Моделирование систем лекция. Моделирование систем. Литература по теме Тема Модели на основе метода статистических испытаний

• Название: Литература по теме Тема Модели на основе метода статистических испытаний
• Анкор: Моделирование систем лекция
• Дата: 17.08.2022
• Размер: 2.59 Mb.
• Имя файла: Моделирование систем.pdf
• Тип: Литература; #647642
• страница: 11 из 13

Тема 10. Планирование модельных экспериментов
Цели изучения темы:
 получить представление о задачах и методиках теории планирования эксперимента и ее приложениях к имитационному моделированию.
Задачи изучения темы:
 познакомиться с основными понятиями теории планирования эксперимента;
 рассмотреть типовые постановки задач модельных экспериментов с точки зрения теории планирования эксперимента;
 изучить подходы к решению основных задач.
Успешно изучив тему, Вы:
получите представление о:
 области применения теории планирования эксперимента;
 задачах, решаемых теорией планирования эксперимента;
будете знать:
 как правильно формулировать задачу к исследованиям на имитационных моделях и организовывать процесс экспериментов;
 какими методами следует пользоваться для рациональной организации экспериментирования на имитационной модели;
 как отбирать существенные факторы для экспериментов на модели.
Вопросы темы:
1. Задача аппроксимация данных наблюдения теоретическими зависимостями. Постановка задачи проверки гипотез. Критерии согласия.
2. Примеры постановки и решения задачи для моделирования стохастической системы.
3. Необходимость в планировании экспериментов на модели.
Понятия и определения теории планирования эксперимента.
4. Планирование эксперимента. План решения задачи ранжирования факторов.
5. План решения задачи аналитического описания функции отклика.
6. План решения задачи поиска оптимальных значений.

175
Вопрос 1. Задача аппроксимация данных наблюдения
теоретическими зависимостями. Постановка задачи проверки
гипотез. Критерии согласия.
Для каких-либо свойств или показателей системы часто приходится делать некоторое допущение относительно характера и параметров математической зависимости, описывающей значения показателя, основываясь на результатах наблюдения за значением показателя. После этого принятое допущение подвергается проверке.
Решение этой задачи носит название проверки статистических гипотез.
Существуют различные методы проверки статистических гипотез.
Наиболее широко на практике используются критерии:
 Пирсона, или x
2
(хи-квадрат).
 Крамера-фон Мизеса.
 Колмогорова-Смирнова.
Критерий согласия x
2
предпочтителен в тех случаях, если объемы выборок (число значений, полученных или измеренных в результате наблюдений) N, в отношении которых проводится анализ, велики. Это мощное средство, если N > 100 значений.
Следует, однако, заметить, что в ряде случаев, в частности, при анализе экономических ситуаций, бывает довольно трудно или невозможно найти 100 одинаковых процессов, развивающихся с различными исходными данными. Сложность заключается не только в том, что не бывает одинаковых объектов экономики, а и втом, что к исходным данным относятся не только исходные вероятностные данные и особенности структуры объекта. Влияние на процесс оказывает также сценарий развития процессов в этом объекте и в тех объектах внешней среды, с которыми он взаимодействует (процессы, протекающие на рынке, указы правительства, принятие новых законов, требования налоговых органов, платежи в бюджеты различных уровней).
Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при малых объемах выборок, обычно, для N <10. Однако для N < 10 независимо от применяемого метода вопрос о доверительной вероятности при проверке статистической гипотезы решается плохо – эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов.
Для выборок с объемами в пределах 10 < N < 100 согласно многим исследованиям хорошие результаты дает критерий Колмогорова-
Смирнова. Он применяется в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известны среднее значение и дисперсия испытуемой совокупности.

176
Рассмотрим подробнее методику использования критерия

2 на конкретном примере, предварительно познакомившись с часто встречающимся в моделях стохастических систем классом потоков, называемым пуассоновским.
Вопрос 2. Примеры постановки и решения задачи для
моделирования стохастической системы.
Решение многих задач анализа и проектирования систем (в частности, систем массового обслуживания) намного упрощается в случаях, когда входящий поток и поток обслуживания являются простейшими (пуассоновскими). Покажем, каким образом можно вынести суждение о принадлежности наблюдаемого потока к пуассоновскому (напомним еще раз, что потоки этого типа имеют очень важное значение для решения практических задач, в чем вы сможете убедиться далее).
Предположим, что проводилось наблюдение за потоком посетителей в отделении банка в течение 10 дней его работы.
Результаты (число пришедших в течение часа в банк людей) представлены в таблице:
Часы
Дни
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2
4 2
3 4
3 5
2 2
3 2
3 2
7 2
3 3
3 1
3 4
3 4
6 4
2 4
4 4
4 5
9 3
4 4
5 2
1 3
7 3
6 2
3 6
3 2
3 4
5 5
3 2
7 4
3 4
3 8
3 4
3 8
1 2
2 4
3 4
2 4
9 3
4 6
3 4
2 4
2 10 2
2 3
5 6
4 2
5
Определим интенсивность входящего потока покупателей за час работы отделения и, используя критерий Пирсона с уровнем значимости
α=0,05, подвергнем проверке гипотезу о том, что поток описывается пуассоновским законом распределения.

