Занятие 8. Теорема остроградского гаусса

• Название: Теорема остроградского гаусса
• Дата: 08.08.2022
• Размер: 0.92 Mb.
• Имя файла: Занятие 8.doc
• Тип: Контрольные вопросы; #642265
• страница: 2 из 5

Рис.8.1

4. Определить величину заряда, охваченного выбранной вспомогательной поверхностью.

5. Приравнять поток линий индукции к величине заряда, охваченного поверхностью



6. Определить индукцию и напряжённость электрического поля.

Рассмотрим применение теоремы на примере сплошного объёмно заряженного шара (рис.8.1).

1. Линии индукции заряженного шара начинаются в его центре и являются прямыми линиями, направленными по радиусам.

2. Поле шара является сферически симметричным, вектор будет перпендикулярен любой сферической поверхности с центром в центре шара.

Следовательно, вспомогательная поверхность представляет собой сферу, проведённую через заданную точку.

3. Поток вектора индукции через выбранную сферическую поверхность



т.к. перпендикулярен сфере и совпадает с направлением нормали к ней, т. е.  = 0.

Тогда

Для точки 1 (r < R) поверхностью является сфера, проходящая через точку 1 внутри шара.



4. Заряд, охваченный этой сферой, равен = V₁, где - объёмная плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу объёма.

Объём шара Заряд

5. 
   Приравняем поток к заряду
   

5. 
   Находим и :
   

4 .

Повторим рассуждения для точек 2 и 3. Выбранные вспомогательные поверхности будут сферическими.

Точка 2. Радиус вспомогательной поверхности равен радиусу шара, т.к. точка лежит на поверхности шара ( ).





; .

На поверхности напряжённость имеет два значения Е₂ и , отличающиеся в раз.

Точка 3.





или

.

П
остроим графики зависимостей и от r (рис. 8.2, 8.3).

Рис.8.2 Рис.8.3
Из решения и графиков видно, что линии индукции электрического поля непрерывны, от среды не зависят, а линии напряжённости электрического поля терпят разрыв на границе двух сред. В эбоните напряжённость меньше, чем в воздухе, следовательно, плотность линий (число линий, пронизывающих единицу площади) в воздухе больше, чем в эбоните.

Ответ: а) D₁ = 10^-10 ; Е₁ = 4 ; б) D₂ = 1,67 ^.10^-10 ; Е₂ = 6 ; = 18 ; в) D₃ = 4 ^.10^-11 ; E₃ = 4,5 .
Качественная задача. Точечный заряд q помещён в центре шара, сделанного из парафина. Относительная диэлектрическая проницаемость парафина равна 2. Нарисуйте линии напряжённости и линии индукции электрического поля, созданного этим зарядом.
Р ешение (рис.8.4, 8.5).

Рис.8.4 Рис.8.5

Линии индукции начинаются на заряде q, и плотность линий не изменяется при переходе из парафина в воздух.



Линии напряжённости тоже начинаются на заряде q, но плотность линий изменяется при переходе из парафина в воздух в 2 раза ( = 1; = 2).



2. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R = 2 см равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда  = 10^-3 . Определить напряжённость электрического поля в точках, отстоящих от оси на расстояниях: а) = 1 см; б) = R = 2 см; в) = 3 см. Построить графики зависимостей D и E от r.
Дано:

R = 2 см = 2 ^.10^-2 м

 = 10^-9 Кл/м²

= 10^-2 м

2 ^.10^-2 м

= 3 ^.10^-2 м

 = 1

Е ₁ - ? Е₂ - ? Е₃ - ?

D₁ - ? D₂ - ? D₃ - ?