Лекции по квантовой механике Редакция от 26 марта 2016 г Оглавление 1 Волновые свойства частиц 1 волна де Бройля 1
 Скачать 1.26 Mb.
|
1.2 Матрицы Дирака и их свойства Напомним, что любая эрмитова матрица всегда может быть диагонали- зирована с помощью подходящей унитарной матрицы ̂︀ 𝑈 ( ̂︀ 𝑈 ̂︀ 𝑈 † = ̂︀ 𝑈 † ̂︀ 𝑈 = см. §2 главы VI). Те, например, для матрицы ̂︀ 𝛽 всегда может быть подобрана такая унитарная матрица ̂︀ 𝑈 , что ̂︀ 𝛽 ′ = ̂︀ 𝑈 ̂︀ 𝛽 станет диагональной матрицей. Из условий ( 14.1.5 ) ̂︀ 𝛼 2 𝑖 = ̂︀ 𝛽 2 = ̂︀ 1 следует, что собственными значениями матриц ̂︀ 𝛼 𝑖 и ̂︀ 𝛽 являются числа ±1. Это означает, что диагонализированные матрицы ̂︀ 𝛼 ′ 𝑖 и могут иметь на главной диагонали только числа ±1. 130 Покажем, наконец, что след искомых матриц равен нулю. Напомним, что след матрицы 𝐴, sp ̂︀ 𝐴 есть сумма ее диагональных элементов. Если след вычисляется от произведения матриц, то матрицы под знаком следа можно переставлять, а именно ̂︀ 𝐴 ̂︀ 𝐵 = ∑︁ 𝑖 ∑︁ 𝑗 𝐴 𝑖𝑗 𝐵 𝑗𝑖 = ∑︁ 𝑗 ∑︁ 𝑖 𝐵 𝑗𝑖 𝐴 𝑖𝑗 = sp ̂︀ 𝐵 Итак, домножая ̂︀ 𝛼 𝑖 ̂︀ 𝛽 = − слева на матрицу ̂︀ 𝛽, получаем = Следовательно) = − sp( ̂︀ 𝛽 ̂︀ 𝛼 𝑖 ̂︀ 𝛽) = − sp( ̂︀ 𝛽 ̂︀ 𝛽 ̂︀ 𝛼 𝑖 ) = − sp( ̂︀ 𝛼 𝑖 ) → sp( ̂︀ 𝛼 𝑖 ) = Аналогично sp ̂︀ 𝛽 = 0 Заметим, что след матрицы нечувствителен к унитарным преобразованиям, те, например) = sp (︁ ̂︀ 𝑈 ̂︀ 𝛼 𝑖 ̂︀ 𝑈 † )︁ = sp (︁ ̂︀ 𝛼 𝑖 ̂︀ 𝑈 ̂︀ 𝑈 † )︁ = sp( ̂︀ 𝛼 𝑖 ) = Таким образом, принимая во внимание, что на главной диагонали матриц ̂︀ 𝛼 ′ 𝑖 и стоят только числа ±1, мы приходим к выводу матрицы ̂︀ 𝛼 𝑖 и ̂︀ 𝛽 могут иметь только четную размерность 𝑁 = Простейшими матрицами чётной размерности являются матрицы 2 × Такими матрицами являются, например, матрицы Паули (см. §3 главы VIII): ̂︀ 𝜎 1 = (︂0 1 1 0 )︂ , ̂︀ 𝜎 2 = (︂0 −𝑖 𝑖 0 )︂ , ̂︀ 𝜎 3 = (︂1 Матрицы Паули эрмитовы ( ̂︀ 𝜎 † 𝑖 = ̂︀ 𝜎 𝑖 ) и удовлетворяют соотношениям, аналогичным ( 14.1.5 ): ̂︀ 𝜎 2 𝑖 = ̂︀ 1, { ̂︀ 𝜎 𝑖 , ̂︀ 𝜎 𝑗 } = 0 (𝑖 ̸= Однако матриц Паули всего три. В тоже время для построения релятивистского уравнения необходимы четыре матрицы, ̂︀ 𝛽. 131 Берем матрицы 4 × 4. Искомые матрицы в блочной форме (те. выраженные через матрицы-блоки размерности 2 × 2) имеют следующий вид в стандартном или дираковском представлении = (︂ ̂︀ 0 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 0 )︂ , ̂︀ 𝛽 Эти четыре матрицы Дирака удовлетворяют всем упомянутым выше свойствам (эрмитовости, унитарности (квадраты матриц равны единичной матрице 4×4), бесследовости, а также соотношениям антикоммутации (Размерности матриц ̂︀ 𝛼 𝑖 и ̂︀ 𝛽 определяют количество компонент волновой функции Ψ(r, 𝑡) — х компонентный спинор ≡ дираковский спинор или бис- пинор. §2. Состояния с положительными и отрицательными