Методические указания и контрольные задания для студентов заочного факультета
 Скачать 168.74 Kb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ << САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ >> КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ для студентов заочного факультета. 1 курс. Тема: линейная алгебра и аналитическая геометрия ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ 2012 Рекомендовано научно-методическим советом университета Методические указания и контрольные задания для студентов заочного факультета. 1 курс. Тема: Линейная алгебра и аналитическая геометрия. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ.- 2012.-37 с. Методические указания предназначены для студентов 1 курса заочного факультета, проходящих курс обучения по направлениям "Экономика"и "Ме- неджмент". Данные указания содержат теоретический материал, подробный разбор типовых задач и контрольные задания. Составители: ст.препод. И.В.Кондратьева, доц. И.К.Лицкевич, асс. К.С.Мамаева, асс. Л.Р.Рыбкина, доц. Е.З.Хотимская Рецензенты: доц. А.И.Плоткин, доц. А.А.Тамонов c ⃝Издательство СПбГУЭФ, 2012 3 Студенты, обучающиеся по направлениям "Экономика" и "Менеджмент" , выполняют контрольную работу по теме "Линейная алгебра и аналитическая геометрия". Место дисциплины в структуре ООП направления "Менеджмент": дисциплина "Математика" относится к циклу Б.2. Математический и есте- ственнонаучный цикл. Базовая часть. Входные знания, умения и компетен- ции студентов должны соответствовать курсу математики общеобразователь- ной школы. Дисциплина "Математика" является предшествующей для сле- дующих дисциплин: "Cтатистика" , "Методы принятия управленческих ре- шений" , "Теория вероятностей и математическая статистика" , "Математи- ческие методы и модели в принятии решений" , "Финансовая математика" , "Экономико-математические методы в управлении качеством продукции" , "Теория менеджмента" , "Маркетинг" , "Управление изменениями" , "Логи- стика" . Место дисциплины в структуре ООП направления "Экономика": дисциплина "Линейная алгебра" относится к циклу Б.2.1. Математический цикл. Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов долж- ны соответствовать курсу математики общеобразовательной школы. Дисци- плина "Линейная алгебра" является предшествующей для следующих дис- циплин: "Математический анализ , "Теория вероятностей и математическая статистика" , "Методы оптимальных решений , "Информатика" , "Математи- ческие методы и модели" , "Микроэкономика" , "Макроэкономика" , "Стати- стика" , "Эконометрика" . Правила выполнения и оформления контрольной работы При выполнении контрольных работ необходимо придерживаться ниже- изложенных правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки. 1. Контрольную работу следует выполнять в тетради, отдельной для каж- дой работы, чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля для замечаний рецензента. 2. На обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать дату отсылки работы в университет и адрес студента. В конце работы следует проставить дату ее выполнения и расписаться. 3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по своему варианту. Контрольные работы, содержащие не все задания, а также содержащие задачи другого варианта, не зачитываются. 4 4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в зада- ниях, сохраняя номера задач. 5. Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие, подставляя конкретные данные из решаемого варианта. 6. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мо- тивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. 7. После получения незачтенной прорецензированной работы студент дол- жен исправить все указанные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. Исправления следует присылать вместе с про- рецензированной работой и рецензией. В связи с этим рекомендуется остав- лять в конце тетради несколько чистых листов для дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается. В случае отсутствия прямого указания на то, что студент может ограничиться исправлением отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново. 8. Поскольку на рецензирование работы преподавателю отводится две неде- ли, задания следует высылать на проверку заблаговременно. 