Системы координат. Лекция Системы координат з а меча ни е Отметим, что при заданной точки
 Скачать 197.81 Kb.
|
|
Лекция СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 1. Декартовы системы координат О пределен и е 1. Прямоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четв¨ерка {O , e 1 , e 2 , e 3 } , в которой это некоторая фиксированная точка пространства, векторы e 1 , e 2 и e 3 имеют единичную длину и являются взаимно перпендикулярными. g Рис. 1. Декартова система координат в пространстве и ее орты. З а меча ни е 1. Поскольку векторы e 1 , e 2 , e 3 не компланарны, то они линейно независимы и поэтому образуют базис в простран- стве. О пределен и е 2. Осями координат Ox , Oy , Oz называются оси, проведенные через точку O параллельно векторам e 1 , e 2 , e 3 , прич¨ем положительные направления осей совпадают с направлениями этих векторов соответственно. О б означен и е . Ox — ось абсцисс ось ординат ось аппликат. О пределен и е 3. Радиусом–вектором r точки M простран- ства относительно фиксированной точки O называется направленный отрезок Лекция 5. Системы координат З а меча ни е 2. Отметим, что при заданной точки O радиус– вектор взаимно однозначно соответствует точке M. Мы можем ввести декартовы координаты произвольной точки пространства. О пределен и е 4. Координатами точки M пространства называются координаты радиуса–вектора этой точки в базисе xe 1 + ye 2 + где векторы e 1 , e 2 , e 3 отложены от точки O. О б означен и е . M (x , y , z) g g g g g Рис. 2. Декартовы координаты точки M пространства. По аналогии можно ввести декартову косоугольную систему коор- динат. О пределен и е 5. Косоугольной декартовой системой координат в пространстве называется упорядоченная четв¨ерка {O , a , b , c } , в которой это некоторая фиксированная точка пространства, векторы a , b и c являются некомпланарными. Аналогичным образом вводятся декартовы системы координат на плоскости {O , e 1 , e 2 } и декартова система координат на прямой 2. Направляющие косинусы Пусть рассматриваемая точка M имеет координаты (x , y , z) в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда x = Pr e 1 −−→ OM = −−→ OM cos α , (2.1) 2. Направляющие косинусы o o o o o o Рис. 3. Косоугольная система координат в пространстве, связанная с кристаллической решеткой = Pr e 2 −−→ OM = −−→ OM cos β , (2.2) z = Pr e 3 −−→ OM = −−→ OM cos где ∈ [ 0, π] , β ∈ и ∈ [ 0, π] — углы между радиус–вектором −−→ OM и векторами и e 3 , соответственно. ✷ Действительно, пусть = xe 1 + ye 2 + Тогда имеем x = −−→ OM , e 1 = |e 1 | Pr e 1 −−→ OM = −−→ OM cos α , (2.5) y = −−→ OM , e 2 = |e 2 | Pr e 2 −−→ OM = −−→ OM cos β , (2.6) z = −−→ OM , e 3 = |e 3 | Pr e 3 −−→ OM = −−→ OM cos γ Поскольку = px 2 + y 2 + то cos α = x px 2 + y 2 + z 2 , (2.9) cos β = y px 2 + y 2 + z 2 , (2.10) cos γ = z px 2 + y 2 + Определение. Числа α , cos и называются направляющими косинусами радиус–вектора −−→ OM . Лекция 5. Системы координат Рис. 4. Углы между радиус–вектором OM и осями координат. Очевидно, что cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ Замечание. С одной стороны, для того чтобы однозначно определить точку M пространства достаточно задать длину радиус–вектора −−→ OM и его направляющие косинусы. С другой стороны, задание двух из трех направляющих косинуса и длины радиус–вектора −−→ OM определяет не одну, а две точки Действительно, пусть задана длина r = | −−→ OM и направляющие косинусы cos и cos β , тогда мы из равенства (получим равенство cos γ| = 1 ⇔ cos γ = Итак, мы имеем две точки, лежащие на одно прямой α , cos β , cos и α , cos β , − cos причем угол между векторами −−→ OM 1 и −−→ OM 2 равен π. § 3. Полярная система координат О пределен и е 7. Плоскость называется ориентированной, если фиксирован вектор нормали n к этой плоскости. О пределен и е 8. Полярной системой координат на заданной ориентированной плоскости называется упорядоченная двойка, где это некоторая фиксированная точка, называемая полюсом, а это ненулевой вектор компланарный данной плос- кости. О пределен и е 9. Ось, проходящая через точку O параллельно вектору e и сонаправленная этому вектору, называется полярной осью. 