конспект по матрицам. Лекция-1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия понятие о матрице

• Название: Линейная алгебра и аналитическая геометрия понятие о матрице
• Анкор: конспект по матрицам
• Дата: 12.09.2020
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Лекция-1.pdf
• Тип: Документы; #137678

1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. ПОНЯТИЕ О МАТРИЦЕ
При решении многих математических и прикладных задач возникает необходимость рассматривать совокупность чисел, расположенных в виде таблиц, что позволяет значительно упростить форму записи.
Например, рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными:














5
,
1
,
4 3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Информацию о ней можно закодировать с помощью таблицы













5 1
1 1
1 1
1 1
4 1
3 2
B
, а информацию о коэффициентах системы — с помощью другой таблицы:













1 1
1 1
1 1
1 3
2
A
С помощью таблиц можно задавать и функции. Так, функцию
x
1 2
3 4
y
1 4
9 16 можно задать и по-другому:







16 9
4 1
4 3
2 1
A
В связи с изложенным введем новое понятие.
Прямоугольной
n
m

матрицей называется таблица чисел











mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2 1
2 22 21 1
12 11
, (2.1.1) содержащая
m
строк и
n
столбцов.
Числа
ik
a
называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k — номер столбца. Элементы
ik
a при i=const образуют i-тую строку матрицы, а при
k =const — столбец с номером k.

2
В литературе используются и другие, более краткие обозначения матрицы.
Например,
)
(
ik
a
A

,
ik
a
A

,
}
{
ik
a
A

,
m
i
,
1

,
n
k
,
1

Матрица (1.1) называется квадратной матрицей n-го порядка, если
n
m

.
Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если
0

ik
a
при
k
i

. Она выглядит следующим образом:













nn
a
a
a
A
0 0
0 0
0 0
22 11
и иногда обозначается
)
diag(
22 11
nn
a
a
a
Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее элементы равны единице
)
,
1
,
1
(
n
i
a
ii


:













1 0
0 0
1 0
0 0
1
E
Используется также обозначение
)
(
ik
E


, где
ik

— символ Кронекера
1






,
1
,
,
0
k
i
k
i
ik

Матрица произвольной размерности, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Обозначается она через













0 0
0 0
0 0
0 0
0
O
1

m
матрица называется матрицей-столбцом (вектор-столбцом):
1
Л. Кронекер (1823—1891) — немецкий математик.

3













m
a
a
a
A

2 1
n

1
матрица называется матрицей-строкой (вектор-строкой):
)
(
2 1
n
a
a
a
A

Две
n
m

матрицы
)
(
ik
a
A

и
)
(
ik
b
B

называются равными тогда и только тогда, когда
ik
ik
b
a

при всех
m
i
,
1

и при всех
n
k
,
1

. Равенство может рассматриваться только для матриц одной и той же структуры
)
(
n
m

2.2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ
При решении многих математических задач возникает необходимость в сопоставлении квадратной матрице некоторого числа, называемого
определителем. В данном курсе отдается предпочтение такому порядку изложения теории, когда понятие определителя вводится формально, затем изучаются свойства определителей и, наконец, устанавливается их связь с решением конкретных задач (в частности, с решением систем линейных уравнений). Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка:







2 2
1 1
b
a
b
a
A
(2.2.1)
Определителем (детерминантом)
2
второго порядка матрицы (2.2.1) называется число
1 2
2 1
b
a
b
a

(2.2.2)
Он обозначается следующим образом:
A
b
a
b
a
b
a
b
a
det det
2 2
1 1
2 2
1 1








Часто определитель обозначают одной буквой

Для квадратной матрицы третьего порядка определитель вводится с помощью формулы
3 1
2 2
3 1
1 2
3 2
1 3
1 3
2 3
2 1
3 3
3 2
2 2
1 1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a






, (2.2.3) которая легко записывается с помощью правила треугольников:
2
determinans — определяющий (лат.).