9. К экзамену допускаются студенты, получившие положительную рецен- зию на работу. Экзамен проводится в форме теста, и результаты оцениваются в соответ- ствии с балльно-рейтинговой системой. Экзаменационные оценки определя- ются по баллам, полученным при тестировании по правилу: "неудовлетворительно" - от 0 до 54 баллов включительно; "удовлетворительно" - от 55 до 69 баллов включительно; "хорошо" - от 70 до 84 баллов включительно; "отлично" - от 85 баллов и выше. 5 Теоретический материал Раздел I. Аналитическая геометрия и элементы векторной алгебры 1.Прямоугольные координаты на плоскости и в пространстве. В заданной системе координат каждой точке M плоскости соответствует упоря- доченная пара чисел (x; y) и, обратно, каждой паре чисел (x; y) соответствует единственная точка M плоскости xOy. Если же точка M задана в простран- стве, то она определяется тремя координатами – (x; y; z). Расстояние d = |M 1 M 2 | между двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ) на плоскости вычисляется по формуле: d = √ (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 . (1) Для точек M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ), заданных в пространстве, спра- ведлива аналогичная формула: d = √ (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2 + (z 2 − z 1 ) 2 . Зная координаты концов A(x A ; y A ; z A ) и B(x B ; y B ; z B ) отрезка AB, можно найти координаты точки M (x M ; y M ; z M ), которая делит данный отрезок в отношении λ = |AM| |MB| , по формулам: x M = x A + λx B 1 + λ , y M = y A + λy B 1 + λ , z M = z A + λz B 1 + λ . (2) В частности, если точка M является серединой отрезка AB, т.е. |AM| = |MB|, то λ = 1 и формулы (2) принимают вид: x M = x A + x B 2 , y M = y A + y B 2 , z M = z A + z B 2 . (3) 6 Пример 1. В треугольнике с вершинами A( −2; 0), B(6; 6) и C(1; −4) опре- делить длины медианы AD и биссектрисы AE. - 6 S S S S S S hhhhhh A B D E C x y 6 -4 -2 6 Рис.1 Решение. а) Так как AD – медиана, то точка D делит отрезок BC пополам. Следо- вательно, |BD| |DC| = λ = 1. Координаты точки D найдем по формулам (3): x D = x B + x C 2 = 6 + 1 2 = 7 2 , y D = y B + y C 2 = 6 − 4 2 = 1 . По формуле (1) находим длину медианы AD: |AD| = √ (x D − x A ) 2 + (y D − y A ) 2 = = √( 7 2 + 2 ) 2 + (1 − 0) 2 = √( 11 2 ) 2 + 1 = √ 125 4 = 5 2 √ 5. б) Для того чтобы вычислить длину биссектрисы AE, надо найти координа- ты точки E. Напомним, что биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. λ = |BE| |EC| = = |AB| |AC| . Следовательно, надо вычислить |AB| и |AC|. |AB| = √ (6 − (−2)) 2 + (6 − 0) 2 = √ 64 + 36 = 10, |AC| = √ (1 − (−2)) 2 + ( −4 − 0) 2 = √ 9 + 16 = 5, λ = |AB| |AC| = 10 5 = 2. Итак, точка E делит отрезок BC в отношении λ = |BE|/|EC| = 2 1 = 2. Тогда по формулам (2) находим: x E = x B + λx C 1 + λ = 6 + 2 · 1 1 + 2 = 8 3 , y E = y B + λy C 1 + λ = 6 + 2( −4) 1 + 2 = − 2 3 . Длину биссектрисы находим по формуле (1): |AE| = √( 8 3 − (−2) ) 2 + ( − 2 3 − 0 ) 2 = √ 196 9 + 4 9 = 10 3 √ 2. Ответ: а) |AD| = 5 2 √ 5; б) |AE| = 10 3 √ 2. 7 2. Прямая линия на плоскости. В аналитической геометрии уравне- нием линии в прямоугольной системе координат называется такое уравнение F (x, y) = 0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на линии, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на ней. Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат задается ли- нейным уравнением с двумя переменными. Любую прямую на плоскости можно описать общим уравнением Ax + By + C = 0, где A и B – координаты вектора нормали ⃗ N = A⃗ı + B⃗ȷ , перпендикулярного данной прямой (см. рис.2). 