Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
⃒Шрёдингера для частицы с массой 𝑚 в координатном представлении имеет вид |𝜓⟩ = (︂ ̂︀ p 2 2𝑚 + ̂︀ 𝑈 (r) )︂ |𝜓⟩ = 𝐸 Проводим преобразования ( 6.3.16 ) по известной схеме ̂︀ 𝐻|𝜓⟩ = ⟨p| ̂︀ 𝐻 · 1 p ′ |𝜓⟩ = ∫︁ 𝑑p ′ ⟨p| ̂︀ 𝐻|p ′ ⟩⟨p ′ |𝜓⟩ = = ∫︁ 𝑑p ′ [︁⟨ p ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ 𝑇 ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ + ⟨ p ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ 𝑈 (В соответствии с Упр. 2 для действия 𝐹 ( ̂︀ p) получаем: ∫︁ 𝑑p ′ ⟨ p ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ 𝑇 ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ 𝜓(p ′ ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ упр. 2 = ∫︁ 𝑑p ′ ⟨ p ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ p ′2 2𝑚 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ 𝜓(p ′ ) = = ∫︁ 𝑑p ′ p ′2 2𝑚 ⟨p|p ′ ⟩ ⏟ ⏞ 𝛿(p−p ′ ) 𝜓(p ′ ) = p 2 Матричный элемент (нам пока неизвестен. Расщепим его единичными операторами (r) ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ = ⟨ p ⃒ ⃒ ⃒1 r · [ 𝑈 (r) · 1 r ′ ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ = ∫︁ ∫︁ 𝑑r𝑑r ′ ⟨p|r⟩ ⏟ ⏞ ⟨r|p⟩ * ⟨ r ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ 𝑈 (r) ⃒ ⃒ ⃒ r ′ ⟩ ⏟ ⏞ 𝑈 (После одного интегрирования по координате r ′ , получаем (r) ⃒ ⃒ ⃒ p ′ ⟩ = ∫︁ 𝑑r 𝜓 * p (r)𝑈 (r)𝜓 p ′ (r) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 6.3.9 ) = = 1 (2𝜋) 3 ∫︁ 𝑑r𝑒 − 𝑖 ( p−p ′ ) r 𝑈 (r) = 𝑊 (p − Итак, матричный элемент оператора потенциальной энергии в импульсном представлении связан с Фурье-образом потенциала 𝑈 (r). В представлении оператор потенциальной энергии 𝑈 (r) является локальным (он зависит от одной переменной, а в представлении оператор потенциальной энергии (p − p ′ ) становится нелокальным, те. зависит от двух переменных p и С учётом преобразований ( 6.3.17 ) и ( 6.3.18 ), стационарное уравнение Шрёдингера в импульсном представлении принимает вид 2𝑚 𝜓(p) + ∫︁ 𝑊 (p − p ′ )𝜓(p ′ ) 𝑑p = 𝐸𝜓(p) (6.3.19) 57 6.3.19 ) получается только при условии, что Фурье-образ потенциала ( 6.3.18 ) суще- ствует. Уравнение Шрёдингера в импульсном представлении, конечно, эквивалентно уравнению Шрёдингера в координатном, поскольку одно получается из другого фактически преобразованием Фурье. Однако, в некоторых случаях уравнение в представлении решается проще, и этим можно воспользоваться в практических расчётах (см. например задачу 1 из второго задания. В рамках разработанных в этом параграфе схем преобразований можно также получить выражения для оператора координаты в импульсном представлении = 𝑖 𝜕 𝜕p , и для оператора импульса в координатном представлении = Оператор эволюции. Представление Шрё- дингера и Гайзенберга. Уравнение Гайзен- берга для операторов физических величин Представления Шрёдингера