Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике теория вероятностей для факультета аивт iv семестр Москва 2006
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ НЕФТИ И ГАЗА им. И.М. ГУБКИНА Кафедра высшей математики Т.С. СОБОЛЕВА, Н.О. ФАСТОВЕЦ, В.Н. РУСЕВ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Теория вероятностей ДЛЯ ФАКУЛЬТЕТА АиВТ IV семестр Москва 2006 УДК 519.2 C 54 Рецензенты: П. А. Виленкин, к.ф.-м.н., кафедра теории вероятностей и математиче- ской статистики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова Н. Г. Гамкрелидзе, д.ф.-м.н., кафедра высшей математики факультета ав- томатики и вычислительной техники РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина C 54 Соболева Т.С., Фастовец Н.О., Русев В.Н. Методические рекомендации к практическим занятиям по выс- шей математике: Теория вероятностей. Для факультета АиВТ (IV се- местр). – М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2006. – 69с. Пособие входит в серию учебно-методических изданий по курсу высшей ма- тематики. В сжатой форме изложены основные понятия и факты, связанные с клас- сической вероятностью. Включено большое количество подробно решенных задач. Для студентов факультета АиВТ, а также магистрантов, аспирантов, научных работников, занимающихся исследованиями, связанными с применением математи- ческих методов. © Соболева Т.С., Фастовец Н.О., Русев В.Н., 2006 © РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2006 СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЕ 1..................................................................................................5 Алгебра событий. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность и формула Байеса. Задачи. .........................................................................................................11 ЗАНЯТИЕ 2.................................................................................................17 Случайная величина. Числовые характеристики случайных величин. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность распределения. Задачи. ........................................................................................................21 ЗАНЯТИЕ 3.................................................................................................25 Законы распределения случайных величин. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Равномерное и экспоненциальное распределения. Задачи. ........................................................................................................28 ЗАНЯТИЕ 4.................................................................................................34 Нормальное распределение. Правило трех сигм. Теоремы Муавра – Лапласа Задачи. ........................................................................................................37 3 ЗАНЯТИЕ 5.................................................................................................45 Сходимость по вероятности. Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел в форме Чебышёва и Бернулли. Задачи. ........................................................................................................46 ЗАНЯТИЕ 6.................................................................................................53 Двумерные случайные величины. Функция распределения двумерной случайной величины. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Задачи. .........................................................................................................59 ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................66 Таблицы........................................................................................................67 Приложение I. ϕ(x) = 1 √ 2π e− x 2 2 ...............................................................67 Приложение II. F ∗ (x) = 1 √ 2π x R −∞ e− t 2 2 dt.......................................................68 Приложение III. e−x....................................................................................69 4 ЗАНЯТИЕ 1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ И ФОРМУЛА БАЙЕСА. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ИСХОДОМ (ЭЛЕМЕНТАРНЫМ СОБЫТИЕМ) называется любой простейший исход опыта. Множество всех элементар- ных исходов данного опыта называется ПРОСТРАНСТВОМ ЭЛЕМЕН- ТАРНЫХ ИСХОДОВ. ЗАМЕЧАНИЕ. Множество исходов опыта образует пространство элементарных исхо- дов, если выполнены следующие условия: – в результате опыта один из исходов обязательно происходит; – появление одного из исходов опыта исключает появление остальных; – в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на бо- лее мелкие составляющие. Пространство элементарных исходов обозначается Ω, сами элементар- ные исходы обозначают ω , снабженными, при необходимости, индексами. Ω = {ω 1 , ω 2 , ..., ω n , ...