Термодинамика. Лекция Термодинамическая система и ее состояние Основные понятия и определения Термодинамической системой
 Скачать 4.04 Mb.
|
|
3.3. Формулировка второго закона термодинамики Первый закон термодинамики устанавливает лишь возможность перехода энергии из одного вида в другой в строго эквивалентных количествах, но не ограничивает направление передачи различных видов энергии от одного тела к другому. Обобщение многочисленных наблюдений и опытных фактов вместе с развитием теории тепловых машин привели к выводу о том, что направление протекания термодинамических процессов подчиняется общему закону, который получил название второго закона (второго начала) термодинамики. Второй закон термодинамики устанавливает ограничения на направление протекания процессов передачи и превращения энергии. Существует ряд формулировок этого закона, различных по форме, но одинаковых по существу. Первая формулировка этого закона была дана в 1850 г. немецким учёным Р. Клаузиусом в следующем виде: Теплота не может самопроизвольно переходить от более холодного тела к более нагретому. Существует также следующая формулировка этого закона, данная Клаузиусом, в следующем виде: Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему. Слово "единственным" подчеркивает не только невозможность непосредственной самопроизвольной передачи теплоты от холодного тела к горячему, но и невозможность осуществления такого процесса без того, чтобы в окружающей среде не остались бы какие-либо изменения, т.е. не произошел бы компенсирующий процесс. Так, например, для охлаждения продуктов в холодильнике, т.е. отбора от них теплоты и передачи её в более нагретую атмосферу необходима затрата электроэнергии, что и является в данном случае компенсирующим процессом. Вторая формулировка была дана (независимо от Р. Клаузиуса) в 1851 г. английским физиком У. Томсоном (Кельвином). Многолетняя практика создания тепловых двигателей показывает, что подводимое в нем тепло к газу не все преобразуется в работу. Для возвращения газа в исходное состояние в процессе термодинамического цикла, состоящего из нескольких процессов, обязательно должен быть процесс, в котором происходит отвод части подведенного к газу тепла во внешнюю среду. Без этого процесса невозможно вернуть газ в исходное состояние после подвода к нему теплоты q1 (процесс 1-2, рис. 3.4) и последующего его адиабатного расширения (процесс 2-3) путем только адиабатного сжатия, т.е. без отвода теплоты q2. Это объясняется тем, что адиабатные процессы 2-3 и 4-1, соответствующие состоянию газа в начале и в конце процесса 1-2 различны, поэтому не пересекаются. Действительно, адиабата, проходящая через точку 1, описывается уравнением , откуда следует, что ,
Так как параметры и различны, то и адиабаты, описываемые этими уравнениями, различны, поэтому не пересекаются. Следовательно, для возвращения газа в исходное состояние 1 после подвода к нему теплоты q1 в процессе 1-2 и последующего адиабатного расширения в процессе 2-3 необходимо отвести от него во внешнюю среду в процессе 3-4 теплоту q2, а затем путем адиабатного сжатия возвратить газ в исходное состояние (в точку 1). На основании выше изложенного У. Томсон дал формулировку второго закона термодинамики в следующем виде: Невозможно создать периодически действующую машину, совершающую механическую работу только за счет охлаждения одного источника теплоты (без изменения термодинамического состояния других тел). Эта формулировка встречается и в таком виде: Невозможно создать периодически действующую машину, все действие которой сводилось бы только к производству механической работы и охлаждению источника теплоты. Т.е. в тепловых машинах в работу преобразуется только часть тепла q1, подведенного к газу, а другая часть q2 отводится в теплоприемник, более холодному телу. Следовательно, для функционирования тепловых машин необходим не только источник теплоты q1 (теплоотдатчик), но и теплоприемник, который воспринимает ту часть теплоты q2, которая не превращается в работу. Заметим, что если бы было возможно создать двигатель, производящий полезную работу только за счет отбора теплоты, например, от океанской воды или от земной поверхности, то такой двигатель мог бы работать вечно, так как запасы тепловой энергии в океанской воде, земле и атмосфере практически не ограничены. Такой двигатель немецкий физик В. Оствальд назвал вечным двигателем второго рода и дал третью формулировку этого закона: “Невозможно создать вечный двигатель второго рода”. 3.4.Термический КПД цикла тепловой машины Рассмотрим более подробно цикл и принцип работы тепловой машины. Уравнение первого закона термодинамики для рабочего тела в круговом процессе имеет вид: , поскольку при завершении его рабочее тело возвращается в исходное состояние, поэтому . Но, согласно второму закону термодинамики, теплота не может превратиться в работу, если при этом не протекает какой-либо компенсирующий процесс. В тепловых двигателях таким процессом является отдача части теплоты, полученной рабочим телом, другому телу, причем не тому, от которого она была получена.