и Гайзенберга – это не совсем те представления, о которых говорилось в предыдущих параграфах. Здесь речь пойдёт не о выборе базиса для волновой функции и не о представлении векторов и операторов в виде матриц. В контексте этого параграфа мы будем говорить о представлении изменения состояния во времени или о разных способах описания временной эволюции квантовой системы. Фактически речь пойдёт о разных способах введения времени в формальную схему квантовой механики. В классической механике обычно применяется термин уравнения движения, ибо рассматривается изменение пространственного положения частицы. Мы будем применять термин уравнение эволюции во времени». Он является более общим, те. могут изменяться и внутренние свойства системы, не сводящиеся к перемещению в пространстве. Иногда вместо представлений говорят о картине Шрёдингера или Гайзенберга. В представлении Шрёдингера операторы, как правило, не зависят явно от времени, а вся зависимость от времени входит через векторы состояния. Зависимость вектора состояния от времени определяется уравнением Шрёдингера 𝑖 𝜕 𝜕𝑡 |Ψ(𝑡)⟩ = ̂︀ 𝐻 Пусть по определению |Ψ(𝑡)⟩ = ̂︀ 𝑈 (𝑡) где ̂︀ 𝑈 (𝑡) – оператор эволюции, отображающий пространство векторов в начальный момент времени 𝑡 = 0 в пространство векторов |Ψ(𝑡)⟩ в момент времени 𝑡. Из сохранения во времени нормировки состояний = ⟨Ψ(0)| ̂︀ 𝑈 † (𝑡) ̂︀ 𝑈 (𝑡)|Ψ(0)⟩ = следует, что ̂︀ 𝑈 † (𝑡) ̂︀ 𝑈 (𝑡) = 1, те. унитарность оператора эволюции (см. § 2 гл. Для получения в явном виде оператора ̂︀ 𝑈 (𝑡) подставим определение (в уравнение Шрёдингера ( 6.4.1 ): {︂ 𝑖 𝜕 𝜕𝑡 ̂︀ 𝑈 (𝑡) − ̂︀ 𝐻 ̂︀ 𝑈 (𝑡) }︂ |Ψ(0)⟩ = Поскольку состоания |Ψ(0)⟩ задано, те. произвольное, то соотношения) и ( 6.4.2 ) сводятся к операторному уравнению (𝑡) = ̂︀ 𝐻 ̂︀ 𝑈 (Если ̂︀ 𝐻 не зависит от 𝑡, те. 𝜕 ̂︀ 𝐻/𝜕𝑡 = 0, то решение операторного уравнения) с начальным условием ̂︀ 𝑈 (0) ̸= 1 (см. ( 6.4.2 )) можно записать в виде (𝑡) = Определение 1. Операторная экспонента задаётся рядом степенных операторов Мы видим, что изменение стечением времени волновой функции может быть представлено как результат унитарного преобразования, оператор которого зависит от времени. Определение 2. Описание временной эволюции квантовой системы, когда вектор состояния (или волновая функция) зависит от времени, а операторы не зависят, называется представлением (картиной) Шрёдингера Рассмотрим другой способ описания временной эволюции системы или другой способ введения времени – представление Гайзенберга. Идея состоит в том, чтобы перенести зависимость от времени на операторы, тогда как волновая функция от времени не зависит, те. она неподвижна. Иными словами, попытаемся для описания временной эволюции системы использовать только начальное состояние |Ψ(0)⟩. Далее совершим над векторами состояния в представлении Шрёдингера унитарное