Математическое моделирование линейных параметрических систем с произвольными кусочнопостоянными параметрами
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
Степень достоверности научных положений и выводов определяется тем, что все выражения получены путем тождественных преобразований, подтверждается численными расчетами в C#, сравнением с ранее полученными результатами, а также успешным внедрением результатов в различных организациях, о чем имеются соответствующие акты. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на международных конференциях: International Conference Mathematical Method in Electromagnetic Theory. (2004, Украина, Днепропетровск); X Conference Complex Media andMetamaterials (2004, Гент, Бельгия);35th European Microwave Conference (2005, Париж, Франция); XVI International Conference on Microwaves, Radar and Wireless Communications (2006, Краков, Польша); Mediterranean Microwave Symposium (2006, Генуя, Италия); NATO ARW&META’08 (2008, Marrakesh, Morocco); 12-th international conference MMET-08 (2008, Одесса, Украина); International Conference MMET-2010 (2010, Украина, Киев); European Microwave Week (2011, Манчестер, Великобритания); The 6th 10 International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (2012, Санкт-Петербург); META'12, 3rd International Conference on Metamaterials, Photonic crystals and Plasmonics (2012, Париж, Франция); International Kharkov Symposium on Physics and Engineering of Microwave, Millimiter and Submillimiter Waves (2013, Краков, Польша); International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, MMET (2014, Украина, Днепропетровск); the 8th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (2017, Корея, Сеул); Актуальные проблемы электронного приборостроения (Саратов, 2014,2016,2018 годы); 21st International Conference, DCCN 2018 (Москва, 2018); IEEE Northwest Russia Conference on Mathematical Methods in Engineering and Technology (Санкт-Петербург, 2018); 12th International Congress on Artificial Materials for Novel Wave Phenomena – Metamaterials (Финляндия, Espoo, 2018), International Conference on Metamaterials and Nanophotonics (Сочи, 2018), 2019 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (2019 ElConRus) (Санкт- Петербург, 2019), V Международной конференции и молодежной школе (ITNT - 2019) (Самара,2019), 6th International Conference Engineering & Telecommunication – En&T-2019 (Москва, 2019). Работа выполнена в соответствии с госбюджетной научно- исследовательской работой кафедры «Связь» Астраханского государственного технического университета по теме «Перспективные высокоскоростные инфокоммуникационные системы» №Гос.регистрации 01201450580 (2017-2019 года), научно-исследовательскими и опытно- конструкторскими работами, проводимыми ФГБОУ ВО АГТУ в рамках государственного задания учредителя (Росрыболовство) по теме «Создание банков данных и геоинформационных систем различного назначения с использованием открытой топографической информации для обеспечения потребностей рыболовства» №Гос.регистрации АААА-А18- 118012390402-3 (2017г.), «Исследование средств обеспечения поддержки принятия решений в технологических процессах рыбохозяйственной отрасли» №Гос.регистрации АААА-А18-118031990036-5 (2018г), «Технологии инфокоммуникаций и связи нового поколения в рыбохозяйственной отрасли» №Гос.регистрации АААА-А19- 119041990053-0 (2019 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано: 41 печатная работа SCOPUS/Web of Science; 3 статьи – в журналах ВАК; одна монография; получено 3 патента и 4 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Структура и объем работы. Диссертация содержит 292 страницы машинописного текста, 70 рисунков, 4 таблицы и состоит из введения, 4 главы, заключения, списка литературы из 273 наименований и приложения на 28 листах. 11 ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи исследования, представлены основные положения и научные результаты, выносимые на защиту, дана характеристика их новизны, достоверности и практической значимости. В первой главе был проведен анализ существующего состояния исследований в области динамических систем с одной и двумя степенями свободы, Во второй главе рассматривается линейная однородная динамическая система с одной степенью свободы, описываемая дифференциальным уравнением и произвольными кусочно-постоянными как периодическими, так и непериодическими параметрами, изменяющимися в любой момент времени на произвольную величину. Такие системы могут иметь любую природу (Рис.1). Механическим примерами может быть математический маятник в периодическом поле (электрическом, магнитном, гравитационном). Рис.1. Примеры динамических систем с одной степенью свободы 12 На практике – это, например, вращающийся вал с вибрирующими опорами, водонапорная вышка, трубопровод на периодических опорах, мост на периодически установленных сваях или спутник Земли. Динамическая система электрической природы – это, например, электрический колебательный контур с