рабочее тело (газ или пар), получающее теплоту q1 и переводящее часть ее в работу цикла l ц; 2) теплоотдатчик (нагреватель), сообщающий за цикл каждой единице массы рабочего тела теплоту q1; 3) теплоприемник (охладитель), в который от единицы массы рабочего тела за каждый цикл отводится теплота q2, меньшая q1. Таким образом, в полезную работу преобразуется только часть теплоты, получаемой от теплоотдатчика: . (3.2) Термическим КПД цикла тепловой машины называется отношение работы цикла к теплоте, подведенной к рабочему телу (от теплоотдатчика), т.е. . (3.3) Термический КПД характеризует совершенство цикла тепловой машины (двигателя) с точки зрения преобразования в полезную работу теплоты q1, подведенной к рабочему телу. Так как по второму закону термодинамики всегда q2 > 0, то для всех тепловых машин t < 1. 3.5. Цикл Карно и теоремы Карно Французский инженер Сади Карно в 1824 г. опубликовал работу, в которой предложил цикл, дающий максимальное значение термического КПД цикла тепловой машины при данных значениях температур теплоотдатчика и теплоприемника. Это прямой обратимый цикл, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, изображенный в p, v- координатах на рис. 3.6 и получивший название цикла Карно.
Физическая картина явлений может быть представлена следующим образом (рис. 3.7). В точке А находится газ с давлением объемомυА и температуройТ1, равной температуре нагревателя, заключающего в себе большой запас энергии. Поршень двигателя под влиянием высокого давления начинает двигаться вправо, при этом внутреннее пространство цилиндра сообщено с нагревателем, поддерживающим в расширяющемся газе постоянную температуру Т1 посредством передачи ему соответствующего количества энергии в виде теплоты q1. Таким образом, расширение газа идет изотермически по кривой А-В. В точке В цилиндр изолируется от нагревателя, но газ продолжает расширяться, двигая поршень в том же направлении; процесс расширения идет без подвода теплоты, т.е. адиабатно (q = 0) по кривой В-С. В этом процессе в работу расширения превращается часть внутренней энергии газа и, следовательно, его температура понижается до значения Т2, равного температуре охладителя. В этот момент поршень достигает своего крайнего правого положения. Обратное движение поршня происходит под воздействием энергии, накопленной в маховике и передаваемой посредством кривошипно-шатунного механизма. Газ сжимается сначала изотермически по кривой C-D, для этого внутреннее пространство цилиндра сообщается с охладителем, поддерживающим температуру , а в точкеD цилиндр изолируется от охладителя, и дальнейшее сжатие идет по адиабатеD-A(q = 0). В этом процессе за счет работы сжатия внутренняя энергия газа повышается, поэтому его температура растет от Т1 до Т2. Сжатие заканчивается в точке A, где газ приходит к своему начальному состоянию. На этом цикл завершен и возможно его повторение. Проследим процессы, протекающие в рабочем теле в этом цикле, считая рабочее тело идеальным газом. Процесс А-В – изотермическое расширение газа при . Газ совершает работу расширения , эквивалентную площади под кривой этого процесса, за счет подвода к нему от теплоотдатчика теплоты, эквивалентной этой работе: . Процесс В-С – адиабатное расширение газа (q = 0). Газ совершает работу расширения за счет убыли его внутренней