6 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ 0 b B A φ E D M 0 b b b ⃗ N {A; B} Рис.2 α + α − x y - Прямые, не параллельные оси ординат, мо- гут быть описаны уравнением с угловым ко- эффициентом k: y = kx + b. (4) Здесь k = tgφ, где φ – угол, который прямая составляет с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый от оси 0x про- тив часовой стрелки; b – ордината точки пе- ресечения прямой с осью 0y (см. рис.2). Пусть заданы две прямые l 1 : y = k 1 x + b 1 , l 2 : y = k 2 x + b 2 . Тогда угол ϑ между ними вычисляется по формуле tgϑ = k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 . Из этой формулы следуют, в частности: k 1 = k 2 ⇐⇒ l 1 ∥l 2 (признак параллельности прямых), (5) k 1 = − 1 k 2 ⇐⇒ l 1 ⊥ l 2 (признак перпендикулярности прямых). (6) Если задана точка M 0 (x 0 ; y 0 ), через которую проходит прямая, и известен ее угловой коэффициент k, то уравнение этой прямой имеет вид: y − y 0 = k(x − x 0 ). (7) 8 Если же в уравнении (7) угловой коэффициент k является произвольным параметром, то это уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку M 0 (x 0 ; y 0 ). Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки D(x D ; y D ) и E(x E ; y E ), имеет вид: - 6 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L H H H H H H H H H H H L L L L L L L L L L b Рис.3 0 C x y B N M A y − y D y E − y D = x − x D x E − x D (8) (при условии, что x E ̸= x D и y E ̸= y D ). Если y E = y D , то уравнение искомой прямой имеет вид: y = y D . В этом случае прямая парал- лельна оси 0x. Если x E = x D , то прямая па- раллельна оси 0y, и ее уравнение имеет вид: x = x D Пример 2. Задан треугольник с вершина- ми A(1; 1), B(2; 5) и C(5; −1). Найти уравнения стороны BC и средней линии M N треугольника, параллельной BC. Решение. Подставив координаты точек B и C в формулу (8), получаем уравнение прямой BC: y − 5 −1 − 5 = x − 2 5 − 2 ⇐⇒ 3(y − 5) = −6(x − 2), или, окончательно, y = −2x + 9. Применяя формулы (3), найдем координаты точки N – середины стороны AB: x N = x A + x B 2 = 3 2 ; y N = y A + y B 2 = 3. Так как средняя линия параллельна стороне BC, то k N M = k BC = −2 (см.(5)). Подставляя известные данные в формулу (7), получаем искомое уравнение: y − 3 = −2(x − 3 2 ) ⇐⇒ y = −2x + 6. Ответ: 1) y = −2x+9 - уравнение прямой BC; 2) y = −2x+6 - уравнение средней линии N M . Пример 3. Найти проекцию точки M (8; −2) на прямую l : 3x − 2y − 6 = 0. 9 - 6 b Q Q Q Q Q Q Q Q l 0 y N M x Рис.4 Решение. Проекцией точки M на прямую l называют точку пересечения прямой l и пер- пендикуляра, опущенного из точки M на l (см. рис.4). Уравнение перпендикуляра ищем в виде (4): y + 2 = k (x − 8). Значение k найдем из условия перпендикулярности (6): k = − 1 k l . Для опре- деления углового коэффициента k l прямой l представим ее уравнение в виде y = kx + b: 3x − 2y − 6 = 0 ⇐⇒ y = 3 2 x − 3. Следовательно, k l = 3 2 , а k = − 1 k l = − 2 3 , и уравнение перпендикуляра имеет вид: y + 2 = − 2 3 (x − 8) или y = − 2 3 x + 10 3 . Координаты точки N пересечения перпендикуляра и прямой l найдем, решая систему: y = 3 2 x − 2; y = − 2 3 x + 10 3 ; ⇐⇒ x = 32 13 ; y = 22 13 ; ⇐⇒ N ( 32 13 ; 22 13 ) . Ответ: точка N ( 32 13 ; 22 13 ) является проекцией точки M на прямую l. 3. Геометрический смысл линейного неравенства с двумя неиз- вестными. Пусть дано уравнение Ax + By + C = 0, (A 2 + B 2 ̸= 0). Прямая, соответствующая этому уравнению, делит плоскость x0y на две полуплоскости. Напомним, что данному уравнению удовлетворяют коор- динаты только тех точек, которые лежат на этой прямой. Координаты точки M (x; y), которая лежит в одной из полуплоскостей (но не лежит на прямой), удовлетворяют либо неравенству Ax + By + C > 0, либо неравенству Ax + By + C < 0. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству Ax+By+C > 0 (или Ax+By+C < 0), называется областью решений соответствующего неравенства. Геометрически 10 областью решений является полуплоскость. В случае нестрогих неравенств Ax + By + C ≤ 0 и Ax+By +C ≥ 0 в область решений, кроме полуплоскости, входит и прямая Ax + By + C = 0. Чтобы построить область решений неравенства Ax + By + C > 0 (< 0), необходимо: 1) построить прямую Ax + By + C = 0; 2) подставить в выражение Ax + By + C координаты любой точки, не принадлежащей прямой, и определить знак этого выраже- ния. Если рассматриваемое неравенство удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не выполнено, то областью решений служит другая полуплоскость. Линейное неравенство можно решить графически, руководствуясь следу- ющим правилом. Координаты точек той полуплоскости, которая расположена от прямой Ax + By + C = 0 в направлении вектора нормали ⃗ N {A; B}, удовлетворя- ют неравенству Ax + By + C > 0. Обозначим эту полуплоскость α + (см. рис. 2). Координаты точек полуплоскости, которая расположена от прямой Ax + By + C = 0 в направлении, противоположном направлению вектора норма- ли ⃗ N {A; B}, удовлетворяют неравенству Ax + By + C < 0. Обозначим эту полуплоскость α − (см. рис.2). 