переменными параметрами, параметрический одноконтурный генератор. Волновым аналогом такой системы служит плоская электромагнитная вона, распространяющаяся в слоистой изотропной среде. Наиболее известными примерами такой структуры являются периодический волновод или фильтр Брэгга. Очень широко на сегодняшний день применяются и оптические параметрические усилители. В квантовой механике данная модель описывает поведение частицы в одномерной многоатомной кристаллической решетке. Для таких систем впервые найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях. Причем, решение впервые представлено в виде конечной суммы унимодулярных гиперболических 2х2-матриц с определенными коэффициентами ∑ На основе этого введены понятия эквивалентного колебания системы, описываемого матрицей и коэффициента вклада этого эквивалентного колебания в результирующее. Здесь N – количество интервалов с постоянными параметрами. Важно отметить, что полученное разложение не является ни Фурье преобразованием, ни вейвлет-разложением, ни дискретным косинусным разложением. Показано аналитически, что закон изменения знаков собственных мод в эквивалентном колебании системы является двоичным. Для учета этого закона введена новая знаковая функция , * +- Функция (3) учитывает фазы взаимодействующих мод при формировании эквивалентных мод системы. Также рассмотрена система с произвольными периодическими кусочно-постоянными параметрами. Для такой системы впервые записано условие устойчивости решений в аналитическом виде в элементарных функциях | ∑ {∑ ∑ 0 . /1 } 13 [∑( ) ]| , - собственные числа системы на i-м и m-м интервалах с постоянными параметрами. Кроме определения условий существования устойчивых решений, выражение (4) имеет важное значение для теории динамических систем. Прежде всего, анализ (4) позволил впервые доказать теорему о изменении порядка чередования интервалов: Теорема. Изменение порядка чередования интервалов с постоянными параметрами в периоде, не изменяющее длительности периода, не приводит к изменению условий возникновения неустойчивости решений дифференциального уравнения (1) с периодическими кусочно-постоянными коэффициентами. Обобщая данный результат на случай системы с произвольными периодическими параметрами, доказана теорема об инвариантности систем. Теорема. Любые линейные однородные системы с произвольными периодическими кусочно-непрерывными коэффициентами имеют одну и ту же структуру областей неустойчивости решений, если их периоды равны и интегралы от коэффициентов исходных уравнений вида (1) по периоду равны: ∫ ∫ ∫ где , , …, – коэффициенты (1) для этих систем. На основе выражения (4) также получены условия существования долгопериодических решений, кратных периоду структуры и доказана теорема: Теорема. Решение уравнения (1) с произвольными периодическими кусочно-постоянными коэффициентами является периодическими с периодом кратным периоду изменения коэффициентов при выполнении условия | ∑ {∑ ∑ 0 . /1 } 14 [∑( ) ]| где решения ⁄ – кратность решения, решения - период решения, - период изменения коэффициентов. Если левая часть (6) равна двум, то период колебания равен решения , если левая часть (6) равна минус двум, то период колебания равен решения . Полученные результаты применены к численному моделированию динамических систем. Прежде всего, исследованы, впервые введенные эквивалентные колебания для динамической системы, описываемой (1) с тремя равными интервалами с постоянными параметрами ⁄ , ⁄ , ⁄ , на периоде . На Рис.2. представлены результаты расчетов этих колебаний. Рис.2. Эквивалентные колебания системы с тремя интервалами с постоянными параметрами Результирующее колебание этой системы, найденное предложенным методом с учетом коэффициентов вклада, представлено на Рис.3. Из Рис.3 видно, что система является устойчивой, поскольку колебание затухает на одном периоде. Спектр результирующего колебания при разложении в ряд по эквивалентным колебаниям представлен на Рис.4. Рис.4а соответствует амплитудно-частотной характеристике, Рис.4б – фазо-частотной характеристике. Результаты расчетов показывают, что при оценке результатов, полученных данным методом, невозможно пренебрегать отдельными спектральными составляющими, аналогично разложению 15 Фурье, поскольку все амплитуды спектральных составляющих являются величинами одного порядка. В этом разделе метод также применен для динамических систем с непрерывно изменяющимися параметрами. В частности, для системы, коэффициент которой в (1) изменяется по закону на интервале [ ]. Это так называемое уравнение Матье. Для данного случая рассчитано результирующее колебание при разбиении исходного интервала на различное число интервалов с постоянными параметрами. На Рис.5 представлены результаты расчетов для одиннадцати, тринадцати, пятнадцати и шестнадцати интервалов с постоянными параметрами. Результаты расчетов показывают, что в данной задаче достаточно представить синусоидальную зависимость на интервале [ ] в виде ступенчатой функции с пятнадцатью