3. Полярная система координат Рис. 5. Точки и Определение. Полярными координатами точки M на ориентированной плоскости называется упорядоченная двойка (ρ , ϕ) , где ρ = а это угол между полярной осью и радиус–вектором −−→ OM , отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки, если смотреть с конца направленного вектора нормали n к ориентированной плоскости, отложенного от произвольной точки плоскости. З а меча ни е 5. По своему определению 0 6 ρ < +и 0 6 ϕ Для полюса O не определен угол, но полюс вполне определяется равенством Иногда удобно отсчитывать угол почасовой стрелки Рис. 6. Полярная система координат на плоскости и полярные координаты, ϕ) точки M Тогда отсчитываемый угол считается отрицательным. Можно указать формулы перехода от полярных координат (ρ , ϕ) на плоскости π к декартовым координатам (x , y) точки M в случае специальным образом выбранной прямоугольной декартовой системы координат на ориентированной плоскости π Пусть {O , e } — это фиксированная полярная система координат. Выберем в качестве оси абсцисс полярную ось Лекция 5. Системы координат g g Рис. 7. Отрицательный угол. Ось ординат выберем таким образом, чтобы ось абсцисс поворотом против часовой стрелки на угол (если смотреть с конца вектора нормали n , отложенного от произвольной точки плоскости) совмещалась с осью с учетом их направления. Заметим, что такая система координат называется правой g g Рис. 8. Полярная система координат на плоскости и специальная прямоугольная система координат. Мы ввели вспомогательные точки, 0 ) и M y ( 0, y) — ортогональные проекции точки (на соответствующие оси декартовой системы координат Oxy. Итак, имеем = xe x + ye Пусть ∈ и ∈ [ 0, π] — углы между радиус–вектором −−→ OM и векторами e 1 , e 2 , соответственно. Тогда справедливы следующие равенства = Pr e 1 −−→ OM = | −−→ OM| cos α , (3.2) y = Pr e 2 −−→ OM = | −−→ OM | cos β. (3.3) 4. Цилиндрическая система координат 7 Имеет место следующая связь углов α и β : β = π/ 2 − если y > 0; π/ 2 + если y если y Поэтому из (3.3) и (3.4) вытекают следующие равенства = | −−→ OM| sin если y > 0; − sin если y 6 Формулы (3.2) и (3.5) можно записать единообразно, если ввести угол ∈ [ 0, между осью и радиус–вектором −−→ OM , отсчитываемый против часовой стрелки на ориентированной плоскости. Тогда имеем если y > 0; 2 π − если y если y Заметим, что cos α = cos ϕ , (3.7) sin α = sin если y > 0; − sin если y если y Таким образом, из (3.7), (3.8) и (3.2), (3.5) приходим к следующим формулам = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , ρ = | −−→ OM | , ϕ ∈ [ 0, Имеют место обратные формулы = px 2 + y 2 , cos ϕ = x px 2 + y 2 , sin ϕ = y px 2 + Замечание. Соответствие точек ориентированной плоскости и их полярных координат не являются взаимно однозначным 4. Цилиндрическая система координат О пределен и е 11. Цилиндрической системой координат называется упорядоченная четверка, где это некоторая фиксированная плоскость в пространстве это некоторая фиксированная точка на плоскости это некоторый фиксированный ненулевой вектор, ортогональный плоскости и, наконец это ненулевой вектор, лежащий в плоскости π. З а меча ни е 7. Таким образом, плоскость π с учетом выбора вектора нормали π является ориентированной Лекция 5. Системы координат g g Рис. 9. Цилиндрическая система координат. Через точку O в направлении вектора проведем ось, которая называется зенитной осью. Отметим, что плоскость π называется экваториальной плоскостью. О пределен и е 12. Цилиндрическими координатами точки M в цилиндрической системе координат {π , O , n , e } называется упорядоченная тройка чисел, где это полярные координаты ортогональной проекции M xy точки M на плоскость π в полярной системе координат, причем ∈ [ 0, 2 π) — угол между полярной осью и радиус–вектором −−−−→ OM xy на ориентированной плоскости π , а это координата ортогональной проекции M z точки M на ось, те Замечание. Отметим, что точки лежащие на оси вполне определяются своей декартовой координатой и равенством = 0 и не имеют угловой координаты ϕ. С выбранной системой цилиндрических координат можно как и ранее связать специальную прямоугольную декартову систему