6 !! !! !! !! !! !! !! !! ! ! B B B B B B BBN ◦ M ◦ K Рис.5 x - y ⃗ N l 0 Пример 4. Дана прямая 2x − 5y + 6 = 0 и точки M ( −2; 2) и K(5; 1). Выяснить, ле- жат ли эти точки по одну или по разные стороны от данной прямой. Решение. Прямая 2x −5y+6 = 0 делит плоскость на две полуплоскости 2x −5y+6>0 и 2x−5y+6<0. Подставим координаты точек M и K в вы- ражение 2x − 5y + 6. Координаты точки M удовлетворяют неравенству 2x − 5y + 6 < 0: 2 · (−2) − 5 · 2 + 6 = −8 < 0. 11 Значит, точка M принадлежит полуплоскости α − . Аналогично для точки K имеем 2 ·5−5·1+6=11>0. Значит, точка K принадлежит полуплоскости α + , определяемой неравенством 2x − 5y + 6 > 0. Следовательно, заданные точки M и K лежат в разных полуплоскостях, т.е. по разные стороны от прямой 2x − 5y + 6 = 0 (см. рис.5). Ответ: точки M и K лежат по разные стороны от данной прямой. 4. Элементы векторной алгебры. Векторы принято обозначать либо ⃗a, либо −→ AB, где A – начало, а B – конец вектора. В выбранной системе координат вектор однозначно задается своими координатами: - 6 x A x B y A y B A B Рис.6 > > > > > > ⃗a {a x , a y } = a x ⃗ı + a y ⃗ȷ, ( на плоскости (см. рис.6) ⃗a {a x , a y , a z } = a x ⃗ı + a y ⃗ȷ + a z ⃗k, ( в пространстве) (9) где a x , a y , a z – координаты вектора, а ⃗ı, ⃗ȷ, ⃗k – еди- ничные векторы сонаправленные с координатными осями (орты координатных осей). Равенства (9) называются разложением вектора по координатным осям. Координаты вектора ⃗a = −→ AB связаны с координатами его концов A(x A ; y A ; z A ) и B(x B ; y B ; z B ) формулами: a x = x B − x A , a y = y B − y A , a z = z B − z A . (10) Скалярным произведением ⃗a · ⃗b двух векторов называют произведение их длин, умноженное на косинус угла φ между этими векторами: ⃗a ·⃗b = |⃗a||⃗b| cos φ. Для векторов, заданных в координатной форме, справедливы соотноше- 12 ния: ⃗a = ⃗b ⇐⇒ a x = b x , a y = b y , a z = b z ; ⃗a = λ⃗b ⇐⇒ a x = λb x , a y = λb y , a z = λb z ; ⃗c = ⃗a + ⃗b ⇐⇒ c x = a x + b x , c y = a y + b y , c z = a z + b z . (11) ⃗a ·⃗b = a x b x + a y b y + a z b z ; |⃗a| = √ (⃗a · ⃗a) = √ a x 2 + a y 2 + a z 2 . cosφ = ⃗a ·⃗b |⃗a||⃗b| = a x b x + a y b y + a z b z √ a x 2 + a y 2 + a z 2 √ b x 2 + b y 2 + b z 2 . (12) Пример 5. Найти вектор ⃗c = 3⃗a −2⃗b и косинус угла между векторами ⃗a и ⃗b, если известно, что ⃗a = −→ AB, ⃗b = −−→ CD, где A(1; −3; 2), B(4; 5; −1), C(0; 2; −3), D(3; −2; 5) – заданные точки. Решение: Найдем координаты векторов ⃗a и ⃗b по формулам (10): a x = 4 − 1 = 3, a y = 5 + 3 = 8, a z = −1 − 2 = −3; ⃗a = 3⃗ı + 8⃗ȷ − 3⃗k. Аналогично ⃗b = 3⃗ı − 4⃗ȷ + 8⃗k. Вектор ⃗c и cosφ найдем по формулам (11) и (12): ⃗c = 3⃗a − 2⃗b = 3(3⃗ı + 8⃗ȷ − 3⃗k) − 2(3⃗ı − 4⃗ȷ + 8⃗k) = = (9 − 6)⃗ı + (24 + 8)⃗ȷ + (−9 − 16)⃗k = 3⃗ı + 32⃗ȷ − 25⃗k; cosφ = 3 · 3 + 8 · (−4) + (−3) · 8 √ 3 2 + 8 2 + 3 2 √ 3 2 + 4 2 + 8 2 = −47 √ 82 √ 89 . Ответ: 1) ⃗c = 3⃗ı + 32⃗ȷ − 25⃗k; 2) cosφ = −47 √ 82 √ 89 . 13 Раздел II. Линейная алгебра 1.Матрицы Напомним, что матрицей размера m × n называется прямоугольная таб- лица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Эти числа называются ее элементами. В общем виде матрицу A размера m × n записывают следующим образом: A = a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n a m1 a m2 · · · a mn . Элементы матрицы снабжены двумя индексами, первый из которых указы- вает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых распо- ложен этот элемент. Более компактной является такая запись: A = (a ij ) m ×n , где a ij - общий вид элемента матрицы A. Матрица A T размера n × m называется транспонированной матрицей по отношению к матрице A размера m × n, если элементы, расположенные в i-й строке матрицы A, образуют i-й столбец матрицы A T Пример 1. A = ( 1 3 −1 2 0 4 ) ; A T = 1 2 3 0 −1 4 . Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Суммой A + B матриц A = (a ij ) m ×n и B = (b ij ) m ×n называется матрица C = (c ij ) m ×n , элементы которой вычисляются по формулам c ij = a ij + b ij ; i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ...n. Аналогично определяется разность двух матриц. Пример 2. A = 2 −1 3 0 −2 4 ; B = 3 1 0 2 −1 5 ; A + B = 5 0 3 2 −3 9 ; A − B = −1 −2 3 −2 −1 −1 . При умножении матрицы на число каждый элемент исходной матрицы умножается на это число. Таким образом, произведением матрицы A = (a ij ) m ×n 14 на вещественное число λ называется матрица D = (d ij ) m ×n , элементы кото- рой вычисляются по формулам d ij = λa ij ; i = 1, 2, ...m; j = 1, 2, ...n. Пример 3. A = ( 1 3 −1 2 0 4 ) ; 3A = ( 3 9 −3 6 0 12 ) . Произведение матрицы A на матрицу B определено только при условии, что число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. При выполнении этого условия элементы матрицы-произведения AB, вычисля- ются по "правилу умножения строки на столбец". Итак, произведением AB матрицы A = (a ij ) m ×n на матрицу B = (b jk ) n ×p называется матрица C m ×p = A m ×n B n ×p , элементы которой вычисляются по формулам c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + ... + a in b nk ; i = 1, 2, ...m; k = 1, 2, ...p. Пример 4. ( 2 3 −1 1 0 4 ) · −1 6 1 −2 5 3 = = ( 2 · (−1) + 3 · 1 + (−1) · 5 2 · 6 + 3 · (−2) + (−1) · 3 1 · (−1) + 0 · 1 + 4 · 5 1 · 6 + 0 · (−2) + 4 · 3 ) = = ( −4 3 19 18 ) . Матрица размера n × n, то есть матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей порядка n. Квадратной матрице A по некоторому правилу сопоставляется число, которое называ- ется определителем этой матрицы и обозначается |A|. Напомним правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков. Определитель 2-го поряд- ка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов второй диагонали. Пример 5. 4 7 3 8 = 4 · 8 − 7 · 3 = 11. Определители 3-го порядка можно вычислять по "правилу Саррюса": при- писать справа к определителю его первые два столбца и составить сумму про- изведений элементов, в которой произведения элементов главной диагонали 15 определителя и произведения элементов, лежащих на двух ей параллельных прямых, входят со знаком "плюс а произведения элементов второй диагонали и элементов на параллельных этой диагонали прямых - со знаком "минус". Схема вычисления определителя 3-го порядка выглядит так: a 31 a 21 a 11 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33 a 31 a 21 a 11 a 12 a 22 a 23 @ @ @ @ @ @ @ @ @ j + @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ j + j + j − j − j − Тогда имеем a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 . Пример 6. Вычислить определитель 1 3 2 0 4 −1 5 6 −2 . Припишем справа к столбцам данного определителя его первые два столб- ца и отметим знаки произведений: 5 0 1 3 4 6 2 −1 −2 5 0 1 3 4 6 @ @ @ @ @ @ @ @ @ j + @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ j + j + j − j − j − Итак, 1 3 2 0 4 −1 5 6 −2 = = 1 · 4 · (−2) + 3 · (−1) · 5 + 2 · 0 · 6 − 2 · 4 · 5 − 1 · (−1) · 6− − 3 · 0 · (−2) = −57. 16 При вычислении определителей более высокого порядка следует использо- вать свойства определителей; в частности, можно воспользоваться формулой разложения определителя по элементам строки или столбца. Полезно отметить, что, применяя свойства определителей, можно привести определитель к так называемому треугольному виду: сделать равными нулю все элементы ниже или выше главной диагонали. Можно показать, что тре- угольный определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Квадратная матрица E, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а остальные элементы равны 0, называется единичной матрицей. Матрица A −1 называется обратной матрицей к матрице A, если справед- ливо соотношение: A · A −1 = A −1 · A = E. Если матрица A квадратная и ее определитель |A| отличен от нуля, то об- ратная матрица A −1 существует и единственна. Опишем способ вычисления обратной матрицы. Для каждого элемента a ik , стоящего на пересечении i-й строки и k-го столбца определителя |A|, вычислим его алгебраическое до- полнение A ik - определитель, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и k-го столбца и взятый со знаком "+ если (i + k) — четно, и со знаком " − если (i + k) — нечетно. Заменим каждый элемент a ik матрицы A соответ- ствующим алгебраическим дополнением A ik и составленную таким способом матрицу транспонируем. В результате получим матрицу, которая называется присоединенной (союзной) к матрице A и обозначается A ∗ A ∗ = A 11 A 21 · · · A n1 A 12 A 22 · · · A n2 A 1n A 2n · · · A nn . Формула для нахождения обратной матрицы имеет вид: A −1 = 1 |A| · A ∗ . Пример 7. Найти обратную матрицу A −1 , если A = 1 2 −1 0 −1 1 2 0 −1 . Вычисляем определитель |A|, приводя его к треугольному виду. 1 2 −1 0 −1 1 2 0 −1 = 1 2 −1 0 −1 1 0 −4 1 = 1 2 −1 0 −1 1 0 0 −3 = 3. 