ступеньками. Погрешность расчетов в данном случае не превышает 5%. Дальнейшее разбиение не приведет к увеличению точности решения, но существенно усложнит задачу. Действительно, при пятнадцати интервалах количество эквивалентных мод равно , а при шестнадцати уже Рис.3. Результирующее колебание а) б) Рис.4. Спектр колебания 16 Рис.5. Вид колебания системы, описываемой уравнением Матье Аналогичные расчеты были проведены и для системы с линейно изменяющимися параметрами. Показано, что количество интервалов 17 дискретизации зависит от наклона характеристики и лежит в пределах от тринадцати до шестнадцати. Метод также позволяет проводить анализ устойчивости решений системы с большим числом интервалов в периоде. На Рис.6 представлены результаты расчета для шестислойной структуры с , , , , , , , , , , , . Темные области соответствуют областям неустойчивости решений системы. Рис.6. Диаграмма устойчивости периодической системы с шестью интервалами в периоде Разработанный метод имеет важное значение для расчета и анализа оптических и СВЧ многослойных структур. Он, в частности, позволяет рассчитывать разрешенные и запрещенные зоны фотонных кристаллов и построенных на их основе фильтров Брэгга. Действительно, эти области являются следствием явления многократного переотражения в периодической структуре и соответствуют областям устойчивых и неустойчивых решений, соответственно. При определенных параметрах структуры, когда многократно переотраженные волны складываются в фазе, возникают разрешенные области, когда они складываются в противофазе – запрещенные зоны. При этом, диаграмма разрешенных и запрещенных областей полностью совпадает с диаграммой устойчивости решений, например, Рис.6. Не менее важной задачей, решаемой данным методом, является задача отражения и прохождения волны в неоднородной, в частности слоистой, изотропной среде. На Рис.7 представлена геометрия задачи. Здесь пад , пад - компоненты падающей линейно поляризованной волны, отр , отр - компоненты отраженной линейно поляризованной волны, пр , пр - компоненты прошедшей линейно поляризованной волны, k – волновой вектор в свободном пространстве. Результаты численных расчетов для такой структуры представлены на Рис.8. Структура включает в себя четыре изотропных диэлектрических 18 слоя с параметрами первого слоя , , мкм, второго слоя, , , мкм, третьего слоя , , мкм, четвертого слоя , , мкм. Расчеты проведены для угла падения 15°. На графике явно видны полосы пропускания и непропускания структуры, что может найти практическое применение при проектировании конкретных оптических устройств. Рис.7. Многослойная диэлектрическая структура Рис.8. Зависимость коэффициента отражения от длины волны и диэлектрической проницаемости второго слоя 19 Таким образом, в данном разделе построена аналитическая модель параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами и применена к задаче нахождения разрешенных и запрещенных областей одномерного фотонного кристалла с произвольным числом однородных элементов в структуре, а также задаче отражения от многослойной планарной структуры с произвольным числом слоев. В третьей главе рассматривается линейная динамическая система с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, изменяющимися скачком в любой момент времени на любую величину. Поведение системы описывается дифференциальными уравнениями [ ] [ ] с произвольными кусочно-постоянными коэффициентами { { Система уравнений (8) с коэффициентами (9) описывает поведение двух связанных механических осцилляторов, которые являются аналогом колебания автомобиля на амортизаторах на неровной дороге, бортовой качку корабля в двух степенях свободы, работы параметрического усилителя или генератора, поведения элементарной частицы в периодическом потенциальном поле в двумерной системе, поведения акустической волны в неоднородной среде и т.д. В СВЧ и оптике аналогом такой системы является поведение электромагнитной волны в анизотропном одномерном фотонном кристалле. Такие структуры позволяют строить управляемые устройства для современных систем связи и обработки информации в рамках программы перехода к цифровой экономике. Некоторые примеры механических и электрических систем с двумя степенями свободы и кусочно-постоянными параметрами представлены на Рис.9 и Рис.10. 