Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике теория вероятностей для факультета аивт iv семестр Москва 2006
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
Dξ = npq. 2. Дискретная случайная величина ξ распределена по ЗАКОНУ ПУАС- СОНА, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятно- стями P {ξ = k} = a k k! e −a , k = 0, 1, ... Mξ = np, Dξ = npq. Распределение Пуассона обычно применяют там, где производится боль- шое число испытаний, в каждом из которых событие происходит с малой 25 вероятностью, например, когда число испытаний n по схеме Бернулли вели- ко, а вероятность p и значение np малы (np ≤ 10). Тогда полагают a = np, и вероятность приближенно определяют по формуле Пуассона: P {ξ = k} = C k n p k (1 − p) n−k ≈ a k k! e −a , k = 0, 1, ..., n. 3. Случайная величина ξ имеет ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗАКОН распре- деления, если она принимает значения 0, 1, 2, ... с вероятностями равными P {ξ = k} = p q k , где p – вероятность успеха, q = 1 − p – вероятность неудачи. Здесь случайная величина ξ – число испытаний в схеме Бернулли, кото- рое необходимо провести, прежде чем появится первый успех (до первого успеха). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрический закон, равны Mξ = q p , Dξ = q p 2 . 4. Случайная величина ξ имеет РАВНОМЕРНОЕ распределение на от- резке [a; b], если все ее возможные значение принадлежат этому отрезку, и плотность распределения на нем постоянна. Легко видеть, что f (x) = 1 b − a, a ≤ x ≤ b; 0, x < a, x > b. 26 и F (x) = 0, x < a; x − a b − a , a ≤ x ≤ b; 1, x > b. Математическое ожидание равномерно распределенной случайной вели- чины, очевидно, равно Mξ = a + b 2 . Дисперсия данной случайной величины равна Dξ = (b − a) 2 12 . 5. Случайная величина ξ распределена по ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМУ (ПОКАЗАТЕЛЬНОМУ) закону, если она имеет плотность распределения f (x) = 0, x < 0; λe−λx, x ≥ 0, где λ > 0 – параметр экспоненциального распределения. Функция распределения в данном случае имеет вид F (x) = 0, x < 0; 1 − e−λx, x ≥ 0. Математическое ожидание случайной величины, распределенной экспо- ненциально, равно Mξ = 1 λ , дисперсия Dξ = 1 λ 2 . 27 ЗАДАЧИ. 1. Выяснить, что вероятнее: выиграть у равносильного противника 3 партии из 4-х, или 5 партий из 8-ми? Ответ. Противник равносильный, следовательно p = q = 1/2. Тогда P 4 (3) = C 3 4 p 3 q 4−3 = 4(1/2) 4 = 1/4; P 8 (5) = C 5 8 (1/2) 5 (1/2) 3 = 7/32. 2. Найти вероятность того, что номер первой встретившейся автомаши- ны не содержит: а) цифры "5"; б) двух и более "пятерок"; в) ровно двух "пятерок"? (Все номера трехзначные, неповторяющиеся, равновозможные, номер "000"возможен тоже). Решение. Пусть ξ – количество "пятерок"в номере. ξ может принимать значения 0, 1, 2, 3. Вероятность успеха (т.е. "пятерки") на месте одной циф- ры номера p = 1 10 = 0, 1, тогда q = 0, 9. а)P {ξ = 0} = q 3 = 0, 9 3 б)P {ξ ≤ 1} = P {ξ = 0} + P {ξ = 1} = 0, 9 3 + C 1 3 · 0, 1 · 0, 9 2 в)1 − P {ξ = 2} = 1 − C 2 3 (0, 1) 2 · (0, 9). 3. В течение часа коммутатор в среднем получает 60 вызовов. Какова вероятность, что за 30 сек., в течение которых телефонистка отлучалась, не будет ни одного вызова? Решение. Плотность потока (среднее число вызовов в минуту) равна λ = 60 60 = 1 выз./мин. Вероятность того, что за время T произойдет ровно m вызовов, равна P {ξ = m} = (λT ) m m! · e −λT . 28 Искомая вероятность того, что за время T = 0, 5 мин. (30 сек.) не будет ни одного вызова P {ξ = 0} = e−0, 5. 4. Прибор состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного эле- мента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа: а) двух элементов в год; б) не менее двух элементов в год? Решение. Здесь ξ – количество отказов за год, n велико, p и np малы. Следовательно, можно применить закон Пуассона с параметром a = np = 1. Отсюда a) P {ξ = 2} = (np) 2 2! e −np = 0, 5e−1 = 1 2e, б) P {ξ ≥ 2} = 1 − P {ξ = 0} − P {ξ = 1} = 1 − 2/e. 5. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна p = 0, 01. Сколь- ко надо купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному с вероятностью p ≥ 0, 95? Решение. Здесь ξ – количество выигравших билетов. Применим распре- деление Пуассона с параметром a = np. "Ни один билет не выиграл" P {ξ = 0} = e−a. "Хотя бы один выиграл" P {ξ ≥ 1} = 1 − e−a ≥ 0, 95. Следовательно, e−a ≤ 0, 05, откуда a = np ≥ 3 и n ≥ 3/0, 01 = 300. 6. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения лю- бого изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено а) хотя бы одно изделие; б) ровно три изделия; в) более трех 29 изделий. Ответ. а) a = np = 500 · 0, 002 = 1; P {ξ ≥ 1} = 1 − P (0) = 1 − e −1 ; б) P (3) = e −1 3! ; в) P {ξ > 3} = 1 − (P (0) + P (1) + P (2) + P (3)). 7. Участок газопровода между двумя компрессорными станциями имеет длину 100 км. Появление утечки газа равновероятно в любой точке участ- ка. Зарегистрирована утечка. Какова вероятность, что утечка произошла ближе, чем за 10 км от какой-либо станции ? Решение. Случайная величина ξ – место утечки имеет равномерное рас- пределение на интервале [0; 100]. Искомая вероятность P = P {0 ≤ ξ < 10} + P {90 ≤ ξ ≤ 100} = 2 · 10 100 = 0, 2. 8. