Решение
 Скачать 0.61 Mb.
|
|
Задание №1. Найти матрицу D=AB-BA+A-1+BT, где Вт получается из В её транспонированием.   Решение:      Так как определитель матрицы не равен нулю, следовательно, матрица не вырожденная и существует обратная матрица, которая вычисляется по формуле:  Вычислим алгебраические дополнения.          Следовательно, обратная матрица имеет вид  Транспонируем матрицу В, для этого запишем строки данной матрицы в виде столбцов с теми же самыми номерами  Вычислим матрицу D=AB-BA+A-1+BT  Ответ:  Задание №2. Выяснив вопрос о совместности системы линейных уравнений с помощью теоремы Кронекера-Капелли, решить методом последовательного исключения неизвестных.  Решение: Запишем коэффициенты СЛАУ в виде расширенной матрицы и приведем данную матрицу к ступенчатому виду:   Ранг основной матрицы  и ранг расширенной матрицы,  следовательно, так как  система совместна.Ответ: система совместна. Задание №3. Решить систему уравнений по правилу Крамера, с помощью обратной матрицы, методом Жордана-Гаусса  Решение: Запишем коэффициенты левой части системы уравнений в виде определителя   Определители  получим от данного определителя путем замены соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.      Ответ:    Задание №4. SABC тетраэдрS(1,4,2), А(-3,2,3), В(3,0,6), С(4,2,5). Средствами аналитической геометрии найти: а).  SAE, где Е - середина ВС;б).  ;в). VSABC; г). Площадь АВС;д). Высоту из вершины S; е). Уравнение плоскости SAB; ж). Уравнение прямой, проходящей через точку А, параллельно прямой SC; з). Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно SA; и). Доказать, что вектора  ,  , образуют базис и разложить вектор  по базису, где М - пересечение медиан  АВС;Решение: а).  по определению скалярного произведения двух векторов.Найдем координаты векторов  и     Тогда  б). Проекция вектора  на вектор  находится по формуле: где   . в). Объем тетраэдра вычисляется по формуле:  где    . Ответ:  г). Площадь треугольника  равна половине модуля векторного произведения вектора  на вектор  где  Ответ:  д). Высоту тетраэдра выразим из формулы объема тетраэдра  Ответ:  е). Запишем уравнение плоскости SAB как уравнение плоскости, проходящей через три точки S, A и B, оно имеет вид:        уравнение плоскости SABж). Запишем уравнение прямой   Две прямые параллельны, если координаты их направляющих векторов пропорциональны, то есть  следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой  имеет вид з). Уравнение плоскости, проходящей через точку A и  имеет вид: где  плоскости.В данном случае за вектор  можно принять вектор  Тогда   уравнение искомой плоскости.и). Используем признак линейной независимости векторов, вычислим определитель, составленный из координат векторов   Определитель  следовательно, система векторов линейно независима и образует базис.Найдем координаты вектора  в старом базисе. Для этого найдем координаты точки  Так как вектор  составляет  вектора то его координаты:  Тогда координаты точки  В итоге координаты вектора  Разложим вектор  по базису   Запишем данное разложение в координатной форме и получим систему уравнений:  Решим систему с помощью обратной матрицы. Запишем данную систему в матричном виде    Задание №5. Найти указанные пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя. а).  ,если  б).  в).  г).  Решение: Используя определение и свойства предела функций, получим а1).  а2).  подставив в многочлен  многочлен обращается в нуль, следовательно,  является корнем квадратного трехчлена, разложим его на линейные множители.     а3).  для раскрытия неопределенности в числителе и в знаменателе вынесем  за скобки, получим  б).  введем новую переменную  откуда  Логарифмируя это равенство по основанию  получим откуда  при  поэтому  в).  воспользуемся формулой второго замечательного предела   г).  Умножим и разделим выражение  на сопряженное ему, т.е. на    Задание №6. Найти производные функций а).  ;б).  в).  Δхг). Применяя дифференциал к приближенным вычислениям, найдите приближенное значение приращения функции  при  Решение: а).  Воспользуемся формулой производной частного  и производной показательной функции     б).  Воспользуемся формулой производной показательной функции  производной тригонометрической функции  и производной сложной функции   в).  Данная функция, заданная неявно, найдем производную от обеих частей равенства, учитывая, что  сложная функция.         г). Приращение функции равно произведению производной функции и приращения аргумента   Подставляем значения   Ответ:  Задание №7. Исследовать функцию  и построить график.Схема исследования: 1. Найти область определения. 2. Исследовать на четность, нечетность, периодичность. 3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 4. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва. 5. Найти точки экстремума функции и интервалы ее монотонности. 6. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. 7. Найти асимптоты графика функции. Решение: Функция определена на всей числовой прямой, то есть   следовательно, данная функция нечетная, она не является периодической.Найдем точки пересечения графика функции с осью  полагая  получим  следовательно, график функции проходит через начало координат, точка  График функции не имеет точек разрыва. Найдем производную:   приравниваем производную к нулю и находим критические точки  Найдем промежутки возрастания и убывания функции  В промежутке  функция возрастает, так как производная функции в этом промежутке положительная, а в промежутках  функция убывает, так как производная функции в этих промежутках отрицательная. При переходе через точку  производная меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку  с плюса на минус, значит  найдем вторую производную:    Приравниваем производную к нулю и находим точки перегиба   В промежутках  график функции вогнутый, так как вторая производная функции в этих промежутках положительная.В промежутках  график функции выпуклый, так как вторая производная функции в этих промежутках отрицательная.При переходе через точки  вторая производная меняет знак с минуса на плюс, а при переходе через точку  с плюса на минус, значит, в этих точках график функции имеет перегибы.Невертикальные асимптоты графика ищем в виде  где   Отсюда имеем горизонтальную асимптоту  Используя полученные данные, построим искомый график.  |