4
(2.2.4)
Например,
2 6
0 2
0 0
2 1
2 1
3 2
0 1
0 1








2.3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
При доказательстве свойств определителей будем рассматривать ради краткости в основном определители второго порядка. Доказательство тех же свойств для определителей третьего порядка рекомендуем провести самостоятельно.
С в о й с т в о 1 . При транспонировании, т. е. при замене в определителе строк столбцами (с теми же номерами) величина определителя не изменяется:
2 1
2 1
2 2
1 1
b
b
a
a
b
a
b
a

. (2.3.1)
Вычисляя определители, стоящие в обеих частях (2.3.1), получаем верное равенство
1 2
2 1
1 2
2 1
b
a
b
a
b
a
b
a



Заметим, что свойство 1 выражает равноправие строк и столбцов определителя, состоящее в том, что любое свойство, справедливое для строк, будет верно и для столбцов.
С в о й с т в о 2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит свой знак:
1 1
2 2
2 2
1 1
b
a
b
a
b
a
b
a


. (2.3.2)
Доказывается свойство 2 непосредственным вычислением определителей, входящих в обе части равенства (2.3.2).
С в о й с т в о 3. Определитель с двумя одинаковыми строками
(столбцами) равен нулю.
Это свойство является следствием свойства 2.
Для доказательства в определителе

с двумя одинаковыми строками поменяем эти строки (или столбцы) местами. От этого он, естественно, не изменится. Однако согласно свойству 2 знак его должен измениться на противоположный:




. Отсюда следует, что
0



5
С в о й с т в о 4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя
2 2
1 1
2 2
1 1
b
a
b
a
k
b
ka
b
ka

Действительно, в результате вычислений получаем очевидное равенство
).
(
1 2
2 1
1 2
2 1
b
a
b
a
k
b
ka
b
ka



С в о й с т в о 5. Определитель с двумя пропорциональными строками
(столбцами) равен нулю.
0 3
3 3
1 1
1 1
1 1

c
b
a
kc
kb
ka
c
b
a
Для доказательства достаточно вынести, согласно свойству 4, за знак определителя множитель k. Тогда получим определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю (свойство 3).
С в о й с т в о 6. Имеет место формула
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
2 1
1 1
c
b
c
b
c
a
c
a
c
b
a
c
b
a




Доказательство выполняется очень просто:
1 2
2 1
1 2
2 1
1 2
2 2
1 1
)
(
)
(
c
b
c
b
c
a
c
a
c
b
a
c
b
a







С в о й с т в о 7. Определитель не изменится, если ко всем элементам некоторой его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число:
3 3
3 3
2 2
2 2
1 1
1 1
3 3
3 2
2 2
1 1
1
c
b
kb
a
c
b
kb
a
c
b
kb
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a




Для доказательства используем свойства 6 и 5:
3 3
3 2
2 2
1 1
1 3
3 3
2 2
2 1
1 1
3 3
3 2
2 2
1 1
1 3
3 3
3 2
2 2
2 1
1 1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
kb
c
b
kb
c
b
kb
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
kb
a
c
b
kb
a
c
b
kb
a






В качестве упражнения вычислите определители третьего порядка a)
2 3
1 0
1 2
1 2
1

б)
1 1
0 4
6 2
2 3
1

в)
2 3
7 3
1 2
1 2
4

, а затем «организуйте» в каждом из них строку или столбец, содержащий только один ненулевой элемент.

6
2.4. МИНОР И АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ
Рассмотрим определитель n-ного порядка.
Минором
ik
M элемента
ik
a определителя n-ного порядка

называется определитель (n – 1)-вого порядка, который получается из

вычеркиванием
i-той строки и k-того столбца.
Алгебраическим дополнением
ik
A элемента
ik
a называется его минор
ik
M
, умноженный на
k
i


)
1
(
:
ik
k
i
ik
M
A



)
1
(
Например, минор для элемента
2
c в определителе
3 3
3 2
2 2
1 1
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
будет иметьвид
3 3
1 1
b
a
b
a
,
а алгебраическое дополнение равно
3 3
1 1
3 2
)
1
(
b
a
b
a


Нетрудно видеть, что знаки, которые следует ставить перед соответствующими минорами при вычислении алгебраических дополнений, чередуются в шахматном порядке:
















В качестве упражнения выпишите алгебраические дополнения для элементов
13 22 21
,
,
a
a
a
в определителе
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Если рассматривается прямоугольная матрица, то понятие минора вводится по-иному.
Выберем в
n
m