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность то- го, что при отсчете будет сделана ошибка, большая 0,05. Решение. Без ограничения общности можно считать, что ошибка рас- пределена равномерно на интервале [0; 0, 2]. Ошибка ξ превысит 0,05, если она будет лежать в интервале (0, 05; 0, 2 − 0, 05) = (0, 05; 0, 15). Плотность распределения ошибки f (x) = 1 0, 2 , поэтому искомая вероятность равна P = 0,15 Z 0,05 f (x)dx = 0, 1 0, 2 = 0, 5. 9. Число отказов за год на участке магистрального трубопровода под- чинено закону Пуассона с параметром λ = 0, 8 (1/год). Найти среднее 30 время безотказной работы участка. Через какой промежуток времени ве- роятность появления отказа превысит 0,5? Найти вероятность того, что в течение трех лет будет не менее двух отказов. Решение. Время безотказной работы η имеет экспоненциальное распре- деление с плотностью f (t) = λe−λt, где λ – интенсивность потока отказов (среднее число отказов в год). Среднее время безотказной работы Mη = 1 λ = 1 0, 8 = 1, 25(год). Промежуток времени, через который вероятность отказа превысит 0, 5, найдем из соотношения P {η > t 0 } > 0, 5, т.е. P = +∞ Z t 0 λe−λtdt = e−λt 0 > 0, 5, отсюда t 0 > ln 0, 5 −λ = ln 0, 5 −0, 8 ≈ 0, 86 (год). Вероятность того, что в течение трех лет (T ) будет не менее двух отка- зов, найдем с помощью закона Пуассона с параметром a = λT = λ · 3 = 0, 8 · 3 = 2, 4 : P {ξ ≥ 2} = 1 − P {ξ < 2} = 1 − e −2,4 (1 + 2, 4). 10. Среднее время безотказной работы прибора 2 года. Найти вероят- ность того, что за 5 лет произойдет не более трех отказов? Решение. Пусть ξ – время безотказной работы прибора. Среднее время безотказной работы связано с интенсивностью отказов λ соотношением Mξ = 1 λ 31 откуда получаем λ = 1 Mξ = 1 2 = 0, 5 ( 1 год ). Случайная величина η – количество отказов за 5 лет имеет распреде- ление Пуассона с параметром a = λ · 5 = 0, 5 · 5 = 2, 5, поэтому искомая вероятность равна P {ξ ≤ 3} = 3 X k=0 (2, 5) k k! · e −2,5 . 11. Средняя продолжительность телефонного разговора 3 мин. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продол- жаться не более 9 мин. Решение. Пусть η – продолжительность телефонного разговора имеет экспоненциальное распределение с параметром λ. Среднее время Mη = 1 λ = 3, откуда λ = 1 3 . Тогда P {η ≤ 9} = 1 − e− 1 3 · 9 = 0, 95. 12. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы имеет показательное распределение со сред- ними значениями: для первого – 20 часов; для второго – 25 часов. Найти вероятность того, что за 10 часов а) оба элемента не откажут; б) откажет только один элемент. Указание. 1/λ 1 = 20, λ 1 = 1/20 = 0, 05; 1/λ 2 = 25, λ 2 = 0, 04. Безот- казная работа за 10 часов для первого элемента P 1 = e−0, 05 · 10, 32 для второго P 2 = e−0, 04 · 10 . а) оба не откажут: p = P 1 · P 2 б) откажет только один: p = P 1 (1 − P 2 ) + P 2 (1 − P 1 ). 13. Плохо успевающий студент может сдать экзамен по высшей мате- матике с вероятностью 0,4. Будем считать, что количество попыток сдать такой экзамен неограниченно. Пусть ξ случайная величина, равная коли- честву попыток до первого успеха (т.е., количество неудач). Построить ряд распределения такой случайной величины и найти вероятность того, что студент сдаст экзамен с третьей попытки. Ответ. Дискретная случайная величина ξ имеет геометрическое рас- пределение с параметром p = 0, 4; q = 0, 6. Следовательно, P {ξ = n} = p · q n−1 и P {ξ = 2} = 0, 4 · (0, 6) 2 . 33 ЗАНЯТИЕ 4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ. ТЕОРЕМЫ МУАВРА – ЛАПЛАСА. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. Случайная величина имеет НОРМАЛЬНОЕ или ГАУССОВСКОЕ распределение, если ее плотность f (x) = 1 σ √ 2π e − (x − µ) 2 2σ 2 , (−∞ < µ < +∞, σ > 0). Здесь µ и σ – числовые параметры; µ – математическое ожидание, а σ = √ Dξ – среднее квадратическое отклонение. Нормальное распределение с параметрами µ, σ обозначают N (µ; σ 2 ). Если µ = 0, а σ = 1, то такой нормальный закон называют СТАНДАРТ- НЫМ: N(0; 1). Функция распределения случайной величины, имеющей нормальное рас- пределение, имеет вид F (x) = 1 σ √ 2π x Z −∞ e − (t−µ) 2 2σ 2 dt. Для закона N(0; 1) F ∗ (x) = 1 √ 2π x Z −∞ e− t 2 2 dt, составлены таблицы. Существуют различные ВАРИАНТЫ ТАБЛИЦ, отвечающих стандарт- ному нормальному закону распределения. 34 1. F ∗ (x) = 1 √ 2π x Z −∞ e− t 2 2 dt; F ∗ (−x) = 1 − F ∗ (x); P {a ≤ ξ < b} = F ∗ µ b − µ σ ¶ − F ∗ µ a − µ σ ¶ . 2. Φ(x) = 1 √ 2π x Z 0 e− t 2 2 dt; Φ(−x) = −Φ(x); P {a ≤ ξ < b} = Φ µ b − µ σ ¶ − Φ µ a − µ σ ¶ . Функция Φ(x) называется ФУНКЦИЕЙ ЛАПЛАСА. 3. Φ ∗ (x) = 2 √ 2π x Z 0 e− t 2 2 dt; Φ ∗ (−x) = −Φ ∗ (x); P {a ≤ ξ < b} = 1 2 · Φ ∗ µ b − µ σ ¶ − Φ ∗ µ a − µ σ ¶¸ . Отметим очевидные связи между указанными выше функциями: F ∗ (x) = 1 2 + Φ(x); Φ ∗ (x) = 2Φ(x) 35 Если случайная величина ξ распределена нормально, то вероятность отклонения ξ от ее математического ожидания Mξ по абсолютной величине не больше, чем на ε, может быть найдена по формуле P {|ξ − Mξ| ≤ ε} = Φ ³ ε σ ´ − Φ ³ − ε σ ´ = 2Φ ³ ε σ ´ = Φ ∗ ³ ε σ ´ = 2F ∗ ³ ε σ ´ − 1. 2. ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания боль- ше, чем на 3σ, практически невозможно, то есть P {|ξ − µ| > 3σ} = 0, 0027.... 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МУАВРА – ЛАПЛАСА. Напомним, что число появлений cобытия A в n испытаниях по схеме Бернулли есть дискретная величина с биномиальным распределением и P n (k) = C k n p k q n−k , (q = 1 − p). Если n велико, то пользоваться этой формулой неудобно. В этих случаях можно применять асимпотические формулы. 