3 (интеграл). Методические рекомендации для студентов 1 курса лечебного, медикопрофилактического и педиатрического
 Скачать 0.72 Mb.
|
|
Методические рекомендации для студентов 1 курса лечебного, медико-профилактического и педиатрического факультетов по самоподготовке и проведению практического занятия по математике Тема: Неопределенный и определенный интеграл. Основные способы интегрирования. Приложение определенного интеграла к решению прикладных задач. Актуальность темы: ознакомление с основными понятиями и методами математического анализа как средства решения задач физического, химического, биологического и иного характера, встречающихся как в процессе изучения профильных дисциплин, так и в дальнейшей профессиональной деятельности Цель занятия: научиться вычислять неопределенные интегралы, используя методы непосредственного интегрирования, подстановки, интегрирование по частям, использовать понятие определенного интеграла при решении задач химии, физики, биологии. План изучения темы 1. Первообразная функция. Понятие неопределенного интеграла, его геометрический смысл. 2. Основные свойства неопределенного интеграла. 3. Основные формулы интегрирования. 4. Метод непосредственного интегрирования. 5. Теоретические основы метода интегрирования подстановкой. 6. Теоретические основы метода интегрирования по частям. 7. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: 8. Общее понятие определения определённого интеграла, его геометрический смысл. Связь между неопределённым и определённым интегралами (теорема Ньютона-Лейбница). 9. Основные свойства определённых интегралов. 10. Применение определённого интеграла для решения отдельных прикладных задач (нахождения площадей плоских фигур, нахождения работы переменной силы и пути в неравномерном прямолинейном движении). Рекомендуемая литература: Основная литература: 1. Основы высшей математики и математической статистики: учеб. для студентов мед. и фармацевт. вузов/И.В. Павлушков, Л.В.Розовский, А.Е.Капульцевич и др.-2-е изд., испр.-М.:ГОЭТАР- Медиа, 2009.-423 с. Гриф УМО Дополнительная литература: Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике [Электронный ресурс]: учеб.-метод. пособие для вузов/ авт.-сост. : Т.А.Новичкова; ГОУ ВПО "Курск. гос. мед. ун-т", каф. физики, информатики и математики.-Курск:КГМУ, 2009. Вопросы для самоконтроля: 1. Дайте определение первообразной функции для функции f(x) или для выражения f(x)dx. 2. Сколько первообразных имеется у непрерывной функции? 3. Что понимают под неопределенным интегралом? 4. Чем геометрически изображается неопределенный интеграл? 5. Какому действию обратно интегрирование? 6. Чему равна производная от неопределенного интеграла ? ) ( x dx x f 7. Чему равен дифференциал от неопределенного интеграла ? ) ( dx x f d 8. Чему равен интеграл от дифференциала функции ? ) (x dF 9. Чему равен интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций ? ) ( ) ( ) ( 2 1 dx x f x f x f n 10. ? dx ? dx x n ? x dx ? dx a x ? dx e x 11. ? sin xdx ? cos xdx ? cos 2 x dx ? sin 2 x dx ? 1 2 x dx ? 1 2 x dx 12. В чем состоит метод непосредственного интегрирования? 13. Запишите свойство инвариантности определенного интеграла. 14. Запишите свойство линейности определенного интеграла. 15. Запишите свойство перестановочности определенного интеграла. 16. Запишите свойство аддитивности определенного интеграла. 17. Запишите свойство о вычислении среднего значения функции на интервале для определенного интеграла. Задания на самоподготовку: 1. Приведите примеры первообразных функций а. для функции x e x f ) ( ; б. для функции x x f 1 ) ( ; в. для выражения xdx dx x f cos ) ( 2. Докажите, что fxdx dx x f d ) ( 3. Докажите, что C x F dx x F d ) ( ) ( 4. Найдите неопределенные интегралы от функций: а. dx x x x 7 2 3 2 2 3 б. x dx в. dx x x sin 2 sin г. dx x x 2 4 3 5 д. dx x 3 2 е. dx x 1 2 sin ж. xdx x ln з. xdx x 3 sin 2 6. Вычислите интегралы: а. dx x 3 0 2 б. dx e x 1 0 в. dx x x 8 2 2 г. dx tgx 3 0 д. dx x 2 0 2 cos е. 1 2 5 x x e dx e Ориентировочные основы действий: 1. Изучить основные понятия по теме 2. Ответить на вопросы для самоконтроля 3. Проработать примеры решения задач по теме 4. Выполнить задания для самостоятельного контроля 5. Решить контрольные задания по теме После изучения данной темы студент должен знать: понятие неопределенного, определенного интегралов, теоретические основы методов непосредственного интегрирования, интегрирования подстановкой и по частям, приложения определенных интегралов. уметь: решать неопределенные интегралы различными методами: непосредственным интегрированием, заменой переменной, по частям и другими, вычислять простейшие определённые интегралы и использовать определённый интеграл для решения отдельных прикладных задач (нахождение площадей плоских фигур, вычисление работы переменной силы, пути в неравномерном движении. Краткая теория При решении многих задач необходимо функцию, чья производная уже известна. Функция F(x), непрерывная на промежутке (a,b), называется первообразной для функции f(x), если для всех , x a b выполняется равенство F’ ( x ) = f ( x ). Например, функция F(x) = x 3 является первообразной для функции f(x) = 3x 2 , так как F’ ( x ) = (x 3 )’= 3x 2 = f ( x ). Неопределенным интегралом от функции f(x) на интервале (a,b) называется совокупность всех первообразных функции f(x) на этом интервале dx x f ) ( = F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования. Например, C x dx x 3 2 3 Свойства неопределённого интеграла 1) Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо ) ( ) ( x f dx x f (производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции). 2) Если f(x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо dx x f dx x f d ) ( ) ( (дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению). 3) Если f(x) непрерывна и дифференцируема на интервале (a,b), то для всех х из этого интервала справедливо C x F x dF ) ( ) ( (неопределенный интеграл дифференциала первообразной равен совокупности всех первообразных). 4) Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и k – действительное число, то для всех х из этого интервала справедливо ) ) ( ( ) ( 1 1 dx x f k dx x f k i n i i n i i i (неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме неопределенных интегралов этих функций, причем постоянный множитель выносится за знак интегрирования). Таблица неопределённых интегралов 1. C x dx 2. C n x dx x n n 1 1 1 n 3. C x x dx ln 4. C a a dx a x x ln 5. C e dx e x x 6. C x xdx cos sin 7. C x xdx sin cos 8. 2 t cos dx gx C x 9. C ctgx x dx 2 sin 10. C arctgx x dx 2 1 11. C x x dx arcsin 1 2 Формула Ньютона-Лейбница устанавливает связь между неопределенным интегралом (совокупностью всех первообразных функции - функцией) и определенным интегралом (площадью криволинейной трапеции - числом). b a b a x F a F b F dx x f Свойства и приложения определённого интеграла 1) b a b a b a du u f dt t f dx x f - инвариантность Данное свойство говорит о том, что обозначение переменной интегрирования не влияет на значение определенного интеграла. 2) b a a b xdx f dx x f , a a dx x f 0 - перестановочность Данное свойство говорит о том, если поменять пределы интегрирования местами, определенный интеграл изменит свой знак на противоположный. 3) b a c a b c dx x f dx x f dx x f - аддитивность. Данное свойство говорит о том что, если разбить интервал интегрирования произвольной точкой с, пусть даже b a с ; , то исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов 4) n i b a i i b a n i i i dx x f k dx x f k 1 1 - линейность Определенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен сумме определенных интегралов этих функций, причем постоянный множитель выносится за знак интегрирования 5) Значение определенного интеграла есть площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций f 1 (x) и f 2 (x). dx b a x f x f S ) ( 1 ) ( 2 , если f 1 (x) < f 2 (x) на (a; b). 6) Объём тела вращения Телом вращения называется фигура, полученная при вращении плоского тела вокруг оси Ох. Если плоская фигура ограничена графиком функции f(x) и прямыми х=a и x=b, то объем полученного тела вращения вычисляется по формуле b a dx x f V ) ( 2 7) Работа переменной силы 2 1 ) ( s s ds s f А Примеры решения задач Рассмотрим различные методы вычисления неопределённыхинтегралов 1. Метод непосредственного интегрирования Например, найдем xdx 5 Используя свойство 4 0 о вынесении постоянного множителя за знак определенного интеграла, получаем xdx xdx 5 5 По таблице неопределенных интегралов найдем формулу для интегрирования степенных функций, это формула 2 0 С x С x dx x 2 5 1 1 5 5 2 1 1 1 2. Метод замены переменной Чтобы ввести новую переменную, необходимо найти сложную функцию в подынтегральном выражении. За новую переменную обозначаем внутреннюю часть сложной функции, в данном примере сложной функцией является x e cos , а внутренней функцией cosx. Следовательно новая переменная t=cosx изменит данную функцию. xdx dt dx x dt x t xdx e x sin или cos cos sin / cos После этого