матрице какие-либо k строк и k столбцов
).
,
(
n
k
m
k


Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов,

7 составим определитель k-тогопорядка. Любой из таких определителей называется минором k-того порядка для данной матрицы.
Например, для матрицы










34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
можно образовать миноры третьего, второго и первого порядков
(определитель первого порядка считается равным своему элементу). Вот некоторые из них:
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
23 21 13 11
a
a
a
a
,
24
a
2.5. ПОНЯТИЕ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим особенности формулы, выражающей величину определителя третьего порядка:
)
1 5
(
32 23 11 33 21 12 31 22 13 32 21 13 31 23 12 33 22 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







Очевидно, что
1) в правой части слагаемыми являются произведения элементов определителя, взятых по одному из каждой его строки и каждого столбца;
2) половина из этих произведений взята со знаком «плюс», другая — со знаком «минус».
Если расположить элементы в произведениях так, как это сделано в формуле (2.5.1) — в порядке возрастания первых индексов (номеров строк), то нетрудно обнаружить закономерность образования знаков для слагаемых в формуле (2.5.1). Будем говорить, что числа i, j образуют инверсию, если i > j
(менять местами числа i и j , конечно, нельзя; i считается первым, а j — вторым числом).
Выпишем некоторые из слагаемых в формуле (2.5.1) и подсчитаем для них число инверсий

в последовательности вторых индексов (номеров столбцов):

8 3
1
,
2
,
3
;
2 2
,
1
,
3
;
1 2
,
3
,
1
;
2 1
,
3
,
2 31 22 13 32 21 13 32 23 11 31 23 12
















a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(2.5.2)
Очевидно, знак слагаемых в правой части равенства (2.5.1) определяется в зависимости от четности числа инверсий

; при четном

соответствующее произведение берется со знаком «плюс», при нечетном

— со знаком
«минус». Поэтому формулу (2.5.1) можно переписать короче:



k
j
i
k
j
i
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
,
3 2
1 33 32 31 23 22 21 13 12 11
)
1
(

, (2.5.3) где суммирование выполняется при условии, что среди индексов i,j,k нет одинаковых.
Те же закономерности легко проследить и для определителей второго порядка. Поэтому формула (2.5.3) может служить основой для введения понятия определителя любого порядка:



n
n
i
i
i
ni
i
i
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
,
,
2 1
2 1
2 22 21 1
12 11 2
1 2
1
)
1
(










. (2.5.4)
Таким образом, если задана квадратная матрица п-ного порядка, то
определителем п-ного порядка является число, равное сумме произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком

)
1
(

, где

выражает число инверсий в последовательности вторых индексов элементов соответствующих произведений, при условии, что первые расположены в порядке их возрастания.
Можно доказать, что для определителя любого порядка справедливы все свойства определителей, рассмотренные в п. 2.3.
В качестве упражнения определите, с каким знаком входит в определитель пятого порядка произведение
24 15 51 43 32
a
a
a
a
a
2.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ
СТРОКИ ИЛИ СТОЛБЦА
Для вычисления определителей второго и третьего порядков существуют простые правила. Используя формулу (2.5.4), можно вычислить определитель

9 и более высокого порядка, но этот способ является слишком громоздким.
Приведем теорему, облегчающую процедуру вычисления определителей более высоких порядков, но для простоты докажем ее лишь для определителей третьего порядка.
Теорема 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:








n
i
nk
nk
k
k
k
k
ik
ik
A
a
A
a
A
a
A
a
1 2
2 1
1

(разложение по элементам k-того столбца),








n
k
in
in
i
i
i
i
ik
ik
A
a
A
a
A
a
A
a
1 2
2 1
1

(разложение по элементам i-той строки).
Для доказательства рассмотрим определитель третьего порядка:
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a


и покажем, например, что
31 31 21 21 11 11
A
a
A
a
A
a




По правилу треугольников имеем








33 21 12 32 23 11 31 22 13 31 23 12 32 21 13 33 22 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







)
(
)
(
)
(
22 13 23 12 31 33 12 32 13 21 32 23 33 22 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
,
31 31 21 21 11 11 23 22 13 12 31 33 32 13 12 21 33 32 23 22 11
A
a
A
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a