преобразование посредством зависящего от времени оператора ̂︀ 𝑈 (𝑡). Пусть по определению |𝜓 𝐻 ⟩ ≡ тогда ≡ |𝜓 𝑆 (0)⟩| ( 6.4.2 ) ≡ ̂︀ 𝑈 † (𝑡) |𝜓 𝑆 (𝑡)⟩ ⃒ ⃒ ⃒ ( 6.4.4 ) = Упражнение 1. Доказать, что если ̂︀ 𝑈 (𝑡) = exp (︁ − 𝑖 ̂︀ 𝐻𝑡 )︁ , то ̂︀ 𝑈 † (𝑡) = exp (︁ 𝑖 ̂︀ 𝐻𝑡 )︁ , используя определение (Согласно ( 6.2.2 ) и ( 6.2.4 ′ ) имеем соответствующее преобразования для операторов) = ̂︀ 𝑈 † (𝑡) ̂︁ 𝐹 𝑆 ̂︀ 𝑈 (𝑡) = Упражнение 2. Доказать операторное равенство ̂︀ 𝐴 ̂︀ 𝐵𝑒 −𝜉 ̂︀ 𝐴 = ̂︀ 𝐵 + 𝜉 [︁ ̂︀ 𝐴, ̂︀ 𝐵 ]︁ + 𝜉 2 2! [︁ ̂︀ 𝐴, [︁ ̂︀ 𝐴, ̂︀ 𝐵 ]︁]︁ + где 𝜉 – произвольный комплексный параметр, в нашем случае 𝜉 = 𝑖 𝑡, ̂︀ 𝐴 = ̂︁ 𝐻 𝑆 , ̂︀ 𝐵 = Применим равенство из упражнения к правой части ( 6.4.7 ): ̂︁ 𝐹 𝐻 (𝑡) = ̂︁ 𝐹 𝑆 + 𝑖 𝑡 [︁ ̂︁ 𝐻 𝑆 , ̂︁ 𝐹 𝑆 ]︁ − 𝑡 2 2 2 [︁ ̂︁ 𝐻 𝑆 , [︁ ̂︁ 𝐻 𝑆 , ̂︁ 𝐹 𝑆 ]︁]︁ + Из ( 6.4.8 ) следует, что если является оператором интеграла движения, т.е. [︁ ̂︁ 𝐻 𝑆 , ̂︁ 𝐹 𝑆 ]︁ = 0 (см. § 2 гл. 5), то ̂︁ 𝐹 𝐻 (𝑡) = ̂︁ 𝐹 𝑆 , те. гайзенберговские операторы интегралов движения не зависят от времени и совпадают с соответствующими операторами в представлении Шрёдингера. В частности, это относится к гамильтониану системы ̂︁ 𝐻 𝑆 = так что вместо ( 6.4.7 ) теперь может написать) = 𝑒 (𝑖/) ̂︀ 𝐻𝑡 ̂︁ 𝐹 𝑆 𝑒 −(𝑖/) Продифференцировав ( 6.4.9 ) повремени (разумеется, считая при этом операторы и ̂︀ 𝐻 не содержащими 𝑡), получим) = 𝑖 [︁ ̂︀ 𝐻, ̂︁ 𝐹 𝐻 ]︁ (6.4.10) – уравнение движения для гайзерберговского оператора ̂︁ 𝐹 𝐻 (𝑡). 60 Определение 3. Представление, в котором эволюция во времени переносится на операторы, а векторы состояния от времени не зависят, называется представлением (картиной) Гайзерберга. Уравнение ( 6.4.10 ) очень похоже на соотношение ( 5.2.6 ). Однако заметим, что последнее представляет собой определение оператора скорости изменения физической величины в картине Шрёдингера, тогда как соотношение) записано для гайзерберговского оператора. Описание эволюции системы в представлении Гайзенберга физически совершенно эквивалентно описанию в представлении Шрёдингера, те. эти представления связаны унитарным преобразованием (унитарно эквивалентны. Однако конкретные вычисления для определённой задачи водном представлении могут оказаться значительно проще, чем в другом. Отметим, что в представлении Гайзенберга также, как в и представлении Шрёдингера, остаётся полная свобода выбора обобщённых координат системы. В обоих случаях существуют координатное, импульсное и множество других представлений в том смысле, что в качестве независимых переменных волновых функций могут быть выбраны r, p и другие физические величины Глава Операторные методы в квантовой механике. Метод вторичного квантования Общая идея этой главы состоит в получении результатов не переходя ник какому конкретному представлению. В результате получим метод, допускающий глубокие обобщения и являющийся