Применение математических моделей в биофизике. 1) Общие принципы_модель Хилла. Математические модели в медицине и биологии (разработка и анализ) Основные принципы моделирования применение в биологии
 Скачать 418.47 Kb.
|
|
Математические модели в медицине и биологии (разработка и анализ) Основные принципы моделирования применение в биологии Моделирование вообще. Для исследования систем и протекающих в них процессов требуются специальные методы для их моделирования, то есть упрощенной имитации. В той или иной мере существуют описательные модели; графические (рисунки, карты, диаграммы состояния); физические – натуральные аналоги систем – макеты и т.д.; математические. Последние формализуются в форме математических соотношений между параметрами и переменными системы, которые могут выражаться в форме графиков, диаграмм состояний и т.д. Проблематика математического моделирования. Мы будем изучать проблему математического моделирования в медицине и биологии на основе свойств физических или статистических моделей, приближенных по функционированию к биологическим объектам. Любые модели упрощены и в деталях (иногда несущественных) отличаются от реального объекта по параметру перехода количественных характеристик в качественные. Модели дают вероятностный сценарий процесса исходя из тезиса «неполной информации» – природа знает лучше нас. Метод физико-технических функциональных аналогий. Сформулирован в основном Джоном фон Нейманом (1981). Предполагает исследовать биологические системы путем разделения их на морфологические единицы, которые в определенных пределах автономны. Затем устанавливаются связи между этими морфологическими единицами. Технология построения модели Технология построения модели состоит из следующих основных этапов. Тщательно изучается морфология системы и взаимодействие между морфологическими единицами при функционировании органа. Подбираются физико-технические объекты, выполняющие функции, подобные функциям морфологических единиц. Принимаются во внимание теоретические модели поведения физико-технических объектов, на основании которых составляется расчетная схема, отражающая необходимые связи для функционирования моделируемого органа. Технология построения (продолжение) На основе созданной расчетной схемы составляется, формулируется математическая задача и определяется метод решения, естественные ограничения на искомые решения, обеспечивающие существование и единственность. Последнее, если это в принципе возможно. В противном случае ищется наиболее вероятное. Числовые коэффициенты в расчетной схеме определяются из накопленных биофизических знаний о функционировании моделируемого объекта или процесса. Доработка модели путем сравнения моделируемых параметров с реальными параметрами органа или процесса. Модификация модели для учета патологических состояний. Физико-технические объекты, используемые при исследовании в биологии и медицине Математические методы, которые развивались под влиянием биомедицинских проблем: Математическая статистика, Линейные интегральные уравнения, Теория хаоса и порядка, Конечные автоматы, Методы исследования операций, Теория массового обслуживания, Моделирование и операционные игры, Теория игр и т.д. Объекты механики и электродинамики сплошных сред, используемые при исследованиях в биологии и медицине. Исходное положение состоит в том, что подробное экспериментальное изучение процессов в биосредах ограничено. Полный набор уравнений движения или равновесия для сплошных сред не является замкнутым – требуются дополнительные знания о свойствах среды. Для гидродинамики – это уравнения состояния, реологические уравнения. Для механики деформируемого твердого тела – определяющие уравнения, соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформации. В электродинамике в качестве определяющих уравнений используются (обычно линейные) зависимости между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля (магнитная проницаемость, как коэффициент пропорциональности); зависимость между электрической индукцией и напряженностью электрического поля – коэффициент пропорциональности - диэлектрическая проницаемость. Дополнительно, электрическая проводимость среды. Интегральные представления уравнений равновесия для этих сред в объеме теоремы Остроградского-Гаусса (полное представление) определяет условия равновесия на границе раздела двух, или нескольких сред и условия существования единственного решения. Для биологических объектов экспериментально установить определяющие уравнения практически невозможно в условиях живого организма. В этом случае применяют несколько другие методы, методы формирования компартментальных моделей. Компартментальные модели. Применяются для описания природных, геотехнических систем. Подразумевается, что вещество, энергия, информация равномерно распределены в некоторых объемах пространства с постоянной концентрацией. Вещество, энергия, информация, характеризующиеся некоторой количественной мерой и участвующие в процессах транспорта и метаболизма как самостоятельные