17 −2m −4m На первом этапе мы к элементам 3-й строки прибавили элементы 1-й, умно- женные на (-2); на втором этапе к элементам 3-й строки прибавили элементы 2-й, умноженные на (-4). Так как |A| ̸= 0, то A −1 существует. Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов определителя |A|. A 11 = −1 1 0 −1 = 1,A 21 = − 2 −1 0 −1 = 2,A 31 = 2 −1 −1 1 = 1, A 12 = − 0 1 2 −1 = 2,A 22 = 1 −1 2 −1 = 1,A 32 = − 1 −1 0 1 = −1, A 13 = 0 −1 2 0 = 2,A 23 = − 1 2 2 0 = 4,A 33 = 1 2 0 −1 = −1. Составляем присоединенную матрицу A ∗ : A ∗ = 1 2 1 2 1 −1 2 4 −1 . Заметим, что алгебраические дополнения элементов каждой строки матри- цы A расположены в соответствующем столбце матрицы A ∗ Находим теперь обратную матрицу: A −1 = 1 |A| · A ∗ = 1 3 · 1 2 1 2 1 −1 2 4 −1 . Проверкой убеждаемся в правильности полученного результата: A · A −1 = 1 2 −1 0 −1 1 2 0 −1 · 1 3 · 1 2 1 2 1 −1 2 4 −1 = 1 3 · 3 0 0 0 3 0 0 0 3 = E. С помощью обратной матрицы можно решать матричные уравнения AX = B и XA = B, где A и B – заданные матрицы, а X – неизвестная матрица. Если матрица A −1 существует, то уравнение вида AX = B 18 имеет решение: X = A −1 B. Для уравнения XA = B решение имеет вид: X = BA −1 . Пример 8. Решить матричное уравнение AX = B, где A = 1 2 −1 0 −1 1 2 0 −1 , B = 0 1 −1 1 2 2 . Матрица A −1 уже найдена в примере 7. Тогда получаем X = 1 3 · 1 2 1 2 1 −1 2 4 −1 · 0 1 −1 1 2 2 = 1 3 · 0 5 −3 1 −6 4 = 0 5/3 −1 1/3 −2 4/3 . Для проверки подставим найденную матрицу X в исходное уравнение: AX = 1 2 −1 0 −1 1 2 0 −1 · 1 3 · 0 5 −3 1 −6 4 = = 1 3 · 0 3 −3 3 6 6 = 0 1 −1 1 2 2 = B. Для любой прямоугольной матрицы определяется понятие ранга этой мат- рицы. Выбирая произвольным образом несколько строк и такое же число столбцов матрицы, составим определитель из элементов, стоящих на пересе- чении выбранных строк и столбцов. Каждый такой определитель называется минором исходной матрицы. Пример 9. Пусть A = 1 3 2 4 2 6 4 3 3 9 6 7 . Выбирая 1-ю и 3-ю строки, 1-й и 4-й столбцы данной матрицы, получаем минор 2-го порядка матрицы A: 1 4 3 7 = 7 − 12 = −5. 19 Выбирая первые две строки и первые два столбца, получим другой минор 2-го порядка этой же матрицы: 1 3 2 6 = 0. Взяв три строки и первые три столбца, составим минор 3-го порядка ис- ходной матрицы: 1 3 2 2 6 4 3 9 6 = 0. Число r называется рангом матрицы A, если выполнены следующие усло- вия: 1) среди миноров порядка r есть по крайней мере один, отличный от нуля; 2) все миноры порядка большего, чем r, матрицы A либо равны нулю, либо не могут быть составлены. Ранг матрицы A обозначается r(A). Mинор, отличный от нуля, порядок которого совпадает с рангом матрицы, называется базисным минором. Пример 10. Найти ранг матрицы A = 1 3 2 4 2 6 4 3 3 9 6 7 . В примере 9 уже показано, что у матрицы A есть ненулевой минор 2-го порядка и один из миноров 3-го порядка равен нулю. Вычислим остальные миноры 3-го порядка, соответствующие другим возможным способам выбора трех столбцов матрицы A: 1 3 4 2 6 3 3 9 7 = 0; 1 2 4 2 4 3 3 6 7 = 0; 3 2 4 6 4 3 9 6 7 = 0. Все миноры 3-го порядка рассматриваемой матрицы оказались равными нулю. Поскольку у матрицы существует ненулевой минор 2-го порядка, а все миноры порядка, большего, чем два, равны нулю или не могут быть состав- лены, то ранг этой матрицы равен двум. Ранг матрицы можно вычислить гораздо проще, не перебирая все мино- ры, а применяя так называемые элементарные преобразования матрицы, не меняющие ее ранга: 20 1) перестановка двух параллельных рядов (строк или столбцов); 2) умножение всех элементов ряда на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам одного ряда соответствующих элементов