21.02.2022 Лекция. Лекция Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса Остроградского
 Скачать 119.47 Kb.
|
|
Лекция 2. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса — Остроградского 2.1. Поток вектора напряжения Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо использовать векторный анализ — математический аппарат. Мы должны знать, что такое градиент, ротор, дивиргенция. Начнем же с понятия “поток вектора  “. Пусть имеем однородное электрическое поле (напряженность которого одинакова во всех точках пространства) с напряженностью , которое пронизывает некоторую плоскую поверхность площади S, тогда скалярное произведение  будет называться потоком вектора напряженности через поверхность S, (см. рис. 1), т.е. , (1)где  — есть вектор, равный произведению величины площади на нормаль к этой поверхности, Еn –проекция вектора на нормаль  к площадке.В общем случае поле может быть неоднородным, поверхность неплоской. В этом случае поверхность можно мысленно разбить на бесконечно малые элементарные площадки dS, которые можно считать плоскими, а поле вблизи них однородным. В таком случае поток через элементарную площадку  . (2)Полный поток вектора напряженности через поверхность S  . (3)2.2. Теорема Гаусса-Остроградского  Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r. Площадь ее поверхности  . Силовые линии электрического поля, (см. рис. 2), идут по радиусам к поверхности сферы и поэтому угол между векторами и равен нулю. . (4)Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней. Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.3):  . Согласно принципу суперпозиции  поэтому таким образом . (5)Итак, мы доказали теорему Гаусса - Остроградского: «полный поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на  ».Теорему Гаусса — Остроградского, (5), можно записать в дифференциальной форме:   , (6)где  - объемная плотность заряда. , знак  - оператор набла.Из теоремы Гаусса — Остроградского вытекают следствия: 1) линии вектора  (силовые линии) нигде, кроме зарядов, не начинаются и не заканчиваются: они, начавшись на заряде, уходят в бесконечность для положительного заряда, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на отрицательном заряде (картина силовых линий приводится на рис. 4);2) если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток через эту поверхность равен нулю; 3) если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то число входящих линий вектора напряженности равно числу выходящих и поэтому полный поток через такую поверхность равен нулю. |