствует тому, что частица обладает импульсом p ′ 53
Домножая соотношение (
6.3.2
) слева на ⟨p
′′
|, получим p
′
⟩ = и учитывая, что собственные векторы состояний непрерывного спектра нормированы на функцию (см. (
3.4.3
)):
⟨p
′′
|p
′
⟩ = 𝛿(p
′′
− находим, что в представлении матрица оператора импульса имеет вид p
′
⟩ = p
′
𝛿(p
′′
− Аналогично с учётом непрерывного характера спектра оператора координаты) (его спектр – всё вещественное трёхмерное пространство)
находим, что матрица оператора координаты в собственном, те. координатном представлении, имеет вид r
′
⟩ = r
′
𝛿(r
′′
− Из § 3 гл. 3, оператор |r⟩ проектирует любой вектор |𝜓⟩ на базисный вектор состояний с координатой r
̂︀
𝑃
r
|𝜓⟩ = |r⟩ ⟨r|𝜓⟩ = ⟨r|𝜓⟩ Здесь проекция ⟨r|𝜓⟩ показывает, как выглядит состояние |𝜓⟩ в точке r. Но это нечто иное как, по определению, волновая функция ≡ Разложим ∀ |𝜓⟩ ∈ ℋ по базису {|r⟩} с учётом условия полноты для векторов состояний непрерывного спектра (§ 4 гл. 3):
|𝜓⟩ =
∫︁
|r⟩ ⟨r|𝜓⟩ Анализируя соотношения (
6.3.7
) и (
6.3.8
), можно заключить, что континуум компонент вектора |𝜓⟩ в базисе {|r⟩} есть комплекснозначная функция вещественного аргумента r или волновая функция в координатном (r-) пред- ставлении.
Аналогично можно построить волновую функцию в импульсном (представлении =
∫︁
|p⟩ ⟨p|Φ⟩ 𝑑p
(
6.3.8
′
)
54
где ≡ Φ (следует рассматривать как комплекснозначную функцию вещественной переменной. Её физический смысл |Φ (p)| 2 𝑑p – вероятность обнаружить значения импульса частицы в интервале (p, p + 𝑑p) был выявлен ранее в 1 гл. 2, где 𝐶(p) ≡ Пусть |𝜓⟩ ≡ |p⟩, тогда ( 6.3.6 ) имеем = ⟨r|p⟩ где волновая функция ⟨r|p⟩ описывает состояние частицы с определённым импульсом p в точке с радиусом-вектором r, те. свободную частицу, которой отвечает волна де Бройля: Ψ p (r, 𝑡)| ( 2.1.2 ) = 1 (2𝜋) (3/2) 𝑒 𝑖 ℎ (pr−𝐸𝑡) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 6.3.6 ′ ) = Теперь легко получить связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях) ≡ ⟨r|𝜓⟩ = ∫︁ ⟨r|p⟩ ⏟ ⏞ 𝜓 p (r) ⟨p|𝜓⟩ ⏟ ⏞ 𝜓(p) 𝑑p = ∫︁ 𝜓 p (r)𝜓(p) 𝑑p (6.3.10) – аналог построения волнового пакета из волн де Бройля (см. ( 2.1.4 )). Также можно записать) ≡ ⟨p|𝜓⟩ = ∫︁ ⟨p|r⟩ ⏟ ⏞ ⟨r|p⟩ * ⟨r|𝜓⟩ 𝑑r = ∫︁ 𝜓 * p (r)𝜓(r) 𝑑r (6.3.11) – Фурье-образ волновой функции 𝜓r (см. (Определим, как действуют операторы координаты r и импульса p на произвольный вектор состояний в собственном базисе (представлении. Подействуем сначала на произвольный вектор состояния оператором координаты где |𝜙⟩ – неизвестный пока вектор. В базисе собственных состояний оператора координаты вид неизвестного состояния получается разложением его по базису состояний Проекции этого разложения по определению дают значения состояния |𝜙⟩ в точке с координатой r, те. волновую функцию
𝜙(r):
⟨r|𝜙⟩ ≡ 𝜙(r)|
(
6.3.12
)
= ⟨r |
̂︀
r| 𝜓⟩ = ⟨r |
̂︀
r · 1
r
′
| 𝜓⟩ =
=
⟨
r
⃒
⃒
⃒
⃒
̂︀
r
∫︁
𝑑r
′
⃒
⃒
⃒
|
Скачать 1.26 Mb.