па- раллельного ряда, умноженных на одно и то же число; 4) вычеркивание одного из двух пропорциональных параллельных рядов; 5) вычеркивание ряда, состоящего только из нулей; 6) транспонирование матрицы. С помощью элементарных преобразований любую матрицу можно приве- сти к виду, при котором все элементы главной диагонали будут отличны от нуля, а все элементы матрицы, стоящие ниже главной диагонали, будут рав- ны нулю. Ранг такой матрицы равен числу ее строк, а, следовательно, этому же числу будет равен и ранг исходной матрицы. Пример 11. Найти ранг матрицы A = 1 3 5 −1 2 −1 −3 4 5 1 −1 7 7 7 9 1 . Имеем r(A) = r 1 3 5 −1 2 −1 −3 4 5 1 −1 7 7 7 9 1 = r 1 3 5 −1 0 −7 −13 6 0 −14 −26 12 0 −14 −26 8 = = r 1 3 5 −1 0 −7 −13 6 0 −14 −26 8 = r 1 3 5 −1 0 −7 −13 6 0 0 0 −4 = −2m −5m −7m −2m 6 6 = r 1 3 −1 5 0 −7 6 −13 0 0 −4 0 = 3. Здесь на первом шаге мы получили нулевые элементы в первом столбце ниже элемента главной диагонали. Для этого элементы 1-й строки умножи- ли на (-2) и прибавили к соответствующим элементам 2-й, затем, умножив 21 элементы 1-й строки на (-5), прибавили к соответствующим элементам 3-й и, наконец, умноженные на (-7) элементы 1-й строки прибавили к элементам 4-й. На втором шаге вычеркнули 3-ю строку, поскольку 2-я и 3-я строки явля- ются пропорциональными. На третьем шаге к элементам 3-й строки прибавили элементы 2-й, умно- женные на (-2). На четвертом шаге поменяли местами 3-й и 4-й столбцы, получив ненуле- вой элемент на главной диагонали в 3-й строке. Таким образом, в результате элементарных преобразований исходной мат- рицы мы получили матрицу, ранг которой равен трем, поскольку у этой мат- рицы нет миноров порядка большего, чем три, и существует ненулевой минор 3-го порядка. Этот минор является треугольным определителем с ненулевы- ми элементами на главной диагонали. 1 3 −1 0 −7 6 0 0 −4 = 1 · (−7) · (−4) = 28 ̸= 0. Заметим, что этот минор является базисным для данной матрицы. 2.Системы линейных уравнений В общем виде систему m линейных уравнений с n неизвестными можно записать так: a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2n x n = b 2 , a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n = b m . Эту систему можно решать методом Гаусса, последовательно исключая сначала первую переменную из всех уравнений, начиная со второго, затем вторую переменную из всех уравнений, начиная с третьего и так далее. Для этого используют следующие преобразования, каждое из которых заменяет исходную систему системой, ей равносильной: 1) взаимная перестановка двух уравнений; 2) умножение обеих частей одного из уравнений на число, отличное от нуля; 3) замена одного из уравнений суммой его с другим уравнением, умножен- ным на некоторое число; 22 4) вычеркивание из системы одного из двух пропорциональных уравнений; 5) вычеркивание из системы уравнения, в котором все коэффициенты при неизвестных и свободный член равны нулю; 6) взаимная перестановка двух неизвестных во всех уравнениях. Если в ходе преобразований появится система, в которой одно из уравне- ний будет иметь нулевые коэффициенты при всех неизвестных, и отличный от нуля свободный член, то очевидно, что такая система несовместна, то есть не имеет решения. А значит, несовместной является и исходная система линейных уравнений. Если подобная ситуация не возникла в процессе преоб- разований системы, то имеет место один из двух случаев. 1. Число уравнений полученной в результате преобразований системы рав- но числу неизвестных, то есть, система преобразуется к виду: ea 11 x 1 + ea 12 x 2 + · · · + ea 1n x n = e b 1 , ea 22 x 2 + · · · + ea 2n x n = e b 2 , ea nn x n = e b n , где ea 11 ̸= 0, ea 22 ̸= 0, . . . , ea nn ̸= 0. В этом случае система имеет единственное решение и называется опреде- ленной. Значения неизвестных вычисляются последовательно. Из последне- го уравнения находим: x n = eb n ea nn . Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, находим значение x n −1 , и так далее до вычисления значения неиз- вестной x 1 из первого уравнения. 