энергиями Уравнение Дирака для свободной релятивистской частицы = ̂︀ 𝐻 𝐷 Ψ = (𝑐( ̂︀ 𝛼, p) + имеет тот же вид, что и уравнение Шрёдингера. В ( 14.2.1 ), как и прежде, время считается параметром эволюции, а пространственные координаты динамическими переменными. Рассмотрим решение уравнения ( 14.2.1 ). Для стационарных состояний = const) зависимость волновой функции от времени имеет вид, 𝑡) = где 𝜓(r) удовлетворяют стационарному уравнению — уравнению на собственные значения гамильтониана Дирака) = Операторы трех компонент импульса коммутируют с гамильтонианом, p] = 0 и, значит, имеют с ним общую систему собственных функций) = Уравнение ( 14.2.3 ) указывает, что решение ( 14.2.2 ) следует искать в виде плоских волн) = 𝑢(p, 𝐸)𝑒 𝑖 (p·r) (14.2.4) 132 где 𝑢(p, 𝐸) — независящий от координат и времени, пока неизвестный, бис- пинор. Таким образом, 𝑡) = 𝑢(p, Подставим ( 14.2.4 ) в стационарное уравнение Дирака ( 14.2.2 ) {︁ 𝑐( ̂︀ 𝛼, p) + ̂︀ 𝛽𝑚𝑐 2 }︁ 𝑢(p, 𝐸)𝑒 𝑖pr = 𝐸̂︀ 1𝑢(p, где = (︂ ̂︀ 0 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 0 )︂ , ̂︀ 𝛽 Учитывая ( 14.2.3 ), имеем, p) + ̂︀ 𝛽𝑚𝑐 2 }︁ 𝑢(p, 𝐸) = 𝐸 ̂︀ 1 𝑢(p, 𝐸) Перейдём к блочной форме записи, p) ( ̂︀ 𝜎, p) ̂︀ 0 )︂ + 𝑚𝑐 2 (︂ ̂︀ 1 ̂︀ 0 ̂︀ 0 − ̂︀ 1 )︂ − 𝐸 (︂ ̂︀ 1 ̂︀ 0 ̂︀ 0 ̂︀ 1 )︂]︂ (︂𝜙 𝜒 )︂ = где 𝑢(p, 𝐸) = (︂𝜙 𝜒 )︂ , 𝜙 = (︂𝑢 1 𝑢 2 )︂ , 𝜒 = (︂𝑢 3 𝑢 4 )︂ — двухкомпонентные функции (спиноры). Тогда уравнение Дирака расщепится на два уравнения для двух двухкомпонентных спиноров 𝜙 и 𝜒: 𝑐( ̂︀ 𝜎, p)𝜒 = (𝐸 − 𝑚𝑐 2 )̂︀ 1𝜙 (14.2.5) 𝑐( ̂︀ 𝜎, p)𝜙 = (𝐸 + или − 𝑚𝑐 2 )̂︀ 1 −𝑐( ̂︀ 𝜎, p) 𝑐( ̂︀ 𝜎, p) −(𝐸 + 𝑚𝑐 2 )̂︀ 1 )︂ (︂𝜙 𝜒 )︂ = Система имеет нетривиальные решения относительно 𝜙 и 𝜒, если, p) 2 − (𝐸 2 − (𝑚𝑐 2 ) 2 )̂︀ 1 = Вспомним, что, A)( ̂︀ 𝜎, B) = (A, B)̂︀ 1 + 𝑖( ̂︀ 𝜎, [A, где A и B — произвольные векторы. Здесь A = B = p, те. ( ̂︀ 𝜎, p) 2 = Поэтому условие разрешимости системы уравнений ( 14.2.5 ), ( 14.2.6 ) принимает вид 𝐸 2 − (𝑚𝑐 2 ) 2 133 или = ± √︀ 𝑐 2 𝑝 2 + 𝑚 2 𝑐 4 = 𝜉 √︀ 𝑐 2 𝑝 2 + 𝑚 2 𝑐 4 = где 𝜉 = ±1 — знак энергии. Таким образом, согласно уравнению Дирака, в квантовой релятивистской теории присутствуют состояния не только с положительным, но и с отрицательным знаком энергии. Последние нельзя отбросить, поскольку тогда мы отбросим и часть собственных функций из полного набора функций. Значит, необходимо сохранить решения си найти им разумную физическую интерпретацию. Из ( 14.2.7 ) следует, что энергия дираковского электрона может принимать значения, принадлежащие двум областям значений (положительной и отрицательной. Эти области значений энергии разделены энергетической щелью шириной 2𝑚𝑐 2 (см. рис. Рассмотрим состояния с отрицательными энергиями. Этот континуум состояний с 𝐸 < 0 ничем неограничен снизу, те. здесь отсутствует основное состояние. Но тогда получается, что все остальные состояния дираковского спинора неустойчивы, ибо возможны спонтанные радиационные переходы электрона в состояния с более низкой энергией или каскад радиационных переходов вовсе более низкие состояния в нижнем континууме энергий (см. рис. 14.1 ). 