матеша. Базисным минором, если он отличен от нуля, а все минорыматрицы A
 Скачать 436.38 Kb.
|
§ 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее ба- зисным минором , если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка k+1, k+2, …, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется порядок ее базисного минора. Обозначают: r(A) или rang(A). Методы нахождения ранга матрицы 1) Метод окаймляющих миноров. Пусть M s – минор порядка s. Окаймляющим минором для минора M s называется любой минор порядка s+1, содержащий минор M s ТЕОРЕМА 1. Если в матрице A есть минор k-го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы A равен k . Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (метод окаймляющих миноров): 1) находим в матрице минор M k порядка k, отличный от нуля (где k 1); 2) ищем его окаймляющий минор M k+1 отличный от нуля. Если такого минора не существует, то ранг матрицы равен k. Если окаймляющий минор M k+1 0, то рассматриваем окаймляющие миноры для M k+1 и т.д. 2) Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: 1) умножение строки (столбца) на число 0; 2) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; 3) перестановка i-й и k-й строки (столбца); 4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов); 5) вычеркивание нулевых строк (столбцов). Матрица B называется эквивалентной матрице A , если она может быть получена из A элементарными преобра- зованиями. Обозначают: A B. ТЕОРЕМА 2. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги. ТЕОРЕМА 3. Любая матрица A эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, не содержащей нулевых и пропорциональных строк. Причем эта треугольная или трапециевидная матрица может быть получена из A элементарными преобразованиями только строк. Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (метод элементарных преобразований): 1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы A эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу B; 2) находим в матрице B базисный минор и определяем ранг матрицы B и матрицы A . § 4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия Уравнение называется линейным , если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b , где a i ,b – числа. a i называются коэффициентами уравнения , b называется свободным членом Если b = 0, то уравнение называется однородным . В противном случае уравнение называется неоднородным Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида (1) , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a Обозначим через A и A* следующие матрицы: mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2 22 21 1 12 11 A Матрицу A называют основной матрицей системы (1), матрицу A* – расширенной матрицей системы (1). Пусть X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов, т.е. m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 * A n x x x 2 1 X m b b b 2 1 B Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения AX=B. Его называют матричной формой системы (1). Упорядоченный набор чисел c 1 ,c 2 ,…,c n называется решением системы (1), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной . Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной Система, имеющая единственное решение, называется определенной . Система, имеющая множество решений, называется неопределенной ТЕОРЕМА 1 (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*). ТЕОРЕМА 2 (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е. r(A) = r(A*) = n. 2. Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1 , такая, что A·A -1 =A -1 · A=E. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1) Если матрица A имеет обратную, то A и A -1 – квадратные одного порядка. 2) Если обратная матрица существует, то она единственная. 3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной ТЕОРЕМА 3. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: T S A A 1 1 где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е. nn n n n n A A A A A A A A A 2 1 2 22 21 1 12 11 S Матрица S T называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A. Нахождение решения по формуле X=A -1 · B называют мат- ричным методом решения системы. Метод Крамера ТЕОРЕМА 4 (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n совпадает и |A|0, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам ) 4 ( ) , 2 , 1 ( n i D D x i i где D=|A|, а D i – определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов. Формулы (4) называются формулами Крамера |