Моделирование систем лекция. Моделирование систем. Литература по теме Тема Модели на основе метода статистических испытаний
 Скачать 2.59 Mb.
|
|
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования Московский финансово-промышленный университет «Синергия» Кафедра Информационных систем Прокимнов Н.Н. Интернет-курс по дисциплине «Моделирование систем» Москва 2018 2 Содержание Аннотация ............................................................................................................................ 5 Тема 1. Основные понятия моделирования ...................................................................... 7 Вопрос 1. Понятие модели. Необходимость применения подхода. Особенности и преимущества. .................................................................................................................. 7 Вопрос 2. Требования к моделям. ................................................................................ 10 Вопрос 3. Классификация моделей. Основные области применения. ..................... 13 Вопрос 4. Состав и описание основных шагов процесса моделирования. .............. 19 Вопросы для самопроверки: ......................................................................................... 20 Литература по теме: ....................................................................................................... 21 Тема 2. Модели на основе метода статистических испытаний ..................................... 22 Вопрос 1. Понятие метода статистических испытаний. ............................................ 22 Вопрос 2. Случайные и псевдослучайные числа. Программные генераторы квазислучайных чисел. Конгруентный алгоритм. ...................................................... 25 Вопрос 3. Имитация случайных величин и событий. ................................................ 27 Вопрос 4. Пример применения метода Монте-Карло (оценивание надежности функционирования объекта заданной структуры). .................................................... 28 Вопросы для самопроверки: ......................................................................................... 32 Литература по теме: ....................................................................................................... 33 Тема 3. Модели стохастических систем .......................................................................... 34 Вопрос 1. Стохастические системы. Модели стохастических систем. .................... 35 Вопрос 2. Системы массового обслуживания. ............................................................ 35 Вопрос 3. Основные понятия теории вероятностей. .................................................. 36 Вопрос 4. Параметры системы, способы оценивания, пример оценивания. ........... 40 Вопрос 5. Простейший поток. Формула Пуассона. .................................................... 43 Вопросы для самопроверки: ......................................................................................... 48 Литература по теме: ....................................................................................................... 48 Тема 4. Марковские процессы. Модели систем массового обслуживания ................. 49 Вопрос 1. Понятие марковского процесса. ................................................................. 50 Вопрос 2. Классификация марковских процессов. ..................................................... 50 Вопрос 3. Граф состояний и переходов. ...................................................................... 51 Вопрос 4. Дискретные цепи Маркова. ......................................................................... 52 Вопрос 5. Уравнения Колмогорова. ............................................................................. 60 Вопрос 6. Процессы гибели и размножени. ................................................................ 66 Вопрос 7. Оптимизация показателей многоканальной СМО с отказами. ................ 69 Вопрос 8. Модель системы массового обслуживания с неограниченной очередью. Формула Хинчина – Полачека. .................................................................................... 72 Вопросы для самопроверки: ......................................................................................... 78 Литература по теме: ....................................................................................................... 79 3 Тема 5. Основные концепции имитационного моделирования .................................... 80 Вопрос 1. Понятие имитационного моделирования. ................................................. 81 Вопрос 2. Непрерывные и дискретные модели. ......................................................... 83 Вопрос 3. Программная реализация случайных величин с заданными законами распределения. ............................................................................................................... 85 Вопрос 4. Иллюстрация на модели массового обслуживания. ................................. 89 Вопрос 5. Обработка результатов запусков программной модели. .......................... 91 Вопросы для самопроверки: ......................................................................................... 93 Литература по теме: ....................................................................................................... 94 Тема 6. Моделирующие комплексы ................................................................................ 