Математическое моделирование линейных параметрических систем с произвольными кусочнопостоянными параметрами
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
В четвертой главе рассматривается однородная параметрическая система с двумя степенями свободы, описываемая системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными коэффициентами где коэффициенты уравнения (16) в общем случае являются комплексными кусочно-постоянными функциями независимой переменной t: { { 26 Здесь i – номер интервала с постоянными параметрами системы, N – колическиво интервалов с постоянными параметрами. В данной задаче каждый из параметров может скачком изменяться на любую величину при любом значении независимой переменной t. Система (16) описывает целый класс задач в классической и квантовой механике, теории электромагнитных волн, социологии, биологии, экономике и т.д. При этом, в большинстве случаев решение системы (16) с коэффициентами (17) находят при условии непрерывности функций и их первых производных на границах интервалов с постоянными параметрами. Однако, в целом ряде прикладных задач на границах интервалов с постоянными параметрами требуется удовлетворение условий непрерывности не для функций и в (16) и их первых производных, а для этих функций и величин, пропорциональных их первым производным ⁄ , ⁄ , каждая из которых имеет конкретный физический смысл. Это, например, компоненты электромагнитного поля в электродинамике и оптике. При этом, фундаментальная матрица системы уравнений (16) на i-м интервале с постоянными параметрами представляет собой 4х4-матрицу, а колебания в двух степенях свободы являются связанными. Основным требованием к рассматриваемым системам является тот факт, что на каждом интервале с постоянными параметрами характеристическое уравнение исходных дифференциальных уравнений (16) должно быть биквадратным. В этом случае выделяются два собственных колебания рассматриваемой динамической системы. Здесь предлагается преобразование 4х4-матрицы фундаментальных решений интервала с постоянными параметрами к блочной диагональной матрице с -блоками: | | При этом аналитически доказана следующая теорема: Теорема 4.1. Если исходная система линейных однородных дифференциальных уравнений четвертого порядка имеет попарно обратные характеристические числа, то матрица фундаментальных решений этой системы может быть представлена в виде 4х4 блочной матрицы с 2х2 блоками. Далее найдена матрица фундаментальных решений в аналитическом виде в элементарных функциях и доказана теорема: Теорема 4.2. Матрица фундаментальных решений линейной однородной системы с кусочно-постоянными параметрами может быть представлена в виде суммы унимодулярных блочных диагональных матриц с блоками и определенными коэффициентами вклада 27 ∑ ∑ | | Поскольку фундаментальная матрица данной системы представлена в виде блочной матрицы с 2х2-блоками, было выдвинуто предположение и доказана теорема об изменении порядка чередования слоев в периоде. Теорема 4.3. Условия возникновения областей неустойчивости линейной однородной системы четвертого порядка с кусочно-постоянными периодическими коэффициентами не зависят от порядка чередования интервалов с постоянными параметрами в периоде, если период в результате перестановки интервалов остается неизменным. Результаты данного раздела применены к анализу ферритовой слоистой периодической среды, описываемой скалярной диэлектрической проницаемостью и тензором магнитной проницаемости в виде ⃡ | | В данном случае представление фундаментальной матрицы в виде блочной матрицы означает разделение результирующей волны эллиптической поляризации на волны ТЕ- и ТМ-поляризации в слоистой ферритовой среде. Численные расчеты проведены для ТЕ-волны в одномерной бесконечной периодической ферритовой среде с двумя слоями в периоде. При этом, частота волны 4ГГц, угол падения 50°, параметры первого слоя , , , второго слоя , , , м. Из Рис.14 видно, что собственные числа ТЕ-волны являются взаимнообратными. Рис. 14. Зависимость модулей собственных чисел бесконечной периодической среды от толщины первого слоя 28 Области, в которых собственные числа по модулю не равны единице, соответствуют запрещенным зонам, т.