𝐸 +𝑚𝑐 2 −𝑚𝑐 2 𝐸 = 0 0 𝐸 > 0 (𝜉 = +1) свободно < 0 (𝜉 = −1) занято Рис. 14.1: Состояния с положительными и отрицательными энергиями. В классической релятивистской механике такие состояния с отрицательными энергиями не рассматриваются на том основании, что в процессе движения энергия частицы может изменяться лишь непрерывно, скачкообразные или дискретные переходы с изменением энергии на ∆𝐸 ≥ в классике невозможны. Поэтому если с самого начала такие состояния исключить, то больше они в теории никогда не появятся. В квантовой релятивистской механике дискретные переходы возможны. Эти состояния с 𝐸 < 0 — часть полной системы состояний и их нельзя отбросить. Чтобы не было самопроизвольных переходов в нижний континуум, Дирак в 1930 г. сделал следующее предположение. Все состояния с отрицательной энергией заняты электронами в соответствии с принципом запрета Паули (глава XVI: в системе электронов водном и том же квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, образуя так называемое «море» Дирака или вакуумное состояние (когда все уровни с положительной энергией свободны, ас отрицательной энергией — заполнены электронами). При этом ни один добавочный электрон не может попасть в море дираков- ских электронов с 𝐸 < 0. Система теперь устойчива. Предполагается, что это море совершенно не наблюдаемо экспериментально, пока частицы из «моря» не станут переходить в другие состояния. Единственно возможными являются переходы в состояния с положительной энергией (см. рис. 14.2 ). 𝐸 +𝑚𝑐 2 −𝑚𝑐 2 Рис. 14.2: Образование электрон-позитронной пары по действием 𝛾-кванта. Тогда переход электрона из состояния с отрицательной энергией 𝐸 1 < 0 в состояние с положительной энергией 𝐸 2 > 0 интерпретируется как рождение 𝑒 − , пары частицы (электрона) с энергией и античастицы (позитрона) с энергией |𝐸 1 |. Обратный переход из состояния с положительной энергией 𝐸 2 > 0 в состояние с отрицательной энергией 𝐸 1 < 0, в котором выделяется энергия |𝐸 1 | + 𝐸 2 , интерпретируется как аннигиляция (взаимное уничтожение) частицы и античастицы (𝑒 − , аннигиляция с излучением кванта. Вслед за предсказанием Дираком существования позитрона, Андерсон в 1932 г. обнаружил позитроны в космических лучах. Таким образом, наличие четырех компонент волновой функции Ψ означает, что каждое состояние может иметь два знака энергии (положительный и отрицательный) и два направления спина (𝑚 𝑠 = ± 1 2 , см. §3 главы Столбец из четырех компонент для биспинора Ψ(r, 𝑡) не связан с четырех- мерностью пространства Минковского. 