} 2. Любой набор элементарных исходов (произвольное подмножество пространства элементарных исходов) называется СОБЫТИЕМ и обозна- чается A, B, ... Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называются ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ИСХОДАМИ, БЛАГОПРИЯТСТВУЮЩИМИ данному СОБЫТИЮ, или ОБРАЗУЮ- ЩИМИ это СОБЫТИЕ. 5 3. Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т. е. которое обя- зательно происходит в данном опыте, называется ДОСТОВЕРНЫМ СО- БЫТИЕМ и обозначается Ω. Событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называется НЕВОЗМОЖНЫМ СОБЫТИЕМ. Невозможное событие обозначается ∅. 4. ПЕРЕСЕЧЕНИЕМ (ПРОИЗВЕДЕНИЕМ) двух событий A и B назы- вается событие C, происходящее тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события A и B. Событие C состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию A, и событию B. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ обозначается C = A ∩ B или C = AB. 5. События A и B называются НЕСОВМЕСТНЫМИ, или НЕПЕРЕСЕ- КАЮЩИМИСЯ, если их пересечение является НЕВОЗМОЖНЫМ СО- БЫТИЕМ, т.е. AB = ∅. 6. ОБЪЕДИНЕНИЕМ (СУММОЙ) двух событий A и B называется со- бытие C, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий A или B. ОБЪЕДИНЕНИЕ обозначается A ∪ B или A + B. 7. РАЗНОСТЬЮ двух событий A и B называется событие C, происхо- дящее тогда и только тогда, когда происходит событие A, но не происходит событие B. РАЗНОСТЬ обозначается A \ B или A − B. 8. ДОПОЛНЕНИЕМ события A (обычно обозначается A ) называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда НЕ происходит событие A. Событие A = Ω \ A также еще называется событием, ПРОТИВОПО- 6 ЛОЖНЫМ событию A. 9. Событие A ВКЛЮЧЕНО в событие B, (записывают это A ⊂ B), если появление события A обязательно влечет за собой наступление события B. Часто удобно представлять события в виде ДИАГРАММЫ Эйлера– Венна. 10. СИГМА-АЛГЕБРОЙ (<) называется непустая система подмножеств некоторого множества, удовлетворяющая следующим условиям: – если некоторое множество принадлежит <, то и его дополнение при- надлежит <; – если некоторые подмножества (в счетном числе) принадлежат <, то их объединение и пересечение тоже принадлежат <. Каждому элементарному исходу ω в данном опыте можно поставить в соответствие некоторое действительное число p(ω) – вероятность осуществ- ления этого исхода, потребовав выполнения следующих аксиом: 1) 0 ≤ p(ω) ≤ 1; 2) X ω i ∈ Ω p(ω i ) = 1; 3) p(A) = X ω i ∈A p(ω i ). В классическом определении вероятности исходят из того, что ПРО- СТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИСХОДОВ Ω содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. 11. Пусть N – общее число равновозможных элементарных исходов в Ω, а N A – число элементарных исходов, образующих событие A (число элементарных исходов, БЛАГОПРИЯТСТВУЮЩИХ событию A). 7 ВЕРОЯТНОСТЬЮ события A называется отношение p(A) = N A N . Данное определение называется КЛАССИЧЕСКИМ ОПРЕДЕЛЕНИ- ЕМ ВЕРОЯТНОСТИ. 12. Пусть каждому событию A (т.е. подмножеству A пространства эле- ментарных исходов Ω, принадлежащему сигма-алгебре <) поставлено в со- ответствие число p(A). Числовую функцию p называют ВЕРОЯТНОСТЬЮ (или ВЕРОЯТ- НОСТНОЙ МЕРОЙ, если она удовлетворяет аксиомам: 1) p(A) ≥ 0; 2) p(Ω) = 1; 3) p(A 1 + ... + A n + ...) = p(A 1 ) + ... + p(A n ) + ..., где события A 1 , A 2 , ... попарно несовместны. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам: 1. Вероятность противоположного события p(A) = 1 − p(A). 2. Вероятность невозможного события p(∅) = 0. 3. Если A ⊂ B, то p(A) ≤ p(B). 4. Вероятность заключена в пределах 0 ≤ p(A) ≤ 1. 8 5. Вероятность суммы двух событий p(A + B) = p(A) + p(B) − p(AB). Последнее свойство называется ТЕОРЕМОЙ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТ- НОСТЕЙ. 13. УСЛОВНОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ события A при условии (наступ- ления) события B называется отношение вероятности ПЕРЕСЕЧЕНИЯ со- бытий A и B к вероятности события B p(A/B) = p(AB) p(B) , (p(B) 6= 0). События A и B называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если p(A/B) = p(A), или p(B/A) = p(B) В противном случае события A и B ЗАВИСИМЫ. Из определения условной вероятности следует формула УМНОЖЕНИЯ вероятностей. p(AB) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A). Для независимых событий эта формула имеет вид p(AB) = p(A)p(B). 