Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике теория вероятностей для факультета аивт iv семестр Москва 2006

• Название: Методические рекомендации к практическим занятиям по высшей математике теория вероятностей для факультета аивт iv семестр Москва 2006
• Дата: 23.05.2022
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: ver-metod (1).pdf
• Тип: Методические рекомендации; #546006
• страница: 2 из 3

p =
C
5 8
· C
4 4
+ C
6 8
· C
3 4
+ C
7 8
· C
2 4
+ C
8 8
· C
1 4
C
9 12
.
7. В ящике 30 красных шариков и 6 синих. Наугад вынимают 3 шарика.
Какова вероятность, что все 3 красные? Какова вероятность, что хотя бы
1 красный?
13

Ответ.
p
1
=
C
3 30
C
3 36
; p
2
= 1 −
C
3 6
C
3 36
.
8. В первой урне 2 белых и 10 черных шаров. Во второй урне 8 белых и
4 черных шара. Из каждой урны вынули наугад по одному шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Ответ. Событие A – белый шар из 1-ой урны; событие B – белый шар из второй урны. События A и B независимы. Событие C = AB – оба белые.
p(AB) = p(A)p(B) =
2 12 8
12 9. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Вынули один шар. Потом второй.
Какова вероятность, что оба белые?
Ответ. Событие A - появление белого шара при первом опыте,
p(A) =
6 14
. Событие B – появление белого шара при втором опыте. Собы- тие C = AB – оба шара белые. События A и B зависимы.
p(B/A) =
6 − 1 14 − 1
.
Отсюда
p(C) = p(A)p(B/A) =
6 14
·
5 13
.
10. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее извлечен один шар. Найти вероятность того, что это белый шар, если равновозможны все предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.
Ответ. Гипотезы : H
1
– белых шаров не было, H
2
– один белый шар,
H
3
– два белых шара.
p(H
1
) = 1/3; p(H
2
) = 1/3; p(H
3
) = 1/3.
14

Событие C – извлечен белый шар.
p(C) = p(H
1
)p(C/H
1
) + p(H
2
)p(C/H
2
) + p(H
3
)p(C/H
3
) =
= 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 3/3.
11. На компрессорной станции магистрального газопровода установлено
6 газоперекачивающих агрегата. Каждый из них может выйти из строя за время T независимо от остальных с вероятностью 0,1. Если вышел из строя один ГПА, перебои в снабжении потребителей происходят с вероятностью
0,6.
Если два и более – с вероятностью 1. Какова вероятность, что за время
T будут иметь место перебои в снабжении из-за неисправности агрегатов?
Ответ. Гипотезы: H
1
– все агрегаты работают; H
2
– вышел из строя один агрегат; H
3
– вышли из строя два и более агрегатов.
p(H
1
) = (1 − 0, 1)
6
= (0, 9)
6
; p(H
2
) = C
1 6
· 0, 1 · (0, 9)
5
;
p(H
3
) = 1 − p(H
1
) − p(H
2
).
Событие C – перебои за время T .
p(C) = p(H
1
)p(C/H
1
) + p(H
2
)p(C/H
2
) + p(H
3
)p(C/H
3
) =
= (0, 9)
6
· 0 + 6 · 0, 1 · (0, 9)
5
· 0, 6 + (1 − (0, 9)
6
− 6 · 0, 1 · (0, 9)
5
) · 1.
12. Два завода поставляют трубы для скважин. Первый завод поставил
30 процентов общего количества, и 95 процентов его продукции удовлетво- ряет стандарту. Второй завод поставляет 70 процентов общего количества,
и 90 процентов его продукции удовлетворяет стандарту.
Взятая наудачу труба оказалась нестандартной. Какова вероятность то- го, что она изготовлена на первом заводе?
Ответ. Гипотезы: H
1
– труба с первого завода; H
2
– труба со второго завода. p(H
1
) = 0, 3; p(H
2
) = 0, 7. Событие C – нестандартная труба.
15

p(H
1
/C) =
0, 3 · (1 − 0, 95)
0, 3 · (1 − 0, 95) + 0, 7(1 − 0, 9)
.
13. В первой урне 2 черных и 13 белых шаров. Во второй урне 11 шаров,
из них 4 черные и остальные белые. Из первой урны переложили во вторую
2 шара. Потом наудачу из второй вынули шар. Он оказался черным. Какова вероятность, что из первой урны были переложены один черный и один белый шар?
Решение. H
1
– переложили 2 белых шара; H
2
– переложили 1 черный,
один белый; H
3
– переложили два черных шара. C – вынули ровно один черный шар.
P (H
1
) =
C
2 13
C
2 15
;
P (H
2
) =
C
1 2
· C
1 13
C
2 15
;
P (H
3
) =
C
2 2
C
2 15
;
3
X
i=1
p(H
i
) = 1
P (C/H
1
) = 4/13;
P (C/H
2
) = 5/13;
P (C/H
3
) = 6/13;
P (C) = P (H
1
)P (C/H
1
) + P (H
2
)P (C/H
2
) + P (H
3
)P (C/H
3
);
P (H
2
/C) =
P (H
2
)P (C/H
2
)
P (C)
.
16