95 Вопрос 1. Подходы к программной реализации программных моделей. Основные функции систем имитационного моделирования. ...................................................... 96 Вопрос 2. Отличительные особенности моделирующего комплекса Pilgrim.......... 97 Вопрос 3. Концептуальные единицы системы Pilgrim. ............................................. 98 Вопрос 4. Граф Pilgrim-модели одноканальной СМО. ............................................ 101 Вопросы для самопроверки: ....................................................................................... 102 Литература по теме: ..................................................................................................... 102 Тема 7. Языковые средства и конструкции моделирующих комплексов .................. 103 Вопрос 1. Конструктор Gem. ...................................................................................... 104 Вопрос 2. Структура модуля исходного текста программной Pilgrim-модели. .... 111 Вопрос 3. Узловые операторы Pilgrim. ...................................................................... 115 Вопрос 4. Текст программной Pilgrim-модели СМО. .............................................. 117 Вопрос 5. Сборка и запуск исполнительного модуля модели. ................................ 121 Вопрос 6. Состав и форма представления результатов моделирования в системе Pilgrim. .......................................................................................................................... 124 Вопрос 7. Моделирование на языке GPSS. ............................................................... 126 Вопросы для самопроверки: ....................................................................................... 137 Литература по теме: ..................................................................................................... 138 Тема 8. Имитационные модели замкнутых систем ...................................................... 139 Вопрос 1. Замкнутые системы, модели замкнутых систем. .................................... 140 Вопрос 2. Приемы определения нестандартных выходных параметров. .............. 142 Вопрос 3. Пример постановки задачи моделирования многопользовательской корпоративной информационной системы. .............................................................. 144 Вопрос 4. Замкнутые модели на языке GPSS. .......................................................... 149 Вопрос 5. Построение гистограмм. ............................................................................ 154 Вопросы для самопроверки: ....................................................................................... 158 Литература по теме: ..................................................................................................... 158 Тема 9. Методология декомпозиции разработки имитационных моделей ............... 159 Вопрос 1. CASE-системы. Концепция многослойного моделирования................. 160 Вопрос 2. Средства и практическая реализация многослойного моделирования в системе Pilgrim. ............................................................................................................ 162 Вопрос 3. Пример применения подхода концепции для комплексного моделирования производственных процессов и потоков материальных и денежных ресурсов работы предприятия. ................................................................................... 166 Вопросы для самопроверки: ....................................................................................... 173 Литература по теме: ..................................................................................................... 173 4 Тема 10. Планирование модельных экспериментов .................................................... 174 Вопрос 1. Задача аппроксимация данных наблюдения теоретическими зависимостями. Постановка задачи проверки гипотез. Критерии согласия. ......... 175 Вопрос 2. Примеры постановки и решения задачи для моделирования стохастической системы. ............................................................................................ 176 Вопрос 3. Необходимость в планировании экспериментов на модели. Понятия и определения теории планирования эксперимента. .................................................. 182 Вопрос 4. Планирование эксперимента. План решения задачи ранжирования факторов. ...................................................................................................................... 187 Вопрос 5. План решения задачи аналитического описания функции отклика. .... 190 Вопрос 6. План решения задачи поиска оптимальных значений. .......................... 194 Вопросы для самопроверки: ....................................................................................... 196 Литература по теме: ..................................................................................................... 197 Приложение...................................................................................................................... 