мча. Метод Адамса
 Скачать 0.86 Mb.
|
1 2 Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Факультет компьютерных систем и сетей Кафедра информатики Дисциплина: Методы численного анализа ОТЧЁТ к лабораторной работе на тему Метод Адамса Выполнил: студент группы 153503 Кончик Денис Сергеевич Проверил: Анисимов Владимир Яковлевич Минск 2022 Содержание1.ЦЕЛЬ РАБОТЫ 3 2.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 3 3.АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ 4 4.ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 5 5. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ 8 6. ЗАДАНИЕ 14 7. ВЫВОД 15 ЦЕЛЬ РАБОТЫ Изучить решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методом Адамса.  ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ  АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ# -*- coding: cp1251 -*- import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import sympy import math from calculate import CalculateListY from calculate import CalculateY plot_dots = 10**3 eps = 10**-3 # Тестовый пример 1 # y'= y + e^x # y = x * e^x x0, y0 = 1, math.e L, R = 1, 2 def f(x, y): return y + math.e ** x def p(x): return -1 def q(x): return math.e ** x def ans(x): return round(x * math.e ** x, 6) # Метод Рунге-Кутта 4 порядка def RungeKuttaMethod4(x, n): y_list = [y0] h = (x - x0) / n for k in range(n): x_k = x0 + k * h y_k = y_list[-1] K1 = h * f(x_k, y_k) K2 = h * f(x_k + h / 2, y_k + K1 / 2) K3 = h * f(x_k + h / 2, y_k + K2 / 2) K4 = h * f(x_k + h, y_k + K3) y_list.append(y_k + 1/6 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4)) return y_list # Неявный метод Адамса 2 порядка def AdamsImplicit2(x, n): y_list = [y0] h = (x - x0) / n for k in range(n): y_k = y_list[-1] p_k = p(x0 + k * h) p_k_plus1 = p(x0 + (k + 1) * h) q_k = q(x0 + k * h) q_k_plus1 = q(x0 + (k + 1) * h) y_list.append(((2 - h * p_k) * y_k + h * (q_k + q_k_plus1)) / (2 + h * p_k_plus1)) return y_list # Явный метод Адамса 2 порядка def AdamsExplicit2(x, n): h = (x - x0) / n y_list = [y0, CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + h, eps)[0]] for k in range (1, n): x_k_minus1 = x0 + (k - 1) * h x_k = x0 + k * h y_k_minus1 = y_list[-2] y_k = y_list[-1] y_list.append(y_k + h * ((3/2) * f(x_k,y_k) - (1/2) * f(x_k_minus1, y_k_minus1))) return y_list # Явный метод Адамса 3 порядка def AdamsExplicit3(x, n): h = (x - x0) / n y_list = [y0, CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + h, eps)[0], CalculateY(RungeKuttaMethod4, x0 + 2 * h, eps)[0]] for k in range (2, n): x_k_minus2 = x0 + (k - 2) * h x_k_minus1 = x0 + (k - 1) * h x_k = x0 + k * h y_k_minus2 = y_list[-3] y_k_minus1 = y_list[-2] y_k = y_list[-1] y_list.append(y_k + h*((23/12)*f(x_k,y_k)-(4/3)*f(x_k_minus1,y_k_minus1)+(5/12)*f(x_k_minus2,y_k_minus2))) return y_list x_list = [] for i in range(plot_dots + 1): x_list.append(L + (R - L) / plot_dots * i) xToCalculate = 1.5 print(f"Количество точек для построения графика: {plot_dots}") print(f"Точность: {eps:.0e}") print("\nN_max – максимальное количество узлов для одной из точек, \nнеобходимое для достижения заданной точности") print("N_middle – среднее количество узлов по всем точкам при \nдостижении заданной точности") print(f"\nТочка: {xToCalculate}") print(f"Калькулятор: {ans(xToCalculate)}") y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsImplicit2, x_list, eps) print("\nНеявный метод Адамса 2 порядка O(h^2):") print(f"N_max: {N_max}") print(f"N_middle: {int(N_middle)}") print("На графике: красный") print(f"В точке: {CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[1]}]") print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsImplicit2, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}") plt.plot(x_list, y_list, 'red', linewidth = 2) y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsExplicit2, x_list, eps) print("\nЯвный метод Адамса 2 порядка O(h^2):") print(f"N_max: {N_max}") print(f"N_middle: {int(N_middle)}") print("На графике: синий") print(f"В точке: {CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[1]}]") print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsExplicit2, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}") plt.plot(x_list, y_list, '--b', linewidth = 2) y_list, N_max, N_middle = CalculateListY(AdamsExplicit3, x_list, eps) print("\nЯвный метод Адамса 3 порядка O(h^3):") print(f"N_max: {N_max}") print(f"N_middle: {int(N_middle)}") print("На графике: желтый") print(f"В точке: {CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[0]} [{CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[1]}]") print(f"Delta = {abs(CalculateY(AdamsExplicit3, xToCalculate, eps)[0] - ans(xToCalculate)):.2e}") plt.plot(x_list, y_list, ':y', linewidth = 2) plt.show() # Вычислить Y по методу и X def CalculateY(method, x, eps): n = 1 # Количество узлов от x0 до x для точности eps while True: y_list = method(x, n) y_list_correctly = method(x, n * 2) max_delta = max(abs(y_list_correctly[2 * i] - y_list[i]) for i in range(n + 1)) if (max_delta < eps): return round(y_list_correctly[-1], 6), n * 2 else: n *= 2 # Создать список Y по методу и списку X def CalculateListY(method, x_list, eps): y_list = [] # Список игреков n_list = [] # Список n (числа узлов) для каждой точки for x in x_list: y, n = CalculateY(method, x, eps) y_list.append(y) n_list.append(n) return y_list, max(n_list), sum(n_list) / len(x_list) 5. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ Явные методы Адамса k-го порядка требуют предварительного вычисления решения в k начальных точках. Для вычисления начальных значений программа использует метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Для неявного метода Адамса 2-го порядка программа считает, что исходное дифференциальное уравнение является линейным. Тестовый пример 1.1. С помощью неявного метода Адамса 2 порядка1, явных методов Адамса 2, 3, 4 порядков2,3,4 найти с заданной точностью решение заданного уравнения на заданном отрезке.
Тестовый пример 1.2. Для условия предыдущего задания найти значения решения задачи Коши в заданных точках. n – число точек разбиения отрезка [1; x] для достижения заданной точности  в точке x. – шаг разбиения, соответствующий количеству точек разбиения n.
1 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
