лекциявысшмат. Матрицы 1 Понятие матрицы
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
Глава 1. Матрицы §1 Понятие матрицы Основные понятия и обозначения. Пусть . Матрицей размера называется совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы из строк и столбцов. При этом сами числа называются элементами матрицы. Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в скобки. Элементы матрицы обозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: – элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции В общем виде матрица размера может быть записана следующим образом Приведём некоторые обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем: - множество всех матриц размера ; - матрица с элементами в позиции ; - матрица размера Элементы , где , называются диагональными, а элементы , где – внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где , называется главной диагональю матрицы. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом . Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица. Матрица размера называется квадратной матрицей n-го порядка. Квадратная матрица называется диагональной, если все её внедиагональные элементы равны нулю. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом или . Матрица размера называется матрицей-строкой или вектор-строкой. Матрица размера называется матрицей столбцом или вектор-столбцом. --22 Матрицы специального вида. Квадратная матрица называется верхней треугольной, если при , и нижней треугольной, если при . Общий вид треугольных матриц: . Заметим, что среди диагональных элементов , , …, могут быть равные нулю элементы. Матрица называется верхней трапециевидной, если выполнены следующие три условия: 1. при ; 2. Существует такое натуральное число , удовлетворяющее неравенствам , что 3. Если какой-либо диагональный элемент , то все элементы i-й строки и всех последующих строк равны нулю. Общий вид верхних трапециевидных матриц: , при , при 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 22 1 12 11 rr r r a a a a a a S , при , при Отметим, что при , верхняя трапециевидная матрица является треугольной матрицей с отличными от нуля диагональными элементами. §2. Операции над матрицами Равенство матриц. Две матрицы и одинакового размера называются равными, если , , Если матрицы и равны, то будем писать Линейные операции. Суммой двух матриц и размера называется матрица размера , элементы которой определяются равенством Сумму матриц и будем обозначать Матрица называется противоположной к матрице Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц и нулевой матрицы 1) ; (перестановочность или коммутативность операции сложения 2) ; (ассоциативность или сочетательное свойство) 3) 4) Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме. Докажем свойство 4. Разностью матриц и называется матрица . Разность матриц и будем обозначать Произведением матрицы на число α называется матрица , элементы которой определены равенством Произведение матрицы на число будем обозначать Теорема 2.2. Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами: 1. 2. 3. (Распределительное свойство относительно сложения матриц); 4. (Распределительное свойство относительно сложения чисел); 5. Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения. Проверить справедливость указанных свойств поручается читателю. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют для произвольных матриц одинакового размера и произвольных чисел однозначно определить матрицу , называемую линейной комбинацией матриц с коэффициентами |