198 5 Аннотация Дисциплина посвящена изучению основных понятий, методов и инструментальных средств анализа и проектирования систем на основе моделирования протекающих в них процессов, применяемых приемов, основных типов математических моделей. Дисциплина формирует общую систему теоретических и концептуальных представлений о методологической основе теории, а также развивает ряд практических навыков и умений, позволяющих студентам впоследствии применять полученные знания и навыки для решения прикладных задач в своей области деятельности. Целью изучения дисциплины «Моделирование систем» является формирование у обучающихся системы знаний в области моделирования, а также построение статических и динамических моделей с использованием современных программных средств. Изучение дисциплины позволит сформировать необходимый объем специальных знаний в области методов моделирования и анализа систем. Задачи дисциплины: раскрытие сущности и содержания основных понятий и определений моделирования как методологии; ознакомление с основными практическими результатами применения методологии и средств моделирования; изучение основных математических моделей, применяемых для построения информационных систем; формирование навыков самостоятельной и коллективной работы студентов по решению типичных задач с применением методологии моделирования. В результате изучения дисциплины студенты должны: знать: возможности методологии и основные области ее применения, классификацию моделей и постановку основных задач, решение которых достигается наиболее эффективно с помощью применения математических моделей; 6 уметь: правильно анализировать проблемную ситуацию и формулировать задачи анализа и синтеза систем с ориентацией на применение для решения задач аппарата математического моделирования, рационально планировать экспериментальную работу с моделью, интерпретировать и анализировать результаты моделирования процессов и систем; иметь представление: об особенностях и возможностях основных разновидностей математических моделей, типовых приемах, применяемых для построения моделей и получения необходимых результатов моделирования. 7 Тема 1. Основные понятия моделирования Цели изучения темы: познакомиться с возможностями и аппаратом моделирования для решения задач анализа и проектирования сложных систем. Задачи изучения темы: понять особенности методологии; понять главные преимущества моделирования; более детально познакомиться с математическими моделями. Успешно изучив тему, Вы: получите представление о: сущности моделирования и классификациях моделей; в каких областях наиболее широко используется моделирование; будете знать: какие требования предъявляются к моделям; что означает адекватность модели и как она устанавливается; из каких шагов состоит процесс моделирования. Вопросы темы: 1. Понятие модели. Необходимость применения подхода. Особенности и преимущества. 2. Требования к моделям. 3. Классификация моделей. Основные области применения. 4. Состав и описание основных шагов процесса моделирования. Вопрос 1. Понятие модели. Необходимость применения подхода. Особенности и преимущества. Целью исследования обычно являются либо изучение механизма поведения объекта или явления, либо определение значений параметров исследуемого объекта, удовлетворяющих определенному критерию. Это означает, что в процессе исследования необходимо изменять значения параметров исследуемого объекта и таким образом измерять значения показателя, служащего аргументом критерия. Процесс исследования заканчивается, когда исследователь находит совокупность значений параметров объекта, удовлетворяющую заданному критерию с заданной достоверностью. 8 Проведение таких исследований называется экспериментом. На практике экспериментирование с реальными объектами, как правило, либо обходится очень дорого, либо вообще невозможно из-за нежелательных последствий эксперимента. Примерами таких задач могут быть задачи изучения социальных и экономических последствий от введения новых законодательных актов, исследование влияния, которое окажет на показатели безопасности воздушного движения оснащение воздушных судов новой системой предупреждения столкновений, или исследование характеристик устойчивости конструкции зданий (сооружений) для сейсмически опасного района. Поэтому обычно в таких случаях для проведения научных экспериментов реальные объекты заменяются соответствующими им более простыми, безопасными и доступными объектами, свойства которых подобны свойствам исследуемых реальных объектов в своей существенной части. Методологической основой такого подхода является моделирование систем. Моделирование представляет собой универсальный метод получения, описания и использования знаний и используется в любой профессиональной деятельности. В современной жизни, характеризующейся большим разнообразием и сильной взаимозависимостью явлений и процессов, роль и значение моделирования еще более усиливаются. Моделирование реальных систем живой и неживой природы позволяет исследователю или проектировщику выявлять связи между формальными знаниями и изучаемыми системами или процессами. Модели и моделирование объединяют специалистов различных областей, работающих над решением междисциплинарных проблем, независимо от того, где эта модель и результаты моделирования будут применены. Вид модели и методы ее исследования больше зависят от информационно-логических связей элементов и подсистем моделируемой системы, ресурсов, связей с окружением, используемых при моделировании, а не от конкретной природы, конкретного наполнения системы. Модели, в особенности модели математические, обладают и другой важной особенностью, а именно, позволяют развивать у исследователя модельный стиль мышления, что дает возможность вникать в структуру и внутреннюю логику моделируемой системы. Чтобы получить представление об основной сущности понятия модель будем использовать такое ее определение: Объект А есть модель объекта В, если: 1. А и В не идентичны друг другу. 