21.02.2022 Лекция. Лекция Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса Остроградского
![]()
|
Лекция 2. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса — Остроградского 2.1. Поток вектора напряжения Чтобы продвинуться дальше в изучении электрического поля, необходимо использовать векторный анализ — математический аппарат. Мы должны знать, что такое градиент, ротор, дивиргенция. Начнем же с понятия “поток вектора ![]() ![]() Пусть имеем однородное электрическое поле (напряженность которого одинакова во всех точках пространства) с напряженностью ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() В общем случае поле может быть неоднородным, поверхность неплоской. В этом случае поверхность можно мысленно разбить на бесконечно малые элементарные площадки dS, которые можно считать плоскими, а поле вблизи них однородным. В таком случае поток через элементарную площадку ![]() Полный поток вектора напряженности через поверхность S ![]() 2.2. Теорема Гаусса-Остроградского ![]() Найдем поток вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом q, через сферическую поверхность радиуса r. Площадь ее поверхности ![]() ![]() ![]() ![]() Можно показать, что поток через замкнутую поверхность не зависит от формы поверхности и от расположения зарядов в ней. Рассмотрим поток, создаваемый системой зарядов, сквозь замкнутую поверхность произвольной формы, внутри которой они находятся (рис.3): ![]() ![]() Согласно принципу суперпозиции ![]() ![]() ![]() Итак, мы доказали теорему Гаусса - Остроградского: «полный поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на ![]() Теорему Гаусса — Остроградского, (5), можно записать в дифференциальной форме: ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Из теоремы Гаусса — Остроградского вытекают следствия: 1) линии вектора ![]() 2) если алгебраическая сумма зарядов, охватываемых замкнутой поверхностью, равна нулю, то полный поток через эту поверхность равен нулю; 3) если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то число входящих линий вектора напряженности равно числу выходящих и поэтому полный поток через такую поверхность равен нулю. |