что и требовалось доказать.
Если выбрать другой столбец или строку, то доказательство выполняется аналогично.
Итак,
1 1







n
k
ik
ik
n
i
ik
ik
A
a
A
a
(2.6.1)
Рассмотрим пример вычисления определителя путем разложения по элементам первой строки:
15 2
1 1
2
)
3
(
2 2
4 1
1 2
2 1
4 1
2 3
0 1









10
Теорема 2. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие элементы другой строки (столбца) равна нулю.
Так, например, для определителя
33 32 31 23 22 21 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
имеем
0 33 32 31 13 12 11 13 12 11 23 13 22 12 21 11




a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
A
a
A
a
(см. свойство З п. 2.3).
Таким образом, с учетом (2.6.1) получаем следующую формулу:














при
0
,
при
1 1
j
i
j
i
A
a
A
a
n
l
lj
li
n
k
jk
ik
Теорема 3. Если все элементы k-того столбца (строки) определителя

кроме одного
ik
a , равны нулю, то определитель

равен произведению
ik
a на алгебраическое дополнение
ik
A этого элемента:
ik
ik
A
a


Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы 1.
Теорема 3 часто применяется для вычисления определителей, имеющих в некоторой строке (столбце) только один отличный от нуля элемент. Если это не так, то теорему 3 применяют после преобразования определителя (с учетом его свойств, не изменяющих величины определителя) к виду, удовлетворяющему условию теоремы.
Например:
42 1
2 3
1
)
2
)(
3
(
2 0
3 0
1 2
0 3
1 3
1 0
3 2
1 2
1 3
1 3
1 0
0 3
1 1
3 1
2 1
0 2
1 3
0 1
1 0
6 3
1 1
1 1
2 1
4 2
1 3
2 1






















11
2.7. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ
С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА
С помощью определителей удобно записывать решение систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:














3 33 32 31 2
23 22 21 1
13 12 11
,
,
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
b
z
a
y
a
x
a
(2.7.1)
Обозначим через
z
y
x




,
,
,
определитель системы

и вспомогательные определители, полученные из

заменой столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной столбцом свободных членов:
,
,
,
3 32 31 2
22 21 1
12 11 33 3
31 23 2
21 13 1
11 33 32 3
23 22 2
13 12 1
33 32 31 23 22 21 13 12 11
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
z
y
x








Будем считать, что
0


Для вычисления х умножим первое уравнение системы (2.7.1) на
11
A , второе – на
21
A , третье – на
31
A , а затем сложим полученные равенства
(рекомендуется, не глядя на последующие выкладки, подумать, почему выбраны именно такие множители):
)
(
)
(
)
(
31 3
21 2
11 11 31 33 21 23 11 13 31 32 21 22 11 12 31 31 21 21 11 11
A
b
A
b
A
b
z
A
a
A
a
A
a
y
A
a
A
a
A
a
x
A
a
A
a
A
a












Из последней формулы (на основании теорем 1 и 2 п. 2.6) получаем








x
x
x
x
Аналогично (следует подумать самостоятельно как именно) вычисляются
у и z:
,






z
y
z
y
Итак, решением системы (2.7.1) является совокупность значений х, у, z, определяемая так называемыми формулами Крамера
3
:
3
Г.Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик

12
,
,









z
y
x
z
y
x
(2.7.2)
Упражнение
Решите с помощью формул Крамера систему уравнений:













0 2
3
,
9 4
,
6 2
z
y
y
x
z
y
x
З а м е ч а н и е. Формулы Крамера можно использовать при условии
0


. Случай, когда
0


, будет рассмотрен в п. 11.
Формулы (2.7.2) можно распространить на случай системы п линейных уравнений с п неизвестными:




n
k
i
k
ik
n
i
b
x
a
1
,
1
,
(2.7.3)
Рассуждая так же, как при решении системы (2.7.1) в результате можно получить решение системы (2.7.3), определяемое формулами Крамера:
,
,
1
,
n
k
x
k
x
k




(2.7.4)

— определитель системы (7.3);
k
x



,
0
— определитель, получаемый из

путем замены k-того столбца столбцом свободных членов.