2. А отвечает на вопросы относительно В. 9 Иначе говоря, модель представляет собой некоторый объект, замещающий объект-оригинал в целях изучения первого или воспроизведения каких-либо его свойств, и есть, таким образом, результат отображения первого на второй. Например, отображая объект-оригинал, представляющий собой физическую систему, на математическое описание в виде системы дифференциальных уравнений, получим математическую модель объекта-оригинала. Построение моделиесть системная задача, требующая анализа и синтеза исходных данных, гипотез, теорий, знаний специалистов. Системный подход позволяет не только построить модель реальной системы, но и использовать эту модель для оценки различных системных показателей, например, эффективности управления каким- либо объектом или качественных и количественных показателей деловых процессов, протекающих в некоторой структуре. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях (гипотезах). Например, физическая система, состоящая из тела массы m, движущегося с ускорением a и находящегося под воздействием силы F, описывается математически уравнением F=ma и представляет собой математическую модель физической системы (второй закон Ньютона). Эта модель построена при таких допущениях относительно объекта-оригинала как: 1. трения нет; 2. сопротивление воздуха ничтожно мало; 3. масса тела не меняется; 4. движение происходит с постоянным ускорением. Когда же нам необходимо иметь инструмент для более точного количественного описания происходящих явлений (иными словами, получить более адекватную модель), мы будем вынуждены включить в рассмотрение какие-то из тех факторов, которыми мы до этого пренебрегали. Под моделированием мы будем понимать процесс, в результате которого решаются две задачи: 1) создание модели для проведения исследований; 2) проведение на основе созданной модели экспериментов, необходимых для достижения конечной цели исследований. Важно отметить то обстоятельство, что модель, появляющаяся как итог решения первого этапа моделирования, предназначена для решения с ее помощью конкретной задачи, которая должна формулироваться до начала работ по моделированию, и должна, следовательно, создаваться на основе гипотез, вытекающих из специфики и требований конечной цели исследований. 10 В широком смысле моделирование представляет собой научную дисциплину, в которой изучаются методы построения и использования моделей для познания реального мира. Вопрос 2. Требования к моделям. Чтобы соответствовать своему назначению и быть практически полезными модели должны отвечать ряду требований, вытекающих из сущности методологии и определяемых условиями конкретной задачи. Укажем основные из них, которые носят принципиальный и универсальный характер. Создать модель в точности отображающую все свойства моделируемого объекта невозможно. Модель всегда отображает только некоторые аспекты системы, выбираемые исследователем для включения в модель в зависимости от того, насколько эти аспекты существенны с точки зрения решения основной задачи. Выбор цели, таким образом, определяет характер всей последующей работы, связанной с построением и использованием модели, а также полезность и надежность получаемого результата. Таким образом, основным и обязательным свойством модели является ее целенаправленность. Свойство адекватности модели определяет ее пригодность в качестве инструмента проведения исследований и является основным ее свойством. Модель считается адекватной, если она отражает заданные свойства моделируемого объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень близости значений выходных параметров модели к выходным параметрам объекта. Если в процессе построения модели допущены принципиальные ошибки, то говорить о ее точности не имеет смысла. Реальный объект (рис. 1а) может быть описан функциональной зависимостью между показателями его свойств Y и множествами учтенных X={x 1 ,…,x n } и неучтенных W={w 1 ,…,w s } факторов и параметров Z={z 1 ,…,z r } (определение этих терминов будет дано в следующей теме): 1 1 1 ( ,..., , ,..., , ,..., ) n r s Y f x x z z w w (1) 11 Рис. 1. Объект-оригинал (а) и его модель (б) Однако в модели (рис. 1б) отображаются только те факторы и параметры объекта-оригинала, которые имеют существенное значение для решения поставленной задачи. Кроме того, измерения существенных факторов и параметров практически всегда содержат ошибки, обусловленные погрешностью измерительных приборов и незнанием некоторых факторов. В силу этого модель включает в себя только приближенное описание свойств изучаемого объекта, а математическая модель представляет собой еще и абстракцию изучаемого объекта. Модели обычно отличаются от своих оригиналов природой внутренних параметров. Подобие заключается в адекватности реакции Y’ модели реакции Y оригинала на изменение внешних факторов x 1 ,…,x n Поэтому в общем случае математическая модель представляет собой функцию: ' ' ' 1 1 ( ,..., , ,..., ) n m Y f x x p p , (2) где p 1 ,… p m – внутренние параметры модели, адекватные параметрам оригинал. Главным вопросом математического моделирования является вопрос о том, насколько точно составленная математическая модель отражает отношения между учитываемыми факторами, параметрами и выходом (показателем оцениваемого свойства) Y реального объекта, т.