е. областям непрохождения волны, области в которых собственные числа равны единице соответствуют разрешенным областям. В данном подразделе на примере электромагнитной системы также показано, что определитель матрицы фундаментальных решений является энергетической характеристикой динамической системы. Рис.15. Иллюстрация энергетических свойства определителя матрицы фундаментальных решений Так для ТЕ-волны если определитель матрицы равен единице, то суммарная энергия системы неизменна (Рис.15а). Если определитель больше единицы, то энергия системы нарастает за счет внешних источников (Рис.15б), если определитель меньше единицы, то в системе существуют потери (Рис.15в). Если определитель является комплексной единицей, то происходит периодическая перекачка энергии от среды к волне и обратно (Рис.15г). Также проведены численные расчеты для трехслойной структуры и проверено путем численных расчетов свойство, состоящее в том, что изменение порядка чередования слоев не влияет на структуру 29 запрещенных и разрешенных волн. Физически это свойство объясняется явлением многократного переотражения в слоистой ферритовой среде. Математическая модель, разработанная в данном разделе, применена к расчету поведения волны в многослойной анизотропной среде при эффекте втягивания, открытом автором. Эффект заключается в изменении направления распространения волны, скользящей над поверхностью раздела изотропной и анизотропной сред, при наличии на границе поверхностных зарядов или токов определенной величины. В рассматриваемом случае параметры среды для первого слоя периода , , , м, для второго слоя , , , м, угол наклона оси анизотропии равен . На Рис.16 представлена зависимость собственных чисел от частоты. Результаты численных расчетов показывают, что области непрохождения волны в такой структуре в оптическом диопазоне очень узкие. Их ширина порядка Гц. Очевидно, что такая структура может быть использована для создания оптических фильтров. Зависимость модуля коэффициентов отражения от частоты двухслойной структуры с параметрами, указанными выше, представлена на Рис.17. Рис.16. Зависимость модулей собственных чисел матрицы фундаментальных решений от частоты 30 Рис.17. Зависимость модуля коэффициента отражения от толщины первого слоя в трехслойной структуре. Амплитудно-частотная характеристика в данном случае имеет вид периодической последовательности резонансных минимумов. В этих областях наблюдается прохождение волны сквозь структуру. Увеличение числа слоев при их периодическом повторении число резонансных минимумов возрастает. На основе данного эффекта и расчетов предложено строить оптические ключи с избирательными свойствами для современных систем оптической связи и обработки информации. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ В диссертации решена крупная научно-техническая задача в области исследования линейных параметрических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами. Построены математические модели, позволяющие решать целый класс задач в механике, электродинамике, оптике. В частности, задачи моделирования новых управляемых оптических и СВЧ устройств на основе новых материалов для систем связи 5G и 6G, а также систем искусственного интеллекта в рамках программы перехода к цифровой экономике. В рамках этой научно-технической задачи получен ряд новых результатов. Впервые построена аналитическая модель линейной параметрической системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами. Найдена матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы второго порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами в аналитическом виде в элементарных функциях, описывающая эволюцию данной системы и отличающаяся от предыдущих тем, что она представлена в виде конечной суммы гиперболических (тригонометрических) матриц. Параметры 31 системы могут изменяться в любой момент времени на любую величину. Это позволяет, прежде всего, упрощать решение обратных задач и проектирования требуемых структур, а также прогнозировать физические свойства структур и систем. Впервые введено новое понятие эквивалентных колебаний линейной параметрической системы второго порядка с произвольными кусочно- постоянными параметрами. Результирующее колебание впервые представлено в виде суперпозиции эквивалентных колебаний с определенными коэффициентами вклада. Данное разложение является конечным в отличие