Контрольная работа. Контролная работа Основы надежности-1. Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 Безопасность технологических процессов и производств
 Скачать 1.78 Mb.
|
|
150 4 2 = = = = ⋅ ⋅ − − − π π λ e e e t P T t t Подставляя значения P 1 (t) и P 2 (t) в формулу для кратности резервирования m, получим: - для экспоненциального распределения: 45 , 2 1 ) 606531 , 0 1 ln( ) 96 , 0 1 ln( 1 = − − − = m - для распределения Рэлея: 87 , 0 1 ) 821725 , 0 1 ln( ) 96 , 0 1 ln( 2 = − − − = m Округляя до целых чисел в большую сторону, получим m 1 = 3, m 2 = 1. Таким образом, для достижения заданной надёжности в первом случае потребуется 3 резервных элемента, а во втором случае – только один. Из примера видно, что надёжность системы определяется не только её структурой и временем работы, но также законом распределения времени до отказа элементов. Пример 2.3. В условиях предыдущего примера необходимо обеспечить заданную надёжность системы в течение времени t = 450 час. Решение: Определим вероятность безотказной работы элемента в течение времени t=450 час для экспоненциального распределения и распределения Рэлея: 28 22313 , 0 ) ( 300 450 1 1 = = = = − − − e e e t P T t t λ 17082 , 0 ) ( 2 2 2 2 2 2 300 4 450 4 2 = = = = ⋅ ⋅ − − − π π λ e e e t P T t t Найдём кратность резервирования: - для экспоненциального распределения: 7 , 11 1 ) 22313 , 0 1 ln( ) 96 , 0 1 ln( 1 = − − − = m - для распределения Рэлея: 2 , 16 1 ) 17082 , 0 1 ln( ) 96 , 0 1 ln( 2 = − − − = m Округление до целых чисел даёт требуемую кратность m 1 = 12, m 2 = 17. Если система работает время t = 450 час, то для достижения заданной надёжности необходимо иметь 12 резервных элементов в первом случае и 17 резервных элементов во втором случае. Из расчёта следует, что структурное резервирование не может обеспечить вероятность безотказной работы системы 0,96 в течение 450 часов. Кратность резервирования настолько высока, что её практическая реализуемость вряд ли возможна. Пример 2.4. Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m, все элементы которой равнонадёжны и имеют усечённый нормальный закон распределения времени до отказа с параметрами m 0 = 400 час и σ 0 = 200 час. Определить все показатели надёжности системы. Результаты представить в виде таблиц и графиков. Принять m = 0,1,2. Решение: Для равнонадёжных элементов формулы (2.1)-(2.3) показателей надёжности принимают вид: 1 )) ( 1 ( 1 ) ( + − − = m c t P t P m c t P t f m t f )) ( 1 )( ( ) 1 ( ) ( − + = 1 )) ( 1 ( 1 )) ( 1 )( ( ) 1 ( ) ( + − − − + = m m c t P t P t f m t λ 29 Плотность распределения времени до отказа и вероятность безотказной работы для усечённого нормального распределения равны соответственно: 2 2 0 2 0 200 2 ) 400 ( 0 2 ) ( 0 0 0 0 )) 2 ( Ф 5 , 0 ( 2 200 1 Ф 5 , 0 2 1 ) ( ⋅ − − − − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = t m t e e m t f π σ π σ σ ) 2 ( Ф 5 , 0 200 400 Ф 5 , 0 Ф 5 , 0 Ф 5 , 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = t m m t t P σ σ где Ф 0 (t) – функция Лапласа. Значения вероятности безотказной работы системы P c (t) для кратности резервирования m = 0,1,2 содержатся в таблице 2.2. Соответствующие графики приведены на рисунке 2.4. Таблица 2.2 – Вероятность безотказной работы резервированной системы t, час m = 0 m = 1 m = 2 0 1,00000 1,00000 1,00000 50 0,98229 0,99969 0,99999 100 0,95492 0,99797 0,99991 150 0,91517 0,99280 0,99939 200 0,86093 0,98066 0,99731 250 0,79138 0,95648 0,99092 300 0,70756 0,91448 0,97499 350 0,61264 0,84996 0,94188 400 0,51164 0,76150 0,88353 450 0,41064 0,65265 0,79528 500 0,31572 0,53176 0,67959 550 0,23190 0,41003 0,54684 600 0,16235 0,29834 0,41225 650 0,10811 0,20453 0,29053 700 