Правила интегрирования 1 udx k dx ku постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 2 dx v dx u dx v

Название	Правила интегрирования 1 udx k dx ku постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 2 dx v dx u dx v
Дата	18.01.2019
Размер	354.55 Kb.
Формат файла
Имя файла	tablica_integralov.pdf
Тип	Правила #64194

Интегрирование функции одной переменной
© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!
Правила интегрирования и таблица неопределенных интегралов
Обычно при нахождении интегралов сначала используются правила интегрирования, а затем – таблица интегралов.
Правила интегрирования:
1)



udx
k
dx
ku
– постоянный множитель можно вынести за знак интеграла;
2)
dx
v
dx
u
dx
v
u






)
(
– интеграл от суммы (разности) функций равен сумме
(разности) интегралов от каждой функции в отдельности;
3)




vdu
uv
dv
u
– правило интегрирования по частям.
4) Замена переменной. Во избежание путаницы, еѐ расписывать не буду, читайте статью: http://mathprofi.ru/metod_zameny_peremennoi.html
Таблица неопределенных интегралов:



C
x
dx
, здесь и далее
const
C






C
n
x
dx
x
n
n
1 1
(
1


n
)
Следует обратить внимание, что интеграл от степенной функции – это самая используемая вещь на практике. Многие (но не все!) корни, например
3 5
x ,
7 2
1
x
,
5 1
x
, нужно представить в виде
b
a
x
для применения формулы





C
n
x
dx
x
n
n
1 1
(как представить – см.
Горячие формулы шк. курса математики: http://mathprofi.ru/goryachie_formuly.pdf
).



C
x
x
dx
ln



C
a
a
dx
a
x
x
ln
, в частности,



C
e
dx
e
x
x
Интегралы от тригонометрических функций:




C
x
xdx
cos sin



C
x
xdx
sin cos



C
tgx
x
dx
2
cos




C
ctgx
x
dx
2
sin




C
a
x
arctg
a
x
a
dx
1 2
2
, в частности




C
arctgx
x
dx
2 1

Интегрирование функции одной переменной
© http://mathprofi.ru
Высшая математика – просто и доступно!






C
a
x
a
x
a
a
x
dx
ln
2 1
2 2
«высокий логарифм»
Примечание:
часто данную формулу можно встретить немного в другом виде,
например:






C
x
a
x
a
a
x
a
dx
ln
2 1
2 2
, но первый вариант, на мой взгляд, удобнее.






C
A
x
x
A
x
dx
2 2
ln
, или, то же самое:






C
A
x
x
A
x
dx
2 2
ln
«длинный логарифм»




C
a
x
x
a
dx
arcsin
2 2
Интегралы от гиперболических функций:













C
cthx
x
sh
dx
C
thx
x
ch
dx
C
shx
chxdx
C
chx
shxdx
2 2
Важно!
Иногда встречаются очень большие таблицы интегралов (порядка 100 штук).
Эти таблицы рекомендую использовать только для самопроверки или в самом крайнем случае – по той причине, что интегралы от «других функций» на самом деле являются следствием правил и приѐмов интегрирования. И, соответственно, данное «решение» может сильно не понравиться рецензенту. Типичный пример такого «табличного» интеграла:




C
x
x
xdx
)
1
(ln ln
В действительности, для того, чтобы найти интеграл от логарифма, следует применить правило интегрирования по частям и подробно расписать ход решения.
А вот некоторые
неберующиеся неопределенные интегралы:


dx
e
x
2
– интеграл Пуассона;

dx
x
2
sin
,

dx
x
2
cos
– интегралы Френеля;

x
dx
ln
– интегральный логарифм;

x
dx
e
x
– интегральная экспонента;

x
xdx
sin
– интегральный синус;

x
xdx
cos
– интегральный косинус.
Изредка проскакивают. Встретятся – не мучайтесь, в ответе достаточно указать, что интеграл не берется. А если подобные интегралы появятся в ходе решения какого-либо примера, значит, Вы либо ошиблись, либо интеграл является неберущимся, либо, что вероятнее всего, в условии допущена опечатка.