ЗАНЯТИЕ 2. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН. ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ФУНКЦИЯ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЛОТНОСТЬ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1. СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ называется функция ξ = ξ(ω), отобра- жающая множество элементарных исходов Ω = {ω} на множество действи- тельных чисел. Случайная величина в результате испытания принимает одно из своих возможных значений.
2. Случайная величина называется ДИСКРЕТНОЙ, если множество ее значений конечно или счетно.
3. Случайная величина называется НЕПРЕРЫВНОЙ, если множество ее значений несчетно и сплошь заполняет некоторый промежуток числовой прямой.
4. ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайной величины называется со- отношение, устанавливающее связь между значениями случайной величи- ны и вероятностями этих значений.
5. ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайной величины называется функция F (x), равная вероятности того, что случайная величина ξ прини- мает значение, меньшее x, где x – любое действительное число
F (x) = p{ξ < x}.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
a). 0 ≤ F (x) ≤ 1, т.к. F (x)− вероятность;
17

b). F (x) неубывающая функция, т.е. при x
1
< x
2
имеем F (x
1
) ≤ F (x
2
)
– в силу накопительного (кумулятивного) характера F (x);
c). F (−∞) = lim
x→−∞
F (x) = 0;
d). F (+∞) = lim
x→+∞
F (x) = 1;
e). p{α ≤ ξ < β} = F (β) − F (α).
6. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан РЯДОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ:
ξ x
1
x
2
x
3
...
p p
1
p
2
p
3
...
X
i
p
i
= 1
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ дискретной случайной величины име- ет вид:
F (x) =
X
x
i

p
i
=
X
x
i

p{ξ = x
i
}.
7. Для непрерывной случайной величины вводится ПЛОТНОСТЬ РАС-
ПРЕДЕЛЕНИЯ f (x):
f (x) = lim
∆x→0
p(x ≤ ξ < x + ∆x)
∆x
= lim
∆x→0
F (x + ∆x) − F (x)
∆x
= F
0
(x),
поэтому функция распределения непрерывной случайной величины име- ет вид:
F (x) =
x
Z
−∞
f (t)dt.
18

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
a). f (x) ≥ 0;
b).
+∞
R
−∞
f (x) dx = 1;
c). p{α ≤ ξ ≤ β} =
β
R
α
f (x) dx.
ЗАМЕЧАНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
p{ξ = x} = F (x + 0) − F (x)
Для непрерывной случайной величины p{ξ = x} = 0, поэтому
p{a ≤ ξ ≤ b} = p{a ≤ ξ < b} = p{a < ξ ≤ b} = p{a < ξ < b}
8. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ
ВЕЛИЧИНЫ.
8.1. МАТЕМАТИЧЕСКИМ ОЖИДАНИЕМ случайной величины (обо- значается Mξ) называется величина, определяемая следующими формула- ми:
Mξ =













P
i
x
i
p
i
– для дискретной случайной величины;
+∞
R
−∞
x · f (x)dx – для непрерывной случайной величины.
Математическое ожидание случайной величины характеризует центр рассеивания случайной величины (среднее значение).
8.2. ДИСПЕРСИЕЙ случайной величины (обозначается Dξ) называется математическое ожидание квадрата отклонения ξ от Mξ:
Dξ = M [(ξ − Mξ)
2
]
19

Определяется Dξ формулами:
Dξ = σ
2
ξ
=













P
i
(x
i
− Mξ)
2
p
i
– для дискретной случайной величины;
∞
R
−∞
(x − Mξ)
2
f (x)dx – для непрерывной случайной величины.
Величина σ
ξ
=
√
Dξ называется СРЕДНИМ КВАДРАТИЧЕСКИМ ОТ-
КЛОНЕНИЕМ.
Дисперсия случайной величины характеризует ее разброс относительно среднего значения.
8.3. СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ СЛУЧАЙ-
НОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
a). MC = C, C = const;
b). M(Cξ) = C · Mξ;
c). M(ξ ± η) = Mξ ± Mη;
d). M(ξη) = Mξ · Mη, если ξ и η – независимые случайные величины.
СЛЕДСТВИЯ.
M (ξ − Mξ) = Mξ − Mξ = 0;
M(aξ + b) = aMξ + b.
8.4. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
a). DC = 0;
b). D(Cξ) = C
2
· Dξ;
c). D(ξ ± η) = Dξ + Dη, если ξ и η независимые случайные величины.
СЛЕДСТВИЯ.
D(aξ + b) = a
2
Dξ;
20

Dξ = M [(ξ − Mξ)
2
] = M[ξ
2
− 2ξ · Mξ + (Mξ)
2
] =
= Mξ
2
− 2Mξ · Mξ + (Mξ)
2
= Mξ
2
− (Mξ)
2
.
8.5. НАЧАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ µ
k
порядка k случайной величины ξ
называется математическое ожидание ξ
k
, т.е. M[ξ
k
]. Величина µ
k
опреде- ляется формулами:
µ
k
=