14. Пусть события H 1 , H 2 , ..., H n являются 1) ПОПАРНО НЕСОВМЕСТНЫМИ, т.е. H i H j = ∅, i 6= j, 9 2) хотя бы одно из них в результате опыта обязательно происходит, т.е. H 1 ∪ H 2 ∪ ... ∪ H n = Ω. Такие события называются ГИПОТЕЗАМИ. ТЕОРЕМА. Пусть для некоторого события A и гипотез H 1 , H 2 , ...H n известны p(H 1 ), ..., p(H n ) и p(A/H 1 ), ..., p(A/H n ) , n P i=1 p(H i ) = 1. Тогда вероятность p(A) определяется по формуле p(A) = p(H 1 )p(A/H 1 ) + ... + p(H n )p(A/H n ), которую называют ФОРМУЛОЙ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. Пусть событие A может произойти вместе с одной из гипотез H i , i = 1, 2, ..., n и известны вероятности p(H 1 ), ..., p(H n ) и вероятности p(A/H 1 ), ..., p(A/H n ), n P i=1 p(H i ) = 1. Тогда условные вероятности p(H i /A), i = 1, 2, ..., n определяются фор- мулой БАЙЕСА: p(H i /A) = p(H i )p(A/H i ) p(H 1 )p(A/H 1 ) + ... + p(H n )p(A/H n ) . При этом n P i=1 p(H i /A) = 1. 15. Для вычисления вероятностей событий в задачах с применением классического определения вероятности иногда приходится использовать формулы комбинаторики. Пусть множество X состоит из n элементов. ПЕРЕСТАНОВКИ – линейно упорядоченные наборы из n элементов множества X, отличающиеся порядком элементов. Таких различных наборов будет P n = n! 10 РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ – линейно упорядоченные набо- ры из k различных элементов множества X, причем важен их порядок. Таких различных наборов будет A k n = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) = n! (n − k)! . РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ – линейно упорядоченные набо- ры из k элементов множества X, причем важен их порядок, а элементы могут повторяться. Таких различных наборов будет b A k n = n k . СОЧЕТАНИЯ – линейно упорядоченные наборы из k различных эле- ментов множества X, причем их порядок не важен. Таких различных на- боров будет C k n = n! k!(n − k)! . ЗАДАЧИ. 1. Даны события A, B, C. Выразить через эти события следующие со- бытия: а) Произошло только событие A. Ответ. D = AB C. б) Произошло хотя бы одно событие. Ответ. E = A + B + C (или AB C + ABC + A BC + ABC + ABC + ABC + ABC.) в) Не произошло ни одного события. Ответ. M = A B C. 11 г) Найти вероятность того, что произошло хотя бы одно событие. Ответ. p(A + B + C) = 1 − p(A B C). 2. Электрическая цепь состоит из 4-х узлов, соединенных последователь- но, которые выходят из строя независимо друг от друга. Прибор выходит из строя, когда выходит из строя хотя бы один узел. Вероятность выхода из строя любого узла равна p = 0, 05. Найти вероятность работы прибора и вероятность выхода прибора из строя. Решение. События A, B, C, D – узлы 1-й, 2-й, 3-й, 4-й работают. Событие E – рабочее состояние системы: E = ABCD; E – систе- ма вышла из строя. События A, B, C, D независимы, следовательно p(ABCD) = p(A)p(B)p(C)p(D). Вероятность работы узла 1 − p = 0, 95. Отсюда p(E) = 0, 95 4 . p(E) = 1 − 0, 95 4 , т.к. p(E) + p(E) = 1. 3. Пусть теперь 4 узла электрической цепи соединены параллельно. Най- ти вероятность выхода из строя и вероятность работы цепи. Ответ. Событие E – рабочее состояние системы. p(E) = p(A)p(B)p(C)p(D) = 0, 05 4 ; p(E) = 1 − 0, 05 4 . 4. Пусть система 3-х узлов электрической цепи состоит из двух узлов, соединенных последовательно и одного узла, соединенных с первыми двумя параллельно. Пусть событие A состоит в том, что первый узел работает, B – работает второй узел, C – работает третий узел. Вероятности этих событий соответственно равны p(A) = 0, 9, p(B) = 0, 8, p(C) = 0, 7. Найти вероятность работы цепи. Решение. Событие E – работа цепи – может быть представлено в виде E = AB + C. События A, B, C – независимы. Поэтому p(E) = p(AB + C) = p(AB) + p(C) − p(ABC) = 12 = p(A)p(B) + p(C) − p(ABC) = 0, 9 · 0, 8 + 0, 7 − 0, 9 · 0, 8 · 0, 7 = 0, 916. 5. Составляется 7 - значный номер телефона. (Номер, состоящий цели- ком из нулей, считать возможным.) Найти вероятность того, что: а) A – все цифры в номере будут различными; б) B – все цифры в номере будут четными. Ответ. p(A) = A 7 10 10 7 ; p(B) = 5 7 10 7 В данной задаче используется классическое определение вероятности, основанное на равновозможности всех исходов опыта. 6. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. Случайным обра- зом отобрали 9 студентов. Какова вероятность: а) среди них 5 отличников? б) среди них не менее 5-ти отличников? Ответ. а) Всего равновозможных исходов C 9 12 ; благоприятных исходов C 5 8 · C 4 12−8 . Отсюда p = C 5 8 · C 4 4 C 9 12 б) Благоприятными будут: "или 5", "или 6", "или 7", "или 8". Поэтому искомая вероятность будет |