основой метода вторичного квантования, нашедшего широкое применение в квантовой теории поля и физике конденсированного состояния. §1. Операторы уничтожения и рождения в теории линейного гармонического осциллятора Собственные векторы |𝑛⟩ гамильтониана линейного гармонического осциллятора ГО, отвечающие собственным значениям 𝐸 𝑛 , являются решениями уравнения 2𝑚 + 𝑚𝜔 2 ̂︀ 𝑥 2 2 )︃ ⏟ гамильтониан ГО = Здесь 𝑚 – масса осциллятора, 𝜔 – частота его колебаний. Введём операторы безразмерной координаты ̂︀ 𝜉 и безразмерного импульса ̂︀ 𝑝 𝜉 : 1 «Линейность» осциллятора понимается в приближении одномерных малых колебаний вблизи положения равновесия ̂︀ 𝜉 = ̂︀ 𝑥 𝑎 0 = √︂ где амплитуда нулевых колебаний 2 ГО 𝑝 0 = /𝑎 0 = √ 𝑚𝜔 – отвечающией ей импульс. Обезразмерим уравнение ( 7.1.1 ), поделив его обе части на 𝜔: 1 2 (︁ ̂︀ 𝑝 𝜉 2 + ̂︀ 𝜉 2 )︁ ⏟ безразмерный гамильтониан ≡ ̂︀ ℎ |𝑛⟩ = где 𝜀 𝑛 = 𝐸 𝑛 /(𝜔) – безразмерная энергия. При этом операторы ̂︀ 𝜉 и ̂︀ 𝑝 𝜉 удо- влетворят коммутационному соотношению = 𝑖 (7.1.2) Введём эрмитово сопряжённые (ноне эрмитовые!) операторы и ̂︀ 𝑎 † , такие, что ≡ ̂︀ 𝜉 + 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 √ 2 ̂︀ 𝑎 † ≡ ̂︀ 𝜉 − 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 √ 2 ⇒ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ̂︀ 𝜉 = ̂︀ 𝑎 + ̂︀ 𝑎 † √ 2 ̂︀ 𝑝 𝜉 = ̂︀ 𝑎 Перепишем безразмерный гамильтониан ̂︀ ℎ через и = 1 2 (̂︀ 𝜉 − 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 )(̂︀ 𝜉 + 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 ) = 1 2 (̂︀ 𝜉 2 + ̂︀ 𝑝 𝜉 2 + 𝑖 [︁ ̂︀ 𝜉, ̂︀ 𝑝 𝜉 ]︁ ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ( 7.1.2 ) = = 1 2 (̂︀ 𝜉 2 + ̂︀ 𝑝 𝜉 2 − 1) ≡ ̂︀ ℎ − 1 2 ̂︀ ℎ = ̂︀ 𝑎 † ̂︀ 𝑎 + 1 В итоге уравнение ( 7.1.1 ) на собственные векторы и собственные значения гамильтониана линейного ГО принимает вид |𝑛⟩ = Происхождение этого названия будет понятно, когда найдём спектр §2. Энергетрический спектр линейного гармонического осциллятора. Вычислим коммутатор и = 1 2 [︁ ̂︀ 𝜉 + 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 , 𝜉 − 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 ]︁ = = 1 2 (︁ 𝑖 [︁ ̂︀ 𝑝 𝜉 , ̂︀ 𝜉 ]︁ − 𝑖 [︁ ̂︀ 𝜉, ̂︀ 𝑝 𝜉 ]︁)︁ = − 2𝑖 2 [︁ ̂︀ 𝜉, ̂︀ 𝑝 𝜉 ]︁ ⏟ ⏞ =𝑖 = 1 [︀ ̂︀ 𝑎, ̂︀ 𝑎 † ]︀ = Используя тождество [ ̂︀ 𝐴, ̂︀ 𝐵 ̂︀ 𝐶] = [ ̂︀ 𝐴, ̂︀ 𝐵] ̂︀ 𝐶 + ̂︀ 𝐵[ ̂︀ 𝐴, ̂︀ 𝐶] из У1.1.6 , получим, ̂︀ ℎ ]︁ = [︀ ̂︀ 𝑎 † , ̂︀ 𝑎 † ̂︀ 𝑎 ]︀ = [︀ ̂︀ 𝑎 † , ̂︀ 𝑎 † ]︀ ⏟ ⏞ =0 ̂︀ 𝑎 + ̂︀ 𝑎 † [︀ ̂︀ 𝑎 † , ̂︀ 𝑎 ]︀ ⏟ ⏞ =−1 = − ̂︀ 𝑎 † (7.2.2) [︁ ̂︀ 𝑎, ̂︀ ℎ ]︁ = [︀ ̂︀ 𝑎, ̂︀ 𝑎 † ̂︀ 𝑎 ]︀ = [︀ ̂︀ 𝑎, ̂︀ 𝑎 † ]︀ ⏟ ⏞ =1 ̂︀ 𝑎 + ̂︀ 𝑎 † [ ̂︀ 𝑎, ̂︀ 𝑎] ⏟ ⏞ Действуя на обезразмеренное уравнение ( 7.1.3 ) слева оператором, получаем или, с учётом ( 7.2.2 ): ̂︀ ℎ (︀ ̂︀ 𝑎 † |𝑛⟩ )︀ = (𝜀 𝑛 + Итак, если |𝑛⟩ – собственный вектор гамильтониана линейного ГО, соответствующий собственному значению 𝜀 𝑛 , то ( ̂︀ 𝑎 † |𝑛⟩) – его собственный вектор, отвечающий собственному значению (𝜀 𝑛 + 1). Можно построить согласованные решения уравнений ( 7.1.3 ) и ( 7.2.4 ), если принять следующие равенства 𝜀 𝑛 + 1 ̂︀ 𝑎 † |𝑛⟩ ≡ 𝑐 𝑛 |𝑛 + те. оператора ̂︀ 𝑎 † увеличивает на единицу число квантов, поэтому он называется оператором рождения кванта колебаний. Коэффициент определяется из условия нормировки собственных векторов ̂︀ ℎ: |𝑐 𝑛 | 2 = ⟨ ̂︀ 𝑎 † 𝑛| ̂︀ 𝑎 † 𝑛⟩ = ⟨𝑛| ̂︀ 𝑎 ̂︀ 𝑎 † |𝑛⟩ ⃒ ⃒ ( 7.2.1 ) = ⟨𝑛| ̂︀ 𝑎 † ̂︀ 𝑎 + 1|𝑛⟩ = = ⟨ 𝑛 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ̂︀ ℎ + 1 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑛 ⟩ = 𝜀 𝑛 + 1 2 (7.2.6) 64 Аналогичным образом, действуя на ( 7.1.3 ) слева оператором, получаем |𝑛⟩ = 𝜀 𝑛 ̂︀ 𝑎 или, с учётом ( 7.2.3 ): ̂︀ ℎ( ̂︀ 𝑎 |𝑛⟩) = (𝜀 𝑛 − 1)( ̂︀ 𝑎 Если |𝑛⟩ – собственный вектор гамильтониана линейного ГО, соответствующий собственному значению 𝜀 𝑛 , то ( ̂︀ 𝑎 |𝑛⟩) – его собственный вектор, отвечающий собственному значению (𝜀 𝑛 − 1). Можно построить согласованные решения уравнений ( 7.1.3 ) и ( 7.2.7 ), если принять следующие равенства 𝜀 𝑛 − 1 ̂︀ 𝑎 |𝑛⟩ = 𝑐 ′ 𝑛 |𝑛 − те. оператор уменьшает на единицу число квантов, поэтому он называется оператором уничтожения кванта колебаний. Коэффициент опять определяется из условия нормировки собственных векторов ̂︀ ℎ: |𝑐 ′ 𝑛 | 2 = ⟨ ̂︀ 𝑎𝑛| ̂︀ 𝑎𝑛⟩ = ⟨𝑛| ̂︀ 𝑎 † ̂︀ 𝑎|𝑛⟩ = ⟨ 𝑛 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − 1 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑛 ⟩ = 𝜀 𝑛 − 1 Поскольку |𝑐 ′ 𝑛 | 2 > 0, то 𝜀 > 1/2. Таким образом, среди собственных значений существует минимальное значение 𝜀 0 = 1/2. Ему отвечает собственный вектор |0⟩, такой что (см. ( 7.2.8 ) и ( 7.2.9 )) ̂︀ 𝑎 |0⟩ = Совокупность собственных значений ̂︀ ℎ, согласно ( 7.2.5 ) и ( 7.2.8 ), описывается формулой 𝑛 + 1 2 , 𝑛 = 0, 1, Следовательно, спектр линейного ГО имеет вид 𝜔 (︂ 𝑛 + 1 2 )︂ , 𝑛 = 0, 1, Характерной особенностью спектра линейного ГО является его эквидистант- ность: расстояние между двумя любыми соседними энергетическими уровнями равно 𝜔 (см. рис. При 𝑛 = 0: 𝜔 2 = 𝑚𝜔 2 2 𝑎 2 0 → 𝑎 0 = √︂ 𝑚𝜔 – амплитуда нулевых колебаний ГО 𝑥 𝑈 (𝑥) 𝑎 0 𝑛 = 0 𝑛 = 1 𝑛 = 2 𝜔 𝑛 = 3 Рис. 7.1: Спектр гармонического осциллятора. Если коэффициенты и выбрать действительными, то из соотношений) и ( 7.2.10 ) вместо ( 7.2.5 ) и ( 7.2.8 ) имеем = √ 𝑛 + 1 |𝑛 + 1⟩ ( 7.2.5 ′ ) ̂︀ 𝑎 |𝑛⟩ = √ 𝑛 |𝑛 − соответственно. Поэтому операторы и ̂︀ 𝑎 † ещё называют понижающими повышающим соответственно. §3. Построение собственных функций осциллятора в координатном представлении с помощью операторов рождения и уничтожения. Связь го состояния осциллятора с основным. Уравнение, определяющее вектор основного состояния линейного ГО |0⟩ ≡ |𝜓 0 ⟩, те. состояния с минимальной энергией 𝜀 0 , может быть записано как |0⟩ = или + 𝑖 ̂︀ 𝑝 𝜉 ) |𝜓 |