0,06836 0,13205 0,19139 750 0,04099 0,08030 0,11800 800 0,02328 0,04602 0,06823 850 0,01251 0,02486 0,03706 900 0,00635 0,01267 0,01894 950 0,00305 0,00609 0,00912 1000 0,00138 0,00276 0,00414 30 Следует иметь в виду, что при больших значениях t вероятность безотказной работы настолько мала, что нет смысла эксплуатировать систему. Таблица необходима только для иллюстрации результатов решения задачи, представления решения в графическом виде и вычисления среднего времени безотказной работы системы методом Симпсона. Рисунок 2.4 – Вероятность безотказной работы при различной кратности резервирования Из графиков следует, что P c (t)возрастает при увеличении кратности резер- вирования, причем этот эффект тем сильнее, чем меньше m. На основе данных таблицы 2.2 приближенно вычислим среднее время безотказной работы системы для значений m = 0, 1, 2 . Воспользуемся формулой Симпсона: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = ∑ − = 1 1 1 ) ( ) ) 1 ( 3 ( 1 3 n k c k kh P h T в которой шаг интегрирования примем равным h = 50 час, n = 20. Расчеты показывают, что при m = 0 T 1 ≈411 час, при m = 1 T 1 ≈518 час, при m = 2 T 1 ≈573 час. В таблице 2.3 содержатся значения плотности распределения вероятностей f с (t) для той же кратности резервирования. Графики f c (t) приведены на рисунке 2.5. 31 Таблица 2.3 – Плотность распределения времени до отказа t, час m = 0 m=1 m = 2 0 0,00028 0,00000 0,00000 50 0,00044 0,00002 0,00000 100 0,00066 0,00006 0,00000 150 0,00093 0,00016 0,00002 200 0,00124 0,00034 0,00007 250 0,00154 0,00064 0,00020 300 0,00180 0,00105 0,00046 350 0,00198 0,00153 0,00089 400 0,00204 0,00199 0,00146 450 0,00198 0,00233 0,00206 500 0,00180 0,00247 0,00253 550 0,00154 0,00237 0,00273 600 0,00124 0,00207 0,00261 650 0,00093 0,00167 0,00223 700 0,00066 0,00123 0,00173 750 0,00044 0,00085 0,00122 800 0,00028 0,00054 0,00079 850 0,00016 0,00032 0,00048 900 0,00009 0,00018 0,00027 950 0,00005 0,00009 0,00014 1000 0,00002 0,00005 0,00007 Рисунок 2.5 – Плотность распределения времени до отказа при различной кратности резервирования 32 При m=0 имеем график плотности усеченного нормального распределения времени до отказа основной системы. С увеличением кратности резервирования увеличивается среднее время безотказной работы и уменьшается дисперсия. Указанные факторы более ощутимы для системы с меньшей кратностью резервирования. Интенсивности отказа системы для различных кратностей m имеют значения, приведенные в таблице 2.4. Соответствующие графики показаны на рисунке 2.6. Таблица 2.4 – Интенсивность отказа резервированной системы t, час m = 0 m = l m = 2 0 0,00028 0,00000 0,00000 50 0,00045 0,00002 0,00000 100 0,00069 0,00006 0,00000 150 . 0,00102 0,00016 0,00000 200 0,00144 0,00035 0,00002 250 0,00195 0,00067 0,00007 300 0,00255 0,00115 0,00020 350 0,00323 0,00180 0,00047 400 . 0,00399 0,00262 0,00095 450 0,00482 0,00357 0,00165 500 0,00571 0,00464 0,00259 550 0,00664 0,00577 0,00372 600 0,00763 0,00695 0,00499 650 0,00864 0,00815 0,00632 700 0,00969 0,00935 0,00768 750 0,01077 0,01054 0,00902 800 0,01187 0,01173 0,01032 850 0,01298 0,01290 0,01159 900 0,01411 0,01407 0,01282 950 0,01526 0,01524 0,01402 1000 0,01641 0,01640 0,01521 Из графиков следует, что большей кратности резервирования соответствует меньшая интенсивность отказов. 