е., в какой степени уравнение (2) соответствует уравнению (1). 12 Иногда (2) можно получить в явном виде, например, в виде системы дифференциальных уравнений или иных математических соотношений. Однако в более сложных случаях вид уравнения (2) неизвестен и задача исследователя состоит, прежде всего, в том, чтобы найти вид этогоуравнения. При этом к числу варьируемых параметров x 1 ,…,x n , относят все учитываемые внешние факторы и параметры исследуемого объекта, а к числу искомых параметров относят внутренние параметры модели p 1 ,…,p m , связывающие факторы x 1 ,…,x n с показателем Y' наиболее правдоподобным отношением. Решением этой проблемы занимается теория планирования эксперимента, элементы которой рассматриваются в последней теме настоящего курса. Положения этой теории применительно к указанной задаче позволяют, основываясь на выборочных измерениях значений параметров x 1 ,…,x n и показателя Y', найти параметры p 1 ,…,p m , при которых функция (2) наиболее точно отражает реальную закономерность (1). Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта, которые характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров необходимо выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей является довольно сложной и трудоемкой задачей, решение требующей больших вычислительных и временных ресурсов, которые с увеличением размерности пространства внешних параметров растут нелинейно. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться. Универсальность модели определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров. Задачей разработчика модели является определение множества этих параметров таким образои, чтобы обеспечить получение нужных результатов в достаточно широкой области исследований. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти. Для решения достаточно сложных задач это обстоятельство может иметь очень большое значение. Противоречивость требований к модели – широкая область адекватности, высокая степень универсальности и экономичность – обусловливает необходимость создания для объектов одного и того же типа не одной модели, а некоторого их набора, в котором каждая модель предназначена для решения конкретных, в общем случае непересекающихся, задач. 13 Степень соответствия модели своему назначению и ее практическая полезность характеризуется также наличием у нее таких свойств как: Наглядность, под которой понимается обозримость основных свойств и отношений. Управляемость, предполагающая наличие в модели хотя бы одного параметра, изменениями которого можно имитировать поведение моделируемой системы в различных условиях. Доступность и технологичность для проведения исследования или воспроизведения поведения. Адаптивность, под которой понимается способность модели приспосабливаться к различным входным параметрам и воздействиям окружения. Способность к эволюции, т.е. к количественному и качественному развитию. Вопрос 3. Классификация моделей. Основные области применения. Классификацию моделей на верхнем уровне (рис. 2) можно провести, выделив два основных класса – моделей натурных и моделей математических. Рис. 2. Классификация моделей При натурном моделировании используется либо сама исследуемая система, либо подобная ей. Модели в этих случаях представляют собой материальные объекты. Поэтому они иногда называются материальными моделями. 14 При исследовании сложных систем, как правило, создать адекватную физическую модель не представляется возможным. В этих случаях ограничиваются созданием и исследованием математических описаний закономерных отношений между значениями параметров оригиналов. Такие описания называются математическими моделями. Математическая модель - это образ исследуемого объекта, умозрительно создаваемый исследователем с помощью определенных формальных (математических) систем с целью изучения или оценивания определенных свойств данного объекта. Математическое моделирование можно определить как процесс установления соответствия реальной системе математической модели и проведения исследований на этой модели, позволяющий получить характеристики реальной системы. Применение математического моделирования дает возможность исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или невозможны в силу связанных с проведением экспериментов больших затрат, опасности для жизни или здоровья. Такие случаи возможны при изучении новой конструкции летательного аппарата, наличия физических (например, большая удаленность объекта от исследователя) или временных (проведение натурных экспериментов невозможно в установленные сроки) ограничений и т.п. Одним из основных достоинств математического моделирования является их экономичность. По разным оценкам построение и применение математических моделей требует примерно в 10–100 раз меньших затрат по сравнению с затратами на физическое моделирование. В зависимости от способов, которые используются для математического описания моделируемой системы и нахождения решения с помощью этого описания, различают аналитическое и компьютерное моделирование. При аналитическом моделировании процессы функционирования элементов описываются в виде математических соотношений (алгебраических, интегральных, дифференциальных, логических и т.