энергии, при этом его температура снижается до значения . Процесс C-D – изотермическое сжатие газа при . На сжатие газа затрачивается работа, эквивалентная площади под кривой этого процесса, а в теплоприемник отводится теплота , эквивалентная этой работе, в количестве: . Процесс D-A– адиабатное сжатие газа (q = 0). На сжатие газа затрачивается работа, эквивалентная площади под кривой этого процесса. При этом внутренняя энергия газа повышается, и он нагревается до температуры , возвращаясь в исходное состояние в точке А. Термический КПД цикла Карно. . (3.4) Для адиабатных процессов В-С и D-Aможно записать и . Следовательно, или . Тогда из (3.4) следует, что термический КПД цикла Карно для идеального газа равен: , (3.5) т.е. зависит только от соотношения температур теплоотдатчика и теплоприемника. Опираясь на второй закон термодинамики, Карно доказал также следующие положения, носящие название теорем Карно: 1) термический КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только отношением температур теплоотдатчика Т1 и теплоприемника Т2; 2) невозможно создать тепловую машину, работающую в том же диапазоне температур (т.е. с ), термический КПД которой был бы выше КПД цикла Карно. Действительно, если температуры теплоотдатчика Т1 и теплоприемника Т2 постоянны в процессах подвода и отвода тепла, то цикл Карно является единственно возможным обратимым циклом. Поэтому его термический к.п.д. устанавливает максимально возможную степень преобразования теплоты в работу при заданных значениях Т1 и Т2. Любой другой цикл, в котором теплоотдатчик и теплоприемник имеют те же значения температур (Т1 и Т2), а температура рабочего тела в процессах подвода и отвода тепла изменяется, будет необратимым, так как в этом случае не выполняется одно из условий обратимости, а именно отсутствие конечной разности температур рабочего тела и теплоотдатчика (или теплоприемника) при подводе или отводе тепла. Поскольку необратимость связана с потерей работы (например, за счет трения), значения термических к.п.д. таких циклов всегда меньше цикла Карно. Таким образом, термический КПД цикла Карно, определяемый формулой (3.5), представляет собой максимально возможное значение термического КПД тепловой машины, цикл которой реализуется в диапазоне температур между Т1 и Т2 . Из анализа результатов, полученных С. Карно, вытекает также следующее. Во-первых, так как реально Т1 < и Т2 > 0, то всегда . Во-вторых, если Т1= Т2 , то термический КПД цикла Карно равен нулю. Следовательно, если все тела термодинамической системы имеют одинаковую температуру, т. е. находятся в тепловом равновесии, то преобразование теплоты в работу невозможно. 3.6. Приведенная теплота и неравенство Клазиуса Так как для цикла Карно, как и для любого другого цикла, можно записать выражение для термического КПД в общем виде как и, кроме того, в виде, применимом только для цикла Карно, , то отсюда следует, что для цикла Карно или . (3.6) Величина в изотермическом процессе (где q -подведенная к телу теп- лота) называется приведенной теплотой. Обозначим её . В равенстве (3.6) q1 - подведенная теплота, q2 - отведенная теплота, т.е. отрицательная величина, поэтому приведенные теплоты в цикле Карно равны: Тогда равенство (3.6) можно записать так: . Таким образом, в цикле Kapно сумма приведенных теплот равна нулю.
