Матем. КР1 для психологов. Матрицы. Операции над матрицами
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
Пример. Решить систему уравнений:  .Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:  .Шаг 1. Так как  , то умножая на вторую, третью и четвертую строки матрицы на числа (-2), (-3), (-2) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей, четвертой строкам, исключим переменную  из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице  , поменяем местами вторую и третью строки:   .Шаг 2. Так как теперь  , то умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную  из всех строк, начиная с третьей:  .Шаг 3. Учитывая, что  ,умножаем третью строку на 13,5/8=27/16, и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную  . Получим (см. последнюю матрицу) систему уравнений: ,откуда, используя обратгный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения  ; из третьего  ; из второго  и из первого уравнения  , то есть решение системы (1;2;-1;-2).ПРОИЗВОДНАЯ. Производной функции  называется придел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует: .Правила дифференцирования. Производная постоянной равна нулю:  .Производная аргумента равна 1:  .Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций:  .Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:  .Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле:  , (если  ).Постоянный множитель можно выносить за знак производной:  .Таблица производных элементарных функций.
Производные сложной и обратной функции. Пусть  есть функция от независимой переменной  , определенной на промежутке  с областью значений  . Поставим в соответствие каждому  единственное значение  , при котором  . Тогда полученная функция  , определенная на промежутке с областью значений , называется обратной.Дифференцирование обратной функции. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.  .Пусть функция  есть функция от переменной  , определенной на множестве  с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией  от переменой , определенной на множестве с областью значений . Тогда заданная на множестве функция  называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функций).Дифференцирование сложной функции. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.  .Пример. Найти производные функций: а)  ; б) ; в) ; г) ; д) Решение. а) Функцию можно представить в виде  , где  . Поэтому по формуле дифференцирования сложной функции .б) Имеем  , где  , поэтому получаем  .в) Вынося постоянный множитель 12 за знак производной, получим  .г) Данная функция представляет произведение двух функций  и  , каждая из которых является сложной функцией ( , где  ;  , где  ). Поэтому   .д) Представим функцию в виде  . Теперь  .ИНТЕГРИРОВАНИЕ. Функция  называется первообразной функцией для функции  на промежутке , если в каждой точке этого промежутка  . Совокупность всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается  , где  – знак интеграла, – подынтегральная функция,  – подынтегральное выражение. Таким образом,  , где – некоторая первообразная для , С – произвольная постоянная. Свойства неопределенного интеграла. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:  .Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:  .Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.  .Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:  .Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:  .Таблица интегралов от элементарных функций.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
