МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРИШНЕКОВОГО ДАВЛЕНИЯ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЯ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОТИВОВРАЩЕНИЯ. Статья Пеленко-Scopus-Мурм-05.03.2019. Математическая модель процесса формирования внутришнекового давления измельчителя с учетом влияния элементов противовращения
 Скачать 3.01 Mb.
|
|
УДК 519.68:532.7:541.182.41 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ФОРМИРОВАНИЯ ВНУТРИШНЕКОВОГО ДАВЛЕНИЯ ИЗМЕЛЬЧИТЕЛЯ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ПРОТИВОВРАЩЕНИЯ Д-р техн. наук В.В. Пеленко, pelenko1@rambler.ru Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна 198095, Россия, Санкт-Петербург, ул. И. Черных, 4 канд. техн. наук В.А. Демченко, dem8484@gmail.com Университет ИТМО 191002, Россия, Санкт-Петербург, ул. Ломоносова, 9 Повышение эффективности техники, используемой в арктических условиях, приобретает в настоящее время особо важное значение. Это касается не только крупных и высокоэнергоемких машин, но и бытовых приборов, совокупное потребление энергии которыми нередко превышает энергозатраты габаритного оборудования. К таким видам приборов относится, в частности, измельчительно-режущая техника. Математическое описание процессов, осуществляемых на этом оборудовании, носит обобщенный характер и может быть распространено на более широкий класс машин, в том числе перерабатывающих отходы и горно-рудную технику. Технологические параметры и конструкции шнековых измельчительных машин, а также осуществляемые в них процессы перемещения рыбного сырья, деформации, экструзии и резания характеризуются значительным количеством факторов, влияющих на энергоемкость. Главными из них, определяющими эффективность рыбообрабатывающего оборудования, являются геометрические параметры шнека, корпуса, ножа, толщина выходной решетки, количество и диаметр отверстий в ней, а также физико-механические характеристики рыбного продукта и технологические режимы эксплуатации. Важнейшими для математического описания являются зоны и процессы, в которых затрачивается основная доля потребляемой мощности. Сложностью их аналитического описания обусловлено упрощенное рассмотрение либо отдельных технологических зон существующих конструкций измельчителей, либо использование необоснованных упрощений. Особенностью конструкций шнековых измельчительно-режущих устройств, осложняющей моделирование, является наличие на внутренней поверхности корпуса буртиков противовращения (противоскольжения), исключающих проворачивание рыбного продукта, а также обеспечивающих его поступательное движение и формирование давления, требуемого для экструзии. Так как основной силовой характеристикой, определяющей энергоемкость процессов измельчения, экструзии и резания, является величина давления, формируемого на выходе измельчителя и закон его распределения вдоль траектории перемещения, то определение зависимости давления от длины винтовой линии является целью исследования. Решение этой задачи в условиях действия на рыбный продукт тормозящих сил со стороны элементов противовращения (противоскольжения), принципиально отличает его от существующих подходов, учитывающих действие лишь сил трения. В результате аналитического описания, нами получена математическая зависимость внутришнекового давления от 16 влияющих факторов, включая длину винтовой линии, что позволяет обосновать параметры конструктивных элементов измельчителя и осуществлять формирование на выходе необходимое давление экструзии для рыбного сырья с различными физико-механическими свойствами. Введение Определение закона формирования давления по длине траектории перемещения в условиях тормозящего действия на продукт сил трения со стороны поверхности винтового шнека, осуществлено в работах [1-8]. Аналитическое решение более сложной задачи, с учетом влияния буртиков противовращения (противоскольжения), будем осуществлять методом интегрирования дифференциального уравнения движения продукта в винтовом шнековом канале. Для математического описания рассматриваемых процессов используем известную физическую модель перемещения пробки продукта в обращенном движении по поверхности винтового канала, введя дополнительно влияние таких факторов тормозящего действия на внешнем контуре, как сила трения, и механическое сопротивление элементов противовращения. Объекты и методы исследования Объектами исследования являются процессы взаимодействия рыбного сырья с конструктивными элементами волчка при перемещении, деформации и экструзии твердообразного материала в условиях противодавления со стороны буртиков противовращения, выполненных на внутренней поверхности корпуса. В качестве методов исследования выбрано математическое моделирование процесса и решение определяющего дифференциального уравнения, а также экспериментальный метод оценки адекватности полученных теоретических результатов. Обсуждение