Контрольная работа. Контролная работа Основы надежности-1. Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 Безопасность технологических процессов и производств

• Название: Методические указания для практических занятий для студентов специальности 280102 Безопасность технологических процессов и производств
• Анкор: Контрольная работа
• Дата: 04.04.2023
• Размер: 1.78 Mb.
• Имя файла: Контролная работа Основы надежности-1.pdf
• Тип: Методические указания; #1035447
• страница: 3 из 4

))
(
1
(
1
)
(
0
t
P
t
P
i
m
i
c
П
−
−
=
=
,
(2.1)
∑
=
−
−
=
m
i
m
c
t
P
t
t
P
t
f
0
i
0
))
(
1
)...(
(
...f
))
(
1
(
)
(
,
(2.2)
)
(
ПQ
)
(
ПQ
i
i
0
0
m
1
)
(
)
(
t
t
m
i
m
j
j
i
j
c
t
f
t
=
=
≠
−
=
∑
λ
,
(2.3)

20 а – общее резервирование с постоянно включённым резервом; б – раздельное резервирование с постоянно включённым резервом; в – общее резервирование замещением; г – раздельное резервирование замещением
Рисунок 2.1 – Структурные схемы резервированных систем

21
В частности, для экспоненциальных распределений времени до отказа элементов с одинаковыми параметрами λ имеют место равенства:
1
)
1
(
1
)
(
+
−
−
−
=
m
t
c
e
t
P
λ
,
(2.4)
m
t
t
c
e
e
m
t
f
)
1
(
)
1
(
)
(
λ
λ
λ
−
−
−
+
=
,
(2.5)
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
+
−
−
−
−
−
−
+
=
m
t
m
t
t
c
e
e
e
m
t
λ
λ
λ
λ
λ
,
(2.6)
Среднее время безотказной работы системы определяется выражением:
∑
+
=
=
1
1
1
1
1
m
k
k
T
λ
,
(2.7)
Формулы справедливы для случая, когда нерезервированная система рассматривается как один элемент, показатели надёжности которого известны. В действительности любая система состоит из большого числа элементов, каждый из которых имеет показатель надёжности, самостоятельно учитываемый при расчёте. В таком случае формула для вероятности безотказной работы имеет вид:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
=
=
)
(
P
1
1
)
(
ij
n
1
j
0
П
П
t
t
P
m
i
c
,
(2.8) где n – число элементов нерезервированной системы;
P
ij
(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i, j).
2.1.2 Общее резервирование замещением
Вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа и среднее время безотказной работы системы определяются выражениями:
∑
=
+
=
m
i
c
f
f
t
P
t
P
1
i
1
-
i
1
0
0
(t)
P
*
f
*
...
*
*
)
(
)
(
,
(2.9)
(t)
f
*
...
*
f
*
)
(
m
1
0
f
t
f
c
=
,
(2.10)

22
∫
∑
∞
=
=
=
0
0
1
1
)
(
m
i
i
c
T
dt
t
P
T
,
(2.11)
Если все элементы равнонадёжны, то
dx
x
f
t
P
m
i
c
)
(
f
-
1
P(t)
*
)
(
t
0
1)
(m
*
0
(i)
*
∫
∑
+
=
=
=
,
(2.12)
Формулы содержат свертки функций, обозначенные символом (*). Свертка функций f(t) и g(t), заданных при t≥0, определяется соотношением:
∫
∫
−
=
=
t
0
0
)
(
)
(
x)g(x)dx
-
f(t
g(t)
*
t
dx
x
t
g
x
f
f
Выражение
4 4 3 4
4 2 1
i
*(i)
f(t)
*
...
*
f
*
)
(
f
t
f
=
представляет собой i-кратную свертку функции f(t).
Если интенсивность отказов элементов постоянна и равна λ, то формулы для вероятности и среднего времени безотказной работы системы имеют вид:
t
m
j
j
c
e
j
t
t
P
λ
λ
−
=
∑
=
0
!
)
(
)
(
,
(2.13)
)
1
(
1
+
=
m
T
c
λ
2.1.3 Раздельное резервирование
Пусть исходная система состоит из n элементов. Тогда вероятность безотказной работы системы при раздельном резервировании выражается следующими формулами:
- раздельное резервирование с постоянно включённым резервом:
(
)
∏
∏
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
n
j
m
i
ij
c
t
P
t
P
1
0
)
(
1
1
)
(
,
(2.14)
- раздельное резервирование замещением:

