Механика Работа 2 Математический маятник Введение

• Название: Механика Работа 2 Математический маятник Введение
• Дата: 10.09.2022
• Размер: 73.01 Kb.
• Имя файла: 339_Mekh_2_Matematicheskiy_mayatnik.docx
• Тип: Документы; #669791

Механика

Работа № 2

Математический маятник
Введение

Рисунок 1

Материальная точка, принужденная двигаться в вертикальной плоскости по заданной окружности (рисунок 1) под действием силы веса, называется круговым математическим маятником. Радиус l окружности называется длиной кругового маятника. Положение маятника определяется углом φ, составляемым его радиусом –вектором с нисходящей вертикалью, причем угол, отсчитанный в направлении против хода часовой стрелки, считается положительным, а отсчитанный по ходу часовой стрелки – отрицательным.

Чтобы практически реализовать устройство, близкое к идеальному круговому математическому маятнику, можно, например, закрепить компактный массивный груз на лёгком жёстком подвесе (стержне) длиной l, начало которого вращается на оси О.

Угол φ определяется из дифференциального уравнения движения маятника

(1)

при начальных условиях

Силы трения стержня на оси и сопротивления движению со стороны среды (в нашем случае – воздуха) не учитываются.

Используя закон сохранения энергии, можно получить выражение для угловой скорости :

(2)

При маятник совершает полные обороты. Для каждого значения можно найти угол  такой, что

(3)

В этом случае

(4)

и движение маятника представляет собой колебания по дуге .

Период размаха (колебаний) определяется формулой

(5)

Подстановка дает:

(6)

Полученный интеграл называется полным эллиптическим интегралом первого рода и обозначается

(7)

так что

(8)

В математике доказано, что данный интеграл относится к разряду «неберущихся», его значение для каждого нужного γ можно найти численными методами с любой необходимой точностью. Значения К для некоторых γ приведены в таблице:

	К			К
0	1,5708		60	1,6258
5	1,5715		90	1,8541
10	1,5738		120	2,1565
20	1,5828		150	2,7681
40	1,6200		180	∞

Приближенная формула для К при небольших значениях  имеет вид:

(9)

При весьма малых  полагают и тогда

(10)

Если угол столь мал, что членом можно пренебречь, то

(11)

Получили формулу, хорошо знакомую из курса физики средней школы.

Описание лабораторной установки

И сследуемый в лабораторной

установке маятник схематически изо-

бражён на рис. 2. Он представляет со-

бой шарик радиусом r на би-

филярном подвесе: тонкая нить пропу-

щена через центр шарика, концы нити

закреплены на стойке. Такую систему можно применить вместо жёсткого подвеса,

если γ ≤ π/2. Рис.2

Длина маятника (по вертикали от оси до центра шарика) может регулироваться в пределах нескольких сантиметров до примерно25 см.

Время колебаний с точностью до миллисекунд измеряется электронным секундомером лабораторной установки и отображается на правом дисплее. На левом дисплее указывается количество завершившихся колебаний.

Порядок выполнения работы

1. 
   Установить длину подвески, близкую к максимальной. Измерить длину получившегося математического маятника. Отрегулировать систему так, чтобы шарик в покое находился в створе оптического датчика.
   
2. 
   Включить кнопку «СЕТЬ». Отклонив маятник на 5 градусов вправо, плавно (без толчка) отпустить шарик, обеспечив тем самым начало процесса колебаний.
   
3. 
   Нажать и отпустить кнопку «СБРОС». Когда на счётчике количества колебаний появится цифра 9, нажать кнопку «СТОП». На правом дисплее вскоре появится цифра 10, а на левом – время, соответствующее десяти полным колебаниям. Повторить эксперимент ещё 4 раза. Результаты занести в таблицу, где должны быть указаны -длина маятника, угол первоначального отклонения, номер измерения, количество периодов и соответствующее им время колебаний, подсчитанное среднее время одного колебания (т.е. период колебаний), погрешность определения периода колебаний.
   
4. 
   Повторить пункт 3 для первоначального угла отклонения 10, а затем и 20 градусов. Результаты также занести в таблицу.
   
5. 
   Повторить пункты 3 и 4 для другой длины маятника.
   
6. 
   Объяснить результаты и сделать выводы.