2. Число уравнений преобразованной системы меньше числа неизвестных, то есть система преобразуется к виду: ea 11 x 1 + ea 12 x 2 + · · · + ea 1k x k + · · · + ea 1n x n = e b 1 , ea 22 x 2 + · · · + ea 2k x k + · · · + ea 2n x n = e b 2 , ea kk x k + · · · + ea kn x n = e b k , где k < n, ea 11 ̸= 0, ea 22 ̸= 0, . . . , ea kk ̸= 0. В этом случае система имеет бесконечное множество решений и называет- ся неопределенной. Формулы, содержащие все решения системы, могут быть 23 получены следующим образом. В каждом уравнении слагаемые, содержащие переменные с номерами, большими чем k, переносятся в правую часть. Этим переменным придаются произвольные постоянные значения: x k+1 = c k+1 , x k+2 = c k+2 , . . . x n = c n . После этого, как и в первом случае, последовательно находятся значения x k , x k −1 , . . . x 1 как выражений, зависящих от произвольных значений посто- янных c k+1 , . . . c n На практике удобнее производить преобразования не над системой, а над расширенной матрицей системы уравнений a 11 a 12 · · · a 1n a 21 a 22 · · · a 2n a m1 a m2 · · · a mn b 1 b 2 · · · b m , состоящей из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. Каждому из первых пяти описанных выше преобразований системы соответ- ствует элементарное преобразование над строками расширенной матрицы, а шестому преобразованию соответствует перестановка двух столбцов матри- цы, в число которых не может входить столбец свободных членов. Очевид- но, что по расширенной матрице легко восстанавливается система линейных уравнений, если в процессе преобразований не переставлялись столбцы. В случае использования последнего преобразования восстанавливать систему уравнений следует с учетом информации о том, какие из столбцов коэффи- циентов при переменных менялись местами. Вопрос о совместности системы линейных уравнений и числе решений мо- жет быть решен с помощью сравнения рангов матрицы системы и расширен- ной матрицы. Если ранги этих матриц не равны (одно из уравнений имеет нулевые коэффициенты при неизвестных и свободный член, отличный от ну- ля), то система несовместна. Если матрицы имеют один и тот же ранг и это число равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Ес- ли же число, равное рангу матриц, меньше числа неизвестных в системе, то она имеет бесконечное множество решений. Неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, называются базисными переменными. Остальные неизвестные - свободные переменные. Пример 12. Решить систему линейных уравнений. 3x 1 − 2x 2 + 5x 3 + 4x 4 = 2, 6x 1 − 4x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 3, 9x 1 − 6x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 4. 24 Выписываем расширенную матрицу системы: 3 −2 5 4 6 −4 4 3 9 −6 3 2 2 3 4 . −2m −3m Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, затем, умножая элементы первой строки на (-3), прибавим к элементам третьей строки. Получим 3 −2 5 4 0 0 −6 −5 0 0 −12 −10 2 −1 −2 . Вычеркиваем третью строку, поскольку она пропорциональна второй, и мат- рица приобретает вид: ( 3 −2 5 4 0 0 −6 −5 2 −1 ) . 6 6 Для того чтобы получить ненулевой элемент на главной диагонали во второй строке, переставим местами второй и третий столбцы: ( 3 5 −2 4 0 −6 0 −5 2 −1 ) . Система линейных уравнений, соответствующая полученной расширенной матрице, с учетом перестановки переменных x 2 и x 3 имеет следующий вид: 3x 1 + 5x 3 − 2x 2 + 4x 4 = 2, − 6x 3 − 5x 4 = −1. В полученной системе имеются два уравнения и четыре неизвестных. Следо- вательно, две переменные (x 1 и x 3 ) являются базисными, а переменные x 2 и x 4 – свободными. Придадим свободным переменным произвольные значения x 2 = c, x 4 = d и перенесем соответствующие им слагаемые в правые части уравнений: 3x 1 + 5x 3 = 2 + 2c − 4d, − 6x 3 = −1 + 5d. Из последнего уравнения находим выражение для базисной переменной x 3 : x 3 = 1 − 5d 6 . 25 Подставляя это выражение для x 3 в первое уравнение, находим выражение для базисной переменной x 1 : 3x 1 = 2 + 2c − 4d − 5 6 (1 − 5d) = = 1 6 (12 + 12c − 24d − 5 + 25d) = = 1 6 (7 + 12c + d); x 1 = 1 18 (7 + 12c + d). Итак, исходная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, которое задается формулами: x 1 = 7 + 12c + d 18 ; x 2 = c; x 3 = 1 − 5d 6 ; x 4 = d, где c и d - произвольные числа. 3.Векторы Напомним, что n-мерным вектором называется упорядоченная совокуп- ность из n чисел: |