P
i
x
k
i
p
i
– для дискретной случайной величины;
+∞
R
−∞
x
k
f (x)dx – для непрерывной случайной величины.
8.6. ЦЕНТРАЛЬНЫМ МОМЕНТОМ ν
k
порядка k называется
M [(ξ − Mξ)
k
] и определяется формулами:
ν
k
=













P
i
(x
i
− Mξ)
k
p
i
– для дискретной случайной величины;
+∞
R
−∞
(x − Mξ)
k
f (x)dx – для непрерывной случайной величины.
ЗАМЕЧАНИЕ. Математическое ожидание Mξ является начальным мо- ментом первого порядка (k = 1), Mξ = µ
1
, а дисперсия Dξ - центральным моментом второго порядка, Dξ = ν
2
= µ
2
− (µ
1
)
2
ЗАДАЧИ.
1. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины, равной числу очков, выпадающих на грани игральной кости при одном бросании.
21

2. Может ли функция
ϕ(x) =









0,
x < 0, 1 < x < 2,
x,
0 ≤ x < 1,
1,
x ≥ 2
быть а) плотностью распределения; б) быть функцией распределения?
Ответ. а) нет, б) нет.
3. Для случайной величины ξ задана плотность распределения
f (x) =









0,
x ≤ 0;
kx,
0 ≤ x ≤ 2;
0,
x > 2.
a) Чему равен коэффициент k?
б) Построить функцию распределения этой случайной величины.
в) Нарисовать графики плотности распределения и функции распреде- ления для
η
1
= ξ + 1,
η
2
= (−ξ),
η
3
= 2ξ.
4. Три лампы перегорают независимо за время T с вероятностями
p
1
= 0, 2, p
2
= 0, 4, p
3
= 0, 1
соответственно. Случайная величина ξ равна числу ламп, перегоревших за время T . Найти ряд распределения и функцию распределения этой слу- чайной величины. Построить график функции распределения. Найти ве- роятность того, что ξ ≤ 1. Найти Mξ.
Указание. p{ξ = 0} = 0, 8 · 0, 6 · 0, 9;
p{ξ = 1} = 0, 2 · 0, 6 · 0, 9 + 0, 8 · 0, 4 · 0, 9 + 0, 8 · 0, 6 · 0, 1;
p{ξ = 2} = 0, 2 · 0, 4 · 0, 9 + 0, 2 · 0, 6 · 0, 1 + 0, 8 · 0, 4 · 0, 1;
p{ξ = 3} = 0, 2 · 0, 4 · 0, 1.
22

p{ξ ≤ 1} = p{ξ = 0} + p{ξ = 1}.
5. Амплитуда сигнала на входе усилителя имеет плотность
f (x) =



ax
2
,
0 ≤ x ≤ 2;
0,
x < 0, x > 2.
Найти:
а) коэффициент a;
б) функцию распределения F (x);
в) p{ξ > 1};
г) Mξ и Dξ.
Указание. p{ξ > 1} = 1 − p{ξ < 1} = 1 − F (1).
6. Случайная величина ξ задана функцией распределения
F (x) =









0,
x ≤ 0,
x
4 ,
0 < x ≤ 4,
1,
x > 4.
Найти математическое ожидание Mξ.
7. Дискретная случайная величина ξ принимает значения x
1
и x
2
, при- чем известно, что x
1
< x
2
. Вероятность, с которой эта случайная величи- на принимает значение x
1
, равна p
1
= 0, 6. Известно, что Mξ = 1, 4, а
Dξ = 0, 24. Найти ряд распределения этой случайной величины, построить функцию распределения.
Ответ. x
1
= 1, x
2
= 2.
8. Даны две случайные величины ξ
1
с плотностью вероятности
f
1
(x) =



1/2,
−1 ≤ x ≤ 1,
0,
x < −1, x > 1;
23

и ξ
2
с плотностью вероятности
f
2
(x) =



1/3,
−1 ≤ x ≤ 2,
0,
x < −1, x > 2.
Не проводя вычислений, установить какая из этих случайных величин имеет большее значение:
а) математического ожидания;
б) дисперсии.
Ответ. a) Mξ
1
< Mξ
2
; б) Dξ
1
< Dξ
2
Указание. Выводы делать на основании графиков плотностей.
24

ЗАНЯТИЕ 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. БИНОМИАЛЬНОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ПУАССОНА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. РАВНОМЕРНОЕ И
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
1. Дискретная случайная величина ξ распределена по БИНОМИАЛЬ-
НОМУ ЗАКОНУ, если она принимает значения 0, 1, 2, ..., n с вероятностями
P {ξ = k} = C
k
n
p
k
q
n−k
, k = 0, 1, ..., n,
где 0 < p, q < 1,
p + q = 1, а C
k
n
– число сочетаний из n по k.
Биномиальное распределение есть распределение числа успехов в n неза- висимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи
q = 1 − p.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распреде- ленной по биномиальному закону, соответственно, равны
Mξ = np,