д.). При компьютерном моделировании описание модели составляется либо в виде алгоритма (программы ЭВМ), либо в форме, которая может восприниматься (интерпретироваться) ЭВМ с целью проведения экспериментов. В зависимости от способа, который используется для решения математической модели, различают численное, статистическое и имитационное моделирование. При численном моделировании для проведения расчетов используются методы вычислительной математики. От аналитического моделирования численное моделирование отличается тем, что возможно задание различных параметров модели. 15 Статистическое моделирование, или метод Монте-Карло состоит в обработке данных о системе (модели) с целью получения статистических характеристик системы. Его можно считать разновидностью имитационного моделирования, способ исследования процессов поведения вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах. Он заключается в машинной имитации изучаемого процесса, который как бы копируется на вычислительной машине со всеми сопровождающими его случайностями; используется главным образом при решении задач исследования операций, в анализе производственной деятельности. Когда внутренние взаимодействия между элементами системы и механизмы протекания процессов исследуемого объекта достаточно хорошо изучены и описаны, то становится возможным непосредственное воспроизведение протекающих процессов с помощью компьютерной программы. Такой подход называют имитационным моделированием, которое позволяет исследователю или аналитику добиться высокой точности результата при относительно невысоких затратах на его получение. Математические модели, которые являются основным классом моделей, изучаемых в настоящем курсе, можно классифицировать и по целому ряду специфических для них признаков. Укажем некоторые из основных классификаций математических моделей. Математический аппарат. В зависимости от применяемого аппарата модель может быть отнесена к одному из следующих видов. Функциональная – состоит из совокупности нескольких функций, описывающих взаимосвязи между различными параметрами моделируемой системы. Примером функциональной модели может быть выраженная вторым законом Ньютона зависимость между массой, силой и ускорением движущегося тела. Логическая – состоит из логических высказываний (предикатов) относительно моделируемой системы. Например, правила выполнения арифметических действий над двоичными числами в процессоре ЭВМ могут быть описаны с помощью основных логических операций И, ИЛИ, НЕ. Табличная – описывает структуру и/или поведение моделируемой системы в виде одной или нескольких таблиц. Так, эффективность применения того или иного антивирусного средства можно описать в виде таблицы, строками которой будут применяемые программы, а столбцами – виды вирусных атак. 16 Графовая – использует математическое понятие графа для представления моделируемых структур и взаимодействий между отдельными элементами структур. Например, с помощью графовой модели можно представить транспортную сеть с целью оптимизации ее структуры или нахождения оптимальных путей передвижения по этой сети (задача коммивояжера и т.п.). Алгоритмическая – строится как формализованное описание логической последовательности действий, которые необходимо предпринять для достижения требуемой цели в моделируемой системе. Например, для нахождения критического пути в сетевом графе работ используется алгоритм (метод) критического пути, построенный на рекуррентном правиле. Игровая – описывает поведение системы из нескольких субъектов (групп субъектов) с конфликтом или антагонизмом целей. Формализация осуществляется на основе аппарата теории игр. Приведенный перечень не является исчерпывающим и отражает лишь наиболее распространенные типы моделей. Назначение модели. Если описание модели не содержит временного параметра, то модель называется статической. Примерами статических моделей являются планетарная модель атома и модель ДНК. Если описание модели включает временной параметр, то модель называется динамической. Примером динамической модели может быть модель для определения величины пройденного пути свободно падающим телом, которая находится из выражения: 2 2 g t S , где g – ускорение свободного падения; t – время, прошедшее с момента начала движения. Модельное время. Модель называется моделью с дискретным временем (или просто дискретной), если поведение моделируемой системы описывается только для дискретного набора моментов времени. Например, если рассматривать систему ведения артиллерийского огня, то решение задачи оценивания эффективности стрельбы можно проводить, привязываясь только к определенным временным моментам, а именно, к моментам произведения выстрела. 17 Модель называется моделью с непрерывным временем (или просто непрерывной), если поведение моделируемой системы описывается для любого момента времени ее функционирования. Например, в ранее приведенном примере свободно падающего тела величину пройденного пути модель позволяет определять в произвольные моменты времени. Деление систем на непрерывные и дискретные довольно условно и определяется характером решаемой задачи. Вид используемых функций. По этому признаку принято подразделять модели на две большие группы – линейные и нелинейные. В линейных моделях математическая связь ее выходных параметров с входными представляется с помощью линейных зависимостей. В качестве примера можно еще раз использовать второй закон Ньютона, который выражается математически, как хорошо известно, следующим образом: F=ma. Другим примером может служить также хорошо известный закон Ома, устанавливающий связь меду величиной напряжения, силой тока и сопротивлением: U = IR. Однако довольно часто поведение исследуемой системы не подчиняется линейным зависимостям и для их описания нужно применять функции более сложного вида (степенные, логарифмические, показательные), что приводит к нелинейным моделям. Построение и использование нелинейных моделей сопряжено со значительными трудностями, поэтому на практике чаще прибегают к кусочно-линейной аппроксимации (линеаризации) нелинейных моделей в целях упрощения задачи. 