результатов Теоретические материалы исследования В качестве математической модели процесса примем известные гидродинамические уравнения движения в форме Эйлера для массы продукта единичного объема [5]. Рассматривая случай одномерного перемещения материала по винтовой развернутой поверхности шнекового канала вдоль естественной координаты «L» (координата «L» - развернутая винтовая линия шнека), запишем:  =RL -  , (1) где t –время процесса перемещения продукта в канале измельчителя, с; VL - проекция вектора скорости на ось координат«L», м/с; ρ- плотность пищевого материала, кг/м3; P -текущее значение давления пищевого сырья в шнековом канале в зависимости от координаты «L», Па; RL=R - проекция на ось «L» главного вектора внешних сил (силы трения материала о винтовую поверхность шнека и силы механического сопротивления элементов противоскольжения, действующих на массу единичного объема материала), м/с2. Учитывая твердообразный характер структуры измельчаемого продукта, и наличие ребер противоскольжения, исключающих проворачивание материала, пренебрегаем процессами его циркуляции в направлениях, перпендикулярных продольной оси шнекового канала, а сам процесс рассматриваем установившимся, стационарным. Тогда, при переходе к традиционным переменным, уравнение движения Эйлера для массы продукта M=ρ*Q запишем в виде: ρQ  = ρQR - (2)где:  = VL; x = L; M -масса пищевого материала, кг; Q -объем перемещаемой пищевой массы, м3.Объем перемещаемой массы продукта определяется объемом шнекового канала и может быть определен по линейному относительно «L» соотношению: Q= L (а+в)( Dн – Dв)/2. где а, в – размеры оснований трапецеидального сечения шнекового канала, м; Dн - диаметр наружного образующего цилиндра шнека, м; Dв – диаметр внутреннего образующего цилиндра винтовой поверхности шнека, м. Обозначив левую часть (2), представляющую собой инерционную составляющую, значением Fн, запишем для нее соотношение: Fн = ρ Q  ρQ  . (3)По своему физическому смыслу уравнение Эйлера, записанное в форме (2), представляет собой уравнение равновесия сил, действующих на перемещаемый материал по шнековому каналу. Анализ принятой физической модели показывает, что силовой фактор ρQR формирования профиля давления продукта вдоль винтовой линии (поверхности) шнека состоит из двух компонентов. Первый компонент обусловлен наличием сил трения скольжения материала о винтовую поверхность шнека и внутреннюю поверхность корпуса цилиндра. Второй определяющей причиной повышения давления в шнековом канале по мере продвижения от зоны загрузки в направлении выхода, является наличие силы механического сопротивления со стороны ребер противоскольжения, которые могут выполняться соосно корпусу или в виде винтовых многозаходных элементов. В условиях стесненного сжатия сила трения определяется уравнением: Fтр =  S, (4) где Fтр - сила трения, H; - коэффициент трения скольжения продукта по поверхности течения; n - коэффициент Пуассона материала продукта; S –площадь трения материала о поверхность шнека и цилиндра корпуса, м2. Площадь трения определяется периметром поперечного сечения шнекового канала и его длиной в соответствии с очевидным соотношением: S= L [(а+в) + 2(Dн – Dв)]. а, в – размеры оснований трапецеидального сечения канала шнека, м; Dн, Dв – диаметры наружного и внутреннего цилиндров, образующих корпуса шнека, м. Сила механического сопротивления со стороны буртиков противовращения (элементов противоскольжения) запишется: Fсм = Fб =sсм Sсм, (5) где: Fсм=Fб - сила механического сопротивления перемещению рыбного сырья в винтовом шнековом канале со стороны выступающих буртиков противовращения продукта перпендикулярно к нему, H; sсм - напряжения смятия материала пищевого сырья, Па; Sсм - площадь сминаемой поверхности, определяемая соответствующей площадью буртика противоскольжения, м2. При этом: Sсм = D*Lсм , (6) где: D - высота выступа ребра противоскольжения (буртика), м; Lсм - длина линии противоскольжения (линии смятия), м. Для тормозящей силы со стороны буртика противоскольжения получим: Fб =sсм• D*Lсм . (7) Учитывая физическую картину взаимодействия продукта с винтовой поверхностью и с ребрами противоскольжения, определим длину линии смятия материала по соотношению: Lсм = Lср =Lсекц.Nп (8) где: Nп - количество секций ребер противоскольжения, пересекаемых винтовой линией на всей ее длине; Lсекц. - длина одной секции противоскольжения, находящаяся между соседними витками винтовой линии шнека (фактически это торцевой шаг винта шнека), м. Длина одной секции ребра противоскольжения определяется длиной всей винтовой линии шнека, количеством витков и углом наклона нормали винтовой поверхности шнека к его оси в соответствии с очевидным соотношением: Lсекц.