23
)
(
*
*
...
*
*
)
(
,
1
1
0
1
0
t
P
f
f
f
t
P
ij
j
i
n
j
m
i
j
j
c
−
=
=
∏ ∑
=
,
(2.15)
В формулах приняты следующие обозначения: P
ij
(t) – вероятность безотказной работы элемента с номером (i, j), f ij
(t) – плотность распределения времени до отказа элемента, i=0,1,2, …, m; j=1,2, …, n.
2.1.4 Резервирование с дробной кратностью
Приведём формулы для показателей надёжности мажоритарных систем
(систем с дробной кратностью резервирования), в которых n – общее число элементов, (n–m) основных и m резервных элементов. Отказ такой системы наступает при отказе (m+1)-го элемента.
Показатели надёжности мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надёжность, вычисляются по формулам:
)
(
)
(
)
(
0
t
P
t
Q
C
t
P
i
n
i
m
i
i
n
c
−
=
∑
=
,
(2.16)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
t
f
t
P
t
Q
C
m
n
t
f
m
n
m
m
n
c
−
−
−
=
,
(2.17)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
t
t
P
t
Q
C
t
P
t
Q
C
m
n
t
m
i
i
n
i
i
n
m
n
m
m
n
c
λ
λ
∑
=
−
−
−
=
,
(2.18)
2.1.5 Скользящее резервирование
Скользящее резервирование представляет собой резервирование замещением с кратностью m/(n–m), где n – общее число элементов, m – число резервных элементов, (n–m) – число основных резервируемых элементов.
Вероятность безотказной работы системы со скользящим резервом при условии, что все элементы системы имеют одинаковую надёжность, равна
(2.19)

24
Если элементы системы имеют экспоненциальное распределение вероятностей времени до отказа с параметром λ, то вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднее время безотказной работы системы соответственно равны:
(
)
t
m
n
m
k
k
c
e
k
t
m
n
t
P
λ
λ
)
(
0
!
)
(
)
(
−
−
=
∑
−
=
,
(2.20)
(
)
(
)
∑
=
−
−
−
=
m
k
k
m
c
k
t
m
n
m
t
m
n
m
n
t
0
!
)
(
!
)
(
)
(
)
(
λ
λ
λ
λ
,
(2.21)
1
1
1
T
m
n
m
T
c
−
+
=
,
(2.22)
2.2 Примеры решения задач
Пример 2.1.
Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m = 2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ=0,05 час
-1
Найти показатели надёжности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.
Решение:
Воспользуемся формулами (2.4) – (2.6). Тогда получим:
3
05
,
0
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
(
t
m
t
c
e
e
t
P
−
+
−
−
−
=
−
−
=
λ
2
05
,
0
05
,
0
)
1
(
05
,
0
3
)
1
(
)
1
(
)
(
t
t
m
t
t
c
e
e
e
e
m
t
f
−
−
−
−
−
⋅
=
−
+
=
λ
λ
λ
t
t
t
t
t
t
m
t
m
t
t
c
e
e
e
e
e
e
e
e
e
m
t
1
,
0
05
,
0
2
05
,
0
3
05
,
0
2
05
,
0
05
,
0
1
3
3
)
1
(
15
,
0
)
1
(
1
)
1
(
15
,
0
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
−
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
+
=
λ
λ
λ
λ
λ
Табулируя функции, найдём искомые показатели надёжности, представленные в таблице 2.1.

25
Таблица 2.1 – Показатели надёжности резервированной системы с постоянно включённым резервом и кратностью резервирования m = 2
t, час
P
c
(t) f
c
(t)
λ
c
(t)
0 1 0 0 5 0,989177 0,005716 0,005778 10 0,939084 0,014085 0,014999 15 0,853108 0,019726 0,023122 20 0,747420 0,022049 0,029501 25 0,636777 0,021878 0,034357 30 0,531138 0,020200 0,038031 35 0,435977 0,017794 0,040814 40 0,353538 0,015177 0,042930 45 0,284042 0,012653 0,044546 50 0,226594 0,010374 0,045784 55 0,179785 0,008402 0,046736 60 0,142048 0,006743 0,047469 65 0,111871 0,005374 0,048036 70 0,087884 0,004260 0,048475 75 0,068907 0,003364 0,048815 80 0,053947 0,002648 0,049079 85 0,042185 0,002079 0,049283 90 0,032958 0,001630 0,049442 95 0,025731 0,001275 0,049566 100 0,020078 0,000997 0,049662
Рисунок 2.2 – Вероятность безотказной работы

26
Рисунок 2.3 – Интенсивность и плотность распределения времени до отказа
Графическая иллюстрация результатов дана на рисунках 2.2 и 2.3.
Согласно (2.7), среднее время безотказной работы системы будет равно:
,7
36
3
1
2
1
1
20
1
1
1
1
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⋅
=
=
∑
+
=
m
k
c
k
T
λ
час.
Пример 2.2.
Требуется определить кратность резервирования системы с постоянным резервом, обеспечивающим вероятность безотказной работы 0,96 в течение времени t = 150 час. Элементы системы равнонадёжны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т = 300 час. Найти также кратность резервирования для системы, элементы которой имеют распределение Рэлея с тем же средним.
Решение:
Кратность резервирования может быть определена по формуле:
1
))
(
1
ln(
))
(
1
ln(
−
−
−
=
t
P
t
P
m
c
,
где P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t;
P
c
(t) = 0,96 – вероятность безотказной работы системы в течение времени t.
Для экспоненциального распределения
t
e
t
P
1
)
(
1
λ
−
=
, где
T
1
1
=
λ
– интенсивность отказа элемента.

27
Для распределения Рэлея
2
2
)
(
2
t
e
t
P
λ
−
=
, где
2
2
4T
π
λ
=
– параметр распределения.
В течение времени t = 150 час получим:
- для экспоненциального закона:
606531
,
0
)
(
300
150
1
1
=
=
=
=
−
−
−
e
e
e
t
P
T
t
t
λ
- для закона Рэлея:
821725
,
0
)
(
2
2
2
2
2
2
300
4