177
Сгруппируем данные по числу клиентов банка k, посетивших отделение в течение часа, а результаты представим в виде таблицы:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
fk
3 19 23 21 6
4 2
1 1
Предварительно заполнив в таблице для удобства вычислений дополнительную строку со значениями произведения k×f k
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
fk
3 19 23 21 6
4 2
1 1
80
k * fk
3 38 69 84 30 24 14 8
9
279
найдем величину интенсивности потока λ:
9 1
9 1
279 3, 49 80
k
k
k
k
k
f
k
f




 




.
По формуле
!
k
T
k
f
N
e
k




где
9 1
80
k
k
N
f




,
находим и заносим в строку fТ теоретические значения частот:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
fk
3 19 23 21 6
4 2
1 1
80
k * fk
3 38 69 84 30 24 14 8
9
279
fТ
8,53 14,88 17,29 15,08 10,52 6,11 3,05 1,33 0,51
Вычислим и занесем в строку таблицы
2
(
)
T
k
k
T
k
f
f
f

,

178 значения, стоящие в числителе выражения под знаком суммы в формуле
2 9
2 1
(
)
T
k
k
набл
T
k
k
f
f
f





,
для наблюдаемого значения критерия Пирсона:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
fk
3 19 23 21 6
4 2
1 1
80
k * fk
3 38 69 84 30 24 14 8
9
279
fТ
8,53 14,88 17,29 15,08 10,52 6,11 3,05 1,33 0,51 2
(
)
T
k
k
T
k
f
f
f

3,59 1,14 1,88 2,33 1,94 0,73 0,36 0,08 0,46
12,51
В результате получаем наблюдаемое значение x
2
набл
=12,51.
По заданному уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы ν = n–2, где n – число групп в ряду (в нашем случае n=9) по таблице значений критических точек x
2
распределения находим
2 2
( , )
(0, 05, 7)
14, 07
кр
кр
  



Поскольку x
2
набл
< x
2
табл
(12,51 < 14,07) не отвергаем гипотезу о том, что входящий поток описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью λ=3,49 час-1.
Вид теоретической и экспериментальной зависимостей для рассмотренного примера показан на диаграмме Рис. 60:
Рис. 60. Графики теоретической и экспериментальной зависимостей
частот числа заявок входящего потока

179
Предположим теперь, что проводилось наблюдение за временем обслуживания клиентов отделения банка кассиром, в результате чего получена таблица для частот интервалов следующего вида:
tмин
tмакс
f
1.
0 5
27 2.
5 10 23 3.
10 15 18 4.
15 20 11 5.
20 25 8
6.
25 30 3
Определим среднее время
s
t
и интенсивность μ обслуживания клиентов банка, после чего обоснуем с уровнем значимости α=0,05 гипотезу о том, что время
s
t
распределено по экспоненциальному закону, используя для этого критерий Пирсона.
Находим среднее значение каждого временного интервала по формуле: min max
,
1, 2,..., 6 2
k
k
k
t
t
t
k



.
Значения заносим в столбец, добавляемый к таблице справа:
tмин
tмакс
f
tср
1.
0 5
27 2,5 2.
5 10 23 7,5 3.
10 15 18 12,5 4.
15 20 11 17,5 5.
20 25 8
22,5 6.
25 30 3
27,5
Находим среднее время
s
t
6 1
6 1
10, 22
k
k
k
s
k
k
t f
t
мин
f






,
и, предварительно подсчитав в ячейках отдельного столбца входящие в выражение для среднего времени произведения k×f k

180
tмин
tмакс
f
k
t
k
k f

1.
0 5
27 2,5 67,5 2.
5 10 23 7,5 173 3.
10 15 18 12,5 225 4.
15 20 11 17,5 193 5.
20 25 8
22,5 180 6.
25 30 3
27,5 82,5
Σ
90 определяем интенсивность обслуживания μ:
s
-1
мин
1
=
=0,10
t

.
По формуле min max
6 1
(
),
90
k
k
t
t
T
k
k
k
f
N e
e
где N
f










,
находим теоретические частоты:
tмин
tмакс
f
k
t
k
k f

fT
1.
0 5
27 2,5 67,5 34,82 2.
5 10 23 7,5 173 21,35 3.
10 15 18 12,5 225 13,09 4.
15 20 11 17,5 193 8,03 5.
20 25 8
22,5 180 4,92 6.
25 30 3
27,5 82,5 3,02
Σ
90
Вычислим и занесем в отдельный столбец таблицы значения
2
(
)
T
k
k
T
k
f
f
f

