|
|
Лекция №1. Матрицы и действия над ними.. Лекция Матрицы и действия над ними Определение
Лекция 1. Матрицы и действия над ними
|
Определение. Матрицей размера  называется прямоугольная таблица из чисел 
 ,
состоящая из m строк и n столбцов.
Матрица размера mm называется квадратной.
Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение. Суммой  матриц  размера называется матрица  того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:
Произведением  матрицы  на число называется матрица  , получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на : 
Пример 1. Вычислить  , если
 .
Решение. Находим  и  , умножая элементы матрицы A на число 3, а элементы матрицы B – на 2. Имеем
Складывая теперь элементы матриц и , стоящие на одинаковых местах, получим
 .
Определение. Произведением матрицы размера на матрицу размера  называется матрица размера  , элемент которой  , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы  и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B:
Так как в произведении матриц строки и столбцы не равноправны, то  .
Пример 2. Вычислить произведение матриц
 и  .
Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д.
Пример 3. Вычислить  и  , если
 .
Решение.
Перемножим теперь матрицы в другом порядке.
Естественно, мы получили разные результаты.
Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть нулевой.
Матрицу  называют единичной.
Если матрицы A и E – квадратные одного размера матрицы, то
 .
Действительно, возьмём, например,
 .Умножим A на E справа.
Пример 4. Пусть  . Найти значение многочлена 
Решение. Подставим вместо x под знак многочлена матрицу A.
Тогда , где  , а вместо числа 4 мы ввели матрицу  , так как складывать можно только матрицы одинакового размера, но не матрицу с числом.
Вычислим  . Имеем
 .
Далее  ,
 .
|
|
Определители и их вычисление
|
Определители второго порядка
Определение. Выражение
 называется определителем 2-го порядка.
Числа  – это элементы определителя. Определитель 2-го порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, элемент  стоит в первой строке и втором столбце определителя.
Элементы  называют элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.
Пример 1. Вычислим определитель
 .
|
Определители 3-го порядка
|
Определение. Выражение
 (1.1)
называется определителем 3-го порядка.
Пример 2. Вычислить определитель:
 .
Решение. По определению получим:
Если в формуле (1.1) раскрыть определители 2-го порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то имеем:
 (1.2)
Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке:
Этот способ вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.
Пример 3. Вычислить определитель:
 по правилу треугольника.
Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.
Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида
 ,
то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали, то есть  .
Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента  , стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца определителя, обозначают Мij.
Например, для определителя
  (1.3)
миноры:
Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.
Алгебраическое дополнение элемента  обозначают  . Согласно определению:
Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений определяются по таблице:
Например, алгебраическое дополнение элемента  определителя (1.3) равно минору этого элемента, взятому со знаком минус:
 .
Из определения определителя 3-го порядка вытекает, что
 .
Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).
Таким образом, имеет место шесть разложений:
 (1.4)
Можно доказать, что сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.
Пример 4. Вычислить определитель
 ,
разлагая его по элементам второй строки.
Решение. Согласно теореме разложения имеем:
 .
|
|
Свойства определителей. Миноры
|
Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.
1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть
 .
Замечание. Определитель в правой части формулы (1.5) называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.
2.Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.
Следствие. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.
3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.
Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.
4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.
5.Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.
Пример 5. Вычислить определитель
 , используя свойства определителей.
Решение. 
  , так как у первого определителя, стоящего в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки пропорциональны.
|
В заключение перечислим свойства операций над матрицами:
1) А+В = В+А;
2) А+(В+С) = (А+В)+С;
3) (α+β)А = αА+βА, где α и β – числа;
α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);
4) А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;
5) А+0 = А;
6) АЕ = ЕА = А.
| |
|
|
Скачать 74.89 Kb.