Линейные пространства. Линейные пространства Определение линейного пространства

• Название: Линейные пространства Определение линейного пространства
• Анкор: Линейные пространства
• Дата: 17.06.2020
• Размер: 380.5 Kb.
• Имя файла: 1.1.doc
• Тип: Документы; #130946

Линейные пространства

Определение линейного пространства

Множество V называется линейным пространством над полем действительных чисел R, а его элементы – векторами, если:

– задана операция сложения, которая любым двум элементам x и y из V сопоставляет элемент x + y из V, называемый их суммой;

– задана операция умножения на число, которая элементу x V и числу R сопоставляет элемент αx V, называемый произведением x на α;

– для любых элементов x, y, z V и любых чисел α и β выполнены следующие свойства заданных операций (аксиомы):

1) (x + y) + z = x + (y + z);

2) x + y = y + x;

3) существует такой элемент 0 V, что x + 0 = x, для каждого x V;

4) для любого x V существует такой элемент −x V, что x + (−x) = 0;

5) α(β)x = (αβ)x;

6) α(x + y) = αx + αy;

7) (α + β)x = αx + βx;

8) 1 · x = x.

Определения такого вида называются аксиоматическими, решение о принадлежности объектов к тому или иному понятию заключается в проверке выполнения всех аксиом. Операции сложения и умножения на число называются линейными операциями.

Пример 1.1. Докажите, что следующие множества являются линейными пространствами:

1. 
   множество геометрических векторов;
   
2. 
   множество n-ок действительных чисел с действиями покомпонентного сложения и умножения на число;
   
3. 
   множество матриц одного размера;
   
4. 
   множество многочленов от одной переменной, степени не большей n.
   

Доказательство:

(

а) Напомним, что на множестве всех геометрических векторов сложение векторных величин производится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (рис. 1.1). Из этих правил можно сделать вывод о выполнимости аксиоматических свойств 1–3 линейного пространства.

П ри умножении вектора на скаляр (число) k получается вектор , модуль которого равен произведению модуля a на число k, т. е. . Направления векторов и совпадают, если k > 0, и они противоположны, если k < 0. Иллюстрация этого правила представлена на рис. 1.2. Исходя из этого правила, можно показать выполнимость оставшихся аксиом линейного пространства.

Пространство геометрических векторов будем обозначать в дальнейшем при решении задач через

(b) Запишем множество n-ок действительных чисел при помощи математических символов {  R}. Так как введены действия покомпонентного сложения и умножения на число, то все аксиомы линейного пространства следуют из свойств действительных чисел. Это пространство Rⁿ называется арифметическим n-мерным вещественным пространством.

(с) Рассмотрим множество матриц размера m× n (напомним, что при сложении таких матриц, умножении их на число размер не изменится).

Проверим одну из аксиом линейного пространства (свойство 6). Пусть имеются действительное число α и произвольные матрицы размера m× n
с действительными элементами:  и . Тогда верны равенства =   
=    + 

При проверке использовались только определение действий над матрицами и свойства действительных чисел, остальные аксиомы проверяются аналогично. Пространство матриц размера m× nс действительными элементами будем обозначать (R).

(d) Множество многочленов от одной переменной x, степени не большей n, с коэффициентами из числового множества Р, будет являться линейным пространством, так как сложение таких многочленов и умножение их на число не приводят ни к появлению новых переменных, ни к увеличению степени. Выполнимость же аксиом следует из свойств чисел, так как действия над многочленами сводятся к действиям над их коэффициентами.

Рассмотренный пример показал, что проверка всех аксиом линейного пространства – трудоемкий процесс. Для его упрощения необходимо выстроить иерархию свойств линейного пространства (их наследуемости) и подмножеств линейного пространства, обладающих данными свойствами.

Подмножество U называется подпространством пространства V, если оно само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, заданных в V. Обозначение: U ≤ V (в отличие от обозначения U V для подмножества).

При решении задач можно учитывать наследуемость многих свойств в линейных пространствах. Теорема, дающая необходимое и достаточное условие подпространства – критерий подпространства, – формулируется так: подмножество U является подпространством V тогда и только тогда, когда для любых x, y U и a, b R выполняется: (a · x + b · y) U. В таких случаях говорят, что U замкнуто относительно линейных операций.