,
входящие в выражение под знаком суммы в формуле
2 6
2 1
(
)
T
k
k
набл
T
k
k
f
f
f





,

181 для наблюдаемого значения критерия Пирсона:
tмин
tмакс
f
tср
fT
2
(
)
T
k
k
T
k
f
f
f

1.
0 5
27 2,5 67,5 34,82 2.
5 10 23 7,5 173 21,35 3.
10 15 18 12,5 225 13,09 4.
15 20 11 17,5 193 8,03 5.
20 25 8
22,5 180 4,92 6.
25 30 3
27,5 82,5 3,02
Σ
90 6,75
В результате получаем x
2 набл
=6,75.
По заданному уравнению значимости α=0,05 и числу степеней свободы ν = n-2, где n – число групп в ряду (в нашем случае n=6) в таблице значений критических точек x
2
распределения, находим:
2 2
( , )
(0, 05, 4)
9, 49
кр
кр
  



.
Поскольку x
2 набл
2
табл
(6,75 < 9,49) не отвергаем гипотезу о том, что время обслуживания клиентов описывается экспоненциальным законом распределения с интенсивностью μ =0,10 мин
-1
Вид теоретической и экспериментальной зависимостей для рассмотренного примера показан на диаграмме Рис. 61:
Рис. 61. Графики теоретической и экспериментальной зависимостей
частот продолжительности обслуживания заявки

182
Вопрос 3. Необходимость в планировании экспериментов на
модели. Понятия и определения теории планирования эксперимента.
Исследования, проводимые на имитационной модели, представляют собой частный случай научного эксперимента. Обычный подход к проведению экспериментов связан с большими временными
и трудовыми затратами, поскольку сводится к последовательному варьированию отдельных совокупностей входных переменных при сохранении значений остальных неизменными, и измерению значений выходных переменных, получающихся для каждой совокупности значений входных переменных.
Эксперименты на имитационной модели являются, как правило, многофакторными и связаны с поиском рациональной структуры и оптимизацией параметров моделируемой системы, отысканием оптимальных условий ее функционирования и т.д. Степень сложности исследуемой системы и, соответственно, используемой для исследований имитационной модели в очень многих случаях не позволяет провести ее всестороннее теоретическое изучение в разумные сроки. Поэтому, несмотря на значительный объем проведенных на модели экспериментов достаточно полный анализ объекта исследования оказывается невозможным и окончательное решение получается весьма приблизительным.
Под
экспериментом понимают совокупность операций, совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах.
Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это случай пассивного эксперимента.
Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Объект, на котором возможен активный эксперимент, называется управляемым.
Опытом называется отдельная часть эксперимента.
Целью планирования эксперимента является нахождение таких условий и правил проведения опытов, при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.

183
Планирование эксперимента есть процесс выбора плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий, направленных на разработку стратегии экспериментирования
(от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
Результатом планирования эксперимента является
план
эксперимента, которыйпредставляет собой совокупность данных, определяющих число, условия и порядок проведения опытов.
Проведение исследований на основе планирования эксперимента требует выполнения некоторых требований. Основными из них являются требования управляемости (см. выше) и воспроизводимости результатов эксперимента.
Воспроизводимость характеризуется разбросом значений результата определенных опытов, проводимых через неравные промежутки времени: если разброс не превышает некоторой заданной величины, то объект исследования считается удовлетворяющим требованию воспроизводимости результатов.
Хорошо составленный план эксперимента обеспечивает:
 минимизацию общего число опытов;
 одновременное варьирование всеми входными переменными;
 использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментатора;
 наличие четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.
Объект исследования в теории планирования эксперимента обычно представляется в виде «черного ящика» (Рис. 62):
Рис. 62. Модель «черного ящика»
Входы «черного ящика» (стрелки слева), обозначенные Х1, Х2,…,
Хn и представляющие собой воздействия на «черный ящик», называются
факторами. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, которые являются случайными и не поддаются управлению.

184
Факторы, выбранные для эксперимента, должны отвечать
требованиям:
 однозначности;
 независимости: факторы не должны оказывать влияния друг на друга;
 совместимости: все комбинации факторов должны быть реализуемы и не приводить к абсурду;
 управляемости: значение фактора можно задавать по усмотрению экспериментатора (предполагается активный эксперимент);
 полноты: если какой-либо существенный фактор пропущен, это приведёт к неправильному определению оптимальных условий и появлению большой ошибки опыта.
Факторы в эксперименте бывают количественными и качественными.