1) Пусть n велико, p мало (p < 0, 1 и np ≤ 10). Тогда удобно использовать асимптотическую формулу Пуассона P {ξ = k} ≈ a k e −a k! , a = np, которую мы применяли на предыдущем занятии. 2) Пусть n велико (n À 1; 0 < p < 1). Тогда биномиальное распределение близко к нормальному, а именно справедлива локальная теорема МУАВРА–ЛАПЛАСА 36 P {ξ = k} ≈ 1 √ npq · 1 √ 2π · e − 1 2 ³ k−np √ npq ´ 2 = 1 √ npq · ϕ(x), где x = k − np √ npq , ϕ(x) = 1 √ 2π · e− x 2 2 Если требуется вычислить вероятность попадания случайной величи- ны в некоторый интервал, то удобно применять интегральную теорему МУАВРА–ЛАПЛАСА: P {m ≤ ξ ≤ k} = P { m − np √ npq ≤ ξ − np √ npq ≤ k − np √ npq } ∼ = ∼ = F ∗ µ k − np √ npq ¶ − F ∗ µ m − np √ npq ¶ = Φ µ k − np √ npq ¶ − Φ µ m − np √ npq ¶ , в силу того, что при n → ∞ имеет место P ½ ξ − np √ npq < x ¾ → 1 √ 2π x Z −∞ e− t 2 2 dt. ЗАДАЧИ. 1. Случайная величина ξ распределена нормально: ξ ∈ N(1; 2). Не поль- зуясь таблицами, определить, какое из событий более вероятно: −1 < ξ < 0 или 3 < ξ < 4? Указание. Использовать график плотности ξ. 37 2. Суточный дебит скважины на газовом промысле можно рассматри- вать как случайную величину ξ, имеющую нормальное распределение с па- раметрами µ = 1 (млн. кубометров/сут.), σ = 0, 2 (млн. кубометров/сут.) Найти вероятности событий: а) A – суточный дебит не превзойдет 0,9 млн.кубометров/сут.; б) B – суточный дебит превысит 1,5 млн.кубометров/сут.; в) C – суточный дебит заключен в пределах (0,8-1,2) млн. кубомет- ров/сут.? Ответ. P (A) = F ∗ µ 0, 9 − 1 0, 2 ¶ = 1 − F ∗ (0, 5) ≈ 0, 309; P (B) = 1 − p{ξ ≤ 1, 5} = 1 − F ∗ (2, 5) ≈ 0, 006; P (C) = F ∗ µ 1, 2 − 1 0, 2 ¶ − F ∗ µ 0, 8 − 1 0, 2 ¶ ≈ 0, 682. 3. Давление в газопроводе измеряется манометром. Погрешность пока- заний прибора можно считать случайной величиной ξ, распределенной по нормальному закону, причем математическое ожидание погрешности (си- стематическая ошибка) равно нулю. а) В предположении, что среднеквадратическое отклонение погрешно- сти σ = 0, 2 (кгс/ см 2 ), определить вероятность того, что погрешность измерения не превысит 0,2. б) При каком значении σ измеренное давление отличается от истинного не более, чем на 0,1 кгс/ см 2 с вероятностью 0,99? Ответ. а) P {|ξ − 0| ≤ 0, 2} = 2Φ µ 0, 2 0, 2 ¶ = 2Φ(1) ≈ 0, 68. 38 б) P {|ξ| < 0, 1} = 2Φ µ 0, 1 σ ¶ = 0, 99, Φ µ 0, 1 σ ¶ = 0, 495. По таблицам 0, 1 σ = 2, 58; σ = 0, 1 2, 58 ≈ 0, 04. 4. Случайная величина ξ распределена нормально с σ = 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно µ, в котором с вероятно- стью 0,9973 окажется случайная величина ξ в результате испытания? Ответ. P {|ξ − µ| < ε} = 0, 9973 = 2Φ ³ ε σ ´ ; Φ ³ ε σ ´ = 0, 4986. По таблицам ε σ ≈ 3; ε = 3σ = 15мм. Длина интервала (µ − ε < ξ < µ + ε) равна 2ε = 30 мм. 5. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случай- ные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нор- мальному закону ξ ∈ N (0; 25), σ = 5 мм. Сколько процентов годных дета- лей изготовляет автомат? Ответ. p{|ξ| < 10} = 2Φ µ 10 5 ¶ = 0, 4772 · 2 ≈ 0, 95. Следовательно, примерно 95 процентов. 6. Случайная величина ξ распределена нормально, ξ ∈ N (10; σ 2 ). Из- вестно, что P {10 ≤ ξ < 20} = 0, 3. Найти P {0 ≤ ξ < 10}. Ответ. P = 0, 3, т.к. в силу симметричности распределения относи- тельно µ = 10, P {10 ≤ ξ < 20} = P {0 ≤ ξ < 10}. 39 7. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 100 раз герб появится ровно 60 раз. Решение. Случайная величина ξ – количество гербов при n = 100 под- брасываниях имеет биномиальное распределение с p = 1/2, q = 1/2, по- этому P {ξ = 60} = C 60 100 · µ 1 2 ¶ 100 . Эту вероятность можно оценить с помощью локальной теоремы Муав- ра – Лапласа P {ξ = k} ≈ 1 √ npq · 1 √ 2π · e − 1 2 ³ k−np √ npq ´ 2 = 1 √ npq · ϕ µ k − np √ npq ¶ . При k = 60 находим значение функции ϕ µ k − np √ npq ¶ = ϕ µ 60 − 50 √ 25 ¶ = ϕ(2), по соответствующей таблице определяем ϕ(2) ≈ 0, 054 и тогда P {ξ = 60} ≈ 1 √ 100 · 0, 5 · 0, 5 · ϕ(2) = 0, 054 5 ≈ 0, 01. 8. Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно половина мальчиков. Ответ. n = 100; k = 100 2 = 50; p = 0, 51; np = 51. P {ξ = 50} ≈ 1 √ 100 · 0, 51 · 0, 49 · ϕ(x); x = 50 − 100 · 0, 51 √ 100 · 0, 51 · 0, 49 ≈ −1/5 = −0, 2. 40 т.к. функция ϕ(x) четная, то ϕ(−x) = ϕ(x); ϕ(−0, 2) = ϕ(0, 2) ≈ 0, 391, и поэтому, P {ξ = 50} ≈ 1 5 · 0, 391 ≈ 0, 078. 9. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,4. Найти вероятность того, что в серии из 600 выстрелов цель будет поражена от 200 до 250 раз. Решение. ξ – количество поражений цели подчиняется биномиально- му закону распределения c числом испытаний n = 600, вероятностью "успеха"p = 0, 4, поэтому P {200 ≤ ξ ≤ 250} = 250 X k=200 C k 600 (0, 4) k (0, 6) 600−k . Эту вероятность можно оценить с помощью интегральной теоремы Муав- ра – Лапласа: np = 240, npq = 144, P {200 ≤ ξ ≤ 250} ≈ Φ µ 250 − 240 √ 144 ¶ − Φ µ 200 − 240 √ 144 ¶ = = Φ(0, 83) + Φ(3, 33) ≈ 0, 8. 10 ∗ . "Театр начинается с вешалки"(Задача повышенной сложности). Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждо- го из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов, чтобы в среднем в 99 случаев из 100 все зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? 