Пример 1.2. Докажите, что следующие множества являются линейными пространствами:

1. 
   множество геометрических векторов, лежащих в одной плоскости;
   
2. 
   множество n-ок действительных чисел с нулевой первой компонентой;
   
3. 
   множество матриц размера 2 × 2;
   
4. 
   множество многочленов не выше 4-й степени, имеющих корень 1.
   

Д оказательство. При доказательстве требуемых фактов будем использовать следующую логическую схему: если доказать, что некоторое подмножество U является подпространством уже известного линейного пространства V, то затем, воспользовавшись тем, что подпространство само является линейным пространством (по определению), можно сделать вывод.

(а) Множество геометрических векторов, лежащих в плоскости α, является непустым подмножеством пространства всех векторов. Выполнение критерия подпространства очевидно (рис. 1.3). Следовательно, являясь подпространством линейного пространства множество само является линейным пространством относительно сложения векторов и умножения вектора на число.

(b) Подмножество M = {  R} пространства Rⁿ замкнуто относительно линейных операций, так как для произвольных его элементов верно , где a, b R. Таким образом, множество n-ок действительных чисел с нулевой первой компонентой является подпространством в Rⁿ, т. е. линейным пространством относительно наследуемых операций.

(с) Множество квадратных матриц второго порядка замкнуто относительно линейных операций, так как операции сложения матриц и умножения матрицы на число не увеличат размеры матрицы. По критерию подпространства рассматриваемое множество (R) – подпространство (R), т. е. само является линейным пространством.

(d) Сначала необходимо понять, как выглядят многочлены не выше 4-й степени, имеющие корень 1. Согласно теореме Безу любой такой многочлен делится на (х – 1), т. е. рассматриваемое подмножество K пространства состоит из многочленов вида

Для чисел a, b  R, многочленов  верно следующее равенство:  следовательно, показана замкнутость множества K относительно линейных операций, значит выполнен критерий подпространства.

Таким образом, являясь подпространством пространства , множество многочленов не выше 4-й степени, имеющих корень 1, само, по определению, является линейным пространством.

Идея линейности самая распространенная в математике, поэтому рассматривались примеры из разных ее разделов – аналитической геометрии, теории многочленов. Современная алгебра занимается описанием алгебраических конструкций на более абстрактном уровне. На примере линейных пространств был рассмотрен общий принцип построения алгебраических структур и подструктур. В линейной алгебре рассматривают и «взаимоотношения» между пространствами одного и того же пространства. Например, пересечение подпространств не пусто и само является подпространством.

Можно определенным образом ввести операцию суммы подпространств, которая тоже будет замкнута на множестве подпространств линейного пространства. А главное, что все эти абстрактные построения имеют множество инженерных и технических приложений.

Линейные пространства могут обладать метрикой, так называемой «возможностью измерений». Обобщая известные понятия, назовем скалярным произведением (обобщенным скалярным произведением) в вещественном линейном пространстве V (любую) функцию ν, сопоставляющую паре векторов вещественное число и удовлетворяющую следующим условиям.

Для любых a, b, c V и α, β R:

1) линейность: ν(αa + βb, c) = αν(a, c) + βν(b, c);

2) симметричность: ν(a, b) = ν(b, a);

3) положительная определенность: ν(a, a) > 0, при a ≠ 0.

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пример 1.3. Является ли пространство Rⁿ евклидовым, если скалярное произведение введено следующим образом:

1. 
   ; b) ?
   

Доказательство. Проверка выполнимости аксиом скалярного произведения в пространстве дает ответ на вопрос о его евклидовости.

(а) Проверка уже первой из аксиом скалярного произведения (аксиомы линейности) показывает, что пространство Rⁿ не становится евклидовым при введенном таким образом произведении элементов.

(b) Если скалярное произведение введено как сумма произведений соответствующих компонент, то все аксиомы выполнены. Такое скалярное произведение называется стандартным скалярным произведением, а пространство Rⁿ евклидово относительно стандартного произведения.

Число называется нормой (длиной) элемента a V и обозначается . Если понятно, о каком скалярном произведении идет речь, то пишут (a, b) вместо ν(a, b) и вместо . Если не оговаривается, какое скалярное произведение рассматривается, то рассматривают стандартное.

Пример 1.4. Найдите норму элемента (1, 3, – 2, 1)^T в R⁴.

Решение.