Методические указания и контрольные задания для студентов заочного факультета
 Скачать 168.74 Kb.
|
|
x = (x 1 , x 2 , ..., x n ). Числа x 1 , x 2 , ..., x n называются коорди- натами вектора. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. Для n-мерных векторов определены операции сло- жения и вычитания. При этом складываются или вычитаются соответству- ющие координаты этих векторов. Множество всех n-мерных векторов образует n-мерное векторное про- странство, которое обозначается R n . Заметим, что при n = 1, n = 2, n = 3 пространство R n допускает геометрическую интерпретацию, а именно: это множество векторов на прямой, на плоскости и в пространстве, соответствен- но. Мы рассматривали эти векторы в разделе I. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым век- тором и обозначается 0. Пусть a 1 , a 2 , ..., a k - некоторый набор n-мерных векторов, а c 1 ,c 2 , ...,c k – любые числа. Составим n-мерный вектор x = c 1 a 1 + c 2 a 2 + ... + c k a k , который называется линейной комбинацией векторов a 1 ,a 2 , ..., a k с коэффи- циентами c 1 , c 2 , ..., c k . В частности, линейная комбинация может оказаться равной нулевому вектору, например, если все коэффициенты линейной ком- бинации равны нулю. Для некоторых наборов векторов, однако, равенство 26 их линейной комбинации нулевому вектору возможно не только при нулевых коэффициентах. Пример 13. Пусть даны два трехмерных вектора: a 1 = 2 4 6 , a 2 = 3 6 9 . Их линейная комбинация с коэффициентами c 1 = 3, c 2 = −2 равна нуле- вому вектору: c 1 a 1 + c 2 a 2 = 3 2 4 6 + (−2) 3 6 9 = = 6 12 18 + −6 −12 −18 = 0 0 0 = 0. Если b 1 = 1 0 0 , b 2 = 0 1 0 , то равенство их линейной комбинации нулевому вектору возможно только при нулевых коэффициентах. Действительно, если c 1 1 0 0 + c 2 0 1 0 = 0 0 0 , то c 1 0 0 + 0 c 2 0 = 0 0 0 , то есть c 1 c 2 0 = 0 0 0 , и, следовательно, c 1 = 0, c 2 = 0. Система векторов a 1 , a 2 , ...a k пространства R n называется линейно зави- симой, если равенство c 1 a 1 + c 2 a 2 + ... + c k a k = 0 возможно при условии, что не все коэффициенты линейной комбинации в левой части равны нулю. Если же такое равенство возможно только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, система векторов a 1 , a 2 , ...a k называ- ется линейно независимой. 27 Критерий линейной зависимости или независимости системы векторов состоит в следующем: если ранг матрицы, составленной из координат всех векторов системы, равен числу векторов, то данная система векторов линейно независима, если же ранг этой матрицы меньше числа векторов, то система линейно зависима. Пример 14. Выделить максимальный по числу векторов набор линейно независимых векторов из данной системы векторов a 1 = 1 2 5 7 , a 2 = 3 −1 1 7 , a 3 = 5 −3 −1 9 , a 4 = −1 4 7 1 . Составим матрицу из координат заданных векторов и вычислим ее ранг: A = 1 3 5 −1 2 −1 −3 4 5 1 −1 7 7 7 9 1 ; r(A) = r 1 3 −1 5 0 −7 6 −13 0 0 −4 0 = 3 (см. пример 11). Так как ранг матрицы меньше числа векторов, то заданная система векторов линейно зависима. Поскольку r(A) = 3. , то максимальный по числу векторов набор линейно независимых векторов должен содержать три вектора. Векторы a 1 , a 2 , a 4 — линейно зависимы. Линейно независимыми наборами векторов будут { a 1 , a 2 , a 3 } , { a 2 , a 3 , a 4 } , и { a 1 , a 3 , a 4 } . 