41 Предполагается, что зрители приходят поодиночке и каждый из них независимо от других выбирает с вероятностью 0,5 любой из входов. Пред- полагается также, что каждый зритель воспользуется услугами гардероба. Зритель будет обслужен в гардеробе, если имеются свободные места. Насколько изменится число мест в гардеробе, если зрители будут при- ходить парами, и каждая пара будет выбирать любой из входов с равной вероятностью независимо друг от друга? Решение. Математической моделью данной задачи является схема неза- висимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха 0,5 с использованием предельной теоремы Муавра – Лапласа. Пусть k – число мест в каждом из гардеробов, которое в силу симметрии задачи (равновероятности выбора зрителем входа в театр) будет одинаково для каждого из гардеробов, n = 1000 – количество всех зрителей, которые, как предполагается, все придут. Обозначим через S n количество зрителей, вошедших в театр через первый вход, тогда (n−S n ) – это количество зрите- лей, которые вошли в театр через второй вход. Очевидно, что S n является случайной величиной, соответствующей схеме n независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной p = 0, 5, тогда q = 1 − p = 0, 5. Событие, состоящее в том, что все зрители, вошедшие в театр через пер- вый вход, будут обслужены, можно описать так: {S n ≤ k}. Аналогично, для второго выхода – {n − S n ≤ k}. Таким образом, событие, означающее, что все зрители смогут раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли, можно описать следую- щим образом: {n − k ≤ S n ≤ k}. Следовательно, вероятностное условие нашей задачи можно записать так: P {n − k ≤ S n ≤ k} = 0, 99. Итак, мы получили уравнение на k. Как его решить? Так как n = 1000 42 (число испытаний) очень велико, можно применить предельную теорему Муавра – Лапласа. Преобразуем выражение {n − k < S n < k} следующим образом: ½ n − k − np √ npq < S n − np √ npq < k − np √ npq ¾ . Тогда наше уравнение будет иметь вид: P ½ n − k − np √ npq ≤ S n − np √ npq ≤ k − np √ npq ¾ = 0, 99. В силу интегральной теоремы Муавра – Лапласа: P ½ n − k − np √ npq ≤ S n − np √ npq ≤ k − np √ npq ¾ ≈ F ∗ µ k − np √ npq ¶ −F ∗ µ n − k − np √ npq ¶ . По условию n = 1000, p = q = 0, 5. Поэтому k − np √ npq = k − 500 √ 250 , а n − k − np √ npq = 500 − k √ 250 . Следовательно, F ∗ µ k − np √ npq ¶ − F ∗ µ n − k − np √ npq ¶ = F ∗ µ k − 500 √ 250 ¶ − F ∗ µ 500 − k √ 250 ¶ = = Φ µ k − 500 √ 250 ¶ − Φ µ 500 − k √ 250 ¶ = 2Φ µ k − 500 √ 250 ¶ ≈ 0, 99 в силу четности функции Φ(x). Таким образом, Φ µ k − 500 √ 250 ¶ ≈ 0, 495. 43 Отсюда, согласно таблице значений для Φ(x), получаем, что k − 500 √ 250 ≈ 2, 58. Итак, окончательно имеем k ≈ 500 + 2, 58 √ 250 ≈ 541. Случай с парами рассмотреть самостоятельно. 44 ЗАНЯТИЕ 5. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ФОРМЕ ЧЕБЫШЁВА И БЕРНУЛЛИ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. 1. СХОДИМОСТЬ ПО ВЕРОЯТНОСТИ. Последовательность случайных величин ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n , ... сходится по ве- роятности к числу a, если для любого ε > 0 P {|ξ n − a| ≥ ε} → 0, (n → ∞), или P {|ξ n − a| < ε} → 1, (n → ∞). 2. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЁВА. Пусть случайная величина ξ имеет конечные Mξ и Dξ. Тогда для любого ε > 0 выполняется соотношение P {|ξ − Mξ| ≥ ε} ≤ Dξ ε 2 , или P {|ξ − Mξ| < ε} ≥ 1 − Dξ ε 2 . 3. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ФОРМЕ ЧЕБЫШЁВА. Пусть ξ 1 , ..., ξ n , ... последовательность НЕЗАВИСИМЫХ случайных ве- личин, математические ожидания которых Mξ i конечны, а дисперсии огра- ничены одной и той же константой (Dξ i ≤ C), i = 1, ..., n, ... . Тогда среднее арифметическое этих случайных величин сходится по ве- роятности к среднему арифметическому их математических ожиданий 45 P (¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n n X i=1 ξ i − 1 n n X i=1 Mξ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≥ ε ) → 0, (n → ∞). 4. ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. Пусть проводится n независимых опытов, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие A, вероятность которого в каждом опыте равна p. Тогда при неограниченном увеличении числа опы- тов n частота m n события A сходится по вероятности к его вероятности p : для любого ε > 0 P n¯ ¯ ¯ m n − p ¯ ¯ ¯ < ε o → 1, (n → ∞), или P n¯ ¯ ¯ m n − p ¯ ¯ ¯ ≥ ε o → 0, (n → ∞). ЗАДАЧИ. 1. В среднем 70 процентов саженцев приживаются после посадки. Сколь- ко нужно посадить саженцев, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ожи- дать, что отклонение числа прижившихся саженцев от их математического ожидания не превышает по модулю 40? Решение. Пусть ξ – число прижившихся саженцев из n. Считая, что каждый саженец приживается с вероятностью p = 0, 7 независимо от дру- гих, запишем математическую формулировку задачи P {|ξ − Mξ| ≤ 40} ≥ 0, 9, Из этого соотношения надо определить n. Воспользуемся неравенством Че- бышёва P {|ξ − Mξ| < ε} ≥ 1 − Dξ ε 2 . 46 В нашем случае Mξ = np = n · 0, 7, Dξ = npq = n · 0, 7 · 0, 3 = n · 0, 21, ε = 40, поэтому 1 − Dξ ε 2 = 1 − n · 0, 21 (40) 2 = 0, 9, откуда n ≈ 761. 