Для каждого из этих элементарных циклов Карно сумма приведенных теплот равна нулю, т.е. . Тогда, просуммировав такие равенства, записанные для каждого из этих циклов Карно, получим , где n - число таких циклов Карно, или (при n ® ¥) , то есть , (3.7) где символ обозначает интеграл, взятый по всему замкнутому контуру рассматриваемого цикла. Таким образом, в произвольном обратимом цикле интегральная сумма элементарных приведенных теплот равна нулю. Рассмотрим теперь необратимые циклы. Во всяком необратимом цикле, осуществляемом с тем же теплоотдатчиком (с температурой Т1) и тем же теплоприемником (с температурой Т2), что и цикл Карно, термический КПД (вследствие неравновесности процессов и диссипации энергии) будет меньше, чем у цикла Карно: или откуда , т.е. . Следовательно, в произвольном необратимом цикле сумма приведенных теплот отрицательна. Тогда, повторяя вывод, приведенный выше для произвольного обратимого цикла, можно показать, что для произвольного необратимого цикла , (3.8) т.е. в произвольном необратимом цикле интегральная сумма элементарных приведенных теплот отрицательна. Объединяя формулы (3.7) и (3.8), в общем случае будем иметь , (3.9) где знак равенства относится к обратимым циклам, а знак неравенства - к необратимым. Формула (3.9) называется неравенством Клаузиуса. 3.7. Энтропия и ее свойства Энтропией называется термодинамическая функция, полный дифференциал которой , где – тепло, подведенное к газу в обратимом процессе. Размерность энтропии Дж/(кг∙К). 3.7.1. Свойства энтропии в обратимых процессах Для кругового обратимого процесса из неравенства Клазиуса следует, что или . 2. Изменение энтропии в любом обратимом процессе перехода вещества из состояния 1 в состояние 2 не зависит от пути этого процесса, а зависит только от параметров вещества в его начальном и конечном состояниях. Докажем это, рассмотрев обратимый круговой процесс 1-а-2-b-1 (рис. 3.9), в котором некоторое тело (газ) сначала переходит из состояния 1 в состояние 2 по пути 1-а-2, а потом возвращается в состояние 1 по пути 2-b-1. Согласно неравенству Клаузиуса, в этом случае или . Теперь рассмотрим такой же процесс, но с переходом из состояния 1 в состояние 2 по другому пути 1-с-2 (см. рис. 3.9) . В этом случае также или . Сравнивая эти равенства, видим, что или . Таким образом, энтропия является функцией состояния вещества, а её величина однозначно определяется параметрами его состояния в начале и конце процесса. 3. Энтропия термодинамической системы, состоящей из нескольких частей (энтропии которых равны S1, S2,..., Sn),равна сумме энтропий всех её частей: . 4. Энтропия отдельного тела или системы тел в различных обратимых процессах может как возрастать, так и уменьшаться. Действительно, из определения энтропии следует, что . Так как , а может быть как положительным, так и отрицательным, то подводу теплоты соответствует , а отводу .
3.7.2. Особенности изменения энтропии в необратимых процессах Пусть рабочее тело переходит из состояния 1 в состояние 2 в необратимом процессе 1а2, а возвращается в исходное состояние в обратимом процессе 2б1 (рис. 3.10). Тогда цикл 1а2б1 является необратимым и для него справедливо неравенство Клазиуса или . Но для обратимого процесса . Тогда для необратимого процесса получим . Таким образом, в необратимых процессах изменение энтропии всегда больше интегральной суммы приведенных теплот данного процесса. В дифференциальной форме последнее неравенство для необратимых процессов можно записать в виде . Это соотношение можно объединить с выражением для обратимых процессов, в которых . Тогда в общем случае получим . Знак относится к необратимым процессам, а знак равенства – к обратимым процессам. Это выражение является аналитической записью второго закона термодинамики. 3.7.3. Энтропия изолированной системы Из выражения следует, что для системы тел . 1. Значит, энтропия изолированной системы ( , в которой протекают только обратимые процессы, остается постоянной, т.к. в этом случае или . 2. Если в изолированной системе ( протекают необратимые процессы, то или , то есть энтропия изолированной системы будет возрастать. Рассмотренные случаи показывают, что в изолированной системе ( энтропия не уменьшается, а остается постоянной или возрастает. В качестве примера рассмотрим передачу теплоты от горячего тела с температурой Т1 к холодному телу с температурой Т2. Примем для простоты, что массы этих тел столь велики, что их температуры при теплообмене не меняются Т1= и Т2= . Найдем изменение энтропии этих тел в процессе передачи тепла. Для первого тела , где знак минус означает, что теплота отбирается от этого тела. Для второго тела . Тогда изменение энтропии системы этих тел . Так как , то 0. Таким образом, процесс передачи теплоты от более нагретого тела к менее нагретому телу является необратимым, т.к. энтропия возросла. По изменению энтропии изолированной системы можно судить об обратимости процесса, протекающего в этой системе. Следовательно, изменение энтропии является мерой необратимости протекающей в изолированной системе процессов. 3.7.4. Энтропия идеального газа Рассмотрим произвольный обратимый процесс в идеальном газе. Подставив значение dq из выражения для первого закона термодинамики в (3.12) и учитывая, что для идеального газа , получим: Так как для идеального газа , то . Интегрируя это уравнение от состояния газа в точке 1 до его состояния в точке 2 (рис. 3.9), получим . (3.12) Из уравнений состояний в этих точках и следует, что . Тогда уравнение (3.12) можно преобразовать к следующему виду . Следовательно, . (3.13) Таким образом, изменение энтропии газа в обратимом процессе можно определить, зная параметры его состояния в начале и конце этого процесса. Все эти уравнения получены с использованием уравнения , поэтому справедливы только для обратимых процессов. Но, так как энтропия является функцией состояния, эти формулы дают значения изменения энтропии идеального газа независимо от того, в каком обратимом процессе достигнуто это состояние. 3.8. Т, s - координаты В теории тепловых двигателей наряду с p,υ-координатами часто исполь- зуется изображение графиков равновесных процессов в T,s- координатах. На рис. 3.11 в таких координатах изображен некий процесс 1-2. Если этот процесс обратим, то, поскольку для обратимого процесса или , площадь заштрихованной области, соответствующая элементарному изменению энтропии на при некоторой температуре Т, эквивалентна элементарному количеству теплоты , подведенному к рабочему телу в этом элементарном процессе.