4. Экономическая интерпретация действий над матрицами При построении математических моделей экономических отношений ис- пользуются различные разделы математики, в частности линейная алгебра. Приведем примеры возможного описания экономических понятий в матема- тических терминах, а затем рассмотрим задачу учебного характера. Пусть имеется n видов товара, причем известна цена p i (i = 1, 2,. . . ,n) то- вара каждого вида и количество x i (i = 1, 2, . . . , n) приобретенного товара. Запишем эти данные в виде матриц - столбцов (векторов): P = p 1 p n , X = x 1 x n . Стоимость всех приобретенных товаров можно представить в виде произ- 28 ведения (скалярного произведения): P T X = ( p 1 . . . p n ) x 1 x n = n ∑ i=1 p i x i . Немного усложним задачу. Допустим, что товары данного вида приобрели k покупателей. Введем обозначения: x ij (i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , k) – количество товара i-го вида, приобретенного j-м покупателем, и построим матрицу X = x 11 · · · x 1j · · · x 1k · · · · · · · · · · · · · · · x i1 · · · x ij · · · x ik · · · · · · · · · · · · · · · x n1 · · · x nj · · · x nk (13) Элементы x i j j-го столбца матрицы X равны количеству товаров i-го вида, приобретенных j-м покупателем, а элементы i-й строки равны количеству то- варов i-го вида, приобретенных различными покупателями. Следовательно, в столбце j указаны объемы различных товаров, приобретенных j-м покупа- телем, а в строке i — объемы товара i, приобретенные различными покупате- лями. Произведение P T X является вектором - строкой, координаты которого соответствуют затратам каждого покупателя. Матрицу X (13) можно интерпретировать не только как матрицу покупок, а, например, как матрицу продаж. Пусть четыре поставщика реализовали три вида строительных материалов (доски, краску, олифу) по ценам: 1500 денежных единиц за 1 м 3 досок, 5 денежных единиц и 2 денежные единицы за 1 кг краски и олифы, соответственно. Первый поставщик продал 20 м 3 досок, 100 кг краски и 20 кг олифы. Второй - 25 м 3 , 60 кг, 20 кг, соответственно. Третий продал 180 кг краски и 30 кг олифы. Четвертый - 30 м 3 досок и 10 кг олифы. В предложенных обозначениях P = 1500 5 2 , X = 20 25 0 30 100 60 80 0 20 10 30 10 Тогда произведение P T X является вектором, координаты которого равны 29 выручке соответствующего поставщика. P T X = ( 1500, 5, 2 ) 20 25 0 30 100 60 80 0 20 10 30 10 = ( 30540, 37820, 1020, 45020 ) . Следовательно, выручка первого поставщика составляет 30540 денежных еди- ниц, второго - 37820, третьего - 1020, четвертого - 45020. Рассмотрим еще один модельный пример. Пусть производится n видов продукции, для чего используется m видов ресурсов (под ресурсами пони- мается сырье, электроэнергия, время работы оборудования, трудозатраты и т.д.). Известны значения величин: a ij (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; ) – количество ресурса i-го вида, необходимое для производства единицы про- дукции j-го вида (в зависимости от условий задачи единицей продукции могут быть штуки изделий, единицы веса, объема и т.д.); а также b i (i = 1, 2, . . . , m) – объем затраченного ресурса i-го вида. Введем обозначения: x j (j = 1, 2, . . . , n) – количество производимой продукции j-го вида. Постро- им матрицу затрат A, вектор ресурсов B и вектор выпуска X: A = a 11 · · · a 1n · · · · · · · · · a m1 · · · a mn , X = x 1 x n , B = b 1 b m . В матрице A = (a ij ) элементы, например, первой строки представляют собой затраты ресурса первого вида на производство единицы изделий первого (a 11 ), второго (a 12 ),..., n-го (a 1n ) вида. Соответственно, элементы i-й строки равны расходам ресурса i-го вида, истраченного на изготовление единицы