33 Рисунок 2.6 – Интенсивность отказа системы при различной кратности резервирования Пример 2.5. Дана резервированная система с резервом замещением кратности m = 2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ = 0,05 час -1 Определить вероятность безотказной работы и среде время безотказной работы системы. Сравнить P c (t) с постоянно включенным резервом. Решение: По формуле (2.13) получим: t t m j j c e t t e j t t P λ λ λ λ λ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = = ∑ 2 ) ( 1 ! ) ( ) ( 2 0 Рассчитанные P c (t) при различных значениях t сведены в таблицу 2.5. Для сравнения в таблицу помещены также значения P c (t) для постоянно включённого резерва. График вероятности безотказной работы для обоих видов резервирования показан на рисунке 2.7. Среднее время безотказной работы для резерва замещением по формуле (2.11) равно Т 1с = 3Т 1 = 3×20 = 60 час. Для постоянного резерва, как было показано в примере 2.1, это время составляет 36,7 часа. 34 Таблица 2.5 – Вероятность безотказной работы системы при различных видах резервирования t, час Резерв замещением Постоянный резерв 0 1 1 10 0,985612 0,939084 20 0,919699 0,74742 30 0,808847 0,531138 40 0,676676 0,353538 50 0,543813 0,226594 60 0,42319 0,142048 70 0,320847 0,087884 80 0,238103 0,053947 90 0,173578 0,032958 100 0,124652 0,020078 110 0,088376 0,01221 120 0,061969 0,007418 130 0,043036 0,004504 140 0,029636 0,002733 150 0,020257 0,001658 160 0,013754 0,001006 170 0,009283 0,00061 180 0,006232 0,00037 Рисунок 2.7 – Вероятность безотказной работы для резерва замещением (кривая 1) и для постоянно включённого резерва (кривая 2) 35 2.3 Задачи для самостоятельного решения Задача 2.1. Техническая система представляет собой дублированную систему с постоянно включенным резервом. Вероятность безотказной работы основной и резервной подсистем в течение t = 200 час равна 0,8. Найти вероятность безотказной работы и вероятность отказа системы в течение времени t. Найти среднее время безотказной работы системы при условии, что ее подсистемы имеют постоянную интенсивность отказа. Задача 2.2. Интенсивность отказа элементов системы λ = 0,0025 час -1 Требуется определить кратность резервирования системы с постоянно включенным резервом, построенную из этих элементов, которая обеспечивает среднее время безотказной работы системы Т 1с = 800 час. Задача 2.3. Найти показатели надежности резервированной системы с постоянным резервом кратности m = 3, элементы которой имеют интенсивности отказа λ 0 = 0,004 час -1 , λ 1 = 0,007 час -1 , λ 2 = 0,002 час -1 , λ 3 = 0,001 час -1 . Время непрерывной работы системы t = 120 час. Задача 2.4. Определить показатели надежности мажоритарной системы, состоящей из 6 равнонадежных элементов, время до отказа которых равномерно распределено на интервале от 0 до 1000 часов. Количество резервных элементов равно 2. Получить аналитическое и графическое представления показателей надежности системы Задача 2.5. Получить формулу для вероятности безотказной работы мажо- ритарной системы, состоящей из элементов разной надежности при n = 4, m = 2. Задача 2.6. Интенсивность отказа одного элемента λ = 0,0035 час -1 . Требуется определить кратность резервирования системы (резерв замещением), построенную из этих элементов, которая обеспечивает среднее время безотказной работы системы Т 1с = 800 час. Задача 2.7. Найти показатели надежности P с (t), Т c , λ с (t) резервированной системы (резерв замещением) кратности m = 3, элементы которой имеют интенсивности отказа λ 0 = 0,04 час -1 , λ 1 = 0,07 час -1 , λ 2 = 0,02 час -1 , λ 3 = 0,1 час -1 Решение получить в виде формул, таблиц и графиков. 