Матрицы в природе. Лицей 20 Секция математика математика и живая природа применение теории матриц к решению задач в биологии
 Скачать 0.79 Mb.
|
1 2 Пусть имеется матрица M =  для движениями между двумя популяциями, содержащими соответственно 54 и 108 особей, то есть возьмём n =  .После миграции новые численности популяций представляются элементами вектора n’, где: n’ = M × n =  =  Повторение миграции приведёт к вектору: n’’ = M × n’ = × =  и далее к  и в конце концов к  . Следовательно, – собственный вектор матрицы М, соответствующий собственному значению 1. Отсюда следует, что любая симметричная картина миграции, представленная элементами матрицы М, не изменяет численности двух популяций, как только последние становятся равны.Практическая часть. 2.1. Задача на смещение популяций. Обратимся к важному явлению в биологии, которому подвержено множество человеческих популяций – смещению. Под этим термином будем подразумевать объединение групп людей с различными генетическими характеристиками и последующее случайное спаривание. С этим процессом возникает вопросы: можно ли предсказать последствия смешения населения? Заключается ли в наших генах вся история смешения различных рас? И др. На эти вопросы без участия математики биологам ответить трудно. Это обусловлено сложной природой главной генетической системы – системы групп крови, а так же невозможностью обнаружения всех генотипов по её анализу. Чтобы как-то ответить на поставленные вопросы, используем введённую нами матрицу миграции и тот маленький опыт, который мы получили, рассматривая смещение двух популяций с её помощью. Теперь для Р популяции матрица смещения квадратная и имеет порядок р×р. Элемент  , стоящий в I - й строке и в j – м столбце, представляет ту часть j – го населения, которые мигрируют в I – е население.Нам нужно также определить матрицу Q, составленную из частот всех генов, во всех популяциях. Предположим нам надо рассмотреть k генов, тогда матрица Q должна иметь k столбцов и p строк. М =  ; Q =  Каждая строка при этом в матрице Q описывает генетический фонд для одной из популяций. Понятие генетического фонда является важным для больших популяций со случайными спариваниями, так как по существу включает в себя все имеющиеся гены безотносительно к тем индивидуумам, которые ими обладают. В результате умножения матрицы Q слева на матрицу М, получается новая матрица Q’, описывающая состояние генофондов в популяции после миграции и смешивание через одно поколение. Q’ = Q×M Каждый столбец матрицы Q можно рассматривать как вектор, который меняется в результате миграции. Это совпадает с тем, что имеется в матричном уравнении для миграции. То, что эти векторы составляют вместе матрицу Q очень удобно, ибо теперь одновременное изменение различных генов во всех популяциях можно описать одним уравнением. Что бы до конца разобраться, что происходит, упростим нашу задачу, сужая и конкретизируя её. Пусть имеется только две популяции, в первой из которой геном А обладает  населения, а во второй  от общего количества. Тогда соответственно геном В в первой популяции обладает  а во второй населения. Пусть так же в каждом поколении  каждой популяции мигрирует в другую. Вопрос: к чему приведёт эффект смещения?Составим миграционную матрицу М, и матрицу частот всех генов Q: М =  ; Q =  Запишем миграционное уравнение и определим новые генетические частоты: Q’ = Q×M Q’ =  =  Из найденных значений видно, что эффект смещения приводит к сближению частот гена А в этих двух популяциях: более высокое значение  уменьшается до  , а более низкое значение возрастает от  , до  . Относительно гена В можно сделать такой же вывод: Если мы захотим определить генетические частоты в следующем поколении, то нам потребуется миграционное уравнение: Q’’ = Q’×M и т.д. Задача, в общем-то решена, эффект смещения установлен. А в заключении хотелось бы отметить, что миграционное уравнение очень важно в популяционной генетики, так как им можно воспользоваться так как им можно воспользоваться не только для определения изменения генетических частот по известным величинам миграции, но и наоборот, по известным частотам можно вычислить коэффициенты миграции. Заключение: Проведённое исследование показало, что алгебра матриц применима к решению большого круга важных задач, она упрощает процедуру решения и облегчает понимание процесса. И хотя в нашей работе этот метод к очень упрощённым, утрированным биологическим проблемам, стало ясно, что он может быть использовать и в решении реальных задач генетики, биологии популяций, систематики. Следовательно, высказанная гипотеза полностью подтвердилась, а поставленная цель-достигнута. Список литературы Лайтхилл Дж. и др. В.И. Новые области применения математики Под ред. Дж. Эндрюса и Р. Мак−Лауна. −М.: Мир, 2009. Смит Дж. Математические идеи в биологии.− М.: Mиp,2001. 1 2 |