изделия соответствующего вида. Аналогично элементы, например, первого столбца обозначают расходы соответствующих ресурсов на одно изделие первого вида. Тогда соотношение между израсходованными ресурсами и произведенной продукцией можно записать в виде равенства AX = B, (14) которое равносильно системе a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · a m1 x 1 + . . . + a mn x m = b m . (15) 30 Зная матрицу A и вектор b i , количество произведенной продукции каждого вида найдем, решив систему (15). Пример. На производство двух видов вязаных изделий (свитеров и ко- стюмов) предприятие израсходовало 62 кг шерсти и 32 кг пана. При выпол- нении заказа вязальные машины работали 170 часов. На изготовление одного свитера расходуется 0.5 кг шерсти, 0.2 кг пана и 1.5 часа работы вязальной машины. Для одного костюма эти данные соответственно таковы: 0.8 кг, 0.5 кг, 2 часа. Найти количество выпущенных свитеров и костюмов. Решение. Составим матрицу затрат A, вектор ресурсов B и вектор вы- пуска X: A = 0.5 0.8 0.2 0.5 1.5 2 ; B = 62 32 170 ; X = ( x 1 x 2 ) . (16) Здесь введены обозначения: x 1 – число связанных свитеров, а x 2 – число связанных костюмов. Отметим, что числа, стоящие в первом и во втором столбцах матрицы A, – затраты ресурсов на изготовление одного свитера и одного костюма, соответственно. Подставив (16) в (14), получим 0.5 0.8 0.2 0.3 1.5 2 ( x 1 x 2 ) = 62 32 170 . (17) Равенство (17) равносильно системе: 0.5x 1 + 0.8x 2 = 62, 0.2x 1 + 0.5x 2 = 32, 1.5x 1 + 2.0x 2 = 170. Решив эту систему, найдем вектор выпуска продукции. Применяя метод Гаусса, получим 0.5 0.8 0.2 0.5 1.5 2 62 32 170 ∼ 0.5 0.8 0.2 0.5 0 −0.4 62 32 −16 ∼ 0.1 −0.2 0.2 0.5 0 −0.4 −2 32 −16 ∼ ∼ 0.1 −0.2 0 0.9 0 0.4 −2 36 16 ∼ 0.1 −0.2 0 0.9 0 0 −2 36 0 . Тогда имеем x 2 = 40; 0.1x 1 − 0.2 × 40 = −2 : 0.1x 1 = 6; x 1 = 60. 31 Ответ: было выпущено 60 свитеров и 40 костюмов. Замечание: Рассмотренная система имеет единственное решение (опреде- ленная система). При других данных возможен иной вариант решения. На- пример, если в данной задаче число видов выпускаемых изделий будет боль- ше трех, то система будет либо несовместной, либо неопределенной. Несов- местность системы означает, что не существует такого вектора выпуска, при котором все запасы ресурсов израсходованы полностью; неопределенность означает, что существует множество планов выпуска. В последнем случае, выбирая соответствующим образом значения свободных переменных, можно найти конкретное решение, которое удовлетворяет какому-нибудь дополни- тельному условию. Таким условием, например, может быть получение наи- большего дохода от реализации выпущенных изделий. Подобные задачи рас- сматриваются в курсе линейного программирования на втором году обуче- ния. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. 4-е изд.- М., 1975. 2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. 3-12 изд.-М., 1955-1975. 3. Ефимов И.В. Краткий курс аналитической геометрии. 6-12 изд.-М., 1961- 1975. 4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. 2-12 изд.-М., 1951-1975. 5. Кропотов А.И. Элементы линейной алгебры: Учеб. пособие.- Л.: ЛФЭИ, 1990. 5. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Часть 1. 2-е изд.- М.: Айрис пресс, 2003. 32 Студент должен выполнить контрольную работу, содержащую пять задач. Номер варианта контрольной работы соответствует последней цифре номера зачетной книжки. Номера задач каждого варианта приведены в таблице. Номер варианта Номера задач 1 1 11 21 31 41 2 2 12 22 32 42 3 3 13 23 33 43 4 4 14 24 34 44 5 5 15 25 35 45 6 6 16 26 36 46 7 7 17 27 37 47 8 8 18 28 38 48 9 9 19 29 39 49 10 10 20 30 40 50 ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ I.Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры 1-10. Даны вершины четырехугольника A(x A ; y A ), B(x B ; y B ), C(x C ; y C ), D(x D ; y D ) и точка M (x M ; y M ). 1) Доказать, что четырехугольник ABCD является трапецией. 2) Найти уравнение высоты, проведенной из вершины B на основание AD. 3) Найти уравнение средней линии трапеции. 4) Вычислить длину средней линии трапеции. 5) Выяснить, лежат ли точки O(0; 0) и M (x M ; y M ) по одну или по разные стороны от средней линии трапеции. 6) Найти вектор ⃗ d = 2 −→ AB − 3 −→ AC. 7) Найти косинус угла трапеции при вершине A. 1. A( −5; 0); B(1; 1); C(4; −2); D(1; −6); M (3; 3); 2. A(1; 1); B(7; 2); C(12; −3); D(10; −8); M(10; 5); 3. A( −4; −7); B(−2; −2); C(4; 0); D(5; −4); M (2; −1); 4. A( −4; −5); B(−2; 4); C(4; 6); D(5; −2); M (2; −2); 5. A( −5; 5); B(0; 4); C(2; −1); D( −1; −5); M(5; 5); 33 6. A(2; −4); B(3; 2); C(7; 5); D(10; 2); M (8; −5); 7. A( −3; −6); B(−1; 1); C(3; 3); D(5; −2); M ( −2; 5); 8. A(2; −5); B( −1; 1); C(0; 4); D(6; 7); M (5; 2); 9. A( −7; −1); B(1; 1); C(4; −2); D(2; −10); M(5; 4); 10.A( −6; 5); B(0; 4); C(2; −1); D( −2; −5); M(4; 5); 11-20. Решить матричное уравнение. 11. AX = B; где A = 1 0 3 −2 1 −1 3 2 0 ; B = 3 13 −7 −4 7 7 ; 12. XA = B; где A = 3 −1 0 −1 2 1 2 1 3 ; B = ( 15 0 11 13 4 15 ) ; 13. AX = B; где A = 0 2 −1 1 −1 2 3 0 3 ; B = 5 −4 −1 15 6 33 ; 14. XA = B; где A = 1 2 −3 −1 1 4 0 −1 0 ; B = ( 4 10 −12 −4 −10 13 ) ; 15. AX = B; где A = 4 −1 0 1 2 −1 3 0 2 ; B = 27 12 −1 −6 20 6 ; 16. XA = B; где A = −3 2 0 1 −1 4 2 −3 1 ; B = ( 5 −13 21 7 −8 2 ) ; 17. AX = B; где A = 1 1 2 3 0 −1 −1 2 3 ; B = 8 −10 −2 0 8 −8 ; 18. XA = B; где A = 0 2 −1 1 −3 2 4 −1 3 ; B = ( 4 1 2 11 4 5 ) ; 19. AX = B; где A = −1 1 0 2 3 4 1 −1 3 ; B = −3 3 12 5 15 −6 ; 34 20. XA = B; где A = 1 4 −5 0 2 1 1 −1 2 ; B = ( 6 12 −17 4 −19 29 ) ; 21-30. Исследовать и решить систему уравнений. 21. 2x 1 − 3x 2 + 11x 3 − 8x 4 = −2, −3x 1 + 2x 2 − 9x 3 + 7x 4 = 3, x 1 − 4x 2 + 13x 3 − 9x 4 = −1, −x 1 + 9x 2 − 28x 3 + 19x 4 = 1; 22. 3x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 = 10, 2x 1 − 3x 2 + x 3 + 9x 4 = 0, −x 1 + 4x 2 − 2x 3 − 9x 4 = 6, 4x 1 + 5x 2 − 3x 3 − 5x 4 = 20; 23. 3x 1 + x 2 − 3x 3 + 8x 4 = 5, 2x 1 − 3x 2 − 2x 3 + 9x 4 = 7, −x 1 − 4x 2 + x 3 + x 4 = 2, 4x 1 + 5x 2 − 4x 3 + 7x 4 = 3; 24. x 1 + 4x 2 − 6x 3 − 12x 4 = 1, 2x 1 + x 2 − 5x 3 − 3x 4 = 9, −x 1 − 11x 2 + 13x 3 + 33x 4 = 6, −3x 1 + 2x 2 + 4x 3 − 6x 4 = −17; 25. 4x 1 − 2x 2 + x 3 + 12x 4 = −5, 2x 1 + 3x 2 − x 3 + 5x 4 = 6, −x 1 + 5x 3 − 13x 4 = −15, 5x 1 − 2x 2 − 4x 3 + 25x 4 = 10; 26. 3x 1 − 4x 2 + 4x 3 − 10x 4 = −11, x 1 − x 2 + x 3 − 3x 4 = −3, −x 1 + 2x 2 − 2x 3 + 4x 4 = 5, 2x 1 − 3x 2 + 3x 3 − 7x 4 = −8; 27. 4x 1 − 2x 2 + 5x 3 + 5x 4 = −5, −2x 1 + x 2 − 3x 3 − 2x 4 = 3, 3x 2 + 4x 3 − 13x 4 = 2, 2x 1 − x 2 + 2x 3 + 3x 4 = −2; 35 28. 3x 1 + x 2 − 4x 3 − x 4 = −9, −4x 1 + 3x 2 + x 3 − 3x 4 = 12, −x 1 + 4x 2 − 3x 3 − 4x 4 = 3, x 1 + 9x 2 − 10x 3 − 9x 4 = −3; 29. −2x 1 + 5x 2 − 3x 3 + 14x 4 = −11, 4x 1 + 3x 2 + x 3 = 15, x 1 − x 2 + 4x 3 − 13x 4 = 17, −x 1 + 4x 2 + x 3 + x 4 = 6; 30. 5x 1 − 3x 2 + x 3 + 3x 4 = −9, x 1 + 4x 2 − 9x 3 − 4x 4 = −11, −4x 1 + 7x 2 − 10x 3 − 7x 4 = −2, −6x 1 − x 2 + 8x 3 + x 4 = 20; 31-40. Среди данных векторов найти максимальный по числу векторов набор линейно независимых. 31. |