Занятие 8. Теорема остроградского гаусса
 Скачать 0.92 Mb.
|
|
Занятие 8. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО – ГАУССА Учебная цель: научиться применять теорему Остроградского – Гаусса к расчету электростатических полей. Выработать навыки самостоятельного решения задач на данную тему. ЛитератураОсновная: Детлаф А.А, Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. –Гл. 14, § 14.1 – 14.2.Дополнительная: Савельева И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1989. – Т.2, гл.1, § 13,14. Контрольные вопросы для подготовки к занятиюЧем вызвана необходимость введения вектора электрического смещения (вектора электрической индукции)? Что характеризует вектор электрического смещения? Напишите выражение, устанавливающее связь между вектором электрического смещения и вектором напряженности. В чем измеряется электрическое смещение в СИ? Дайте определение потока электрического смещения, назовите единицу измерения в СИ. Сформулируйте теорему Остроградского – Гаусса. Поясните методику расчета электростатического поля с помощью теоремы Остроградского – Гаусса. Напишите выражения для вычисления напряженности электростатических полей: точечного заряда (заряженной сферы); заряженной нити (длинного цилиндра); заряженной плоскости. Краткие теоретические сведения и основные формулыНапряженность электрического поля зависит от свойств среды: нормальная составляющая напряженности поля при переходе из вакуума в среду всегда уменьшается во столько раз, во сколько возрастает диэлектрическая проницаемость. Вектор напряженности, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей. Чтобы сохранить геометрическое изображение поля при наличии нескольких сред, вводят вспомогательное векторное поле, характеризуемое вектором электрического смещения (вектором электрической индукции)  .Для электрически изотропной среды  (8.1) Электрическое смещение измеряется в СИ в  .В отличие от напряженности  вектор электрического смещения не зависит от свойств среды.Вектор характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, которое имеется при наличии диэлектрика.Как и поле поле изображается с помощью линий электрического смещения (линий индукции).Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением в этой точке, а число линий (поток электрического смещения е), проходящих через единицу площади поверхности, перпендикулярной линиям индукции (густота линий индукции), равнялось бы численному значению вектора в данной точке: (8.2)Электрический поток через элементарную площадку dS  (8.3)где  - площадь проекции элементарной поверхности dS на плоскость, перпендикулярную к вектору ;  - единичный вектор, нормальный к площадке dS; =  .Полный поток е электрического смещения через поверхность S называется алгебраическая сумма электрических потоков через элементарные площадки, на которые может быть разбита поверхность S:  (8.4) Поток электрического смещения величина скалярная. В СИ измеряется в кулонах [Кл]. Для поля также имеет место принцип суперпозиции: вектор электрической индукции суммарного поля нескольких зарядов равен геометрической сумме векторов электрической индукции, создаваемых в той же точке каждым из зарядов в отдельности, а поток электрического смещения равен алгебраической сумме потоков каждого из этих зарядов: (8.5) (8.6) Кроме принципа суперпозиции в основе расчета электростатических полей лежит также теорема Остроградского – Гаусса. Поток вектора электростатического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов:  (8.7)Методика расчета электростатических полей с помощью теоремы Остроградского – Гаусса заключается в следующем. В соответствии с условием задачи выбирается замкнутая поверхность, охватывающая заряженное тело, создающее рассчитываемое электростатическое поле. Рассчитывается поток электрического смещения через эту поверхность и в соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса приравнивается к заряду, находящемуся на этом теле. Таким методом вычисляется, например, напряженность электростатических полей: - точечного заряда (заряженной сферы):  (8.8)- заряженной нити (длинного цилиндра):  (8.9) где  - линейная плотность заряда;- заряженной плоскости:  (8.10)где  - поверхностная плотность заряда.В случае, если электростатическое поле создается двумя параллельными заряженными плоскостями, то напряженность результирующего поля равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых каждой плоскостью:  (8.11)Если параллельные плоскости имеют равные по величине, противоположные по знаку заряды, и их площади также одинаковы  то вне плоскостей Е = 0, а между плоскостями  Примеры решения задач Задача 1. Эбонитовый шар радиусом R = 5 см несёт заряд, равномерно распределённый с объёмной плотностью заряда = 10-8 Кл/м3. Определить напряжённость и индукцию электрического поля в следующих точках: а) на расстоянии  = 3 см от центра шара; б) на поверхности шара  в) на расстоянии  = 10 см от центра шара. Построить графики зависимости  и от r.Д  ано: = 10-8  = 3 R = 5 см = 5 .10-2 м = 3 см = 3 .10-2 м  = 5 .10-2 м  = 10 см = 10-1 м Е - ? D - ? Решение Метод решения задач: 1. Изобразить на рисунке линии индукции электрического поля, созданного данным заряженным телом. 2. Выбрать форму и размер замкнутой вспомогательной поверхности, охватывающей заряд, и проходящей через точку, в которой определяется индукция. Форма поверхности должна быть такой, чтобы линии индукции были параллельны или перпендикулярны к ней. 3. Определить величину потока е через выбранную поверхность  |