36 Задача 2.8. Для резерва замещением кратности m получить формулу вероятности безотказной работы, если элементы системы равнонадежны и имеют гамма-распределение времени до отказа с параметрами α и β. Задача 2.9. Для резерва замещением кратности m получить формулу плотности распределения времени безотказной работы при условии, что элементы системы равнонадежны и имеют нормальное распределение с параметрами m и σ (σ< m/3). Задача 2.10. Даны две системы со скользящим резервом. Первая система состоит из n = 7 элементов, из которых m = 3 резервных. Вторая система состоит из n = 5 элементов с m = 2 резервными. Определить более надежную систему по критерию вероятности безотказной работы. Элементы обеих систем имеют постоянную интенсивность отказа λ = 0,01 час -1 Задача 2.11. Дана последовательно-параллельная система размером 3×5 (5 элементов нерезервированной системы, 3 резервных подсистемы) с постоянно включённым резервом. Все элементы имеют одинаковую надежность, время до отказа элементов имеет распределение Рэлея с математическим ожиданием Т = 50 час. Требуется определить вероятность безотказной работы системы при общем и раздельном резервировании. Провести сравнение по критерию P c (t). Указание: воспользоваться формулами (2.8) и (2.14). Задача 2.12. Дана последовательно-параллельная система размером 3×5 (5 элементов нерезервированной системы, 3 резервных подсистемы), резервированная методом замещения. Все элементы имеют одинаковую интенсивность отказа λ = 0,02 час -1 . Требуется определить вероятность безотказной работы системы при общем и раздельном резервировании. Провести сравнение по критерию P c (t). Указание: воспользоваться формулами (2.9) и (2.15). Задача 2.13. Элементы резервированной системы с постоянно включенным резервом имеют распределение Вейбулла времени работы до отказа. Найти выражение для среднего времени безотказной работы системы при кратности резервирования m = 0,1, 2, 3, 4, 5. Вычислить среднее время безотказной работы при параметрах закона распределения α = 2,5, β = 20. Решение представить в виде таблицы. Задача 2.14. Даны две системы с постоянно включенным резервом с дробной кратностью резервирования m = 1/2 и m = 2/3 соответственно. Определить 37 показатели надежности систем P c (t), Т с , λ c (t). Решение представить в виде формул, графиков и таблиц. Известны следующие исходные данные для числового анализа: время работы системы t = 0÷500 час, среднее время безотказной работы нерезервированной системы Т = 550 час, основная и все резервные системы равнонадежны и имеют экспоненциальное распределение времени до отказа. Определить, какая из систем имеет более высокие показатели надежности. Задача 2.15. Даны две системы, описанные в задаче 2.14. Определить критическое время t кр , свыше которого резервирование с дробной кратностью не целесообразно. Определить значение вероятности Р(t кр ). Решение получить в аналитическом и численном виде. Задача 2.16. Резервированная система с постоянно включенным резервом состоит из двух подсистем, имеющих различные законы распределения времени до отказа. Необходимо вычислить P c (t), T lc , λ с (t). Решение получить в аналитическом виде, в виде графиков и таблиц. Графики представить в диапазоне t = 0÷500 час. Исходные данные содержатся в таблице 2.6. Таблица 2.6 – Законы распределения времени до отказа Вариант Законы распределения Вариант Законы распределения Вариант Законы распределения 1 Ехр(0,005) R(0,0002) 6 W(l,2;200) TN(400; 180) 11 Ехр(0,0015) TN(350; 180) 2 Ехр(0,004) N(400; 120) 7 N(360; 110) Г(4; 95) 12 R(0,0001) TN(390; 190) 3 Ехр(0,007) Г(4; 120) 8 N(410; 130) R(0,0006) 13 W(2; 100) N(360; 100) 4 W(3; 50) R(0,0005) 9 R(0,0004) Г(3,2; 220) 14 N(420; 140) TN(380; 200) 5 W(l,5; 150) Г(2,5; 145) 10 Ехр(0,001) W(l,l; 160) 15 TN(400;215) Exp(0,002) Библиографический список 1. Острейковский, В.А. Теория надёжности [Текст]: учебник для вузов / В.А. Острейковский. – М.: Высшая школа, 2003. – 463 с.: ил. 2. Половко, А.М. Основы теории надёжности. Практикум [Текст]: учебник / А.М. Половко, С.В. Гуров. – СПб.: БХВ - Петербург, 2006. – 560 с.: ил. |