координат в пространстве, выбрав на плоскости π как и ранее прямоугольную систему декартовых координат Oxy. Формулы связывающие цилиндрические координаты (ρ , ϕ , z) с декартовыми координатами (x , y , z) в специальной декартовой системе координат, в которой имеют следующий вид = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , z = ПРИМЕР. Уравнение кругового параболоида в декартовой прямоугольной системе координат с координатами (x , y , z) имеем следующий вид = x 2 + y 2 , 4. Цилиндрическая система координат g g g g Рис. 10. Цилиндрическая система координат и специальная декартова система координата в связанной с этой декартовой системы координат цилиндрической системе координат z , e с координатами (ρ , ϕ , z) уравнение кругового параболоида имеет следующий вид = где x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , ρ > 0, ϕ ∈ [ 0, Рис. 11. Эллиптический параболоид Лекция 5. Системы координат П РИМ ЕР. Уравнение кругового конуса в некоторой прямоугольной декартовой системе координат с координатами (x , y , z) имеет следующий видав связанной цилиндрической системе координат z , e с координатами (ρ , ϕ , z) имеет следующий вид = где x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ , ρ > 0, ϕ ∈ [ 0, Рис. 12. Эллиптический конус 5. Сферическая система координат О пределен и е 13. Сферической системой координат называется упорядоченная четверка, где это некоторая фиксированная плоскость в пространстве это некоторая фиксированная точка на плоскости это некоторый фиксированный ненулевой вектор, ортогональный плоскости и, наконец это ненулевой вектор, лежащий в плоскости π. З а меча ни е 9. Определения 13 и 11 совпадают. Различие сферической системы координат от цилиндрической системы координат заключается в записи координат точки. Сначала проведем через точку ∈ ось, сонаправленную вектору Полученную зенитную ось Oz. Пусть M — произвольная точка пространства. Обозначим через длину радиус–вектора −−→ OM , через ∈ [ 0, π] — угол между вектором и радиус–вектором −−→ OM ; через ∈ [ 0, 2 π) — обозначим угол между на 5. Сферическая система координат g g Рис. 13. Сферическая система координат в пространстве. правленным отрезком ортогональная проекция точки M на плоскость) и полярной осью, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки. При этом угол ϕ называется азимутальным углом, а угол зенитным углом. О пределен и е 14. Упорядоченная тройка (r , ϑ , ϕ) называется сферическими координатами точки M в сферической системе коор- динат {π , O , n , e } . З а ключе ни е 10. Отметим, что полюс O сферической системы координат не имеет угловых координатно вполне определяется равенством r Формулы связи декартовых и сферических координат Пусть на плоскости π введена специальная декартова система координат Тогда с учетом выбранной ранее оси мы можем получить связь координат произвольной точки (r , ϑ , ϕ) в выбранной сферической системе координат {π , O , n , e } с соответствующими координатами (в связанной декартовой системе координат. Справедливы следующие формулы = r sin ϑ cos ϕ , y = r sin ϑ sin ϕ , z = r cos ϑ , (5.1) Лекция 5. Системы координат 6 r < +∞ , 0 6 ϑ 6 π , 0 6 ϕ < 2 π. g g g g g Рис. 14. Сферическая система координат в пространстве и согласованная с ней декартова система координат Действительно. Отметим, что Поэтому z = Pr n −−→ OM = | −−→ OM | cos ϑ = r cos ϑ ; 2. Кроме того = | −−→ OM| sin поэтому x = Pr e 1 −−→ OM xy = | −−→ OM xy | cos ϕ = r sin ϑ cos ϕ , y = Pr e 2 −−→ OM xy = | −−→ OM xy | sin ϕ = | −−→ OM xy | sin ϕ = r sin ϑ sin ϕ. ⊠ 5. Сферическая система координат 13 · · · · · · · Рис. 15. Эллипсоид. П РИМ ЕР. Уравнение эллипсоида в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет следующий вид: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 Мы рассмотрим один важный частный случай, когда a = b = c Тогда уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 1 — это уравнение сферы единичного радиуса с центром вначале системы координат. Тогда в связанной сферической системе координат z , e уравнение окружности примет очень простой вид r где x = sin ϑ cos ϕ , y = sin ϑ sin ϕ , z = cos ϑ , ϑ ∈ [ 0, π] , ϕ ∈ [ 0, 2 π). |