Вся теплота, подведенная к рабочему телу в обратимом процессе 12 (в расчете на единицу массы), определится по формуле и изобразится в Т, s-координатах площадью фигуры а12b, ограниченной линией 1-2, осью абсцисс и вертикальными отрезками 1-а и 2 - b. Рассмотрим далее в Т,s-координатах прямой цикл 1а2b1 (рис. 3.12). В процессе 1-а-2 теплота q1 подводится к рабочему телу в количестве, эквивалентном площади фигуры 1'1а22'1 . В процессе 2b1 от рабочего тела отводится теплота q2 в количестве, эквивалентном площади фигуры 2'2b11'2'. Очевидно, что площадь, ограниченная циклом 1а2b1, равна , т. е. работе цикла (если он обратим). 3.8.1. Изображение основных обратимых термодинамических процессов с идеальным газом в Т, s-координатах Изотермический процесс (T = const) 1. График процесса: T = const горизонтальная линия (рис. 3.13). 2. Теплота процесса: Так как по определению энтропии , то . Следовательно, теплота процесса эквивалентна площади прямоугольника а12b. 3. При подводе к газу теплоты ( ): энтропия газа возрастает ( ), т.к. газ расширяется, т.к. в соответствии с первым законом термодинамики . Учитывая, что в изотермическом процессе , получим . 4. Изменение энтропии для идеального газа: или . Адиабатный процесс ( ) График процесса: Так как в этом процессе , то и, следовательно, вертикальная линия (рис. 3.14). Вследствие постоянства энтропии в обратимом адиабатном процессе его называют также изоэнтропным. 2. Так как в этом процессе , то . Поэтому процессу 1-2 (повышению температуры, ) соответствует адиабатное сжатие ( , а процессу 2-1 (понижению температуры, ) соответствует адиабатное расширение ( . 3. В необратимом адиабатном процессе энтропия растет (например, за счет трения) – процесс сжатия 1-2 или процесс расширения 2-1. Площади под этими кривыми эквивалентны теплоте трения.
1. График процесса: т.к. в этом процессе , то , тогда – это логарифмическая спираль, тангенс угла наклона которой растет при увеличении . Следовательно, изохора обращена выпуклостью к оси абсцисс (рис. 3.15).
3. При увеличении изохоры эквидистантно сдвигаются вправо. Это следует из формулы для изменения энтропии в изотермическом процессе между точками 1 и 1, между которыми удельный объем возрастает от до . . 4. Изменение энтропии в процессе 1-2 при равно . Изобарный процесс (p= const) 1. График процесса: т.к. в этом процессе , то , тогда – это логарифмическая спираль, тангенс угла наклона которой растет при увеличении . Следовательно, изобара обращена выпуклостью к оси абсцисс (рис. 3.16). 2. Теплота процесса: . При подводе теплоты температура газа растет, т.е. процесс идет от точки 1 к точке 2 и наоборот. 3. При увеличении изобары эквидистантно сдвигаются влево. Это следует из формулы для изменения энтропии в изотермическом процессе между точками 1 и 1, между которыми давление возрастает от до . . так как . 4. Изменение энтропии в процессе 1-2 при равно . Замечание. Наклон изобары (при одинаковом значении Т ) меньше, чем у изохоры (рис. 3.17), поскольку cp > cυ, следовательно , откуда . Политропные процессы (pυn = const) вТ,s-координатах В общем случае политропа в Т, s-координатах изображается кривой линией, вид и положение которой зависят от показателя политропы п (рис. 3.18).