135 §3. Уравнение Дирака заряженной релятивистской частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули Обобщим уравнение Дирака на случай наличия внешнего электромагнитного поля, описываемого потенциалом (Φ, Функция Гамильтона заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в классической релятивистской механике имеет вид, P, 𝑡) ≡ 𝐸 = √︂ 𝑐 2 (︁ P − 𝑒 𝑐 A(r, 𝑡) )︁ 2 + 𝑚 2 𝑐 4 + 𝑒Φ(r, где обобщенный импульс P частицы связан с ее обычным импульсом p формулой, см. § 16 т. II Л.Л.) Предполагая, что та же линеаризация корня, что ив пункте 1.1, справедлива и при наличии электромагнитного поля, применяя принцип соответствия между классическими величинами и операторами, получим, 𝑡) = [︁ 𝑐( ̂︀ 𝛼, (P − 𝑒 𝑐 A)) + ̂︀ 𝛽𝑚𝑐 2 + 𝑒Φ ]︁ Ψ(r, 𝑡) (14.3.1) — уравнение Дирака для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Здесь ̂︀ P = −𝑖∇, ̂︀ P − 𝑒 𝑐 A ≡ ̂︁ P — оператор удлиненного импульса, заряд электрона 𝑒 < Рассмотрим нерелятивистский предел уравнения Дирака ( 14.3.1 ). Считая состояние стационарным, запишем Ψ(r, 𝑡) = 𝑒 − 𝑖𝐸𝑡 𝜓(r), тогда − 𝑐( ̂︀ 𝛼, ̂︁ P) − ̂︀ 𝛽𝑚𝑐 2 − 𝑒Φ ]︁ 𝜓(r) = где = (︂ ̂︀ 0 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 𝜎 ̂︀ 0 )︂ , ̂︀ 𝛽 Причем в дальнейшем будем считать 𝐸 > 0, те. зафиксируем знак энергии (в нерелятивистской квантовой механике имеются только состояния с положительной энергией) Представим далее волновую функцию в виде) = (︂𝜙(r) 𝜒(r) )︂ , где 𝜙(r) и 𝜒(r) — двухкомпонентные функции (спиноры Тогда уравнение ( 14.3.2 ) разбивается на систему двух уравнений относительно спиноров 𝜙(r) и 𝜒(r): (𝐸 − 𝑚𝑐 2 − 𝑒Φ)𝜙(r) = 𝑐( ̂︀ 𝜎, ̂︁ P)𝜒(r) (14.3.3) (𝐸 + 𝑚𝑐 2 − 𝑒Φ)𝜒(r) = 𝑐( ̂︀ 𝜎, Исследуем систему ( 14.3.3 ) в нерелятивистском пределе в слабых полях, т.е 𝐸 ≃ 𝑚𝑐 2 + 𝜀, где 𝜀 — полная нерелятивистская энергия и |𝜀 − 𝑒Φ| ≪ причем − 𝑒Φ| 𝑚𝑐 2 ∼ (︁ 𝑣 𝑐 )︁ 2 ≪ В этом случае система ( 14.3.3 ) перейдет в − 𝑒Φ)𝜙(r) = 𝑐( ̂︀ 𝜎, ̂︁ P)𝜒(r) (14.3.4) (2𝑚𝑐 2 + 𝜀 − 𝑒Φ)𝜒(r) = 𝑐( ̂︀ 𝜎, Из уравнения ( 14.3.5 ) в низшем порядке нерелятивистского приближения находим) ≈ 𝑐( ̂︀ 𝜎, Откуда видно, что в нерелятивистском приближении прите. спинор 𝜒(r) имеет по отношению к 𝜙(r) порядок малости 1. Это позволяет приговорить о двух нижних компонентах дираковского спинора, то, как о малых. Подставим далее приближенное выражение ( 14.3.6 ) для 𝜒(r) в уравнение) системы и получим с линейной точностью по 𝑣 𝑐 уравнение для двухкомпонентного спинора 𝜙(r): (𝜀 − 𝑒Φ)𝜙(r) = 1 2𝑚 ( ̂︀ 𝜎, ̂︁ P)( ̂︀ 𝜎, Упражнение 1. Доказать, что, ̂︁ P)( ̂︀ 𝜎, ̂︁ P) = ̂︁ P 2 ̂︀ 1 − 𝑒 𝑐 ( ̂︀ 𝜎, − → H где ̂︁ P = ̂︀ P − 𝑒 𝑐 A, − → H = 𝑟𝑜𝑡A. 137 Преобразуем правую часть ( 14.3.7 ), используя это тождество. В результате получаем нерелятивистское уравнение, описывающее движение заряженной частицы по спином 1/2 в электромагнитном поле 2𝑚 (p − 𝑒 𝑐 A) 2 − 𝑒 2𝑚𝑐 ( ̂︀ 𝜎, − → H ) + 𝑒Φ ]︂ 𝜙(r) = 𝜀𝜙(r) (14.3.8) — уравнение Паули (1927 г. Здесь 𝜓(r) — спинор Паули, те. двухкомпонентная волновая функция. Две компоненты соответствуют двум возможным проекциям спина на произвольное направление. Сравнивая это уравнение с уравнением Дирака, отметим, что уравнение Дирака имеет 4 линейно независимых решения 𝜉 = +1, Λ = ±1 — спиральность, те. проекция спина частицы на направление её движения (2 спиновых состояния частицы) и = −1, Λ = ±1 (2 спиновых состояния античастицы. В нерелятивистском приближении у энергии только один знак (𝜉 = +1 — см. выше, поэтому здесь достаточно двухкомпонентной волновой функции. Второе слагаемое в левой части ( 14.3.8 ) отражает наличие спиновых свойству электрона это оператор взаимодействия собственного магнитного момента частицы с внешним полем : −( ̂︀ 𝜇, − → H ) = − 𝑒 2𝑚𝑐 ( ̂︀ 𝜎, − → H ) = 𝜇 𝐵 ( ̂︀ 𝜎, − → H где 𝜇 𝐵 = − 𝑒 2𝑚𝑐 — магнетон Бора (𝑒 < 0). Собственному магнитному моменту соответствует оператор = 𝑒 2𝑚𝑐 ̂︀ 𝜎 = Выражение ( 14.3.9 ) показывает, что для спинового (или собственного) момента в гиромагнитном отношении фактор 𝑔 = 2, те. гиромагнитное отношение (отношение магнитного момента частицы к угловому моменту) в 2 раза превышает аналогичную величину, связанную с орбитальным моментом. Соответствующее предположение содержалось ещё в гипотезе Уленбека- Гаудсмита (1925 г) и было использовано Паули при написании его (феноменологического) уравнения ( 14.3.8 ), но оказалось, что этот результат есть простое следствие теории Дирака. В этом состоит огромное достоинство теории Дирака уравнение Дирака уже содержит спиновые (магнитные) свойства электрона, а уравнение Паули представляет собой лишь нерелятивистский предел уравнения Дирака! Математически переход к нерелятивистскому приближению уравнения Дирака означает пренебрежение нижними (малыми 𝑂(𝑣/𝑐)) компонентами дираковской волновой функции и переход к подпространству только «больших» (или «верних») компонент Релятивистские поправки к уравнению Шредингера частицы во внешнем электромагнитном поле. Спин-орбитальное взаимодействие В предыдущем параграфе мы преобразовали уравнение Дирака, предполагая, что оно описывает нерелятивистскую частицу. При этом мы удерживаем слагаемые первого порядка по малому параметру 𝑣/𝑐 ≪ 1. В результате было получено уравнение