гипотенуза. Математический цветник розы Гвидо Гранди
 Скачать 455.59 Kb.
|
|
государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Пермский машиностроительный колледж» Предметно-цикловая комиссия специальности 09.02.01 «Компьютерные системы и комплексы» Математический цветник: розы Гвидо Гранди ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
2023 Содержание Введение…………………………………………………………………………...3 1. Основная часть…………………………………………………………...4 1.1 Разнообразие роз Гвидо Гранди………………………………………...4 1.2 Полярная система координат……………………………………………6 1.3 Общие свойства роз Гвидо Гранди……………………………………...7 1.4 Связь с другими кривыми………………………………………………10 1.5 Применение……………………………………………………………...12 1.6 Список литературы……………………………………………………...14 1.7 Заключение………………………………………………………………14 Введение Впервые об этой кривой упоминает флорентийский монах Гвидо Гранди.  1.1 Разнообразие роз Гвидо Гранди Рассмотрим уравнение кривой  Возьмём для начала любое а и k-чётное число, тогда получим «розу» с количеством лепестков 2k, и длина от начала координат до вершины лепестков будет равна радиусу описанной окружности а. Кривые симметричны относительно оси координат, оси абсцисс и начала координат.  Если мы возьмём любое a и k-нечётное число, то получим цветок из k лепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси координат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k. Вниз лепесток будет направлен при k=3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k=5 и при всех следующих нечётных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси координат.  Рассмотрим уравнение кривой  Мы замечаем, что количество лепестков стало зависеть от c и b. Если c=1, а b=2, то получаем кривую, напоминающую 2 кардиоиды, “наползшие” друг на друга. Еслиb=3, то мы получим кардиоиду с петлей “внутри себя”. Если b>3 мы получим закольцованную спираль, в центре которой будет кардиоида (1 или 2). Если c>b , c-любое нечётное число, b-любое нечётное число и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда мы получаем «розу» из c-лепестков, у которого они находят друг на друга. При с=5 и всех последующих нечётных чисел через одни, один лепесток «розы» будет по направлении вниз по оси координат. По аналогии при с=7 при всех последующих нечётных числах один лепесток направлен вверх по оси координат. Кривая симметрична относительно оси координат.  �=�sin��.  Если с>b , c-любое чётное число, b-любое нечётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, то мы имеем «розу» из лепестков количеством 2c. Они ложатся друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси координат и абсцисс.  Рассмотрим уравнение кривой   Если k-чётное, и мы будем прибавлять  , то наша «роза» из 2k лепестков будет переходить в кривую, стремящуюся к форме окружности. Чем больше m и чем меньше а, тем более округленный цветок мы получим Если k-нечётное чиcло, и если будем прибавлять числа , то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше а, тем более округленный цветок мы получим.1.2 Полярная система координат. Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.  Полярная система координат – двухмерная система координат, в которой каждая точка плоскости определяется двумя числами – полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой и прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений. Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом . Итак: положительным направлением отсчёта углов считается направление «против часовой стрелки» Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось. Полярный радиус ρ – длина отрезка OP Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком OP. 1.3 Общие свойства роз Гвидо Гранди Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как  , то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.Наиболее красивые «цветы» получаются при k= 2 (четырехлепестковая роза) и при k= 3 (трехлепестковая роза) ρ= sin(3 ∗ 𝜑)  Покажу, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство  , решая которое находим область допустимых углов:  ,  В силу периодичности функции  (ее период равен ) достаточно построить график для углов  в промежутке , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть . Если угол изменяется от 0 до 1, изменяется от 0 до 1, и, следовательно,  изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от  , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до  , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от  до  .Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением ρ= sin(2 ∗ 𝜑).  Функция  — периодическая с периодом π, кроме того, , поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.Функция  на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [ ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы: • четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям; • площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна  .Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k лепестков при k нечетном. ρ= sin(4 ∗ 𝜑)  1.4 Связь с другими кривыми Замечательные кривые Кардиоида Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца. Определяется уравнением в полярных координатах.  .(a - радиус окружности)  Лемниската В Древней Греции «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя в спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало ее изучению. Определяется уравнением в полярных координатах: ρ2=2c2 cos2φ (с – половина расстояния между фокусами лемнискаты)  Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок. Определяется уравнением в полярных координатах ρ=2 sin4φ.  Спираль Архимеда – названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Определяется уравнением в полярных координатах ρ=kφ. 1.5 Применение Применение полярных координатВ фотографии  Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки. В экономике  Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев Р – цена сделки Ф – время её совершения Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов) В военном деле  Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота). В медицине  Компьютерная томография сердца в системе полярных координат 1.6 Список литературы https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-rozy-gvido-grandi-5489747.html -Здесь я брал всю информацию об розах Гвидо Гранди я брал в статье, из которой я брал абсолютно всё, что мог хотя бы немного понять. 1.7 Заключение Мне было интересно вникать и углубляться в этот «цветник», так как до того дня, как мне сказали, какая у меня будет тема, я и представить не мог что такое существует. В течение работы я сталкивался с проблемами, но результатом остался доволен, так как само это познание того, чего раньше не знал – очень радует. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||