от бесконечного ряда Фурье, не совпадает с существующими вейвлет-разложениями и дискретным косинусным преобразованием. Это позволяет проводить качественное исследование соответствующих систем на фазовой плоскости. Впервые доказано, что изменение порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы с одной степенью свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами, не изменяющее длительности периода, не влияет на структуру областей неустойчивости решений. Это позволяет сократить число исследуемых систем и структур, а также классифицировать их по данному признаку. Впервые построена аналитическая модель линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно- постоянными параметрами. Впервые найдена матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами, описывающей эволюцию системы, в аналитическом виде в элементарных функциях. Решение найдено при условии непрерывности функций и их первых производных. Это позволяет, прежде всего, упрощать решение обратных задач и численное моделирование требуемых структур, а также прогнозировать физические свойства структур и систем. Результирующее колебание линейной параметрической системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами впервые представлено в виде групп колебаний по колебаний в каждой группе. Данные колебания названы эквивалентными. Полученное разложение является конечным в отличие от бесконечного ряда Фурье, не совпадает с существующими вейвлет-разложениями и дискретным косинусным преобразованием. Результат позволяет проводить качественное исследование соответствующих систем в фазовом пространстве. Впервые построена строгая аналитическая модель линейной параметрической системы с двумя степенями свободы и произвольными кусочно-постоянными параметрами на основе блочных 4х4-матриц с 2х2 блоками на главной диагонали. Матрица фундаментальных решений линейной однородной динамической системы четвертого порядка с постоянными параметрами представлена в виде блочной матрицы с 2х2 блоками без перехода в другой базис в отличие от существующих 32 преобразований, требующих перехода в новый базис. Это существенно упрощает анализ соответствующих систем, позволяет применять к ним математический аппарат, разработанный для систем с одной степенью свободы. Впервые аналитически доказано, что изменение порядка чередования интервалов с постоянными параметрами системы четвертого порядка с произвольными кусочно-постоянными параметрами, не изменяющее длительности периода, не влияет на структуру областей неустойчивости решений. Это позволяет провести классификацию систем с двумя степенями свободы в соответствии с данным признаком и существенно сократить число исследуемых систем. Разработанный метод впервые применен для численного моделирования систем с линейно-изменяющимися параметрами и систем с синусоидально изменяющимися параметрами. Особенностью его использования является то, что расчет поведения динамической системы не требует итерационных процедур. Впервые представлены численные решения задач отражения и прохождения волн, а также нахождения запрещенных и разрешенных зон в одномерных изотропных и анизотропных фотонных кристаллах оптического и микроволнового диапазонов с произвольным числом слоев с использованием разработанных методов. Также разработано новое устройство терагерцового диапазона управляемый двухчастотный дуплексный вентиль. Впервые разработаны комплексы программ на языке С# для расчета линейных динамических систем с произвольными кусочно-постоянными параметрами на основе разработанных аналитических методов. Результаты диссертации внедрены в проектную деятельность ООО «Терра-Юг» (г.Краснодар), в деятельность предприятия ПАО «Ростелеком», ООО ПКФ «Астрахань-Телеком», ООО «Связьинформ» и использованы на практикев учебном процессе Астраханского государственного технического университета и Волгоградского государственного технического университета, о чем имеются соответствующие акты о внедрении. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в журналах, индексируемые в SCOPUS/WEB of Science 1. Вытовтов, К. А. Коэффициенты прохождения и отражения плоскопараллельной пластины из фарадеева кирального материала / К.А. Вытовтов // Радиотехника и электроника. – 2004. - Т. 49, № 5. - С. 559-571. /// Transmission and reflection coefficients for a plane-parallel Faraday chiral plate.