необходимо найти первообразную интеграла переменной t C e dt e dt e t t t ) ( и далее возвратиться к исходной переменной x с помощью замены. C e C e x t cos 3. Метод интегрирования по частям, используя формулу vdu uv udv Данная формула применяется для интегрирования произведения двух функций. За функцию u(х) принимается либо многочлен (в данном случае формула применяется столько раз какова степень многочлена), либо логарифмическое выражение, либо обратная тригонометрическая функция. Оставшееся подынтегральное выражение обозначается за дифференциал dv. xdx x cos В данном случае подынтегральная функция представляет собой произведение степенной и тригонометрической функций. Следовательно, по правилу, за функцию u обозначим многочлен, в нашем случае это х. Тогда оставшееся подынтегральное выражение cosxdx обозначим за dv dv xdx u x xdx x cos cos В соответствии с правой частью формулы, нам не достает выражения для функции v и дифференциала du. x xdx dv v dx dx x du sin cos Далее подставим полученные выражения в левую часть формулы и найдем по таблице оставшийся интеграл. C x x x xdx x x cos sin sin sin Рассмотрим различные методы вычисления определённого интеграла 1. Непосредственное интегрирование, используя формулу Ньютона- Лейбница 2 ln 2 ln 1 ln 2 ln 1 ln нижний потом хх вместо ания интегриров предел верхний сначала м подставляе 2 1 ln 3 формула интегралов ттаблиц 0 1 2 x по x dx 2. Замена переменной 2 3 sin ; cos sin cos xdx dt t x xdx e x найдём новые пределы интегрирования 1 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 3 3 e e e dt e t x t t 3. Интегрирование по частям, используя формулу b a b a udv a b uv udv 2 0 2 0 2 0 sin sin sin cos cos xdx x x x v dx du dv xdx u x xdx x 1 2 0 cos 0 sin 0 ) 2 cos 2 sin 2 ( 0 2 ) cos sin ( x x x 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y=x 2 –3x+2 и осями Ox и Oy. Решение: Уравнение x 2 –3x+2=0 имеет корни x 1 =1 и x 2 =2, следовательно, кривая y=x 2 –3x+2 пересекается с осью Ox в x=1 и x=2. y 2 y=x 2 –3x+2 0 1 2 x 1 2 2 3 3 1 4 2 12 3 8 0 2 2 3 3 1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 0 0 2 3 ) ( ) ( 2 1 2 3 1 0 2 3 1 0 2 1 2 2 2 0 1 2 x x x х x x dx x x dx x x dx x f x f S 5. Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=x/2+4, x=0, x=6. Решение. Изобразим фигуру, полученную при вращении на координатной плоскости Контрольные задания: 1) Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования: a) dx e x x 2 2 4 1 cos 3 b) dx x x x 9 6 1 3 6 2 c) dx e x e e x x x cos 7 2 d) x x dx 2 2 cos sin 1 e) x d x sin 1 sin 2 f) tgx tgx d g) x x d ln sin ln 2 x y 0 6 2 4 6 0 2 4 2 dx x V 6 0 2 16 4 4 dx x x 6 0 2 3 16 2 12 x x x .) ( 186 6 16 6 2 12 6 2 3 ед куб 2) Вычислите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования a) 4 6 2 cos 4 x dx ; b) dx e x 1 0 6 ; c) dx x 3 0 2 ; d) dx x x 3 0 2 3 5 2 ; e) dx x x 8 2 2 ; f) dx x x 8 0 3 2 ; 3) Найдите неопределенные интегралы методом замены переменной a) xdx x cos sin 6 2 ; b) dx x x 5 cos 3 sin ; c) x x dx ln 5 ; d) dx x x ln ; e) 3 2 2 x xdx ; f) 4 2 1 x x e dx e ; g) dx x x 3 2 3 4 ; h) x x dx x ln ln 1 ; 4) Вычислите определенные интегралы методом замены переменной a) dx x 2 0 3 2 sin 6 ; b) dx e x x 1 0 5 6 ; c) dx x e x 3 0 cos sin ; d) dx x x x 2 0 2 cos 1 sin ; e) 1 2 5 x x e dx e ; f) 1 1 2 4 5 x xdx ; 5) Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям: a) dx xe x 3 ; b) xdx x ln 2 ; c) x xdx 2 cos ; d) xarctgxdx ; e) xdx arcsin ; f) xdx e x sin ; 6) Вычислите определенные интегралы методом интегрирования по частям a) dx x x 1 0 cos 1 ; b) dx x x e 2 1 2 ln ; c) dx x x 2 0 2 cos ; d) 6 4 2 sin dx x x ; e) 1 0 3 2 dx e x x ; В следующих задачах 7-9 вычислить среднее значение функции 7) x x x f 1 на отрезке 1 , 0 ; 0 ; 8) 2 x x f на отрезке b a; ; 9) x x x f sin cos на отрезке ; 0 ; 10) Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой x y cos и осью Ox в пределах от 0 до 2 ; 11) Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривыми 2 2 x y и 2 6 x y ; 12) Вычислить объем тела, образуемого вращением вокруг оси ОЗ фигуры, ограниченной линиями 4 2 x y , 6 , 0 x x 13) Скорость движения тела t t v 2 3 2 (м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения? 14) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратимом изотермическом расширении от 2,24 10 -3 до 22,4 10 -3 м 3 при 0 t 0 С. 15) Реакция организма на определенную дозу лекарственного препарата 2 1 1 t t f в момент времени t . Определить суммарную реакцию на данную дозу. |