20 Рис.9. Система связанных осцилляторов Для данной системы впервые найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях: Рис.10. Пример схемы параметрического генератора со связанными контурами ∑ ∑ (∑ ) ∑ Для нахождения общего вида матрицы введена новая знаковая функция 〈 , * +-〉 21 дополнительно к функции (3). Данная функция учитывает порядок взаимодействия собственных мод интервалов с постоянными параметрами в результирующем колебании, таким образом, чтобы собственные моды одного интервала не взаимодействовали между собой. В соответствии с видом (10) она представляет собой конечный ряд гиперболических матриц, которые разделяются на группы по унимодулярной матрицы в каждой группе. На основании этого введены понятия эквивалентных колебаний системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, групп эквивалентных колебаний этой системы и соответствующих коэффициентов вклада эквивалентных мод и групп . Также введены понятия характеристических показателей эквивалентных мод и групп эквивалентных мод , позволяющие представить результирующее колебание, как суперпозицию гармонических колебаний ∑ ∑ (∑ ) ( ) ∑ ( ) Проведены численные расчеты динамической системы с тремя интервалами с постоянными параметрами. Здесь , , , , ⁄ , , - номер интервала с постоянными параметрами. Результаты представлены в Таблице 1 и Таблице 2. Таблица 1. Коэффициенты вклада эквивалентных мод 2.480 37.222 5.250 35.643 0.563 8.454 0.635 4.314 -0.6360 -35.635 j4.884 -15.349 -0.145 -8.094 j0.591 -1.858 0.175 9.807 j4.624 14.535 j0.129 j7.201 j0.321 1.009 -0.683 -10.244 -4.972 -33.752 j0.501 j7.522 -0.345 -2.342 Таблица 2. Коэффициенты вклада групп эквивалентных мод 1 2 3 4 5 6 7 8 0.5503 j0.8414 0.3829 j0.5855 0.5503 j0.8414 0.3829 j0.5855 Здесь мнимые значения коэффициентов вклада означают дополнительный сдвиг фаз соответствующего колебания на ⁄ . Кроме того, из Таблицы 2 видно, что коэффициенты вклада групп являются одинаковыми для первой и пятой, второй и шестой, третьей и седьмой, четвертой и восьмой групп, 22 соответственно. Обобщая данный результат, получим, что коэффициенты вклада и групп эквивалентных мод всегда равны. Для этой системы также численно рассчитаны и представлены на Рис.11 зависимости эквивалентных колебаний от времени. а) б) в) г) д) е) Рис.11. Эквивалентные моды системы 23 Также получены и проанализированы условия устойчивости системы. Аналитически они имеют вид: { | √ | | √ | где и - коэффициенты харакреристического уравнения матрицы фундаментальных решений системы. Более того, на основании теоремы Остроградского-Лиуввиля показано, что данное уравнение является возвратным ( , ), поскольку след матрицы коэффициентов исходной системы дифференциальных уравнений равен нулю. Выражение (13) также записано в терминах матрицы фундаментальных решений: { || ∑ √ (∑ ) ∑ ∑ ( ) || || ∑ √ (∑ ) ∑ ∑ ( ) || Результаты анализа условий устойчивости (13) представлены на Рис.12. Рис.12. К анализу условий устойчивости 24 В областях I и III мультипликаторы системы комплексные и два из них по модулю больше единицы. В системе наблюдается параметрический резонанс, причем существует сдвиг фаз за период. Система неустойчива. В областях IV, VI и IX все мультипликаторы действительные, два из них по модулю больше единицы. В этих областях резонанс наблюдается для обеих собственных мод, сдвиг фаз за период отсутствует. Система неустойчива. В областях I и III мультипликаторы системы комплексные и два из них по модулю больше единицы. В системе наблюдается параметрический резонанс, причем существует сдвиг фаз за период. Система неустойчива. В областях IV, VI и IX все мультипликаторы действительные, два из них по модулю больше единицы. В этих областях резонанс наблюдается для обеих собственных мод, сдвиг фаз за период отсутствует. Система неустойчива. В областях VII VIII один из мультипликаторов по модулю больше единицы. Для одной моды наблюдается резонанс, в другой устойчивые колебания. Система неустойчива. В области II мультипликаторы системы попарно комплексно– сопряженные по модулю равны единице. Система орбитно устойчива. В области V мультипликаторы мнимые попарно сопряженные по модулю равны единицы. Система орбитно устойчива. Точка A соответствует параметрам системы при которых колебания обеих мод в ней периодические с периодом . Точка B соответствует параметрам системы, при которых колебания обеих собственных мод в ней периодические с периодом . Точка C соответствует параметрам системы, при которых колебания в ней периодические, причем для одной собственной моды период равен , а для другой – . Разработанная модель применена к расчету двухчастотного дуплексного вентиля терагерцового диапазона, построенного на основе одномерного фотонного кристалла из феррита с произвольным углом наклона оси анизотропии (Рис.13а). Данный вентиль при включенном соленоиде 1 пропускает сигнал от антенны 1 с антенне 2 на частоте 4.05ГГц и не пропускает сигнал в обратном направлении. А на частоте 6.35ГГц устройство пропускает сигнал от антенны 2 к антенне 1 и не пропускает его в обратном направлении. Амплитудно-частотная характеристика вентиля представлена на Рис.13б. При включенном соленоиде 2 направления прохождения сигнала на соответствующих частотах меняются на противоположное. 25 а) б) Рис.13. Дуплексный двухчастотный вентиль а) геометрия задачи, б) амплитудно-частотная характеристика вентиля Таким образом, в третьей главе построена аналитическая модель линейной системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами. Проведены численные расчеты эквивалентных колебаний системы, введенных в данном разделе. Результаты применены к расчету дуплексного двухчастотного вентиля на основе анизотропного фотонного кристалла. |