= L  /Nш , (9)где: Nш - количество витков винтовой линии шнека; g- угол наклона нормали винтовой поверхности шнека к его оси. Таким образом, длина линии деформации смятия или среза после подстановки соотношения (9) в уравнение (8) примет форму выражения: Lсм = Lср = L Nп sing/Nш . (10) В таком случае усилие смятия материала, формирующее закон распределения давления по длине винтовой линии шнека может быть записано в виде: Fб =sсм• D • L• Nп• sing/Nш. (11) Аналогично, для случая выполнения ребер противоскольжения в виде шлицов, заглубленных на внутренней поверхности корпуса шнекового механизма, запишем соответствующее усилие механического сопротивления срезу в виде двух воможных соотношений: Fб ==sср b L Nп sing/Nш = Pуд.ср L Nп sing/Nш. (12) где sср- напряжения среза материала рыбного продукта, Н/м2; b- ширина заглубленного шлица, м; Pуд.ср- удельное усилие резания измельчаемого рыбного материала, Н/м. Оценки показывают, что порядок значений, вычисленных по соотношениям (11) и (12), одинаков. Из технологических соображений принимаем за основу в дальнейших расчетах уравнение (11) Общее выражение для силового фактора ρQR, включающего в себя силу трения скольжения и силу механического сопротивления ребер противовращения, запишем в виде суммы соотношений (4) и (11): ρQR = Fтр + Fб или ρQR = S + sсм• D • L• Nп• sing/Nш. (13)Рассмотрим более подробнее левую часть уравнения движения в форме Эйлера (2). При постоянном шаге винтовой линии шнека в случае установившегося режима процесса, анализируемый фактор не дает внешней силовой компоненты, так как является кинематической, инерционной составляющей и при стационарном режиме не формирует сил инерции, то есть равен нулю. В случае переменного шага винтовой линии шнека появляется инерционная составляющая, поэтому необходимо задать закон изменения скорости в зависимости от продольной координаты шнекового канала.Этот закон может быть задан в линейной форме: Vx= VL = Vo (1 - k L), где: k –коэффициент снижения скорости перемещения материала, определяемый коэффициентом сжатия шага винтовой линии шнека, м-1. Коэффициент k определим через начальный и конечный углы наклона винтовой линии, а также полную ее длину: k =  ,где: gн – угол наклона винтовой линии к оси шнека в его начале; gк - угол наклона винтовой линии к оси шнека в его конце; Lш – полная длина винтовой линии шнека, м. Vo- начальное значение скорости рыбного материала в зоне его загрузки, м/с; k –коэффициент пропорциональности, характеризующий темп убывания осевой скорости перемещения пищевого материала в волчке (k =0,2) м-1; L = x - линейная координата по длине винтовой поверхности шнека, м. Из геометрических соображений, в соответствии с разверткой винтовой линии шнека, очевидна следующая зависимость: Vo =  , где: ω - угловая скорость вращения шнека, с-1. В таком случае для нестационарного инерционного силового компонента, обусловленного непостоянством шага шнека, можем записать: Fн=ρQ =ρQVL =-ρQV2ok(1-kL)= -ρQ ()2k(1-kL). (14)Таким образом уравнение движения (2) в форме Эйлера для перемещения рыбного материала в шнековом винтовом канале с переменным шагом в общем случае принимает вид:  S/Q + sсм•D•L•Nп•sing/Nш•Q + ρ V2o k (1 - k L),После перегруппировки слагаемых, однородных по L и P, получаем: S/Q + (sсм•D •Nп•sing/Nш•Q - ρ V2o k2) L + ρ V2o k. (15)Учитывая, что S и Q функционально связаны с длиной винтовой линии L линейно, то отношение S и Q для конкретного шнекового механизма постоянно. Полагая =const, получим из (15) линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами m, n и w в следующей форме:  + m P = n L + w , (16)где : m =  S/Q = const - постоянная величина м-1;n =(sсм•D •Nп•sing/Nш•Q - ρ V2o k2) - постоянная величина Н/м4; w = ρV2ok – свободный член уравнения, не зависящий от L и P, Н/м3. Для решения этого дифференциального уравнения используем метод Бернулли замены переменной. В результате, выражение для закона изменения давления P продукта по длине шнекового канала L получим в виде: P = [n (L/m – 1/m2) + w/m] + (P0 + n/m2 - w/m)  . (17)После подстановки в полученное соотношение значений коэффициентов n, m и w, согласно принятым обозначениям, решение дифференциального уравнения (15) запишем в следующем виде: P = [(sсм•D •Nп•sing/Nш•Q - ρV2ok2) [L/  S/Q) – 1/S/Q)2] + + [ρV2ok/ S/Q)] + [P0 + (sсм•D •Nп•sing/Nш•Q - ρ V2o k2)/S/Q)2 ++ρV2ok / S/Q)]  . (18) Таким образом найдена аналитическая зависимость (18) изменения давления P продукта по длине L шнекового канала от шестнадцати характеристик: sсм, D, Nп, Nш, ρ, n, m, P0, , b, Dн, Dв, Lш, gн, gв, ω. В соответствии с реальными числовыми значениями этих характеристик, определим порядок величины давления пищевого материала в винтовом канале шнека и построим график зависимости P=P(L). Рассмотрим рыбное сырье с нижеследующими характеристиками: sсм=0,75МПа; D=2*10-3м; Nп=4; Nш=4; ρ=0,9*103кг/м3; n=0,47; m=0,015; P0=0,1МПа; =1,9•10-2м;=3,1•10-2м; Dн=60•10-3м; Dв=30•10-3м; Lш=0,650м; gн =p/4; gв=p/20; ω=5p с-1. При этом получаем: S=6•10-2 м2; Q=3•10-4 м3. Тогда искомая зависимость примет следующий вид: |