2. Монета бросается 1000 раз. Оценить снизу вероятность того, что отклонение частоты появления герба от вероятности появления герба (p = 1/2) по абсолютной величине будет меньше, чем на 0,1 . Указание. Пусть герб появился m раз. Частота появления герба m 1000 , тогда по неравенству Чебышёва P ½¯ ¯ ¯ ¯ m 1000 − 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ < 0, 1 ¾ > 1 − D ξ (0, 1) 2 = 1 − p q n(0, 1) 2 = 39 40 = 0, 975. При этом ¯ ¯ ¯ ¯ m 1000 − 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ < 0, 1; 0, 4 < m 1000 < 0, 6; 400 < m < 600. 3. Найти количество опытов n, при которых относительная частота по- явления случайной величины отклонится от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше, чем на 0,01 с вероятностью p = 0, 8. Решение. Математическая формулировка задачи имеет вид P n¯ ¯ ¯ m n − M hm n i¯ ¯ ¯ < 0, 01 o = 0, 8, где M hm n i = 1 n M [m] = np n = p. Применим неравенство Чебышёва 47 1 − D £ m n ¤ (0, 01) 2 = 0, 8, где D hm n i = 1 n 2 D[m] = np q n 2 = p q n . Так как p нам неизвестно, то воспользуемся тем, что p q ≤ 1 4 (max p {p(1 − p)} находим из условия {p(1 − p)} 0 p = 0; 1 − 2p = 0; p = 1 2 ) Теперь 1 − 1 (0, 01) 2 4n ≥ 0, 8, откуда n ≥ 1 (0, 01) 2 · 4 · 0, 2 = 12500. Неравенство Чебышёва дает грубые оценки (очень завышенные). В дан- ной задаче можно воспользоваться тем, что относительная частота m n имеет приближенно нормальное распределение N (p; pq n ). Тогда P n¯ ¯ ¯ m n − p ¯ ¯ ¯ < 0, 01 o ≈ 2Φ µ 0, 01 √ n √ pq ¶ = 0, 8, Полагая p q = 1 4 , получим Φ ¡ 0, 02 · √ n ¢ = 0, 4, 0, 02 · √ n ≈ 1, 28, n ≈ µ 1, 28 0, 02 ¶ 2 = 4096. 4. В урне 1000 белых 2000 черных шаров. Вынули с возвращением 300 шаров. Оценить снизу вероятность того, что число m извлеченных белых шаров, удовлетворяет неравенству 80 ≤ m ≤ 120. 48 Решение. Т.к. шары вынимаются с возвращением, то вероятность до- стать белый шар в каждом из n = 300 опытов одна и та же p = 1000 1000 + 3000 = 1 3 . Пусть m – число вынутых белых шаров, тогда M[m] = np = 300 · 1 3 . Неравенство 80 ≤ m ≤ 120 можно переписать в виде 80 − np ≤ m − np ≤ 120 − np, т.е. −20 ≤ m − np ≤ 20 или |m − np| ≤ 20. Оценим вероятность этого неравенства с помощью неравенства Чебы- шёва. P {|m − np| ≤ 20} ≥ 1 − np q 20 2 = 1 − 300 · 1 3 · 2 3 400 = 1 − 1 6 = 5 6 . 5. При производстве трубопроводной арматуры в среднем 95 процентов изделий удовлетворяет стандарту. Сколько образцов арматуры надо взять, чтобы с вероятностью 0,99 отклонение частоты стандарта от 0,95 по абсо- лютной величине не превосходило 0,06? Указание. Частота m n , где m – количество стандартных изделий, n – искомое количество необходимых изделий. 49 P n¯ ¯ ¯ m n − 0, 95 ¯ ¯ ¯ < 0, 06 o = = 2F ∗ ε q pq n −1 = 2F ∗ 0, 06 q 0, 95 · 0, 05 n −1 = 2Φ µ 0, 06 √ n √ 0, 95 · 0, 05 ¶ = 0, 99. Отсюда по таблицам находим аргумент функции и искомое n ≈ 32450. 6. Даны независимые случайные величины ξ 1 , ..., ξ n . Дисперсия каждой из них Dξ i ≤ 5. Найти число n этих величин, при котором вероятность отклонения их среднего арифметического от среднего арифметического их математических ожиданий менее, чем на 0,1, превысит 0,9. Указание. P (¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 n n X i=1 ξ i − 1 n n X i=1 Mξ i ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ < 0, 1 ) > 0, 9 По неравенству Чебышёва 1 − D · 1 n n P i=1 ξ i ¸ (0, 1) 2 = 0, 9 D " 1 n n X i=1 ξ i # = 1 n 2 n X i=1 Dξ i ≤ 1 n 2 · n · 5 = 5 n , т.к. Dξ i ≤ 5, ∀i поэтому 1 − 5 n(0, 1) 2 > 0, 9; откуда n > 5 (0, 1) 3 = 5000. 7. Имеется некоторая случайная величина ξ, для которой известны Mξ = a; Dξ = 1. Выполнены n независимых замеров и получены зна- чения ξ 1 , ξ 2 , ..., ξ n . В качестве оценки a берется среднее арифметическое 50 полученных измерений. η = 1 n n X i=1 ξ i . Определить, сколько замеров нужно сделать, чтобы отклонение η от a по абсолютной величине более чем на 0,1, было с вероятностью менее 0,05. Указание. P {|η − a| ≥ 0, 1} < 0, 05 Используя неравенство Чебышёва, получаем Dη (0, 1) 2 < 0, 05; Dη = D " 1 n n X i=1 ξ i # = n · 1 n 2 = 1 n ; поэтому 1 (0, 1) 2 n < 0, 05, откуда n > 2000. 8. Оценить с помощью неравенства Чебышёва вероятность того, что при бросании 10 игральных костей сумма очков отклонится от математического ожидания меньше, чем на 8. Указание. Пусть ξ – сумма очков при бросании 10 игральных костей. Легко понять,что ξ = 10 P i=1 ξ i , где ξ i – количество очков, выпавших при i-том бросании. Mξ = 10 X i=1 Mξ i , Mξ i = 1 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3, 5; ∀i Mξ = 10 · Mξ i = 35; Dξ = 10 X i=1 Dξ i , т.к. ξ – независимы Dξ i = M(ξ i ) 2 − (Mξ i ) 2 = 1 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) − (3, 5) 2 = 35 12 ; ∀i 51 Dξ = 10 · Dξ i = 175 6 P {|ξ − 35| < 8} ≥ 1 − 175 6 · 8 2 = 0, 5443. 52 ЗАНЯТИЕ 6. ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется совокуп- ность случайных величин ξ и η — СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР (ξ, η). 2. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ пары случайных величин (двумер- ного случайного вектора) определяется следующим образом F (x, y) = P {ξ < x, η < y}. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. a). 0 ≤ F (x, y) ≤ 1. b). F (x, y) – неубывающая по каждой переменной. c). F (−∞, −∞) = F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0. d). F (+∞, +∞) = 1. e). F (x, +∞) = F ξ (x); F (+∞, y) = F η (y), где F ξ (x), F η (y) – функции распределения координат случайной величины (ξ, η). Случайные величины ξ и η называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если для всех x и y имеет место F (x, y) = F ξ (x) · F η (y). 3. ДВУМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Пусть x 1 , x 2 , ..., x m – возможные значения случайной величины ξ , а y 1 , y 2 , ..., y n – возможные значения случайной величины η. 53 Пусть p ij = P {ξ = x i ; η = y j }. Очевидно, p ij ≥ 0 и m X i=1 n X j=1 p ij = 1 Закон распределения такой двумерной случайной величины (ξ, η) зада- ется таблицей (матрицей): x i@ @ @@ y j y 1 y 2 y 3 ... y n x 1 p 11 p 12 p 13 ... p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 ... p 2n ... ... ... ... ... ... x m p m1 p m2 p m3 ... p mn Причем n X j=1 p ij = p i = P {ξ = x i } и m X i=1 p ij = p j = P {η = y j } Дискретные случайные величины ξ и η будут НЕЗАВИСИМЫМИ, если выполняется условие p ik = P {ξ = x i , η = y k } = P {ξ = x i } · P {η = y k } = p i · p k для любых i = 1, 2, ..., m; k = 1, 2, ..., n. 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Закон распределения непрерывной двумерной случайной величины мо- жет быть задан ПЛОТНОСТЬЮ ВЕРОЯТНОСТИ f (x, y) = lim ∆x→0, ∆y→0 P {x < ξ < x + ∆x, y < η < y + ∆y} ∆x∆y , 54 или ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ F (x, y). Плотность вероятности и функция распределения связаны соотношени- ями F (x, y) = x Z −∞ y Z −∞ f (u, v)dudv f (x, y) = ∂ 2 F (x, y) ∂x∂y . СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ. 1. f (x, y) ≥ 0; 2. +∞ R −∞ +∞ R −∞ f (x, y)dxdy = 1; 3. f ξ (x) = +∞ R −∞ f (x, y)dy, f η (y) = +∞ R −∞ f (x, y)dx. 4. Вероятность попадания случайной величины в некоторую область D есть P {(ξ, η) ∈ D} = Z Z D f (x, y)dxdy. Для независимых случайных величин f (x, y) = f ξ (x) · f η (y) 5. УСЛОВНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ распределения случайной величины η при условии, что случайная величина ξ приняла значение x называется функция f (y/x) = f (x, y) f ξ (x) . Аналогично, 55 f (x/y) = f (x, y) f η (y) – условная плотность распределения случайной величины ξ при условии, что η приняла значение y. Для дискретных случайных величин условные вероятности по опреде- лению равны P (ξ = x i /η = y k ) = P (ξ = x i , η = y k ) P (η = y k ) , ∀i 6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВ- НОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. По известным плотностям f ξ (x) и f η (y) можно найти математические ожидания и дисперсии ξ и η. Mξ = +∞ Z −∞ xf ξ (x)dx; Dξ = +∞ Z −∞ (x − Mξ) 2 f ξ (x)dx. Аналогично для Mη и Dη. Иногда удобнее использовать следующие формулы Mξ = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ xf (x, y)dxdy; Mη = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ yf (x, y)dxdy; 56 Dξ = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ x 2 f (x, y)dxdy − (Mξ) 2 Dη = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ (y − Mη) 2 f (x, y)dxdy. Интегрирование ведется по областям возможных значений системы (ξ, η). Кроме математического ожидания и дисперсии рассматривают еще и другие числовые характеристики всей системы. НАЧАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ k-го порядка α l,m системы случайных ве- личин (ξ, η) называется математическое ожидание произведения ξ l ·η m , где l + m = k α l,m = M [ξ l · η m ]. ЦЕНТРАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ k-го порядка β l,m системы называется M [(ξ − Mξ) l · (η − Mη) m ], l + m = k. Таким образом, для дискретных случайных величин α l,m = X i X j x l i · y m j · p ij ; β l,m = X i X j (x i − M ξ ) l (y j − M η ) m · p ij . Для непрерывных случайных величин α l,m = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ x l y m f (x, y)dxdy; 57 β l,m = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ (x − M ξ ) l (y − M η ) m f (x, y)dxdy. С помощью этих числовых характеристик можно выразить основные числовые характеристики координат системы (ξ, η) Mξ = α 1,0 = M(ξ 1 · η 0 ) = µ ξ ; Mη = α 0,1 = M (ξ 0 · η 1 ) = µ η ; Dξ = β 2,0 = M [(ξ − Mξ) 2 · (η − Mη) 0 ] = σ 2 ξ ; Dη = β 0,2 = M[(ξ − M ξ ) 0 · (η − Mη) 2 ] = σ 2 η . Второй смешанный центральный момент β 1,1 = M [(ξ − Mξ) · (η − Mη)] = K ξ,η = cov(ξ, η), называется КОРРЕЛЯЦИОННЫМ МОМЕНТОМ, или КОВАРИАЦИ- ЕЙ. Для дискретных случайных величин cov(ξ, η) = X i X j (x i − Mξ)(y j − Mη)p ij . Для непрерывных случайных величин cov(ξ, η) = +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ (x − Mξ)(y − Mη)f (x, y)dxdy. Ковариация является характеристикой зависимости между случайными величинами. 58 Если ξ и η НЕЗАВИСИМЫ, то cov(ξ, η) = 0. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если ξ и η имеют двумерное нормальное распределение, то из условия cov(ξ, η) = 0, следует независимость ξ и η. Величина r ξ,η = cov(ξ, η) σ ξ · σ η называется КОЭФФИЦИЕНТОМ КОРРЕЛЯЦИИ −1 ≤ r ξ,η ≤ 1. Если r ξ,η = 0, то говорят, что случайные величины ξ и η НЕКОРРЕЛИ- РОВАННЫ. Коэффициент корреляции характеризует степень приближения зависи- мости между случайными величинами к ЛИНЕЙНОЙ. ЗАДАЧИ. 1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной величины (ξ, η) x i@ @ @@ y j 3 10 12 4 0, 17 0, 13 0, 25 5 0, 10 0, 30 0, 05 Составить законы распределения ξ и η. Найти P {η ≥ 4} и Mη. Ответ. Законы распределения ξ и η: x i 4 5 p i 0, 55 0, 45 59 y j 3 10 12 p j 0, 27 0, 43 0, 30 P {η ≥ 4} = P {η = 10} + P {η = 12} = 0, 73, Mη = 3 · 0, 27 + 10 · 0, 43 + 12 · 0, 3 = 8, 71. 