- Radiotekhnika i Elektronika.- 49(5), C.559-566. 2. Vytovtov, K. Transmission and reflection coefficients for a plane-parallel faraday chiral plate / K.A. Vytovtov // Journal of Communications Technology and electronics.- 49 (5).- C.521-528. 33 3. Vytovtov, K. Analytical investigation of stratified isotropic media / K.A. Vytovtov // JOSA A.-2005.-V. 22.- Issue 4.- P.689-696. 4. Вытовтов, К. А. Аналитический метод исследования электродинамических свойств периодических структур с магнитными слоями / К. А. Вытовтов, А. А.Булгаков // Радиофизика и электроника.- №1.-2005.- Том 10.- № 3. С. 428-434 /// Analytical investigation method for electrodynamics properties of periodic structures with magnetic layers.- Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Electrosvyaz and Radiotekhnika) 65 (14).- C.1307-1321. 5. Vytovtov, K. Analytical investigation of one-dimensional magnetoelectric photonic crystals. The 2×2 matrix approach / K.A. Vytovtov, Yu. S. Tarasenko // JOSA A.-2007.- V. 24.- Issue 11.- P.3564-3572. 6. Вытовтов, К.А. Свойства анизотропной слоистой структуры при распространении волны параллельно границе раздела / К.А. Вытовтов, А.Д. Архипов. // Ж. нано- і електрон. фіз.- 2009.– т.1, №4. – С. 31-41 // The anisotropic layered structure properties under surface wave propagation.- Journal of Nano- and Electronic Physics.-2009.-1(4), 02028, C. 31-41. 7. Вытовтов, К. А. Угловые избирательные свойства одномерных анизотропных фотонных кристаллов/ К. А. Вытовтов, А. Д. Архипов // Радиофизика и электроника №1 2010 (86-90) /// Angular selective properties of one-dimensional anisotropic photonic crystals.- Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Electrosvyaz and Radiotekhnika) 70 (14).- С.1305-1313. 8. Вытовтов, К.А. Эффект втягивания волны в анизотропной слоистой структуре с учетом потерь и частотной дисперсии. / К.А. Вытовтов, О.А.Сидоренко // Ж. нано- і електрон. фіз. - 2011.– т.3, №2. – С. 70-78 // The penetration effect in anisotropic stratified structure with losses and frequency dispersion.- Journal of Nano- and Electronic Physics 3(2).- 02028.- C. 70-78. 9. Vytovtov, K., L. Mospan, Penetration effect in gyrotropic slab: theory and applications / Journal Optical Society of America A.-2012.- Vol. 29.- №. 5. 10. Вытовтов, К.А. Одностороннее прохождение при распространении волны вдоль границы раздела анизотропных сред,/ К.А. Вытовтов, А.Д. Архипов// Жypнал нано- та электронної физики.-2012.-Том 4.- № 2.- 02028 // One-way penetration of the boundary wave in anisotropic structure.- Journal of Nano- and Electronic Physics 4(2), 02028, C. 02028-1-02028-4. 11., Вытовтов, К.А. Эффект втягивания для тангенциального направления оси анизотропии в анизотропной среде, / К.А. Вытовтов, А.Д. Архипов, О.А. Сидоренко //Жypнал нано- та электронної физики.-2012.- Том 4.- № 2.- 02032 /// Penetration effect for tangential direction of the anisotropy axis in anisotropic medium.- Journal of Nano- and Electronic Physics 4(2).- 02032.- C. 02032-1-02032-6. 12. Вытовтов, К.А. Частотный детектор оптического диапазона на изотропной структуре. / К.А. Вытовтов//Радиофизика и электроника.- Т.5(19).-С.85-90 // An optical band frequency detector based on isotropic 34 structures.-Telecommunications and Radio Engineering (English translation of Electrosvyaz and Radiotekhnika) 73 (13) С.1191-1200 13. Vytovtov, K. The Terahertz Controlled Duplex Isolator: Physical Grounds and Numerical Experiment / K. Vytovtov, S. Zouhdi, R. Dubrovka, V. Hnatushenko// International Journal of Microwave Science and Technology.- 2016.- 7 page. 14. Vytovtov, K. Penetration Effect: Exotic Behavior of a Wave in Anisotropic Media. / K. Vytovtov, O.Pishin,// International Journal of Microwave Science and Technology.- 2017.- Article ID 4082948.- 7 pages. 15. Vytovtov, K. Penetration effect in uniaxial anisotropic metamaterials / K. Vytovtov, E. Barabanova, S. Zouhdi // Applied Physics A: Materials Science and Processing.-2018.-Vol. 124, Issue 2.-137.-DOI: 10.1007/s00339-018-1563- z. 16. Vytovtov, K. Model of Next-Generation Optical Switching System / K. A. Vytovtov, E. A. Barabanova, V. S. Podlazov // Communications in Computer and Information Science.- 2018.- P. 377-386. 17. |