единицы, называются компартментом. В общем случае компартментные системы содержат несколько связанных между собой компонентов. В них протекает 3 типа процессов, описываемых известными законами. Процессы в компартментных системах Обмен компонентами между отдельными компартментами или компартментами и внешней средой. Трансформация одних компонентов в другие. Процессы, приводящие к исчезновению каких-либо компонентов. Примером реализации указанного подхода представляет феноменологическая модель мышечного сокращения Хилла (1938, Hill A.V. – Нобелевская премия 1922) Модель мышечного сокращения А. Хилла А. Хилл исследовал термодинамику мышечных сокращений под фиксированной нагрузкой. Поскольку исследовался энергетический баланс, то устанавливалось отношение затраченной энергии, мощности к величине скорости укорочения и нагрузки на мышцу. Экспериментально исследовалось два режима функционирования мышцы «английской лягушки» при тепловом воздействии – изотермический режим при нескольких внешних температурах. Первый режим – изотонический, при неизменной силовой нагрузке (напряжении), выражающийся в уменьшении её длины и увеличении поперечного сечения. Второй – изометрический, выражающийся в усилении её напряжения при неизменной длине. Результаты экспериментов в модели Хилла Мышца имеет массу M, плотность ρ, длина l, среднее поперечное сечение A. Сила изометрического сокращения P0. Работа, совершаемая при нагреве и укорочении на величину x есть ax (гс*см) Экспериментально установлено, что При изотоническом сокращении справедливо соотношение Где , v – скорость сокращения мышцы, полагается, что переходные процессы очень короткие, P – сила нагрузки при изотоническом сокращении. Численные значения: Дифференциальное уравнение для усилия при нагрузке на упругий элемент (динамометр) Нагрузим мышцу на упругий элемент так, что сократительная сила пропорциональна удлинению, Скорость деформации мышцы и сила мышцы в силу 3 закона Ньютона будет . Дифференциальное уравнение описывающее изменение во времени силу, действующую на мышцу примет следующий вид: Это дифференциальное уравнение решается путем замены переменных и их последующего разделения. Решение дифференциального уравнения при начальных (граничных) условиях Начальные условия и асимптотическое значение силы Р задается следующим образом: При t=0 P=0, а при Решение дифференциального уравнения при указанных условиях имеет вид: Наша задача проанализировать это решение и определить свойства, вязкоупругие (по утверждению автора) мышцы, или её модели. Анализ электрической цепи, состоящей из источника эдс, с внутренним сопротивлением и емкостной нагрузкой. По этой схеме следует определить напряжение на емкости C в зависимости от времени, включение цепи происходит в момент времени t=0. Постоянная времени цепи Напряжение на конденсаторе при заданной эдс и постоянной времени. Решение задачи о переходном режиме дает следующий результат: Проведем сравнение с решением Хилла, преобразовав последнее выражение к виду: Для сравнения Значение определяется из решения трансцендентного уравнения для каждого момента времени в правой части последнего соотношения. Характеристикой же самой мышцы является «внутреннее» её сопротивление r, в данной модели не постоянная величина. Пренебречь отрицательным членом слева нельзя, как видно из следующего слайда. Численный пример для мышцы лягушки, в работе Хилла При нуле градусов цельсия Хилл в своей работе приводит трансцендентное уравнение в виде Пример с электрической цепью показывает путь стыковки (в рамках 3 закона Ньютона, или уравнений Кирхгофа) различных биологических объектов между собой. В случае с данной моделью аналитические методы не применимы и необходимо к формированию вычислительных алгоритмов. С другой стороны при построении адекватных моделей сложных систем имеет полный смысл переопределить обсуждаемую модель в рамках регрессионных представлений и возможности получения измеряемых характеристик живого организма . В частности это имеет смысл в отношении системы кровообращения и сердечных мышц. Контрольные вопросы Смысл и содержание моделирования процессов в физическом мире. Математическое моделирование и метод физико-технических аналогий. Технология построения модели в биологии и медицине физиологических объектов. Компартментальные модели основанные на фундаментальных свойствах и законах. Модель А. Хилла мышечного сокращения, связь с балансом энергии и производимой работой. Решение дифференциального уравнения Хилла для движения мышцы под действием упругой нагрузки, сравнение с параметрами интегрирующей электрической цепи. Литература. Бейли Н. Математика в биологии и медицине/пер. с англ. Е. Г. Коваленко, М., Мир 1970 Hill A. V. The heat of shortening and the dynamic constant of muscle// Proc. R. Soc. London, 1938, v/ B126 – p. 136-195 Антоненко С. В., Белянская Е. С. Индюхин А. Ф., Лебеденко И.С. Математическое моделирование биологических объектов методом физико-технической функциональной аналогии// Вестник новых медицинских технологий – 2013.-№1 |