2. Задана двумерная непрерывная случайная величина (ξ, η). Известно, что 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; f (x, y) = const. Найти плотность распределения f (x, y), плотности f ξ (x) и f η (y), прове- рить независимость ξ и η. Решение. Т.к. f (x, y) = c – постоянная, то (ξ, η) имеет двумерное рав- номерное распределение в области 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1 : f (x, y) = 1, 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; 0, в противном случае. f ξ (x) = 1 R 0 f (x, y)dy = 1 R 0 dy = 1, 0 ≤ x ≤ 1; 0, x < 0, x > 1. аналогично f η (y) = 1, 0 ≤ y ≤ 1; 0, y < 0, y > 1. f (x, y) = f ξ (x) · f η (y), значит ξ и η независимы. 3. Заданы плотности распределения независимых составляющих непре- рывной двумерной случайной величины (ξ, η) 60 f ξ (x) = 0, x < 0; 5e−5x, x ≥ 0. и f η (y) = 0, y < 0; 2e−2y, y ≥ 0. Найти плотность распределения и функцию распределения системы. Ответ. f (x, y) = f ξ (x) · f η (y) = 10e−5x − 2y, x ≥ 0, y ≥ 0; 0, при x < 0 или y < 0. F (x, y) = 0, при x < 0 или y < 0; (1 − e−5x)(1 − e−2y), x > 0 и y > 0. 4. Задана функция распределения двумерной случайной величины F (x, y) = 1 − 3−x − 3−y + 3−x − y, (x > 0, y > 0); 0, при x ≤ 0 или y ≤ 0. Найти двумерную плотность распределения f (x, y). Ответ. f (x, y) = ∂ 2 F (x, y) ∂x ∂y , f (x, y) = (ln 3) 2 · 3−x − y, x ≥ 0; y ≥ 0; 0, при x < 0 или y < 0. 5. Случайная величина (ξ, η) распределена равномерно внутри треуголь- ника с вершинами в точках O(0, 0), A(0, 8), B(8, 0). 61 Найти f (x, y), f ξ (x), f η (y), f (x/y), f (y/x). Решение. Т.к. (ξ, η) имеет двумерное равномерное распределение в тре- угольнике OAB, ограниченном прямыми: x = 0, y = 0, y = 8 − x, то f (x, y) = 1 32, 0 ≤ x ≤ 8; 0 ≤ y ≤ 8 − x; 0, в противном случае. f ξ (x) = 8−x R 0 f (x, y)dy = 1 32(8 − x), 0 ≤ x ≤ 8; 0, x < 0, x > 8. аналогично, f η (y) = 1 32(8 − y), 0 ≤ y ≤ 8; 0, y < 0, y > 8. f (x/y) = f (x, y) f η (y) = 1 8 − y , x < 8 − y; 0, x > 8 − y f (y/x) = f (x, y) f ξ (x) = 1 8 − x, y < 8 − y; 0, y > 8 − x. 6. Задана дискретная двумерная случайная величина (ξ, η) x i@ @ @@ y j 2 5 8 0, 4 0, 15 0, 30 0, 35 0, 8 0, 05 0, 12 0, 03 Найти условный закон распределения случайной величины η при усло- вии, что ξ приняла значение x = 0, 4. Ответ. y j /ξ = 0, 4 2 5 8 q j 0, 15 0, 8 0, 30 0, 8 0, 35 0, 8 62 q j = P {η = y j /ξ = 0, 4} = P {η = y j , ξ = 0, 4} P {ξ = 0, 4} , 3 X i=1 q j = 1, P {ξ = 0, 4} = 0, 15 + 0, 30 + 0, 35 = 0, 8. 7. Задана двумерная случайная величина (ξ, η) x i@ @ @@ y j −1 0 1 −2 0, 05 0, 14 0, 01 −1 0, 10 0, 17 0, 03 0 0, 15 0, 29 0, 06 Являются ли ξ и η зависимыми? Решение. Ответ на этот вопрос можно получить разными методами. Рас- смотрим два из них. I. Найдем одномерные законы распределения ξ и η и проверим равенства P {ξ = x i , η = y j } = P {ξ = x i } · P {η = y j } для всех i и j. Если для каких-либо i и j равенство не имеет места, то ξ и η зависимы. Найдем, например, P {ξ = −1} = 0, 3; P {η = −1} = 0, 3; P {ξ = −1, η = −1} = 0, 1 0, 1 6= 0, 3 · 0, 3 значит, ξ и η зависимы. II. Если условное распределение случайной величины не совпадает с её безусловным распределением, то случайные величины зависимы. Например, найдем безусловное распределение η y j −1 0 1 p j 0, 3 0, 6 0, 1 63 и условное распределение η при условии, что ξ приняла значение x = −1: y j /ξ = −1 −1 0 1 q j 0,1 0,3 0,17 0,3 0,03 0,3 (P {ξ = −1} = 0, 3) Из сравнения полученных законов видно,что они не совпадают, следо- вательно, ξ и η зависимы. 8. Двумерная случайная величина (ξ, η) имеет закон распределения с плотностью f (x, y) = Axy в треугольнике, ограниченном прямыми x + y − 1 = 0, x = 0, y = 0. Найти: а) величину A; б) Mξ и Mη; в) Dξ и Dη; г) cov(ξ, η); д) r ξη Решение. а) Из условия +∞ Z −∞ +∞ Z −∞ f (x, y)dxdy = 1 получаем 1 Z 0 1−x Z 0 A x y dx dy = A 1 Z 0 x (1 − x) 2 2 dx = A 24 = 1, откуда A = 24; б) Mξ = 24 1 Z 0 1−x Z 0 x x y dx dy = 2 5 , Mη = 24 1 Z 0 1−y Z 0 y x y dx dy = 2 5 ; в) 64 Dξ = 24 1 Z 0 1−x Z 0 µ x − 2 5 ¶ 2 x y dx dy = 1 25 , Dη = 24 1 Z 0 1−y Z 0 µ y − 2 5 ¶ 2 x y dx dy = 1 25 ; г) cov(ξ, η) = 24 1 Z 0 1−x Z 0 µ x − 2 5 ¶ µ y − 2 5 ¶ x y dx dy = − 2 75 ; д) r ξη = cov(ξ, η) √ Dξ · √ Dη = − 2 · 25 75 = − 2 3 . Коэффициент корреляции отрицательный, значит с ростом одной слу- чайной величины другая уменьшается. ЗАМЕЧАНИЕ. Можно использовать для вычисления ковариации более удобную формулу: cov(ξ, η) = β 1,1 = M[(ξ −Mξ)·(η −Mη)] = M[ξ ·η]−Mξ ·Mη = α 1,1 −µ ξ ·µ η 65 ЛИТЕРАТУРА 1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977. 2. Фастовец Н.О. Элементы теории вероятностей и математической ста- тистики. М.: МИНХиГП, 1991. 3. Теория вероятностей. Вып. XVI. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. 4. Калинин В.В., Фастовец Н.О. Вероятность в примерах и задачах (для нефтегазового образования) М.: ФГУП Изд-во "Нефть и газ" РГУ нефти и газа им.И.М. Губкина, 2004. 5. Писаревский Б.М., Сухарев М.Г., Фастовец Н.О. Задачи и упражне- ния по применению теории вероятностей в нефтегазовой промышленности. М.: МИНХиГП им И.М. Губкина, 1981. 6. Высшая математика. Специальные разделы: Решебник; Под ред. А.И.Кириллова, М.: Физматлит, 2001. 7. Сборник задач по высшей математике. Т.2./ К.Н.Лунгу, В.П. Норин, Д.