18 Определенность поведения. Различают детерминированные и стохастические в зависимости от возможности или невозможности предсказать их поведение. В детерминированной модели в каждый момент времени можно основываясь на значениях входных параметров, однозначно предсказать значения выходных параметров. К таким моделям можно отнести многие модели, применяемые в астрономии. В стохастической (недетерминированной, вероятностной) модели в силу действия недостаточной изученных или вовсе неизвестных случайных факторов предсказать поведение модели однозначно нельзя. Описание и исследование моделируемой системы может быть построено на использовании аппарата теории вероятностей и математической статистики, а также известных законов распределения случайных величин. К стохастическим моделям можно отнести модели систем массового обслуживания (парикмахерская, банк, билетная касса, справочное бюро и т.п.), где момент прихода очередного требования и продолжительность нахождения его в системе однозначно непредсказуемы. Методология моделирования применяется во многих областях человеческой деятельности. Из основных областей примнения назовем такие области, как: построение теории исследуемой системы; управление системой в целом или отдельными ее подсистемами, выработка управленческих решений и стратегий; автоматизация системы или отдельных ее подсистем; обучение, как в прикладных областях знаний, так и в профессинальной сфере; прогнозирование реакции систем (выходных данных) на воздействия, ситуаций, состояний. 19 Вопрос 4. Состав и описание основных шагов процесса моделирования. На рис. 3 показаны основные этапы, из которых состоит процесс моделирования. Рис. 3. Основные этапы математического моделирования Выполнение шагов описанной процедуры не является в общем случае строго последовательным: в зависимости от получаемых на одном из шагов результатов возможен возврат на предыдущие шаги с целью корректировки их результатов с последующим их повторением. Иначе говоря, процесс моделирования носит итеративный характер. 20 Выводы: 1. Решение многих научных и практических задач сопряжено с большими трудностями в силу невозможности проведения эксперимента с реальным объектом или связанных с проведением эксперимента большими затратами. Преодолеть эти трудности можно путем моделирования изучаемого объекта. 2. Методология моделирования является универсальной как по отношению к типу изучаемых объектов и явлений, так и в смысле постановок задач исследований, которые могут выходить за границы применимости классических теорий и требовать междисциплинарного подхода. 3. Для правильного выбора подхода к решению задач моделирования, так же, как и в других областях науки, необходима классификация моделей по различным признакам. Одним из наиболее распространенных классов моделей являются математические модели, дающие возможность получить во многих случаях решение с приемлемой точностью при относительно небольших затратах на построение моделей и проведение с ними экспериментов. 4. Эффективность моделирования зависит от того, насколько полно построенная модель соответствует предъявляемым требованиям. Набор этих требований зависит от специфики решаемой задачи, однако, практически во всех случаях в число этих требований входят требования адекватности, универсальности и экономичности. Вопросы для самопроверки: 1. Что такое модель? 2. Что называется моделированием? 3. Где применяются модели? 4. В чем состоит особенность моделирования как методологии? 5. Каковы основные преимущества моделирования? 6. Как классифицируются модели? 7. В чем состоят преимущества и недостатки математических моделей по сравнению с натурными моделями? 8. Как классифицируются математические модели? 9. Чем объясняется широкое распространение математических моделей? 10. Какие бывают математические модели в зависимости от используемого математического аппарата? 11. В чем заключаются отличия линейных моделей от нелинейных? 12. Чем отличается статистическая модель от динамической? 13. Чем отличается детерминированная модель от стохастической? 14. Как различаются модели по критерию модельного времени? 21 15. Что такое адекватность? 16. Что такое область адекватности? 17. Как можно обосновать адекватность на основе формального сравнения оригинала и модели? 18. Что понимается под требованием универсальности модели? Литература по теме: 1. Боев, В. Д. Имитационное моделирование систем : учеб.пособие для прикладного бакалавриата / В. Д. Боев. — М.: Издательство Юрайт, 2017. — 253 с. 2. В.В. Аюпов Математическое моделирование технических систем. Учебное пособие – Пермь, ИПЦ «Прокростъ», 2017 – 242с. 3. Градов В.М. Компьютерное моделирование: учебник / В.М. Градов, Г.В. Овечкин, П.В. Овечкин, И.В. Рудаков. – М.: ИНФРА-М, 2017. – 264с. 22 |