Паули. Рассмотрим теперь нерелятивистский предел уравнения Дирака для заряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле. Например, если электрон движется в поле неподвижного протона в атоме H, то 𝑒Φ = 𝑈 (r) = − 𝑒 2 𝑟 , A = 0 и = 0. В отсутствие магнитного поля уравнения Паули ( 14.3.8 ) переходим в обычное нерелятивистское уравнение Шрёдингера. [︂ ̂︀ p 2 2𝑚 + 𝑈 (r) ]︂ 𝜙(r) = для частицы в потенциальном поле 𝑈 (r). Таким образом, согласно теории Дирака не существует поправок первого порядка по 𝑣/𝑐 ≪ 1 к энергиям стационарных состояний атома водорода (и любой другой системы, где частица движется в электромагнитном поле). Предположим, что такие поправки существуют во втором порядке по малому параметру 𝑣/𝑐. Заметим, что для электрона в атоме водорода 𝑣 ат 𝑐 ∼ 𝑝 𝑚𝑐 ∼ 𝑚𝑐𝑎 𝐵 = ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝑎 𝐵 = 2 𝑚𝑒 2 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ = 𝑒 2 𝑐 = 𝛼 ≃ 1 137 — постоянная тонкой структуры атомных спектров те. ат 𝑐 и для описания атомных процессов нет необходимости привлекать точный гамильтониан Дирака. Достаточно найти приближённый вид уравнения по степеням разложения 𝑣/𝑐 вплоть доте. до 𝛼 2 Вернёмся к уравнению ( 14.3.5 ), из которой следует) = 𝑐( ̂︀ 𝜎 ̂︀ p) 2𝑚𝑐 2 + 𝜀 − Далее рассмотрим следующее за ( 14.3.6 ) нерелятивистское приближение+ 𝜀 − 𝑒Φ) −1 = {︂ 2𝑚𝑐 2 (︂ 1 + (︂ 𝜀 − 𝑒Φ 2𝑚𝑐 2 )︂)︂}︂ −1 = 1 2𝑚𝑐 2 (︂ 1 − 𝜀 − где, как отмечалось выше − 𝑒Φ| 𝑚𝑐 2 ∼ 𝑣 2 𝑐 2 ≪ 1. 139 Тогда из ( 14.3.4 ) и ( 14.4.1 ) получаем − 𝑒Φ) 𝜙(r) = ( ̂︀ 𝜎, ̂︀ p)𝜒(r) = {︃ 𝑐 2 ( ̂︀ 𝜎, ̂︀ p) 2𝑚𝑐 2 (︂ 1 − 𝜀 − 𝑒Φ 2𝑚𝑐 2 )︂ ( ̂︀ 𝜎, ̂︀ p) }︃ Т.к. ( ̂︀ 𝜎, p) 2 = ̂︀ p 2 , то − 𝑈 (𝑟) − ̂︀ p 2 2𝑚 ]︂ 𝜙(r) = − [︂ ( ̂︀ 𝜎, ̂︀ p) (︂ 𝜀 − 𝑈 (r) 4𝑚 2 𝑐 2 )︂ ( ̂︀ 𝜎, ̂︀ p) ]︂ ⏟ кв. рел.∼(𝑣/𝑐)2 𝜙(r) (14.4.2) Левая часть уравнения ( 14.4.2 ) напоминает нерелятивистское уравнение Шрёдингера. Однако для того, чтобы перейти от ( 14.4.2 ) к уравнению Шрё- дингера, необходимо учесть, что с точностью до членов порядка спинор) уже не может служить нерелятивистской волновой функцией, т.к. он неправильно нормирован. Действительно, если биспинор Ψ уже был нормирован на единицу, то = ∫︁ 𝑑rΨ † Ψ = ∫︁ 𝑑r(𝜙 † 𝜙 + где 𝜙 † = (Поскольку сюда входит 𝜒 † 𝜒, малый спинор 𝜒 достаточно взять впер- вом по 𝑣/𝑐 порядке, те. в форме ( 14.3.6 ): 𝜒(r) Условие нормировки принимает вид + 𝜙 † ( ̂︀ 𝜎 ̂︀ p) † 2𝑚𝑐 ( ̂︀ 𝜎 ̂︀ p) 2𝑚𝑐 𝜙 )︂ = или с учетом эрмитовости оператора и ( ̂︀ 𝜎 ̂︀ p) 2 = ̂︀ p 2 ∫︁ 𝑑r𝜙 † (̂︀ 1 + ̂︀ p 2 4𝑚 2 𝑐 2 )𝜙 = Как видим, в рассматриваемом приближении ̸= В тоже время + ̂︀ p 2 4𝑚 2 𝑐 2 ) ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ 𝜙 ⟩ = 1, 140 тес точностью до слагаемых второго порядка поимеем или + |