Граничной линией процессов подвода и отвода теплоты является адиабата. Если процесс начинается на адиабате, например, в точке 0 и идет вправо от нее, то он протекает с подводом теплоты, т.к. и тогда Если процесс протекает влево от адиабаты, то он идет с отводом теплоты. Граничной линией процессов сжатия и расширения является изохора. Если процесс начинается на изохоре, например, в точке 0 и идет вправо от нее, то он протекает с расширением газа ( ) Если процесс протекает влево от изохоры, то он идет со сжатием газа ( ). 3.8.2. Цикл Карно в Т,s-координатах На рис. 3.19 в Т,s-координатах изображен цикл Карно, состоящий из двух изотерм (T= const) и двух адиабат (s = const). Теплота , подведенная к рабочему телу от теплоисточника при температуре Т1, эквивалентна согласно формуле площади прямоугольника s1АВs2. А теплота , отданная теплоприемнику, – площади прямоугольника s1DCs2 . Следовательно, работа цикла lц = q1– q2эквивалентна площади прямоугольника ABCD. Тогда из формулы t=1q2/q1 и рис. 3.19 непосредственно следует, что термический к.п.д. цикла Карно равен: и не зависит от природы и свойств рабочего тела, поскольку никаких предположений об этом при изображении данного цикла в T, s-координатах не делалось.
Используя Т, s-координаты, можно в наглядной форме привести доказательство и второй теоремы Карно, гласящей, что невозможно создать тепловую машину, работающую в том же диапазоне температур (между Т1 и Т2 ), термический КПД которой был бы выше КПД цикла Карно. Действительно, пусть в некотором диапазоне температур между Т1 и Т2 осуществлён некоторый произвольный цикл, изображенный сплошной замкнутой кривой на рис. 3.20. Окружим его циклом Карно, работающим в том же диапазоне температур и изображенным на рис 3.20 жирными штриховыми линиями. Теплота , сообщенная рабочему телу в процессе abc данного произвольного цикла (эквивалентная площади под кривой abc), не может быть больше, чем была бы сообщена тому же рабочему телу в цикле Карно при Т = Т1 (в том же диапазоне увеличения энтропии), т.е. . Аналогично теплота , отданная рабочим телом в произвольном цикле в процессе cda, не может быть меньше, чем в рассматриваемом цикле Карно: . Так как в произвольном цикле , а в цикле Карно , то, учитывая, что , получим . 3.9. i,s - координаты Недостатком диаграмм, построенных в Т,s - координатах является необходимость вычислять площади отдельных участков диаграммы при определении теплотыq и работы l процесса, изменения внутренней энергии Δu и энтальпии Δi газа. Этого недостатка лишены диаграммы состояния, построенные в i,s - координатах(энтальпия энтропия), где величиныq, l, Δu и Δiоделяются по отрезкам прямых. Данная особенность i,s-координат упрощает анализ и расчет термодинамических процессов.
Рассмотрим протекание основных процессов с идеальными газами в i,s-координатах (рис. 3.21). Обратимый адиабатный процесс изображается в координатах i,s, как и в координатах Т,s, прямой вертикальной линией (s = const). Изотермический процесс. Для идеального газа . Так как в этом процессе , то . Следовательно, – это горизонтальная линия в i,s-координатах. Изобарный процесс. Здесь . Изобара представляет собой кривую линию, тангенс угла наклона касательной к которой равен: . Так как в изобарном процессе с ростом энтальпии увеличивается температура газа Т, то возрастает и . Следовательно, как и в Т, s-координатах, изобара обращена выпуклостью к оси абсцисс. Изохорный процесс. По аналогии с изобарным процессом можно записать , |