Т. Письменный и др. М.: Айрес Пресс, 2004. 66 Приложение I Плотность стандартного нормального распределения φ(x) = 1 √ 2π e− x 2 2 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,399 0,399 0,399 0,399 0,399 0,398 0,398 0,398 0,398 0,397 0,1 0,397 0,397 0,396 0,396 0,395 0,394 0,394 0,393 0,393 0,392 0,2 0,391 0,390 0,389 0,389 0,388 0,387 0,386 0,385 0,384 0,383 0,3 0,381 0,380 0,379 0,378 0,377 0,375 0,374 0,373 0,371 0,370 0,4 0,368 0,367 0,365 0,364 0,362 0,361 0,359 0,357 0,356 0,354 0,5 0,352 0,350 0,348 0,347 0,345 0,343 0,341 0,339 0,337 0,335 0,6 0,333 0,331 0,329 0,327 0,325 0,323 0,321 0,319 0,317 0,314 0,7 0,312 0,310 0,308 0,306 0,303 0,301 0,299 0,297 0,294 0,292 0,8 0,290 0,287 0,285 0,283 0,280 0,278 0,276 0,273 0,271 0,268 0,9 0,266 0,264 0,261 0,259 0,256 0,254 0,252 0,249 0,247 0,244 1,0 0,242 0,240 0,237 0,235 0,232 0,230 0,227 0,225 0,223 0,220 1,1 0,218 0,215 0,213 0,211 0,208 0,206 0,204 0,201 0,199 0,197 1,2 0,194 0,192 0,190 0,187 0,185 0,183 0,180 0,178 0,176 0,174 1,3 0,171 0,169 0,167 0,165 0,163 0,160 0,158 0,156 0,154 0,152 1,4 0,150 0,148 0,146 0,144 0,141 0,139 0,137 0,135 0,133 0,131 1,5 0,130 0,128 0,126 0,124 0,122 0,120 0,118 0,116 0,115 0,113 1,6 0,111 0,109 0,107 0,106 0,104 0,102 0,101 0,099 0,097 0,096 1,7 0,094 0,092 0,091 0,089 0,088 0,086 0,085 0,083 0,082 0,080 1,8 0,079 0,078 0,076 0,075 0,073 0,072 0,071 0,069 0,068 0,067 1,9 0,066 0,064 0,063 0,062 0,061 0,060 0,058 0,057 0,056 0,055 2,0 0,054 0,053 0,052 0,051 0,050 0,049 0,048 0,047 0,046 0,045 2,1 0,044 0,043 0,042 0,041 0,040 0,040 0,039 0,038 0,037 0,036 2,2 0,035 0,035 0,034 0,033 0,032 0,032 0,031 0,030 0,030 0,029 2,3 0,028 0,028 0,027 0,026 0,026 0,025 0,025 0,024 0,023 0,023 2,4 0,022 0,022 0,021 0,021 0,020 0,020 0,019 0,019 0,018 0,018 2,5 0,018 0,017 0,017 0,016 0,016 0,015 0,015 0,015 0,014 0,014 2,6 0,014 0,013 0,013 0,013 0,012 0,012 0,012 0,011 0,011 0,011 2,7 0,010 0,010 0,010 0,010 0,009 0,009 0,009 0,009 0,008 0,008 2,8 0,008 0,008 0,007 0,007 0,007 0,007 0,007 0,006 0,006 0,006 2,9 0,006 0,006 0,006 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 3,0 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,003 0,003 67 Приложение II Функция распределения стандартного нормального закона F ∗ (x) = 1 √ 2π x R −∞ e− t 2 2 dt x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 68 Приложение III Функция e−x x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 1,0000 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,9139 0,1 0,9048 0,8958 0,8869 0,8781 0,8694 0,8607 0,8521 0,8437 0,8353 0,8270 0,2 0,8187 0,8106 0,8025 0,7945 0,7866 0,7788 0,7711 0,7634 0,7558 0,7483 0,3 0,7408 0,7334 0,7261 0,7189 0,7118 0,7047 0,6977 0,6907 0,6839 0,6771 0,4 0,6703 0,6637 0,6570 0,6505 0,6440 0,6376 0,6313 0,6250 0,6188 0,6126 0,5 0,6065 0,6005 0,5945 0,5886 0,5827 0,5769 0,5712 0,5655 0,5599 0,5543 0,6 0,5488 0,5434 0,5379 0,5326 0,5273 0,5220 0,5169 0,5117 0,5066 0,5016 0,7 0,4966 0,4916 0,4868 0,4819 0,4771 0,4724 0,4677 0,4630 0,4584 0,4538 0,8 0,4493 0,4449 0,4404 0,4360 0,4317 0,4274 0,4232 0,4190 0,4148 0,4107 0,9 0,4066 0,4025 0,3985 0,3946 0,3906 0,3867 0,3829 0,3791 0,3753 0,3716 1,0 0,3679 0,3642 0,3606 0,3570 0,3535 0,3499 0,3465 0,3430 0,3396 0,3362 1,1 0,3329 0,3296 0,3263 0,3230 0,3198 0,3166 0,3135 0,3104 0,3073 0,3042 1,2 0,3012 0,2982 0,2952 0,2923 0,2894 0,2865 0,2837 0,2808 0,2780 0,2753 1,3 0,2725 0,2698 0,2671 0,2645 0,2618 0,2592 0,2567 0,2541 0,2516 0,2491 1,4 0,2466 0,2441 0,2417 0,2393 0,2369 0,2346 0,2322 0,2299 0,2276 0,2254 1,5 0,2231 0,2209 0,2187 0,2165 0,2144 0,2122 0,2101 0,2080 0,2060 0,2039 1,6 0,2019 0,1999 0,1979 0,1959 0,1940 0,1920 0,1901 0,1882 0,1864 0,1845 1,7 0,1827 0,1809 0,1791 0,1773 0,1755 0,1738 0,1720 0,1703 0,1686 0,1670 1,8 0,1653 0,1637 0,1620 0,1604 0,1588 0,1572 0,1557 0,1541 0,1526 0,1511 1,9 0,1496 0,1481 0,1466 0,1451 0,1437 0,1423 0,1409 0,1395 0,1381 0,1367 2,0 0,1353 0,1340 0,1327 0,1313 0,1300 0,1287 0,1275 0,1262 0,1249 0,1237 2,1 0,1225 0,1212 0,1200 0,1188 0,1177 0,1165 0,1153 0,1142 0,1130 0,1119 2,2 0,1108 0,1097 0,1086 0,1075 0,1065 0,1054 0,1044 0,1033 0,1023 0,1013 2,3 0,1003 0,0993 0,0983 0,0973 0,0963 0,0954 0,0944 0,0935 0,0926 0,0916 2,4 0,0907 0,0898 0,0889 0,0880 0,0872 0,0863 0,0854 0,0846 0,0837 0,0829 2,5 0,0821 0,0813 0,0805 0,0797 0,0789 0,0781 0,0773 0,0765 0,0758 0,0750 2,6 0,0743 0,0735 0,0728 0,0721 0,0714 0,0707 0,0699 0,0693 0,0686 0,0679 2,7 0,0672 0,0665 0,0659 0,0652 0,0646 0,0639 0,0633 0,0627 0,0620 0,0614 2,8 0,0608 0,0602 0,0596 0,0590 0,0584 0,0578 0,0573 0,0567 0,0561 0,0556 2,9 0,0550 0,0545 0,0539 0,0534 0,0529 0,0523 0,0518 0,0513 0,0508 0,0503 3,0 0,0498 0,0493 0,0488 0,0483 0,0478 0,0474 0,0469 0,0464 0,0460 0,0455 69 Учебно-методическое пособие СОБОЛЕВА Татьяна Сергеевна ФАСТОВЕЦ Нинель Олеговна РУСЕВ Владимир Николаевич МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Теория вероятностей ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТА АиВТ IV семестр Редактор В.В. Калинин Компьютерный набор и верстка В.Н. Русев Подписано в печать 12.07.2006. Формат 60x90 1/16. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. п.л. 4,4 Тираж 300 экз. Заказ № Отдел оперативной полиграфии РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина 119991, Москва, Ленинский просп., 65 |